JEE Main 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) $E_1$ के लिए,$2ae = 4 \implies a(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2 \implies a = 2\sqrt{3}$।
चूंकि $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,हमारे पास $\frac{1}{3} = 1 - \frac{b^2}{12} \implies \frac{b^2}{12} = \frac{2}{3} \implies b^2 = 8$ है।
$E_1$ के नाभिलंब की लंबाई $L_1 = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(8)}{2\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$ है।
$E_2$ के लिए,$e^2 = 1 - \frac{A^2}{B^2} = \frac{1}{3} \implies \frac{A^2}{B^2} = \frac{2}{3} \implies A^2 = \frac{2}{3}B^2$ है। नाभिलंब की लंबाई $L_2 = \frac{2A^2}{B} = \frac{2(\frac{2}{3}B^2)}{B} = \frac{4B}{3}$ है।
दिया है $L_1 \cdot L_2 = \frac{32}{\sqrt{3}} \implies \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{4B}{3} = \frac{32}{\sqrt{3}} \implies B = 3$। अतः $A^2 = \frac{2}{3}(3^2) = 6$ है।
समीकरण $E_1: \frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{8} = 1$ और $E_2: \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{9} = 1$ हैं।
समीकरणों को घटाने पर: $(\frac{1}{12} - \frac{1}{6})x^2 + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9})y^2 = 0 \implies -\frac{1}{12}x^2 + \frac{1}{72}y^2 = 0 \implies y^2 = 6x^2$।
$y^2 = 6x^2$ को $E_1$ में रखने पर: $\frac{x^2}{12} + \frac{6x^2}{8} = 1 \implies \frac{x^2}{12} + \frac{3x^2}{4} = 1 \implies \frac{x^2 + 9x^2}{12} = 1 \implies 10x^2 = 12 \implies x^2 = \frac{6}{5} \implies x = \pm \sqrt{\frac{6}{5}}$।
तब $y^2 = 6(\frac{6}{5}) = \frac{36}{5} \implies y = \pm \frac{6}{\sqrt{5}}$।
शीर्ष $(\pm \sqrt{\frac{6}{5}}, \pm \frac{6}{\sqrt{5}})$ हैं।
आयत का क्षेत्रफल $= 2|x| \cdot 2|y| = 4 \cdot \sqrt{\frac{6}{5}} \cdot \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{24\sqrt{6}}{5}$।

(C) मान लीजिए $A.P.$ $a, a+d, a+2d, \dots$ है जहाँ $a$ और $d$ धनात्मक पूर्णांक हैं।
दिया गया है $S_3 = a + (a+d) + (a+2d) = 3a + 3d = 54$,जो सरल होकर $a+d = 18$ देता है।
अतः,$a = 18-d$.
चूंकि $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है,$18-d > 0 \Rightarrow d < 18$.
साथ ही,$S_{20} = \frac{20}{2} [2a + 19d] = 10[2(18-d) + 19d] = 10[36 - 2d + 19d] = 10[36 + 17d]$.
दिया गया है $1600 < 10(36 + 17d) < 1800$,$10$ से भाग देने पर $160 < 36 + 17d < 180$ प्राप्त होता है।
$36$ घटाने पर $124 < 17d < 144$ प्राप्त होता है।
$17$ से भाग देने पर $7.29 < d < 8.47$ प्राप्त होता है।
चूंकि $d$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $d = 8$.
तब $a = 18 - 8 = 10$.
$11$ वां पद $a_{11} = a + 10d = 10 + 10(8) = 10 + 80 = 90$ है।

(D) हमें $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k^3+6 k^2+11 k+5}{(k+3)!}$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,अंश को फिर से लिखें: $k^3+6 k^2+11 k+5 = (k+1)(k+2)(k+3) - 1$.
इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:
$\sum_{k=1}^n \left( \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{(k+3)!} - \frac{1}{(k+3)!} \right)$.
पहले पद को सरल करने पर: $\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{(k+3)!} = \frac{1}{k!}$.
अतः योग $\sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+3)!} \right)$ बन जाता है।
योग का विस्तार करने पर:
$\left( \frac{1}{1!} - \frac{1}{4!} \right) + \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{5!} \right) + \left( \frac{1}{3!} - \frac{1}{6!} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+3)!} \right)$.
जैसे $n \rightarrow \infty$,पद $\frac{1}{(n+1)!}, \frac{1}{(n+2)!}, \frac{1}{(n+3)!}$ शून्य की ओर अग्रसर होते हैं।
शेष पद $\frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ हैं।

(A) दिया है $\sum_{i=1}^{10}(x_i-2)=30 \implies \sum x_i - 20 = 30 \implies \sum x_i = 50$. माध्य $\bar{x} = \frac{50}{10} = 5$.
प्रसरण $\sigma_x^2 = \frac{\sum x_i^2}{10} - (\bar{x})^2 = \frac{4}{5} \implies \frac{\sum x_i^2}{10} - 25 = 0.8 \implies \sum x_i^2 = 258$.
दिया है $\sum_{i=1}^{10}(x_i-\beta)^2 = 98 \implies \sum x_i^2 - 2\beta \sum x_i + 10\beta^2 = 98$.
मान रखने पर: $258 - 2\beta(50) + 10\beta^2 = 98 \implies 10\beta^2 - 100\beta + 160 = 0 \implies \beta^2 - 10\beta + 16 = 0$.
$(\beta-8)(\beta-2) = 0$. चूंकि $\beta > 2$,इसलिए $\beta = 8$.
मान लीजिए $y_i = 2(x_i-1) + 4\beta = 2x_i - 2 + 32 = 2x_i + 30$.
माध्य $\mu = 2\bar{x} + 30 = 2(5) + 30 = 40$.
प्रसरण $\sigma^2 = 2^2 \cdot \sigma_x^2 = 4 \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{5}$.
अतः $\frac{\beta\mu}{\sigma^2} = \frac{8 \cdot 40}{16/5} = \frac{320 \cdot 5}{16} = 20 \cdot 5 = 100$.

(B) दी गई असमिकाएँ सम्मिश्र समतल में दो डिस्क (वृत्त) दर्शाती हैं:
$|z_1 - (8 + 2i)| \leq 1$ एक डिस्क है जिसका केंद्र $A(8, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = 1$ है।
$|z_2 - (2 - 6i)| \leq 2$ एक डिस्क है जिसका केंद्र $B(2, -6)$ और त्रिज्या $r_2 = 2$ है।
केंद्रों $A(8, 2)$ और $B(2, -6)$ के बीच की दूरी:
$d = \sqrt{(8 - 2)^2 + (2 - (-6))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ है।
इन डिस्क में दो बिंदुओं $z_1$ और $z_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d - r_1 - r_2$ द्वारा दी जाती है।
$|z_1 - z_2|_{\text{min}} = 10 - 1 - 2 = 7$।

(C) हम जानते हैं कि किसी भी स्थिरांक $k > 0$ के लिए $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x[\frac{k}{x}] = k$ होता है।
दी गई सीमा पर इसे लागू करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \sum_{k=1}^{p} [\frac{k}{x}] = \sum_{k=1}^{p} k = \frac{p(p+1)}{2}$।
इसी प्रकार,$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^2 [\frac{k^2}{x^2}] = k^2$।
अतः,$\lim_{x}$ ${\rightarrow 0^{+}} x^2 \sum_{k=1}^{9} [\frac{k^2}{x^2}] = \sum_{k=1}^{9} k^2 = \frac{9(9+1)(2 \times 9 + 1)}{6} = \frac{9 \times 10 \times 19}{6} = 285$।
असमानता इस प्रकार हो जाती है:
$\frac{p(p+1)}{2} - 285 \geq 1$
$\frac{p(p+1)}{2} \geq 286$
$p(p+1) \geq 572$।
$p=23$ के लिए,$23 \times 24 = 552 < 572$।
$p=24$ के लिए,$24 \times 25 = 600 \geq 572$।
अतः,$p$ का न्यूनतम प्राकृतिक मान $24$ है।

(D) शब्द $\text{MATHS}$ में $5$ भिन्न अक्षर हैं: $\{M, A, T, H, S\}$. हमें $6$-अक्षरों वाला शब्द बनाना है जिसमें प्रत्येक अक्षर कम से कम दो बार आए।
स्थिति $1$: $3$ भिन्न अक्षरों का उपयोग,प्रत्येक दो बार आए।
$5$ में से $3$ अक्षरों को चुनने के तरीके $= ^5C_3 = 10$.
$6$ अक्षरों की व्यवस्था जहाँ प्रत्येक दो बार आए $= \frac{6!}{2!2!2!} = 90$.
कुल शब्द $= 10 \times 90 = 900$.
स्थिति $2$: $2$ भिन्न अक्षरों का उपयोग,एक $4$ बार और एक $2$ बार आए।
$5$ में से $2$ अक्षरों को चुनने के तरीके $= ^5C_2 = 10$.
व्यवस्था की संख्या $= \frac{6!}{4!2!} \times 2 = 15 \times 2 = 30$.
कुल शब्द $= 10 \times 30 = 300$.
स्थिति $3$: $2$ भिन्न अक्षरों का उपयोग,प्रत्येक $3$ बार आए।
$5$ में से $2$ अक्षरों को चुनने के तरीके $= ^5C_2 = 10$.
व्यवस्था की संख्या $= \frac{6!}{3!3!} = 20$.
कुल शब्द $= 10 \times 20 = 200$.
कुल शब्दों की संख्या $= 900 + 300 + 200 = 1400$.

(C) दिया गया समीकरण $2x^2 + (a-5)x + (15-3a) = 0$ है।
वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$D = (a-5)^2 - 4(2)(15-3a) < 0$
$a^2 - 10a + 25 - 120 + 24a < 0$
$a^2 + 14a - 95 < 0$
$(a+19)(a-5) < 0$
अतः,$a \in (-19, 5)$,जिससे $\alpha = -19$ और $\beta = 5$ प्राप्त होता है।
समुच्चय $X = \{x \in Z : -19 < x < 5\} = \{-18, -17, \ldots, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ है।
हमें $\sum_{x \in X} x^2 = \sum_{x=-18}^{4} x^2$ की गणना करनी है।
यह $(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2) + 0^2 + (1^2 + 2^2 + \ldots + 18^2)$ के बराबर है।
वर्गों के योग का सूत्र: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$।
योग $= \frac{4(5)(9)}{6} + \frac{18(19)(37)}{6} = 30 + 2109 = 2139$।

(C) दिया है $\sin x+\sin ^2 x=1$,अतः $\sin x=1-\sin ^2 x=\cos ^2 x$ है।
चूँकि $\sin x=\cos ^2 x$,इसलिए $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos ^2 x}{\cos x} = \cos x$ होगा।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$= 2\cos ^{12} x + 6\cos ^{10} x + 6\cos ^8 x + 2\cos ^6 x$
$= 2(\cos ^{12} x + 3\cos ^{10} x + 3\cos ^8 x + \cos ^6 x)$
$= 2(\cos ^4 x + \cos ^2 x)^3$
चूँकि $\cos ^4 x + \cos ^2 x = \sin ^2 x + \sin x = 1$,अतः उत्तर $2(1)^3 = 2$ होगा।

(D) रेखा $x+y=1$,$x$-अक्ष को $A(1, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B(0, 1)$ पर काटती है।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.
$\triangle AMN$ का क्षेत्रफल $= \frac{4}{9} \times \triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{4}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{9}$.
ज्यामिति को हल करने पर $\lambda = 2$ और $\lambda = 1/2$ प्राप्त होता है।
अतः,योग $= 2 + 1/2 = 5/2$.

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए मध्य बिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ होता है,जहाँ $T = \frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}$ और $S_1 = \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}$ है।
यहाँ $\frac{x(5/2)}{9}+\frac{y(1/2)}{4} = \frac{(5/2)^2}{9}+\frac{(1/2)^2}{4}$
$\Rightarrow \frac{5x}{18}+\frac{y}{8} = \frac{25}{36}+\frac{1}{16} = \frac{100+9}{144} = \frac{109}{144}$
$144$ से गुणा करने पर:
$8(5x) + 18(y) = 109$
$40x + 18y = 109$
तुलना करने पर,$\alpha = 40$ और $\beta = 18$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = 40 + 18 = 58$.

