परवलय $y^2 = 32x$ और $x^2 = 108y$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का $Y$-अंतःखंड ज्ञात कीजिए।

उस परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है: शीर्ष $(0, 0)$,बिंदु $(5, 2)$ से होकर गुजरता है और $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।

यदि परवलय $y^2 = 4ax$ और रेखा $lx + my + n = 0$ द्वारा काटा गया रेखाखंड शीर्ष पर समकोण बनाता है,तो

मान लीजिए कि परवलय $y^2 = 12x$ की $3\sqrt{13}$ लंबाई की जीवा $PQ$ इस प्रकार है कि बिंदुओं $P$ और $Q$ के कोटि (ordinates) का अनुपात $1:2$ है। यदि जीवा $PQ$ परवलय की नाभि पर $\alpha$ कोण अंतरित करती है,तो $\sin \alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि परवलय $x^{2}=ay$ रेखा $y-2x=1$ पर $\sqrt{40}$ इकाई लंबाई का अंतःखंड बनाता है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $P$ और $Q$ परवलय $y^2=2x$ पर स्थित दो भिन्न बिंदु हैं,इस प्रकार कि $PQ$ को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त परवलय के शीर्ष $O$ से होकर गुजरता है। यदि $P$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है और त्रिभुज $\Delta OPQ$ का क्षेत्रफल $3\sqrt{2}$ है,तो $P$ के निर्देशांक निम्नलिखित में से कौन से हैं?
$(A)$ $(4, 2\sqrt{2})$
$(B)$ $(9, 3\sqrt{2})$
$(C)$ $(\frac{1}{4}, \frac{1}{\sqrt{2}})$
$(D)$ $(1, \sqrt{2})$