मूल बिंदु से गुजरने वाले और left(1+x^2right) | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\left(1+x^2\right) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ है। $(1+x^2)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{

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$3y(1+x^2) = 4x^3$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $\left(1+x^2\right) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ है। $(1+x^2)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{4x^2}{1+x^2}$ प्राप्त होता है। यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2x}{1+x^2}$ और $Q(x) = \frac{4x^2}{1+x^2}$ है। समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx} = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$ है। हल $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + C$ है। $y(1+x^2) = \int \frac{4x^2}{1+x^2} \cdot (1+x^2) dx + C$. $y(1+x^2) = \int 4x^2 dx + C = \frac{4x^3}{3} + C$. चूंकि वक्र मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0, y=0$ रखने पर: $0(1+0) = 0 + C \implies C = 0$. अतः,$y(1+x^2) = \frac{4x^3}{3}$,जिसे सरल करने पर $3y(1+x^2) = 4x^3$ प्राप्त होता है।

सूची $I$ (अवकल समीकरण)	सूची $II$ (समाकलन गुणक)
$(P)$ $(x^3+1)\frac{dy}{dx}+x^2y=3x^2$	$(1)$ $x^3$
$(Q)$ $x^2\frac{dy}{dx}+3xy=x^6$	$(2)$ $(x^3+1)^2$
$(R)$ $(x^3+1)^2\frac{dy}{dx}+6x^2(x^3+1)y=x^2$	$(3)$ $(x^2+1)^2$
$(S)$ $(x^2+1)\frac{dy}{dx}+4xy=\ln x$	$(4)$ $x^2+1$
	$(5)$ $(x^3+1)^{1/3}$
	$(6)$ $(x^3+1)^{1/2}$

मूल बिंदु से गुजरने वाले और $\left(1+x^2\right) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ को संतुष्ट करने वाले वक्र का समीकरण है

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