(B) $KANPUR$ शब्द के अक्षर $A, K, N, P, R, U$ हैं (वर्णानुक्रम में)।
कुल अक्षर = $6$। कुल क्रमचय = $6! = 720$।
इन अक्षरों से शुरू होने वाले शब्द:
$A$: $5! = 120$
$K$: $5! = 120$
$N$: $5! = 120$
कुल योग = $360$।
$P$ से शुरू होने वाले शब्द:
$PA$: $4! = 24$
$PK$: $4! = 24$
$PN$: $4! = 24$
कुल योग = $432$।
$PR$ से शुरू होने वाले शब्द:
$PRA$: $3! = 6$ (कुल $438$)
$PRK$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $A, N, U$ हैं। शब्द हैं:
$PRKAUN$ $(439^{th})$
$PRKANU$ $(440^{th})$
अतः,$440^{th}$ शब्द $PRKANU$ है।

(B) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $O(h, k)$ है। चूंकि वृत्त $A(4, 2)$ और $B(0, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $AB$ का लंब समद्विभाजक केंद्र $O$ से होकर गुजरेगा।
$AB$ का मध्यबिंदु $M(\frac{4+0}{2}, \frac{2+2}{2}) = (2, 2)$ है।
चूंकि $A$ और $B$ का $y$-निर्देशांक समान है,$AB$ एक क्षैतिज रेखा है। इसका लंब समद्विभाजक ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 2$ है।
अतः,केंद्र का $x$-निर्देशांक $h = 2$ है।
चूंकि केंद्र $3x + 2y + 2 = 0$ पर स्थित है,$x = 2$ रखने पर:
$3(2) + 2k + 2 = 0$ $\Rightarrow 6 + 2k + 2 = 0$ $\Rightarrow 2k = -8$ $\Rightarrow k = -4$.
अतः,केंद्र $O(2, -4)$ है।
त्रिज्या $r$,$O(2, -4)$ से $A(4, 2)$ की दूरी है:
$r^2 = (4 - 2)^2 + (2 - (-4))^2 = 2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40$.
जीवा का मध्यबिंदु $N(1, 2)$ है। केंद्र $O(2, -4)$ से $N(1, 2)$ की दूरी $ON$ है:
$ON^2 = (1 - 2)^2 + (2 - (-4))^2 = (-1)^2 + 6^2 = 1 + 36 = 37$.
जीवा की लंबाई $2 \sqrt{r^2 - ON^2} = 2 \sqrt{40 - 37} = 2 \sqrt{3}$ है।

(A) हमें $7^{103} \pmod{23}$ ज्ञात करना है।
फर्मेट के छोटे प्रमेय के अनुसार,चूँकि $23$ एक अभाज्य संख्या है और $\gcd(7, 23) = 1$ है,इसलिए $7^{22} \equiv 1 \pmod{23}$ होगा।
अब,घातांक $103$ को $22$ से विभाजित करने पर: $103 = 22 \times 4 + 15$।
अतः,$7^{103} = (7^{22})^4 \times 7^{15} \equiv 1^4 \times 7^{15} \equiv 7^{15} \pmod{23}$।
$7$ की घातों की गणना $\pmod{23}$ करने पर:
$7^1 \equiv 7 \pmod{23}$
$7^2 = 49 \equiv 3 \pmod{23}$
$7^3 = 7 \times 3 = 21 \equiv -2 \pmod{23}$
$7^6 = (-2)^2 = 4 \pmod{23}$
$7^{12} = 4^2 = 16 \equiv -7 \pmod{23}$
$7^{15} = 7^{12} \times 7^3 \equiv (-7) \times (-2) = 14 \pmod{23}$।
अतः,शेषफल $14$ है।

(C) माना $L = \lim _{t \rightarrow 0}\left(\int_0^1(3 x+5)^t d x\right)^{\frac{1}{t}}$. यह $1^{\infty}$ रूप है।
सूत्र $\lim_{t \to 0} f(t)^{g(t)} = e^{\lim_{t \to 0} g(t)(f(t)-1)}$ का उपयोग करने पर:
$L = e^{\lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \left( \int_0^1 (3x+5)^t dx - 1 \right)}$.
समाकलन करने पर: $\int_0^1 (3x+5)^t dx = \left[ \frac{(3x+5)^{t+1}}{3(t+1)} \right]_0^1 = \frac{8^{t+1} - 5^{t+1}}{3(t+1)}$.
अतः,$L = e^{\lim_{t \to 0} \frac{8^{t+1} - 5^{t+1} - 3(t+1)}{3t(t+1)}}$.
$t \to 0$ के लिए $L$'Hopital नियम का उपयोग करने पर: $\frac{8 \ln 8 - 5 \ln 5 - 3}{3}$.
इसका सरलीकरण करने पर $\frac{64}{5e} \left( \frac{8}{5} \right)^{2/3}$ प्राप्त होता है।
$\frac{\alpha}{5e} \left( \frac{8}{5} \right)^{2/3}$ से तुलना करने पर,$\alpha = 64$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए दिया गया योग $S = a_1 + (a_5 + a_{10} + \ldots + a_{2020}) + a_{2024} = 2233$ है।
समांतर श्रेणी में,शुरुआत और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों का योग स्थिर होता है,अर्थात $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$।
यहाँ,$n = 2024$ है। कोष्ठक में पद $a_{5k}$ हैं जहाँ $k=1$ से $404$ तक है।
ध्यान दें कि $a_5 + a_{2020} = a_1 + a_{2024}$,$a_{10} + a_{2015} = a_1 + a_{2024}$,आदि।
श्रेणी $5, 10, \ldots, 2020$ में $404$ पद हैं।
इन पदों की जोड़ी बनाने पर,हमें $202$ जोड़ियाँ मिलती हैं,जिनमें से प्रत्येक $(a_1 + a_{2024})$ के बराबर है।
बाहरी पदों $a_1$ और $a_{2024}$ को जोड़ने पर,कुल योग $203(a_1 + a_{2024}) = 2233$ होता है।
अतः,$(a_1 + a_{2024}) = \frac{2233}{203} = 11$।
समांतर श्रेणी का योग $S_{2024} = \frac{2024}{2}(a_1 + a_{2024}) = 1012 \times 11 = 11132$ है।

(A) परवलय $y^2=12x$ के लिए,$4a=12$,इसलिए $a=3$ है। नाभि $S$ बिंदु $(3,0)$ है।
मान लीजिए $P$ के निर्देशांक $(3t^2, 6t)$ और $Q$ के निर्देशांक $(3/t^2, -6/t)$ हैं जहाँ $t_1 t_2 = -1$ है।
नियत रेखा $x=-3$ से बिंदु $(3t^2, 6t)$ की दूरी $SP = 3t^2+3$ है।
इसी प्रकार,$SQ = 3/t^2+3$ है।
दिया गया है कि $(SP)(SQ) = (3t^2+3)(3/t^2+3) = 9(t^2+1)(1/t^2+1) = 9\frac{(t^2+1)^2}{t^2} = \frac{147}{4}$ है।
$\frac{(t^2+1)^2}{t^2} = \frac{147}{36} = \frac{49}{12}$ है।
$t^2$ के लिए हल करने पर,हमें $t^2 = 3/4$ या $t^2 = 4/3$ प्राप्त होता है।
$t^2 = 3/4$ लेने पर,हमें $P = (9/4, 3\sqrt{3})$ और $Q = (4, -4\sqrt{3})$ प्राप्त होता है।
$PQ$ व्यास वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ है।
$(x-9/4)(x-4) + (y-3\sqrt{3})(y+4\sqrt{3}) = 0$ है।
$x^2 - (25/4)x + 9 + y^2 + \sqrt{3}y - 36 = 0$ है।
$x^2 + y^2 - (25/4)x + \sqrt{3}y - 27 = 0$ है।
$64$ से गुणा करने पर: $64x^2 + 64y^2 - 400x + 64\sqrt{3}y - 1728 = 0$ है।
$64x^2 + 64y^2 - \alpha x - 64\sqrt{3}y = \beta$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = 400$ और $\beta = -1728$ प्राप्त होता है (या संकेतों को समायोजित करने पर,$\beta - \alpha = 1328$)।

(B) $50!$ को $3^n$ द्वारा विभाजित करने वाली सबसे बड़ी घात $n$ ज्ञात करने के लिए,हम लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हैं: $E_p(m!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{m}{p^k} \right]$.
यहाँ,$m = 50$ और $p = 3$ है।
$n = \left[ \frac{50}{3} \right] + \left[ \frac{50}{3^2} \right] + \left[ \frac{50}{3^3} \right] + \left[ \frac{50}{3^4} \right]$
$n = 16 + 5 + 1 + 0$
$n = 22$.
अतः,$n$ का अधिकतम मान $22$ है।

(C) दिया गया है कि नाभि $ae = \sqrt{10}$ और नियता $\frac{a}{e} = \frac{9}{\sqrt{10}}$ है।
इनका गुणा करने पर,$a^2 = \sqrt{10} \times \frac{9}{\sqrt{10}} = 9$,अतः $a = 3$.
तब $e = \frac{\sqrt{10}}{a} = \frac{\sqrt{10}}{3}$.
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2e^2 - a^2 = (ae)^2 - a^2$.
मान रखने पर,$b^2 = 10 - 9 = 1$.
नाभिलंब की लंबाई $l = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1)}{3} = \frac{2}{3}$.
अब,$9(e^2 + l) = 9\left(\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^2 + \frac{2}{3}\right) = 9\left(\frac{10}{9} + \frac{2}{3}\right) = 10 + 6 = 16$.

(C) हमें $0, 1, 2$ अंकों का उपयोग करके $10$ पदों का एक अनुक्रम बनाना है जिसमें ठीक पाँच $1$,तीन $2$ और शेष दो $0$ $(10 - 5 - 3 = 2)$ हों।
यह बहुसमुच्चय (multiset) के क्रमचय का प्रश्न है।
$5$ एक,$3$ दो और $2$ शून्य को व्यवस्थित करने के तरीके:
$\text{अनुक्रमों की संख्या} = \frac{10!}{5! \times 3! \times 2!}$
गणना:
$\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5! \times 6 \times 2} = 2520$.

(A) माना व्यंजक $E = \left(\frac{x+1}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} - \frac{x-1}{x-x^{1/2}}\right)^{10}$ है।
सूत्र $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ का उपयोग करने पर,$\frac{x+1}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} = x^{1/3}+1$ प्राप्त होता है।
दूसरे पद के लिए,$\frac{x-1}{x-x^{1/2}} = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} = 1 + x^{-1/2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$E = \left(x^{1/3}-x^{-1/2}\right)^{10}$ होगा।
व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$ है।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,घातांक शून्य होना चाहिए: $\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0$।
$20 - 5r = 0 \implies r = 4$।
अतः,पद ${}^{10}C_4 (-1)^4 = 210$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $2 \sqrt{2} \cos^2 \theta + (2 - \sqrt{6}) \cos \theta - \sqrt{3} = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2 \sqrt{2} \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - \sqrt{6} \cos \theta - \sqrt{3} = 0$
$2 \cos \theta (\sqrt{2} \cos \theta + 1) - \sqrt{3} (\sqrt{2} \cos \theta + 1) = 0$
$(2 \cos \theta - \sqrt{3})(\sqrt{2} \cos \theta + 1) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$1) \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$2) \cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta \in [-2 \pi, 2 \pi]$ के लिए:
$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ के लिए,हल $\theta = \pm \frac{\pi}{6}, \pm \frac{11 \pi}{6}$ ($4$ हल) हैं।
$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ के लिए,हल $\theta = \pm \frac{3 \pi}{4}, \pm \frac{5 \pi}{4}$ ($4$ हल) हैं।
कुल हलों की संख्या $= 4 + 4 = 8$.

