अवकल समीकरण x frac{dy}{dx} = 2y निरूपित करता | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = 2y$ है। चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{y} = 2 \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का समाकलन करन

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मूलबिंदु पर शीर्ष और धनात्मक $Y$-अक्ष के अनुदिश अक्ष वाले परवलयों का एक परिवार।

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = 2y$ है। चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{y} = 2 \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = 2 \int \frac{dx}{x}$। इससे प्राप्त होता है: $\ln|y| = 2 \ln|x| + C$। लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर: $\ln|y| = \ln|x^2| + C$। दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $y = e^{\ln|x^2| + C} = e^C \cdot x^2$। माना $e^C = k$,जहाँ $k$ एक स्वेच्छ अचर है। अतः,$y = kx^2$। यह समीकरण मूलबिंदु $(0,0)$ पर शीर्ष और $Y$-अक्ष के अनुदिश अक्ष वाले परवलयों के एक परिवार को निरूपित करता है।

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = 2y$ निरूपित करता है ....

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सत्यापित कीजिए कि दिया गया फलन $y = \sqrt{a^{2} - x^{2}}$,जहाँ $x \in (-a, a)$,अवकल समीकरण $x + y \frac{dy}{dx} = 0$ (जहाँ $y \neq 0$) का हल है।

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मान लीजिए कि एक सतत फलन $f:(0, \infty) \rightarrow R$ समीकरण $f(x)=2 \int_0^x t f(t) d t+1, \forall x \geq 0$ को संतुष्ट करता है। तो,$f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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