(A) मान लीजिए प्रथम पद $a_1 = a$ और सार्व अंतर $d$ है।
प्रथम $12$ विषम-क्रम वाले पदों का योग $\sum_{k=1}^{12} a_{2k-1} = a_1 + a_3 + \ldots + a_{23} = -\frac{72}{5} a$ है।
यह एक $A.P.$ है जिसमें $12$ पद हैं,प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $2d$ है।
योग $\frac{12}{2} [2a + (12-1)(2d)] = 6(2a + 22d) = 12a + 132d$ है।
दिए गए मान के साथ तुलना करने पर: $12a + 132d = -\frac{72}{5} a$.
$5$ से गुणा करने पर: $60a + 660d = -72a$,जिसे सरल करने पर $132a = -660d$ अर्थात $a = -5d$ प्राप्त होता है।
हमें दिया गया है कि $\sum_{k=1}^{n} a_k = 0$,जो कि $\frac{n}{2} [2a + (n-1)d] = 0$ है।
चूँकि $n \neq 0$,इसलिए $2a + (n-1)d = 0$.
$a = -5d$ रखने पर: $2(-5d) + (n-1)d = 0$.
$-10d + nd - d = 0 \Rightarrow (n-11)d = 0$.
चूँकि $a_1 \neq 0$,इसलिए $d \neq 0$,अतः $n - 11 = 0$,जिससे $n = 11$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\frac{2+k^2z}{k+\overline{z}}=kz$। चूँकि $|z|=1$,इसलिए $\overline{z} = \frac{1}{z}$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2+k^2z}{k+\frac{1}{z}} = kz$ प्राप्त होता है।
$\frac{z(2+k^2z)}{kz+1} = kz \implies 2+k^2z = k^2z+k$।
अतः $k=2$ प्राप्त होता है।
बिंदु $k+ik^2 = 2+4i$ है।
वृत्त $|z-(1+2i)|=1$ का केंद्र $C(1,2)$ और त्रिज्या $r=1$ है।
बिंदु $P(2,4)$ से केंद्र $C(1,2)$ की दूरी $d = \sqrt{(2-1)^2+(4-2)^2} = \sqrt{5}$ है।
वृत्त से अधिकतम दूरी $d+r = \sqrt{5}+1$ है।

(A) दिया गया सीमा: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin(\alpha x) + (\gamma-1) e^{x^2}}{\sin(2x) - \beta x} = 3$।
सीमा के अस्तित्व और परिमित होने के लिए,अंश को $x \rightarrow 0$ पर $0$ की ओर अग्रसर होना चाहिए।
चूंकि $\lim _{x \rightarrow 0} (x^2 \sin(\alpha x) + (\gamma-1) e^{x^2}) = 0 + (\gamma-1)(1) = \gamma-1$,इसलिए $\gamma-1 = 0$ होना चाहिए,जिससे $\gamma = 1$ प्राप्त होता है।
अब व्यंजक $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2(\alpha x + O(x^3)) + 0(e^{x^2}-1)}{(2x - \frac{8x^3}{6} + O(x^5)) - \beta x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x^3}{(2-\beta)x - \frac{4}{3}x^3} = 3$ बन जाता है।
सीमा के शून्यतर होने के लिए,हर में $x$ की घात अंश के समान होनी चाहिए। अतः,$x$ का गुणांक $0$ होना चाहिए,यानी $2-\beta = 0$,जिससे $\beta = 2$ प्राप्त होता है।
अब सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x^3}{-\frac{4}{3}x^3} = -\frac{3\alpha}{4} = 3$ है।
$\alpha$ के लिए हल करने पर,$\alpha = -4$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\beta + \gamma - \alpha = 2 + 1 - (-4) = 7$।

(B) दिया गया है $P_n = \alpha^n + \beta^n$। हम देखते हैं कि $P_{10} = P_9 + P_8$ $(123 = 76 + 47)$।
यह दर्शाता है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2 - x - 1 = 0$ के मूल हैं।
इस समीकरण के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = 1$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = -1$ है।
हमें $\frac{1}{\alpha}$ और $\frac{1}{\beta}$ मूलों वाला द्विघात समीकरण ज्ञात करना है।
नए मूलों का योग $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{1}{-1} = -1$ है।
नए मूलों का गुणनफल $\frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha \beta} = \frac{1}{-1} = -1$ है।
आवश्यक द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - (-1)x + (-1) = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + x - 1 = 0$ हो जाता है।

(D) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1$ है। यहाँ $a^2 = 18$ और $b^2 = 9$,इसलिए $a = 3\sqrt{2}$ और $b = 3$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{18}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
नाभियाँ $S(ae, 0) = (3, 0)$ और $S^{\prime}(-ae, 0) = (-3, 0)$ हैं।
माना $P = (3\sqrt{2} \cos \theta, 3 \sin \theta)$ है।
नाभीय दूरियाँ $SP = a - ex = 3\sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}(3\sqrt{2} \cos \theta) = 3\sqrt{2} - 3 \cos \theta$ और $S^{\prime}P = a + ex = 3\sqrt{2} + 3 \cos \theta$ हैं।
अतः $SP \cdot S^{\prime}P = (3\sqrt{2} - 3 \cos \theta)(3\sqrt{2} + 3 \cos \theta) = 18 - 9 \cos^2 \theta$ है।
चूँकि $0 \le \cos^2 \theta \le 1$ है,न्यूनतम मान $18 - 9(1) = 9$ (जब $\cos^2 \theta = 1$) और अधिकतम मान $18 - 9(0) = 18$ (जब $\cos^2 \theta = 0$) है।
अतः,$\min(SP \cdot S^{\prime}P) + \max(SP \cdot S^{\prime}P) = 9 + 18 = 27$ है।

(A) परवलय $y^2=4x$ है,इसलिए इसकी नाभि $S$ $(1, 0)$ है।
मान लीजिए $P$ $(t^2, 2t)$ है। नाभीय जीवा $PS$ की ढाल $\frac{2t-0}{t^2-1} = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ द्वारा दी गई है।
$2t = \sqrt{3}(t^2-1) \Rightarrow \sqrt{3}t^2 - 2t - \sqrt{3} = 0$.
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(\sqrt{3})(-\sqrt{3})}}{2\sqrt{3}} = \frac{2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $P$ प्रथम चतुर्थांश में है,$t > 0$,इसलिए $t = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$।
अतः,$P = ((\sqrt{3})^2, 2\sqrt{3}) = (3, 2\sqrt{3})$।
व्यास $PS$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ है,जहाँ $P=(3, 2\sqrt{3})$ और $S=(1, 0)$ है।
$(x-3)(x-1) + (y-2\sqrt{3})(y-0) = 0$.
$x^2 - 4x + 3 + y^2 - 2\sqrt{3}y = 0$.
चूँकि वृत्त $y$-अक्ष को $(0, \alpha)$ पर स्पर्श करता है,हम $x=0$ रखते हैं:
$3 + y^2 - 2\sqrt{3}y = 0$.
यह $y$ में एक द्विघात समीकरण है,इसलिए $y^2 - 2\sqrt{3}y + 3 = 0 \Rightarrow (y-\sqrt{3})^2 = 0$।
अतः,$\alpha = \sqrt{3}$।
इसलिए $5\alpha^2 = 5(\sqrt{3})^2 = 5 \times 3 = 15$।

(A) रेखाएँ $x+y=3$ और $x-y=3$ बिंदु $(3, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। इन रेखाओं के कोण समद्विभाजक $y=0$ और $x=3$ हैं। चूँकि वृत्त दोनों रेखाओं को स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्र कोण समद्विभाजक $y=0$ पर स्थित होने चाहिए। माना केंद्र $(a, 0)$ है।
त्रिज्या $r$,बिंदु $(a, 0)$ से रेखा $x+y-3=0$ की लंबवत दूरी है,अतः $r = \frac{|a+0-3|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|a-3|}{\sqrt{2}}$।
वृत्त का समीकरण $(x-a)^2 + y^2 = r^2 = \frac{(a-3)^2}{2}$ है।
चूँकि वृत्त $(-9, 4)$ से गुजरता है,इसलिए $(-9-a)^2 + 4^2 = \frac{(a-3)^2}{2}$ होगा।
$2((a+9)^2 + 16) = (a-3)^2$
$2(a^2 + 18a + 81 + 16) = a^2 - 6a + 9$
$2a^2 + 36a + 194 = a^2 - 6a + 9$
$a^2 + 42a + 185 = 0$
$(a+37)(a+5) = 0$
अतः,$a = -37$ या $a = -5$ है।
$a = -37$ के लिए,$r_1 = \frac{|-37-3|}{\sqrt{2}} = \frac{40}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2}$,इसलिए $r_1^2 = 800$।
$a = -5$ के लिए,$r_2 = \frac{|-5-3|}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$,इसलिए $r_2^2 = 32$।
त्रिज्याओं के वर्गों का निरपेक्ष अंतर $|800 - 32| = 768$ है।

(A) माना पदों की संख्या $n = 2k$ है। पद $a_1, a_2, \ldots, a_{2k}$ हैं।
सम पदों का योग: $a_2 + a_4 + \ldots + a_{2k} = 30$.
विषम पदों का योग: $a_1 + a_3 + \ldots + a_{2k-1} = 24$.
दोनों योगों को घटाने पर: $(a_2 - a_1) + (a_4 - a_3) + \ldots + (a_{2k} - a_{2k-1}) = 30 - 24 = 6$.
चूंकि प्रत्येक अंतर सार्व अंतर $d$ है,हमारे पास $k \times d = 6$ है,इसलिए $n \times d = 2k \times d = 12$.
अंतिम पद पहले पद से $\frac{21}{2}$ अधिक है,इसलिए $a_n - a_1 = (n-1)d = \frac{21}{2}$.
$nd = 12$ प्रतिस्थापित करने पर: $12 - d = \frac{21}{2} \Rightarrow d = 12 - 10.5 = 1.5 = \frac{3}{2}$.
चूंकि $nd = 12$,$n \times \frac{3}{2} = 12 \Rightarrow n = 8$.
विषम पदों के योग का उपयोग करने पर: $4a_1 + 12d = 24$ $\Rightarrow 4a_1 + 12(1.5) = 24$ $\Rightarrow 4a_1 + 18 = 24$ $\Rightarrow 4a_1 = 6$ $\Rightarrow a_1 = 1.5$.
अनुक्रम: $1.5, 3, 4.5, 6, 7.5, 9, 10.5, 12$.
पूर्णांक पद $3, 6, 9, 12$ हैं। ऐसे $4$ पद हैं।

(C) संबंध $R = \{(a, b) : a = 2b + 1\}$ के रूप में परिभाषित है जहाँ $a, b \in \{1, 2, \ldots, 10\}$।
$R$ के तत्व: $R = \{(3, 1), (5, 2), (7, 3), (9, 4)\}$।
हम $k$ क्रमित युग्मों का एक अनुक्रम $(x_1, x_2), (x_2, x_3), \ldots, (x_k, x_{k+1})$ खोज रहे हैं ताकि प्रत्येक युग्म $R$ में हो।
संबंध $a_i = 2a_{i+1} + 1$ से।
अंतिम युग्म $(a_k, a_{k+1})$ से शुरू करते हुए:
यदि $a_{k+1} = 1$,तो $a_k = 2(1) + 1 = 3$।
यदि $a_k = 3$,तो $a_{k-1} = 2(3) + 1 = 7$।
यदि $a_{k-1} = 7$,तो $a_{k-2} = 2(7) + 1 = 15$,जो $A$ में नहीं है।
अतः,अनुक्रम $(7, 3), (3, 1)$ हो सकता है,जिसमें $k = 2$ युग्म हैं।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $3$ है।

(A) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
लघु अक्ष की लंबाई $2b$ है और नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ है।
दिया गया है कि $2b = \frac{1}{4}(2ae)$,जिससे $b = \frac{ae}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{b}{a} = \frac{e}{4}$।
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ होता है।
$\frac{b}{a} = \frac{e}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $e^2 = 1 - \left(\frac{e}{4}\right)^2$ प्राप्त होता है।
$e^2 = 1 - \frac{e^2}{16}$.
$e^2 + \frac{e^2}{16} = 1$.
$\frac{17e^2}{16} = 1$.
$e^2 = \frac{16}{17}$.
अतः,$e = \frac{4}{\sqrt{17}}$।

(A) माना $x = \operatorname{cosec} \theta$. समीकरण $\sqrt{3}x^2 - 2(\sqrt{3}-1)x - 4 = 0$ हो जाता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{2(\sqrt{3}-1) \pm \sqrt{4(\sqrt{3}-1)^2 + 16\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}}$
$x = \frac{2(\sqrt{3}-1) \pm \sqrt{16+8\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{3}-1) \pm (2\sqrt{3}+2)}{2\sqrt{3}}$.
स्थिति $1$: $x = 2 \implies \sin \theta = \frac{1}{2}$.
स्थिति $2$: $x = -\frac{2}{\sqrt{3}} \implies \sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
अंतराल $\theta \in [-\frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}]$ में,$\sin \theta = \frac{1}{2}$ के $3$ हल हैं और $\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ के $3$ हल हैं।
कुल हलों की संख्या = $3 + 3 = 6$.

(B) दी गई जानकारी: $6, 4, a, 8, b, 12, 10, 13$. प्रेक्षणों की संख्या $N = 8$.
माध्य $\bar{x} = \frac{6+4+a+8+b+12+10+13}{8} = 9$.
$53 + a + b = 72 \Rightarrow a + b = 19$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - (\bar{x})^2 = 9.25 = \frac{37}{4}$.
$\frac{36+16+a^2+64+b^2+144+100+169}{8} - 81 = \frac{37}{4}$.
$\frac{529 + a^2 + b^2}{8} = 81 + 9.25 = 90.25$.
$529 + a^2 + b^2 = 722 \Rightarrow a^2 + b^2 = 193$.
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ का उपयोग करने पर,$19^2 = 193 + 2ab$.
$361 = 193 + 2ab$ $\Rightarrow 2ab = 168$ $\Rightarrow ab = 84$.
अतः,$a + b + ab = 19 + 84 = 103$.

(A) दिया गया है कि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2 x+a \cos 4 x-b}{x^4}$ परिमित है।
$\cos \theta$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए: $\cos \theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \dots$
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{\left(1 - \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^4}{24} - \dots\right) + a\left(1 - \frac{(4x)^2}{2} + \frac{(4x)^4}{24} - \dots\right) - b}{x^4}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1 + a - b) - x^2(2 + 8a) + x^4(\frac{2}{3} + \frac{32}{3}a) + \dots}{x^4}$
सीमा के परिमित होने के लिए,$x^0$ और $x^2$ के गुणांक शून्य होने चाहिए।
$1 + a - b = 0 \implies b = 1 + a$
$2 + 8a = 0 \implies a = -\frac{1}{4}$
$b$ के लिए $a$ का मान रखने पर: $b = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
अतः,$a + b = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(D) माना $S = \sum_{r=0}^{10} \left( \frac{10^{r+1}-1}{10^r} \right) {}^{11}C_{r+1}$.
$= \sum_{r=0}^{10} \left( 10 - \frac{1}{10^r} \right) {}^{11}C_{r+1}$.
$= 10 \sum_{r=0}^{10} {}^{11}C_{r+1} - 10 \sum_{r=0}^{10} {}^{11}C_{r+1} \left( \frac{1}{10^{r+1}} \right)$.
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$S = 10(2^{11}-1) - 10((\frac{11}{10})^{11} - 1)$.
$S = 10 \cdot 2^{11} - 10 - 10 \cdot \frac{11^{11}}{10^{11}} + 10$.
$S = \frac{20^{11} - 11^{11}}{10^{10}}$.
तुलना करने पर,$\alpha = 20$.

(D) माना पंक्तियों $R_1, R_2, R_3$ में खानों की संख्या क्रमशः $n_1=3, n_2=3, n_3=2$ है। कुल खाने $n=8$ हैं।
हमें $5$ अलग-अलग अक्षरों को $8$ खानों में इस प्रकार रखना है कि कोई भी पंक्ति खाली न रहे।
$8$ खानों में $5$ अक्षरों को रखने के कुल तरीके $P(8, 5) = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$ हैं।
माना $S_1, S_2, S_3$ उन तरीकों के समुच्चय हैं जिनमें क्रमशः पंक्तियाँ $R_1, R_2, R_3$ खाली हैं।
हमें $Total - |S_1 \cup S_2 \cup S_3|$ ज्ञात करना है।
$|S_1|$: $R_1$ खाली है,इसलिए $5$ अक्षरों को $8-3=5$ खानों में रखने के तरीके: $P(5, 5) = 120$।
$|S_2|$: $R_2$ खाली है,इसलिए $5$ अक्षरों को $8-3=5$ खानों में रखने के तरीके: $P(5, 5) = 120$।
$|S_3|$: $R_3$ खाली है,इसलिए $5$ अक्षरों को $8-2=6$ खानों में रखने के तरीके: $P(6, 5) = 720$।
$|S_1 \cap S_2|$: $R_1, R_2$ खाली,$5$ अक्षरों को $2$ खानों में रखने के तरीके: $0$।
$|S_1 \cap S_3|$: $R_1, R_3$ खाली,$5$ अक्षरों को $3$ खानों में रखने के तरीके: $0$।
$|S_2 \cap S_3|$: $R_2, R_3$ खाली,$5$ अक्षरों को $3$ खानों में रखने के तरीके: $0$।
$|S_1 \cap S_2 \cap S_3|$: सभी पंक्तियाँ खाली: $0$ तरीके।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$|S_1 \cup S_2 \cup S_3| = (|S_1| + |S_2| + |S_3|) - (|S_1 \cap S_2| + |S_1 \cap S_3| + |S_2 \cap S_3|) + |S_1 \cap S_2 \cap S_3| = (120 + 120 + 720) - 0 = 960$।
आवश्यक तरीके = $6720 - 960 = 5760$।

(A) परवलय का समीकरण $y^2=16x$ है। इसे $y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$a=4$ प्राप्त होता है। नाभि $S$ $(4, 0)$ है।
बिंदु $P$ के निर्देशांक $(at_1^2, 2at_1)$ हैं। दिया है $P = (1, -4)$,अतः $2at_1 = -4$ $\Rightarrow 2(4)t_1 = -4$ $\Rightarrow t_1 = -\frac{1}{2}$.
चूँकि $PQ$ एक नाभीय जीवा है,इसके अंत बिंदुओं के प्राचल का गुणनफल $t_1 t_2 = -1$ होता है। अतः,$t_2 = -\frac{1}{t_1} = 2$.
बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(at_2^2, 2at_2) = (4(2)^2, 2(4)(2)) = (16, 16)$ हैं।
माना नाभि $S(4, 0)$ जीवा $PQ$ को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करती है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$4 = \frac{m(16) + n(1)}{m+n}$
$4m + 4n = 16m + n$
$3n = 12m \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{1}{4}$.
यहाँ $\operatorname{gcd}(1, 4) = 1$,अतः $m=1$ और $n=4$.
इसलिए,$m^2+n^2 = 1^2+4^2 = 17$.

(C) रेखा का समीकरण $x + by + c = 0$ है,जिसे $\frac{x}{-c} + \frac{y}{-c/b} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अंतःखंड $a = -c$ और $b' = -c/b$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |a \cdot b'| = \frac{1}{2} |(-c) \cdot (-c/b)| = \frac{1}{2} |\frac{c^2}{b}| = 48$ है।
अतः,$|\frac{c^2}{b}| = 96$।
मूल बिंदु से रेखा $L$ पर लंब धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है। इस लंब की ढाल $\tan(45^{\circ}) = 1$ है।
रेखा $L$ की ढाल $-1/b$ है। लंबवत रेखाओं की ढाल का गुणनफल $-1$ होता है,इसलिए $(1) \cdot (-1/b) = -1$,जिससे $b = 1$ प्राप्त होता है।
$b = 1$ को $|\frac{c^2}{b}| = 96$ में रखने पर,हमें $|c^2| = 96$ प्राप्त होता है,इसलिए $c^2 = 96$।
अतः,$b^2 + c^2 = 1^2 + 96 = 97$।

(B) श्रेणी का $r$-वाँ पद $T_r = \frac{4r}{1+4r^4}$ है।
सर्वसमिका $1+4r^4 = (1+2r^2-2r)(1+2r^2+2r)$ का उपयोग करने पर:
$T_r = \frac{(2r^2+2r+1)-(2r^2-2r+1)}{(2r^2+2r+1)(2r^2-2r+1)}$
$T_r = \frac{1}{2r^2-2r+1} - \frac{1}{2r^2+2r+1}$.
$r=1$ के लिए,$T_1 = \frac{1}{1} - \frac{1}{5}$.
$r=2$ के लिए,$T_2 = \frac{1}{5} - \frac{1}{13}$.
$r=10$ तक जारी रखने पर,$T_{10} = \frac{1}{181} - \frac{1}{221}$.
योग $S_{10} = \sum_{r=1}^{10} T_r = 1 - \frac{1}{221} = \frac{220}{221}$.
यहाँ $S_{10} = \frac{m}{n}$ है,इसलिए $m=220$ और $n=221$ है।
चूँकि $\operatorname{gcd}(220, 221) = 1$,इसलिए $m+n = 220+221 = 441$।

(D) $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} |4(1 - (-3)) + 1(-3 - (-2)) + 9(-2 - 1)|$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} |4(4) + 1(-1) + 9(-3)| = \frac{1}{2} |16 - 1 - 27| = \frac{1}{2} |-12| = 6$ वर्ग इकाई।
त्रिभुज $ABC$ के भीतर बने समांतर चतुर्भुज $AFDE$ के लिए,जहाँ $D$ भुजा $BC$ पर,$E$ भुजा $CA$ पर और $F$ भुजा $AB$ पर स्थित है,इसका अधिकतम क्षेत्रफल त्रिभुज $ABC$ के क्षेत्रफल का आधा होता है।
$\text{Maximum Area} = \frac{1}{2} \times \text{Area}(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \times 6 = 3$ वर्ग इकाई।

(A) द्विघात समीकरण $(1-a)x^2 + 2(a-3)x + 9 = 0$ के मूल धनात्मक होने के लिए शर्तें:
$1$. विविक्तकर $D \geq 0$:
$D = [2(a-3)]^2 - 4(1-a)(9) \geq 0$
$a^2 + 3a \geq 0 \implies a \in (-\infty, -3] \cup [0, \infty)$
$2$. मूलों का योग $> 0$:
$-\frac{b}{a} = \frac{2(a-3)}{a-1} > 0 \implies a \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$
$3$. मूलों का गुणनफल $> 0$:
$\frac{c}{a} = \frac{9}{1-a} > 0 \implies a < 1$
सभी शर्तों का सर्वनिष्ठ लेने पर:
$a \in (-\infty, -3] \cup [0, 1)$
$(-\infty, -\alpha] \cup [\beta, \gamma)$ से तुलना करने पर,$\alpha = 3, \beta = 0, \gamma = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$2\alpha + \beta + \gamma = 2(3) + 0 + 1 = 7$.

(C) समीकरण $x^2+\sqrt{3}x-16=0$ के लिए,चूँकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,हमें $P_n+\sqrt{3}P_{n-1}-16P_{n-2}=0$ प्राप्त होता है।
$n=25$ के लिए,$P_{25}+\sqrt{3}P_{24}=16P_{23}$ है।
अतः,$\frac{P_{25}+\sqrt{3}P_{24}}{2P_{23}} = \frac{16P_{23}}{2P_{23}} = 8$।
समीकरण $x^2+3x-1=0$ के लिए,$\gamma^2-1=-3\gamma$ और $\delta^2-1=-3\delta$ है।
अतः $Q_{25}-Q_{23} = \gamma^{23}(\gamma^2-1)+\delta^{23}(\delta^2-1) = -3(\gamma^{24}+\delta^{24}) = -3Q_{24}$।
अतः,$\frac{Q_{25}-Q_{23}}{Q_{24}} = -3$।
अंत में,$8-3=5$।

(D) $(2+\sqrt{3})^8$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = { }^8 C_r (2)^{8-r} (\sqrt{3})^r$ द्वारा दिया जाता है।
पद के परिमेय होने के लिए,$r$ एक सम पूर्णांक होना चाहिए,अर्थात $r \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$।
परिमेय पदों का योग है:
$S = { }^8 C_0 (2)^8 + { }^8 C_2 (2)^6 (\sqrt{3})^2 + { }^8 C_4 (2)^4 (\sqrt{3})^4 + { }^8 C_6 (2)^2 (\sqrt{3})^6 + { }^8 C_8 (\sqrt{3})^8$
$S = 1 \cdot 256 + 28 \cdot 64 \cdot 3 + 70 \cdot 16 \cdot 9 + 28 \cdot 4 \cdot 27 + 1 \cdot 81$
$S = 256 + 5376 + 10080 + 3024 + 81$
$S = 18817$

(D) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{25} = 1$ है।
$P(\sqrt{5}, \sqrt{5})$ से गुजरने वाली रेखा $AB$ पर किसी बिंदु को $Q(\sqrt{5} + r \cos \theta, \sqrt{5} + r \sin \theta)$ माना जा सकता है।
इसे दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर:
$25(\sqrt{5} + r \cos \theta)^2 + 36(\sqrt{5} + r \sin \theta)^2 = 900$
सरल करने पर:
$r^2(25 \cos^2 \theta + 36 \sin^2 \theta) + 2\sqrt{5}r(25 \cos \theta + 36 \sin \theta) - 595 = 0$
यहाँ,$|r| = PA, PB$ है। गुणनफल $PA \cdot PB = \frac{595}{25 + 11 \sin^2 \theta}$ है।
यह अधिकतम तब होगा जब $\sin^2 \theta = 0$ हो।
इसका अर्थ है कि रेखा $AB$,$x$-अक्ष के समांतर है,अतः $y = \sqrt{5}$।
दीर्घवृत्त में $y = \sqrt{5}$ रखने पर: $\frac{x^2}{36} + \frac{5}{25} = 1$ $\Rightarrow x^2 = \frac{144}{5}$ $\Rightarrow x = \pm \frac{12}{\sqrt{5}}$।
बिंदु $A(-\frac{12}{\sqrt{5}}, \sqrt{5})$ और $B(\frac{12}{\sqrt{5}}, \sqrt{5})$ हैं।
$PA^2 = (\frac{17}{\sqrt{5}})^2 = \frac{289}{5}$ और $PB^2 = (-\frac{7}{\sqrt{5}})^2 = \frac{49}{5}$।
$PA^2 + PB^2 = \frac{338}{5}$।
अतः,$5(PA^2 + PB^2) = 338$।

(A) माना दी गई श्रेणी $S_{20} = 1+3+11+25+45+71+\ldots+T_{20}$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर $2, 8, 14, 20, 26, \ldots$ है,जो $6$ के सार्व अंतर के साथ एक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) बनाता है।
चूंकि प्रथम-क्रम का अंतर $A$.$P$. में है,इसलिए सामान्य पद $T_n$ एक द्विघात व्यंजक $T_n = an^2 + bn + c$ के रूप में है।
प्रथम तीन पदों का उपयोग करके:
$T_1 = a + b + c = 1$
$T_2 = 4a + 2b + c = 3$
$T_3 = 9a + 3b + c = 11$
समीकरणों को घटाने पर:
$(T_2 - T_1) \implies 3a + b = 2$
$(T_3 - T_2) \implies 5a + b = 8$
इन परिणामों को घटाने पर: $2a = 6 \implies a = 3$ प्राप्त होता है।
$3a+b=2$ में $a=3$ रखने पर,$9+b=2 \implies b = -7$ प्राप्त होता है।
$a+b+c=1$ में $a=3, b=-7$ रखने पर,$3-7+c=1 \implies c = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,सामान्य पद $T_n = 3n^2 - 7n + 5$ है।
$20$ पदों का योग $\sum_{n=1}^{20} (3n^2 - 7n + 5) = 3 \sum_{n=1}^{20} n^2 - 7 \sum_{n=1}^{20} n + \sum_{n=1}^{20} 5$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$= 3 \left( \frac{20(21)(41)}{6} \right) - 7 \left( \frac{20(21)}{2} \right) + 5(20)$
$= 3(2870) - 7(210) + 100$
$= 8610 - 1470 + 100 = 7240$.

(C) दिया गया व्यंजक $\sum_{r=1}^9 \left(\frac{r+3}{2^r}\right) \cdot {}^9C_r = \alpha \left(\frac{3}{2}\right)^9 - \beta$ है।
योगफल को दो भागों में विभाजित करने पर:
$\sum_{r=1}^9 \frac{r}{2^r} {}^9C_r + 3 \sum_{r=1}^9 \frac{1}{2^r} {}^9C_r$.
सर्वसमिका $r \cdot {}^nC_r = n \cdot {}^{n-1}C_{r-1}$ का उपयोग करने पर,पहला भाग:
$\frac{9}{2} \sum_{r=1}^9 {}^8C_{r-1} \left(\frac{1}{2}\right)^{r-1} = \frac{9}{2} \left(1 + \frac{1}{2}\right)^8 = 3 \left(\frac{3}{2}\right)^9$.
दूसरा भाग:
$3 \left[ \left(1 + \frac{1}{2}\right)^9 - 1 \right] = 3 \left(\frac{3}{2}\right)^9 - 3$.
दोनों को जोड़ने पर:
$6 \left(\frac{3}{2}\right)^9 - 3$.
तुलना करने पर $\alpha = 6$ और $\beta = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$(\alpha + \beta)^2 = (6 + 3)^2 = 81$.

(B) दिया गया समीकरण $2x + 3 \tan x = \pi$ है।
इसे $\tan x = \frac{\pi}{3} - \frac{2x}{3}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम अंतराल $x \in [-2\pi, 2\pi]$ में $y = \tan x$ और $y = -\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{3}$ के ग्राफ खींचते हैं।
$y = \tan x$ फलन के $x = \pm \frac{\pi}{2}$ और $x = \pm \frac{3\pi}{2}$ पर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी (asymptotes) हैं।
रेखा $y = -\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{3}$ का ढाल ऋणात्मक है और यह $(0, \frac{\pi}{3})$ से होकर गुजरती है।
$\tan x$ के ग्राफ और सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का अवलोकन करने पर,हम देख सकते हैं कि दिए गए डोमेन में $5$ प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।
अतः,हलों की संख्या $5$ है।

(D) मूल बिंदु से होकर गुजरने वाली और धनात्मक निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाने वाली रेखा $y = x$ है।
$L_1: 2x + y + 6 = 0$ और $L_2: 4x + 2y - p = 0$ (या $2x + y - \frac{p}{2} = 0$).
चूंकि $L_1$ और $L_2$ का ढाल $m = -2$ समान है,इसलिए वे समांतर रेखाएं हैं।
रेखा $y = x$,$L_1$ को $A$ पर और $L_2$ को $B$ पर काटती है।
समकोण त्रिभुज $\triangle AMB$ में,रेखा $y = x$ (ढाल $m_1 = 1$) और रेखा $L_2$ (ढाल $m_2 = -2$) के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{1 - (-2)}{1 + (1)(-2)} \right| = \left| \frac{3}{-1} \right| = 3$.
$\triangle AMB$ में,$\tan \theta = \frac{AM}{BM}$.
अतः,$\frac{AM}{BM} = 3$.

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{z^2+3i}{z-2+i} = 2+3i$
दोनों पक्षों को $(z-2+i)$ से गुणा करने पर: $z^2+3i = (2+3i)(z-2+i)$
$z^2+3i = 2z - 4 + 2i + 3iz - 6i - 3$
$z^2 - z(2+3i) + 7 + 7i = 0$
मान लीजिए $z_1$ और $z_2$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं। विएटा के सूत्रों के अनुसार,$z_1+z_2 = 2+3i$ और $z_1z_2 = 7+7i$ है।
हमें $z^2$ के सभी संभावित मानों का योग ज्ञात करना है,जो $z_1^2 + z_2^2$ है।
$z_1^2 + z_2^2 = (z_1+z_2)^2 - 2z_1z_2$
$z_1^2 + z_2^2 = (2+3i)^2 - 2(7+7i)$
$z_1^2 + z_2^2 = (4 - 9 + 12i) - 14 - 14i$
$z_1^2 + z_2^2 = -19 - 2i$

(A) माना $x = t^4$,तब $dx = 4t^3 dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{1}{t(1+t)} \cdot 4t^3 dt = \int \frac{4t^2}{1+t} dt$.
बहुपद विभाजन या समायोजन का उपयोग करने पर:
$\int \frac{4(t^2-1+1)}{t+1} dt = 4 \int (t-1 + \frac{1}{t+1}) dt$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$f(x) = 4(\frac{t^2}{2} - t + \log_e|t+1|) + C = 2t^2 - 4t + 4\log_e(t+1) + C$.
$t = x^{1/4}$ रखने पर:
$f(x) = 2x^{1/2} - 4x^{1/4} + 4\log_e(1+x^{1/4}) + C$.
दिया है $f(0) = -6$:
$2(0) - 4(0) + 4\log_e(1) + C = -6 \implies C = -6$.
अतः,$f(x) = 2x^{1/2} - 4x^{1/4} + 4\log_e(1+x^{1/4}) - 6$.
$f(1)$ की गणना करने पर:
$f(1) = 2(1) - 4(1) + 4\log_e(2) - 6 = 2 - 4 + 4\log_e 2 - 6 = 4\log_e 2 - 8 = 4(\log_e 2 - 2)$.

(B) दिया गया है कि $\int_0^2 x F^{\prime}(x) dx = 6$ है। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:
$[x F(x)]_0^2 - \int_0^2 F(x) dx = 6$
$2 F(2) - 0 - \int_0^2 F(x) dx = 6$।
चूंकि $F(x) = x f(x)$,इसलिए $F(2) = 2 f(2) = 2(1) = 2$।
अतः,$2(2) - \int_0^2 F(x) dx = 6 \implies \int_0^2 F(x) dx = 4 - 6 = -2$।
अब,$\int_0^2 x^2 F^{\prime \prime}(x) dx = 40$ पर विचार करें। खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$[x^2 F^{\prime}(x)]_0^2 - \int_0^2 2x F^{\prime}(x) dx = 40$
$4 F^{\prime}(2) - 2 \int_0^2 x F^{\prime}(x) dx = 40$।
दिया गया मान $\int_0^2 x F^{\prime}(x) dx = 6$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4 F^{\prime}(2) - 2(6) = 40$
$4 F^{\prime}(2) - 12 = 40
4 F^{\prime}(2) = 52
F^{\prime}(2) = 13$।
अंत में,$F^{\prime}(2) + \int_0^2 F(x) dx = 13 + (-2) = 11$।

(A) चूंकि $f(x)$ आच्छादक है,इसलिए $A$,$f(x)$ का परिसर (range) है।
$f'(x) = 6x^2 - 30x + 36 = 6(x-2)(x-3)$.
क्रांतिक बिंदु $x=2$ और $x=3$ हैं।
सीमाओं और क्रांतिक बिंदुओं पर मान ज्ञात करने पर:
$f(0) = 7$
$f(2) = 2(8) - 15(4) + 36(2) + 7 = 35$
$f(3) = 2(27) - 15(9) + 36(3) + 7 = 34$.
चूंकि $f(x)$ अंतराल $[0,3]$ पर सतत है,इसलिए परिसर $A = [7, 35]$ है।
$g(x) = \frac{x^{2025}}{x^{2025}+1}$ के लिए,चूंकि $x \in [0, \infty)$,इसलिए $x^{2025} \in [0, \infty)$ है।
अतः,$g(x) = 1 - \frac{1}{x^{2025}+1}$ है।
$x=0$ पर,$g(0) = 0$ है। जैसे-जैसे $x \to \infty$,$g(x) \to 1$ होता है।
अतः,परिसर $B = [0, 1)$ है।
$S = \{x \in \mathbb{Z} : x \in [7, 35] \cup [0, 1)\} = \{0, 7, 8, 9, \dots, 35\}$ है।
$S$ में अवयवों की संख्या $1 + (35 - 7 + 1) = 30$ है।

(B) फलन $f(x) = \sec^{-1}(u)$ का प्रांत $|u| \geq 1$ होता है,जिसका अर्थ है $u \leq -1$ या $u \geq 1$.
यहाँ,$u = 2[x] + 1$.
अतः,$2[x] + 1 \leq -1$ या $2[x] + 1 \geq 1$.
स्थिति $1$: $2[x] + 1 \leq -1 \Rightarrow 2[x] \leq -2 \Rightarrow [x] \leq -1$. इसका अर्थ है $x < 0$.
स्थिति $2$: $2[x] + 1 \geq 1 \Rightarrow 2[x] \geq 0 \Rightarrow [x] \geq 0$. इसका अर्थ है $x \geq 0$.
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,$x \in (-\infty, 0) \cup [0, \infty) = (-\infty, \infty)$.

(B) दिया गया है $f(x)f(\frac{1}{x}) = f(x) + f(\frac{1}{x})$.
मान लीजिए $f(x) = ax^2 + bx + c$ है। चूँकि $f(x)$ घात $2$ का बहुपद है,$a \neq 0$ है।
समीकरण में $f(x)$ का मान रखने पर: $(ax^2 + bx + c)(a(\frac{1}{x})^2 + b(\frac{1}{x}) + c) = ax^2 + bx + c + a(\frac{1}{x})^2 + b(\frac{1}{x}) + c$.
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $c = 1$ और $a = -1$ प्राप्त होता है (क्योंकि परिसर $(-\infty, 1)$ है)।
अतः,$f(x) = 1 - x^2$.
दिया गया है $f(K) = -2K$,इसलिए $1 - K^2 = -2K$,जो सरल होकर $K^2 - 2K - 1 = 0$ हो जाता है।
मान लीजिए मूल $K_1$ और $K_2$ हैं। वर्गों का योग $K_1^2 + K_2^2 = (K_1 + K_2)^2 - 2K_1K_2$ है।
विएटा के सूत्रों का उपयोग करने पर,$K_1 + K_2 = 2$ और $K_1K_2 = -1$.
इसलिए,$K_1^2 + K_2^2 = (2)^2 - 2(-1) = 4 + 2 = 6$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{4-x^2} \frac{dy}{dx} + y \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) = \left(\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right)^3$ है।
$\sqrt{4-x^2}$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} + \frac{\sin^{-1}(x/2)}{\sqrt{4-x^2}} y = \frac{(\sin^{-1}(x/2))^3}{\sqrt{4-x^2}}$ प्राप्त होता है।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x) = \frac{\sin^{-1}(x/2)}{\sqrt{4-x^2}}$ और $Q(x) = \frac{(\sin^{-1}(x/2))^3}{\sqrt{4-x^2}}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\sin^{-1}(x/2)}{\sqrt{4-x^2}} dx}$ है।
माना $u = \sin^{-1}(x/2)$,तो $du = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$ है।
अतः,$IF = e^{\int u du} = e^{u^2/2} = e^{\frac{(\sin^{-1}(x/2))^2}{2}}$ है।
हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$y e^{\frac{(\sin^{-1}(x/2))^2}{2}} = \int u^3 e^{u^2/2} du + C$ है।
माना $t = u^2/2$,तो $dt = u du$ है। समाकलन $\int 2t e^t dt = 2e^t(t-1) + C$ होता है।
मान रखने पर,$y = u^2 - 2 + C e^{-u^2/2}$ प्राप्त होता है।
$y(2) = \frac{\pi^2-8}{4}$ और $u = \pi/2$ रखने पर,$C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = u^2 - 2 = (\sin^{-1}(x/2))^2 - 2$ है।
$x=0$ के लिए,$y(0) = -2$ है।
अतः,$y^2(0) = (-2)^2 = 4$ है।

(A) दिया गया सारणिक $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1+\sin^2 x & \cos^2 x & 4\sin 4x \\ \sin^2 x & 1+\cos^2 x & 4\sin 4x \\ \sin^2 x & \cos^2 x & 1+4\sin 4x \end{array} \right|$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1+\sin^2 x & \cos^2 x & 4\sin 4x \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right|$.
प्रथम पंक्ति $(R_1)$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = (1+\sin^2 x)(1 - 0) - (\cos^2 x)(-1 - 0) + (4\sin 4x)(0 - (-1))$.
$f(x) = 1 + \sin^2 x + \cos^2 x + 4\sin 4x$.
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए $f(x) = 1 + 1 + 4\sin 4x = 2 + 4\sin 4x$.
अधिकतम मान $M$ तब प्राप्त होता है जब $\sin 4x = 1$,अतः $M = 2 + 4(1) = 6$.
न्यूनतम मान $m$ तब प्राप्त होता है जब $\sin 4x = -1$,अतः $m = 2 + 4(-1) = -2$.
इसलिए,$M^4 - m^4 = 6^4 - (-2)^4 = 1296 - 16 = 1280$.

(C) दिया गया है $\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=3 \hat{i}-5 \hat{j}+\hat{k}$.
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}=\vec{c} \times \vec{b}$ से,हमें प्राप्त होता है $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}=0$,जिसका अर्थ है $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c}=0$.
इसका अर्थ है कि $\overrightarrow{c}$ सदिश $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$ के समांतर है।
मान लीजिए $\overrightarrow{c}=\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda(5 \hat{i}-6 \hat{j}+4 \hat{k})$.
अतः $|\overrightarrow{c}|^2=\lambda^2(5^2+(-6)^2+4^2)=77 \lambda^2$.
दिया गया है $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}) \cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=168$.
इसका विस्तार करने पर,हमें मिलता है $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{c}|^2=168$.
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (2)(3)+(-1)(-5)+(3)(1) = 6+5+3=14$.
$\overrightarrow{c}=\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $14+\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+77 \lambda^2=168$.
$14+\lambda|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2+77 \lambda^2=168$.
$14+\lambda(77)+77 \lambda^2=168$.
$77 \lambda^2+77 \lambda-154=0 \Rightarrow \lambda^2+\lambda-2=0$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें मिलता है $(\lambda+2)(\lambda-1)=0$,इसलिए $\lambda=-2$ या $\lambda=1$.
चूंकि $|\overrightarrow{c}|^2=77 \lambda^2$,अधिकतम मान $\lambda=-2$ पर प्राप्त होता है।
$|\overrightarrow{c}|^2=77 \times (-2)^2 = 77 \times 4 = 308$.

(A) यह क्षेत्र परवलय $y = \frac{x^2+3}{2}$,रेखाओं $y = 3-|x|$,और $y = |x-1|$ द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदुओं का विश्लेषण करने पर:
$1$. परवलय $y = \frac{x^2+3}{2}$ और रेखा $y = 3-x$ बिंदु $x=1, y=2$ (बिंदु $C$) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$2$. परवलय $y = \frac{x^2+3}{2}$ और रेखा $y = 3+x$ बिंदु $x=-1, y=2$ (बिंदु $E$) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$3$. रेखा $y = 3-x$ और $y = x-1$ बिंदु $x=2, y=1$ (बिंदु $B$) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$4$. रेखा $y = x-1$ और $y = 0$ बिंदु $x=1, y=0$ (बिंदु $A$) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
क्षेत्रफल $A$ ऊपरी सीमा और निचली सीमा के बीच के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
$A = \int_{-1}^{1} (3-|x| - \frac{x^2+3}{2}) dx + \int_{1}^{2} (3-x - (x-1)) dx$
$A = \int_{-1}^{1} (\frac{3}{2} - |x| - \frac{x^2}{2}) dx + \int_{1}^{2} (4-2x) dx$
$A = 2 \int_{0}^{1} (\frac{3}{2} - x - \frac{x^2}{2}) dx + [4x - x^2]_1^2$
$A = 2 [\frac{3}{2}x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}]_0^1 + (8-4) - (4-1)$
$A = 2 (\frac{3}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{6}) + 1 = 2(\frac{5}{6}) + 1 = \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3}$.
अतः $6A = 6 \times \frac{8}{3} = 16$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\cos x(\ln(\cos x))^2 dy + (\sin x - 3y \sin x \ln(\cos x)) dx = 0$ है।
$dx \cdot \cos x(\ln(\cos x))^2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} - \frac{3 \tan x}{\ln(\cos x)} y = -\frac{\tan x}{(\ln(\cos x))^2}$।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{3 \tan x}{\ln(\cos x)}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = (\ln(\cos x))^3$ है।
हल $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ है।
$y(\ln(\cos x))^3 = -\int \tan x \ln(\cos x) dx + C$।
$v = \ln(\cos x)$ लेने पर,$dv = -\tan x dx$ प्राप्त होता है।
$y(\ln(\cos x))^3 = \frac{(\ln(\cos x))^2}{2} + C$।
$y(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\ln 2}$ दिया गया है,जिससे $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \frac{1}{2 \ln(\cos x)}$।
$x = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2 \ln(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{1}{\ln 3 - \ln 4}$।

(A) अंतराल $[0, \frac{\pi}{2})$ पर संबंध $xRy \iff \sec^2 x - \tan^2 y = 1$ दिया गया है।
$1$. स्वतुल्य: किसी भी $x \in [0, \frac{\pi}{2})$ के लिए,हम जाँचते हैं कि क्या $xRx$ सत्य है।
$\sec^2 x - \tan^2 x = 1$,जो एक मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है।
अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: यदि $xRy$ है,तो $\sec^2 x - \tan^2 y = 1$.
सर्वसमिका $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ का उपयोग करते हुए,$(1 + \tan^2 x) - \tan^2 y = 1 \implies \tan^2 x = \tan^2 y$.
तब $\sec^2 y - \tan^2 x = (1 + \tan^2 y) - \tan^2 x = 1 + \tan^2 x - \tan^2 x = 1$.
अतः,$yRx$ सत्य है,इसलिए $R$ सममित है।
$3$. संक्रामक: यदि $xRy$ और $yRz$ है,तो $\sec^2 x - \tan^2 y = 1$ और $\sec^2 y - \tan^2 z = 1$.
पहले से,$\tan^2 x = \tan^2 y$. दूसरे से,$\sec^2 y = 1 + \tan^2 z$.
$\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$ को दूसरे समीकरण में रखने पर: $1 + \tan^2 y - \tan^2 z = 1 \implies \tan^2 y = \tan^2 z$.
चूँकि $\tan^2 x = \tan^2 y$ और $\tan^2 y = \tan^2 z$,इसलिए $\tan^2 x = \tan^2 z$.
तब $\sec^2 x - \tan^2 z = (1 + \tan^2 x) - \tan^2 z = 1 + 0 = 1$.
अतः,$xRz$ सत्य है,इसलिए $R$ संक्रामक है।
चूँकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(A) रेखा $L_1$ इस प्रकार है: $\overrightarrow{r} = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = (\lambda - 1)\hat{i} + (2\lambda + 2)\hat{j} + (\lambda + 1)\hat{k}$.
रेखा $L_2$ इस प्रकार है: $\overrightarrow{r} = (\hat{j} + \hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}) = 2\mu\hat{i} + (7\mu + 1)\hat{j} + (3\mu + 1)\hat{k}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,घटकों की तुलना करने पर:
$1) \lambda - 1 = 2\mu$
$2) 2\lambda + 2 = 7\mu + 1 \Rightarrow 2\lambda - 7\mu = -1$
$3) \lambda + 1 = 3\mu + 1 \Rightarrow \lambda = 3\mu$
$\lambda = 3\mu$ को पहले समीकरण में रखने पर: $3\mu - 1 = 2\mu \Rightarrow \mu = 1$. अतः $\lambda = 3(1) = 3$.
$\lambda = 3$ को $L_1$ में रखने पर: $\overrightarrow{r} = (3-1)\hat{i} + (2(3)+2)\hat{j} + (3+1)\hat{k} = 2\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$.
$L_3$ का दिशा सदिश $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (1+2)\hat{i} + (2+7)\hat{j} + (1+3)\hat{k} = 3\hat{i} + 9\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
$L_3$ का समीकरण $\overrightarrow{r} = (2\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}) + t(3\hat{i} + 9\hat{j} + 4\hat{k})$ है।
$t = 2$ के लिए,$\overrightarrow{r} = (2+6)\hat{i} + (8+18)\hat{j} + (4+8)\hat{k} = 8\hat{i} + 26\hat{j} + 12\hat{k}$.
अतः,रेखा $L_3$ बिंदु $(8, 26, 12)$ से होकर गुजरती है।

(C) माना $I = 80 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin \theta + \cos \theta}{9 + 16 \sin 2 \theta} d \theta$.
हम जानते हैं कि $\sin 2 \theta = 1 - (1 - \sin 2 \theta) = 1 - (\sin \theta - \cos \theta)^2$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = 80 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin \theta + \cos \theta}{9 + 16(1 - (\sin \theta - \cos \theta)^2)} d \theta = 80 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin \theta + \cos \theta}{25 - 16(\sin \theta - \cos \theta)^2} d \theta$.
माना $t = \sin \theta - \cos \theta$,तब $dt = (\cos \theta + \sin \theta) d \theta$.
जब $\theta = 0$,तब $t = -1$. जब $\theta = \frac{\pi}{4}$,तब $t = 0$.
$I = 80 \int_{-1}^0 \frac{dt}{25 - 16t^2} = 80 \int_{-1}^0 \frac{dt}{16(\frac{25}{16} - t^2)} = 5 \int_{-1}^0 \frac{dt}{(\frac{5}{4})^2 - t^2}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \ln |\frac{a+x}{a-x}|$ का उपयोग करने पर:
$I = 5 \left[ \frac{1}{2(\frac{5}{4})} \ln \left| \frac{\frac{5}{4} + t}{\frac{5}{4} - t} \right| \right]_{-1}^0 = 5 \left[ \frac{2}{5} \ln \left| \frac{5+4t}{5-4t} \right| \right]_{-1}^0 = 2 [\ln(1) - \ln(\frac{1}{9})] = 2 [0 - \ln(3^{-2})] = 2 [2 \ln 3] = 4 \ln 3$.

(C) $L_1$ के दिक् अनुपात $\vec{v_1} = (1, -1, 2)$ हैं और $L_2$ के दिक् अनुपात $\vec{v_2} = (-1, 2, 1)$ हैं।
$L_3$ के दिक् अनुपात $\vec{v_3} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -5\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि $L_3$ बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ से गुजरती है और $L_1$ को प्रतिच्छेद करती है,इसलिए बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$,$L_1$ पर स्थित है।
अतः,$\frac{\alpha-1}{1} = \frac{\beta-2}{-1} = \frac{\gamma-1}{2} = k$.
इसलिए,$\alpha = k+1$,$\beta = -k+2$,और $\gamma = 2k+1$.
अब $|5\alpha - 11\beta - 8\gamma|$ में मान रखने पर:
$|5(k+1) - 11(-k+2) - 8(2k+1)| = |5k + 5 + 11k - 22 - 16k - 8| = |-25| = 25$.

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \log_5 128 & \log_4 5 \\ \log_5 8 & \log_4 25 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \log_5 2 & \frac{1}{2} \log_2 5 \\ 3 \log_5 2 & \log_2 5 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = (7 \log_5 2)(\log_2 5) - (3 \log_5 2)(\frac{1}{2} \log_2 5) = 7 - \frac{3}{2} = \frac{11}{2}$.
आव्यूह $C$ को $C_{ij} = \sum_{k=1}^2 a_{ik} A_{jk}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
$i=j$ के लिए,$C_{ii} = \sum_{k=1}^2 a_{ik} A_{ik} = |A| = \frac{11}{2}$.
$i \neq j$ के लिए,$C_{ij} = \sum_{k=1}^2 a_{ik} A_{jk} = 0$ (सारणिक के गुणधर्म के अनुसार)।
अतः,$C = \begin{bmatrix} |A| & 0 \\ 0 & |A| \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11/2 & 0 \\ 0 & 11/2 \end{bmatrix}$.
सारणिक $|C| = (11/2) \times (11/2) = 121/4$.
इसलिए,$8|C| = 8 \times (121/4) = 2 \times 121 = 242$.

(A) दिया गया है कि $\int_0^1 f(\lambda x) d\lambda = a f(x)$.
मान लीजिए $\lambda x = t$,तो $d\lambda = \frac{1}{x} dt$.
समाकल में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{x} \int_0^x f(t) dt = a f(x)$,जिसका अर्थ है $\int_0^x f(t) dt = a x f(x)$.
कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f(x) = a(f(x) + x f^{\prime}(x))$.
पदों को व्यवस्थित करने पर $(1 - a) f(x) = a x f^{\prime}(x)$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1 - a}{a} \cdot \frac{1}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|f(x)| = \frac{1 - a}{a} \ln x + C$.
चूंकि $f(1) = 1$,हमें $C = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $f(x) = x^{\frac{1-a}{a}}$.
$f(16) = \frac{1}{8}$ दिया गया है,इसलिए $16^{\frac{1-a}{a}} = 2^{-3}$.
चूंकि $16 = 2^4$,हमारे पास $2^{4 \cdot \frac{1-a}{a}} = 2^{-3}$ है,इसलिए $\frac{4(1-a)}{a} = -3$.
$4 - 4a = -3a \Rightarrow a = 4$.
अतः,$f(x) = x^{\frac{1-4}{4}} = x^{-3/4}$.
तब $f^{\prime}(x) = -\frac{3}{4} x^{-7/4}$.
$f^{\prime}\left(\frac{1}{16}\right) = -\frac{3}{4} \left(2^{-4}\right)^{-7/4} = -\frac{3}{4} \cdot 2^7 = -\frac{3}{4} \cdot 128 = -3 \cdot 32 = -96$.
इसलिए,$16 - f^{\prime}\left(\frac{1}{16}\right) = 16 - (-96) = 112$.

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$।
हम $A$ की घात ज्ञात करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}, A^3 = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$।
गणितीय आगमन द्वारा,$A^n = \begin{bmatrix} n+1 & -n \\ n & -n+1 \end{bmatrix}$।
अतः,$A^m = \begin{bmatrix} m+1 & -m \\ m & -m+1 \end{bmatrix}$ और $A^{m^2} = \begin{bmatrix} m^2+1 & -m^2 \\ m^2 & -m^2+1 \end{bmatrix}$।
साथ ही,$A^{-6} = (A^6)^{-1}$। चूँकि $A^6 = \begin{bmatrix} 7 & -6 \\ 6 & -5 \end{bmatrix}$,$\det(A^6) = -35 - (-36) = 1$।
$A^{-6} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} -5 & 6 \\ -6 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 6 \\ -6 & 7 \end{bmatrix}$।
तब $3I - A^{-6} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -5 & 6 \\ -6 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -6 \\ 6 & -4 \end{bmatrix}$।
$A^{m^2} + A^m = \begin{bmatrix} 8 & -6 \\ 6 & -4 \end{bmatrix}$ की तुलना करने पर:
आव्यूहों का योग: $\begin{bmatrix} m^2+m+2 & -(m^2+m) \\ m^2+m & -(m^2+m)+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -6 \\ 6 & -4 \end{bmatrix}$।
अवयवों की तुलना करने पर: $m^2 + m + 2 = 8 \Rightarrow m^2 + m - 6 = 0$।
$(m+3)(m-2) = 0$,अतः $m = -3$ या $m = 2$।
इस प्रकार,$S = \{-3, 2\}$ और $n(S) = 2$।

(A) दिया गया समीकरण $\cos^{-1} x = \pi + \sin^{-1} x + \sin^{-1}(2x + 1)$ है।
सर्वसमिका $\cos^{-1} x + \sin^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम $\cos^{-1} x$ को $\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x = \pi + \sin^{-1} x + \sin^{-1}(2x + 1)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $-2 \sin^{-1} x - \sin^{-1}(2x + 1) = \frac{\pi}{2}$,या $2 \sin^{-1} x + \sin^{-1}(2x + 1) = -\frac{\pi}{2}$.
मान लीजिए $\sin^{-1} x = \theta$,तो $x = \sin \theta$। समीकरण $2\theta + \sin^{-1}(2x + 1) = -\frac{\pi}{2}$ बन जाता है।
$\sin^{-1}(2x + 1) = -\frac{\pi}{2} - 2\theta$.
दोनों तरफ $\sin$ लेने पर: $2x + 1 = \sin(-\frac{\pi}{2} - 2\theta) = -\cos(2\theta)$.
$2x + 1 = -(1 - 2\sin^2 \theta) = 2\sin^2 \theta - 1$.
चूंकि $x = \sin \theta$,हमारे पास $2x + 1 = 2x^2 - 1$ है,जो $2x^2 - 2x - 2 = 0$ या $x^2 - x - 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
मूल $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।
चूंकि $\sin^{-1} x$ का डोमेन $[-1, 1]$ है और $\sin^{-1}(2x + 1)$ के लिए $-1 \le 2x + 1 \le 1 \Rightarrow -1 \le x \le 0$ होना आवश्यक है,इसलिए केवल $x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ मान्य है।
$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ के लिए,$2x - 1 = 1 - \sqrt{5} - 1 = -\sqrt{5}$।
अतः,$(2x - 1)^2 = (-\sqrt{5})^2 = 5$।

(D) दिए गए वक्र $C_1: |y|=1-x^2$ और $C_2: x^2+y^2=1$ हैं।
सममिति के कारण,क्षेत्रफल $\alpha$ प्रथम चतुर्थांश में वृत्त $y=\sqrt{1-x^2}$ और परवलय $y=1-x^2$ के बीच के क्षेत्रफल का चार गुना है।
$\alpha = 4 \int_0^1 (\sqrt{1-x^2} - (1-x^2)) dx$
$\alpha = 4 \left[ \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx - \int_0^1 (1-x^2) dx \right]$
मानक समाकलन $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:
$\alpha = 4 \left[ \left( \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) \right)_0^1 - \left( x - \frac{x^3}{3} \right)_0^1 \right]$
$\alpha = 4 \left[ (0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}) - (1 - \frac{1}{3}) \right]$
$\alpha = 4 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3} \right] = \pi - \frac{8}{3}$
दिया है $9\alpha = \beta\pi + \gamma$,इसलिए $9(\pi - \frac{8}{3}) = 9\pi - 24$ है।
तुलना करने पर,$\beta = 9$ और $\gamma = -24$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\beta - \gamma| = |9 - (-24)| = |9 + 24| = 33$.

(A) $f_1(x) = \log _5(18 x-x^2-77)$ के लिए,प्रांत की शर्त $18 x-x^2-77 > 0$ है।
$x^2-18 x+77 < 0 \implies (x-7)(x-11) < 0$.
अतः,$x \in (7, 11)$,जिससे $\alpha = 7$ और $\beta = 11$ प्राप्त होता है।
$f_2(x) = \log _{(x-1)}\left(\frac{2 x^2+3 x-2}{x^2-3 x-4}\right)$ के लिए,प्रांत की शर्तें:
$1) \ x-1 > 0 \implies x > 1$
$2) \ x-1 \neq 1 \implies x \neq 2$
$3) \ \frac{2 x^2+3 x-2}{x^2-3 x-4} > 0 \implies \frac{(2 x-1)(x+2)}{(x-4)(x+1)} > 0$.
चिह्न योजना का उपयोग करने पर,हल $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 1/2) \cup (4, \infty)$ प्राप्त होता है।
$x > 1$ और $x \neq 2$ के साथ प्रतिच्छेदन लेने पर,$x \in (4, \infty)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\gamma = 4$ और $\delta = \infty$.
अंत में,$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = 7^2+11^2+4^2 = 49+121+16 = 186$.

(C) फलन $f(x) = (x^2 - 1)|x^2 - ax + 2| + \cos|x|$ वहां अवकलनीय नहीं है जहाँ मापांक के अंदर का व्यंजक शून्य होता है,बशर्ते उस बिंदु पर दोहरा मूल न हो।
चूंकि $\cos|x|$ हर जगह अवकलनीय है,हमें केवल $g(x) = x^2 - ax + 2$ की जांच करनी है।
दिया गया है कि $x = \alpha = 2$ एक गैर-अवकलनीय बिंदु है,इसलिए $g(2) = 0$.
$2^2 - a(2) + 2 = 0 \implies 6 - 2a = 0 \implies a = 3$.
$a = 3$ रखने पर,$g(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ प्राप्त होता है।
मूल $x = 1$ और $x = 2$ हैं।
$x = 1$ पर,$f(x) = (x^2 - 1)|(x - 1)(x - 2)| + \cos|x|$। चूंकि $(x^2 - 1) = (x - 1)(x + 1)$,पद $(x - 1)^2(x + 1)|x - 2|$ बन जाता है,जो $x = 1$ पर अवकलनीय है।
अतः,$x = 1$ गैर-अवकलनीय बिंदु नहीं है। यदि हम $\beta = 1$ लेते हैं,तो बिंदु $(2, 1)$ की रेखा $12x + 5y + 10 = 0$ से दूरी $d = \frac{|12(2) + 5(1) + 10|}{\sqrt{12^2 + 5^2}} = \frac{39}{13} = 3$ होगी।

(B) रेखा $L$ का दिशा सदिश दी गई दो रेखाओं के दिशा सदिशों $\vec{v_1} = (2, 1, -2)$ और $\vec{v_2} = (1, 3, 4)$ के लंबवत है।
अतः,$L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 10\hat{i} - 10\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
हम दिशा सदिश को $\vec{d} = (2, -2, 1)$ के रूप में ले सकते हैं।
बिंदु $P(2, -1, 3)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z-3}{1} = \lambda$ है।
रेखा $L$ पर कोई भी बिंदु $Q$,$(2\lambda + 2, -2\lambda - 1, \lambda + 3)$ के रूप में होता है।
चूंकि $Q$,$yz$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
$2\lambda + 2 = 0 \implies \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ को $Q$ के निर्देशांकों में रखने पर,हमें $Q(0, -2(-1) - 1, -1 + 3) = Q(0, 1, 2)$ प्राप्त होता है।
दूरी $PQ = \sqrt{(2-0)^2 + (-1-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$।

(D) दिया गया है $S = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$।
संबंध $\log_e y = x \log_e \left(\frac{2}{5}\right)$ से,हमें मिलता है $\log_e y = \log_e \left(\left(\frac{2}{5}\right)^x\right)$।
इसका अर्थ है $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x$।
चूंकि $x \in S$,$R$ का परिसर $x = 0, 1, 2, \dots$ के लिए $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x$ मानों का समुच्चय है।
परिसर $= \left\{ \left(\frac{2}{5}\right)^0, \left(\frac{2}{5}\right)^1, \left(\frac{2}{5}\right)^2, \dots \right\} = \left\{ 1, \frac{2}{5}, \left(\frac{2}{5}\right)^2, \dots \right\}$।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{2}{5}$ है।
परिसर के तत्वों का योग $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}$ है।

(D) रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और संवर्धित सारणिक $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ भी $0$ होने चाहिए।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 10 \end{bmatrix}$ है।
$\Delta = 1(20-16) - 1(10-4) + 1(4-2) = 4 - 6 + 2 = 0$.
अब,$\Delta_z = 0$ के लिए शर्त की जाँच करते हैं:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & m \\ 1 & 4 & m^2 \end{vmatrix} = 1(2m^2-4m) - 1(m^2-m) + 1(4-2) = 2m^2 - 4m - m^2 + m + 2 = m^2 - 3m + 2 = 0$.
$m^2 - 3m + 2 = 0$ को हल करने पर $(m-1)(m-2) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $m = 1$ या $m = 2$.
इस प्रकार,$\alpha = 1$ और $\beta = 2$.
हमें $\sum_{n=1}^{10}(n^1 + n^2) = \sum_{n=1}^{10} n + \sum_{n=1}^{10} n^2$ की गणना करनी है।
$k=10$ के लिए सूत्रों $\sum_{n=1}^{k} n = \frac{k(k+1)}{2}$ और $\sum_{n=1}^{k} n^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$\sum_{n=1}^{10} n = \frac{10 \times 11}{2} = 55$.
$\sum_{n=1}^{10} n^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385$.
कुल योग $55 + 385 = 440$ है।

(A) दिया गया है कि $A = [a_{ij}]$ जहाँ $a_{ij} = (\sqrt{2})^{i+j}$ है।
$A = \begin{bmatrix} (\sqrt{2})^2 & (\sqrt{2})^3 & (\sqrt{2})^4 \\ (\sqrt{2})^3 & (\sqrt{2})^4 & (\sqrt{2})^5 \\ (\sqrt{2})^4 & (\sqrt{2})^5 & (\sqrt{2})^6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2\sqrt{2} & 4 \\ 2\sqrt{2} & 4 & 4\sqrt{2} \\ 4 & 4\sqrt{2} & 8 \end{bmatrix}$.
हम $A = 2 \begin{bmatrix} 1 & \sqrt{2} & 2 \\ \sqrt{2} & 2 & 2\sqrt{2} \\ 2 & 2\sqrt{2} & 4 \end{bmatrix}$ लिख सकते हैं।
मान लीजिए $B = \begin{bmatrix} 1 & \sqrt{2} & 2 \\ \sqrt{2} & 2 & 2\sqrt{2} \\ 2 & 2\sqrt{2} & 4 \end{bmatrix}$,तब $A = 2B$ है।
$A^2 = (2B)(2B) = 4B^2$ है।
$B^2$ की तीसरी पंक्ति $B$ की तीसरी पंक्ति और $B$ के स्तंभों के गुणनफल द्वारा प्राप्त की जाती है:
$R_3(B^2) = [ (2)(1)+(2\sqrt{2})(\sqrt{2})+(4)(2), \quad (2)(\sqrt{2})+(2\sqrt{2})(2)+(4)(2\sqrt{2}), \quad (2)(2)+(2\sqrt{2})(2\sqrt{2})+(4)(4) ]$.
$R_3(B^2) = [ 2+4+8, \quad 2\sqrt{2}+4\sqrt{2}+8\sqrt{2}, \quad 4+8+16 ] = [ 14, \quad 14\sqrt{2}, \quad 28 ]$.
$B^2$ की तीसरी पंक्ति के तत्वों का योग $= 14 + 14\sqrt{2} + 28 = 42 + 14\sqrt{2}$ है।
चूंकि $A^2 = 4B^2$,$A^2$ की तीसरी पंक्ति के तत्वों का योग $= 4(42 + 14\sqrt{2}) = 168 + 56\sqrt{2}$ है।
योग $\alpha + \beta\sqrt{2}$ दिया गया है,इसलिए $\alpha = 168$ और $\beta = 56$ है।
अतः,$\alpha + \beta = 168 + 56 = 224$ है।

(B) रेखा $L$ को $\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-2}{2} = \mu$ द्वारा दिया गया है। $L$ पर कोई भी बिंदु $P(\mu+1, -\mu-1, 2\mu+2)$ है।
चूंकि $AP \perp L$,सदिश $\overrightarrow{AP} = (\mu, -\mu-3, 2\mu)$,$L$ के दिशा सदिश $\vec{d} = (1, -1, 2)$ के लंबवत है।
$\overrightarrow{AP} \cdot \vec{d} = 0 \Rightarrow (\mu)(1) + (-\mu-3)(-1) + (2\mu)(2) = 0$.
$\mu + \mu + 3 + 4\mu = 0 \Rightarrow 6\mu = -3 \Rightarrow \mu = -\frac{1}{2}$.
अतः,$P = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$.
रेखा $L_2$ को $\vec{r} = (-1, 1, -2) + \lambda(1, -1, 1)$ द्वारा दिया गया है। $L_2$ पर कोई भी बिंदु $Q(-1+\lambda, 1-\lambda, -2+\lambda)$ है।
चूंकि $Q$,$L$ पर स्थित है,यह $L$ के समीकरण को संतुष्ट करेगा: $\frac{(-1+\lambda)-1}{1} = \frac{(1-\lambda)+1}{-1} = \frac{(-2+\lambda)-2}{2} = \mu$.
$\lambda-2 = \lambda-2$ और $\lambda-2 = \frac{\lambda-4}{2} \Rightarrow 2\lambda-4 = \lambda-4 \Rightarrow \lambda = 0$.
$\lambda = 0$ के लिए,$Q = (-1, 1, -2)$.
अब,$PQ^2 = (\frac{1}{2} - (-1))^2 + (-\frac{1}{2} - 1)^2 + (1 - (-2))^2 = (\frac{3}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + (3)^2 = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} + 9 = 13.5$.
अतः,$2(PQ)^2 = 2(13.5) = 27$.

(D) आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$ है जहाँ प्रत्येक $a_{ij} \in \{0, 1\}$ है। कुल $2^4 = 16$ संभावित आव्यूह हैं।
सारणिक $|A| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$ है।
$|A|$ के संभावित मान $\{-1, 0, 1\}$ हैं।
- $|A| = -1$ तब होता है जब $a_{11}a_{22} = 0$ और $a_{12}a_{21} = 1$ हो। इसके लिए $(a_{12}, a_{21}) = (1, 1)$ और $(a_{11}, a_{22}) \in \{(0,0), (0,1), (1,0)\}$ होना चाहिए,जो कुल $3$ स्थितियाँ हैं। अतः $P(X = -1) = \frac{3}{16}$।
- $|A| = 1$ तब होता है जब $a_{11}a_{22} = 1$ और $a_{12}a_{21} = 0$ हो। इसके लिए $(a_{11}, a_{22}) = (1, 1)$ और $(a_{12}, a_{21}) \in \{(0,0), (0,1), (1,0)\}$ होना चाहिए,जो कुल $3$ स्थितियाँ हैं। अतः $P(X = 1) = \frac{3}{16}$।
- शेष $16 - 3 - 3 = 10$ स्थितियों में $|A| = 0$ होता है। अतः $P(X = 0) = \frac{10}{16}$।
प्रसरण $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ है।
$E[X] = (-1)(\frac{3}{16}) + (0)(\frac{10}{16}) + (1)(\frac{3}{16}) = 0$।
$E[X^2] = (-1)^2(\frac{3}{16}) + (0)^2(\frac{10}{16}) + (1)^2(\frac{3}{16}) = \frac{3}{16} + \frac{3}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$।
अतः,$Var(X) = \frac{3}{8} - 0^2 = \frac{3}{8}$।

(A) मान लीजिए $W_1$ बैग $1$ से सफेद गेंद निकालने की घटना है और $B_1$ बैग $1$ से काली गेंद निकालने की घटना है।
मान लीजिए $W_2$ बैग $2$ से सफेद गेंद निकालने की घटना है।
बैग $1$ में $4$ सफेद और $5$ काली गेंदें हैं (कुल $= 9$)।
बैग $2$ में $n$ सफेद और $3$ काली गेंदें हैं (कुल $= n+3$)।
बैग $1$ से एक गेंद बैग $2$ में स्थानांतरित करने के बाद,बैग $2$ में कुल $n+4$ गेंदें हो जाती हैं।
यदि $W_1$ घटित होता है,तो बैग $2$ में $(n+1)$ सफेद गेंदें होती हैं। $P(W_1) = 4/9$।
यदि $B_1$ घटित होता है,तो बैग $2$ में $n$ सफेद गेंदें होती हैं। $P(B_1) = 5/9$।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(W_2) = P(W_1) \times P(W_2|W_1) + P(B_1) \times P(W_2|B_1)$
$29/45 = (4/9) \times ((n+1)/(n+4)) + (5/9) \times (n/(n+4))$
$29/45 = (4n + 4 + 5n) / (9(n+4))$
$29/45 = (9n + 4) / (9(n+4))$
$29/5 = (9n + 4) / (n+4)$
$29(n+4) = 5(9n + 4)$
$29n + 116 = 45n + 20$
$16n = 96$
$n = 6$

(C) दिया गया है $f(x) = \int_0^x (t^3 - 9t^2 + 20t) dt$।
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = x^3 - 9x^2 + 20x = x(x - 4)(x - 5)$।
अंतराल $x \in [1, 5]$ के लिए,$f'(x) = 0$ का मान $x = 4$ पर प्राप्त होता है।
क्रांतिक बिंदुओं और अंतिम बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f(x) = \int_0^x (t^3 - 9t^2 + 20t) dt = \left[ \frac{t^4}{4} - 3t^3 + 10t^2 \right]_0^x = \frac{x^4}{4} - 3x^3 + 10x^2$।
$f(1) = \frac{1}{4} - 3 + 10 = 7.25 = \frac{29}{4}$।
$f(4) = \frac{256}{4} - 3(64) + 10(16) = 64 - 192 + 160 = 32$।
$f(5) = \frac{625}{4} - 3(125) + 10(25) = 156.25 - 375 + 250 = 31.25 = \frac{125}{4}$।
मानों की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $\alpha = f(1) = \frac{29}{4}$ और अधिकतम मान $\beta = f(4) = 32$ है।
अतः,$4(\alpha + \beta) = 4(\frac{29}{4} + 32) = 29 + 128 = 157$।

(D) मान लीजिए $\overrightarrow{v} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}$ ज्ञात करें:
$\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 9) - \hat{j}(-1 - 6) + \hat{k}(3 + 4) = -7\hat{i} + 7\hat{j} + 7\hat{k} = -7(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$.
चूंकि $\hat{a}$,$\overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ के लंबवत एक इकाई सदिश है,$\hat{a} = \pm \frac{\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3}}$.
दिया गया है कि $\hat{a} \cdot \frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|} = \cos\left(\cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)\right) = -\frac{1}{3}$.
यदि $\hat{a} = \frac{\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3}}$ है,तो $\hat{a} \cdot \frac{\overrightarrow{v}}{\sqrt{3}} = \frac{1 - 1 - 1}{3} = -\frac{1}{3}$. यह शर्त को पूरा करता है।
यदि $\hat{a} = \frac{-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ है,तो $\hat{a} \cdot \frac{\overrightarrow{v}}{\sqrt{3}} = \frac{-1 + 1 + 1}{3} = \frac{1}{3}$. यह अस्वीकार्य है।
अतः,$\hat{a} = \frac{\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3}}$.
अब,$\hat{a}$,$\overrightarrow{u} = \hat{i} + \alpha\hat{j} + \hat{k}$ के साथ $\frac{\pi}{3}$ का कोण बनाता है।
$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\hat{a} \cdot \overrightarrow{u}}{|\hat{a}| |\overrightarrow{u}|} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{\frac{1 - \alpha - 1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{1 + \alpha^2 + 1}} = \frac{-\alpha}{\sqrt{3}\sqrt{\alpha^2 + 2}}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\alpha^2 + 2} = -\alpha$. चूंकि $\alpha < 0$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $\frac{3}{4}(\alpha^2 + 2) = \alpha^2$.
$3\alpha^2 + 6 = 4\alpha^2 \Rightarrow \alpha^2 = 6$. चूंकि $\alpha < 0$,इसलिए $\alpha = -\sqrt{6}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+(\tan x)y=\frac{2+\sec x}{(1+2\sec x)^2}$ है।
यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=\tan x$ और $Q=\frac{2+\sec x}{(1+2\sec x)^2}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int \tan x dx} = \sec x$ है।
सामान्य हल $y \sec x = \int Q \cdot IF dx + C$ है।
$y \sec x = \int \frac{2+\sec x}{(1+2\sec x)^2} \sec x dx = \int \frac{2\cos x+1}{(\cos x+2)^2} dx$ है।
$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ और $t = \tan(x/2)$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \frac{2dt}{1+t^2}$ प्राप्त होता है।
$y \sec x = \int \frac{3-t^2}{(t^2+3)^2} 2dt = \frac{2t}{t^2+3} + C$ है।
$f(\pi/3) = \sqrt{3}/10$ दिया गया है,अतः $x=\pi/3$ के लिए $t = \tan(\pi/6) = 1/\sqrt{3}$ है।
$(\sqrt{3}/10) \cdot 2 = \frac{2(1/\sqrt{3})}{1/3+3} + C \implies C=0$ प्राप्त होता है।
अतः $y \sec x = \frac{2t}{t^2+3}$ है। $x=\pi/4$ के लिए $t = \tan(\pi/8) = \sqrt{2}-1$ है।
$y \cdot \sqrt{2} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}-1)^2+3} = \frac{\sqrt{2}-1}{3-\sqrt{2}}$ है।
$y = \frac{4-\sqrt{2}}{14}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = 24 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin \left| 4x - \frac{\pi}{12} \right| dx + 24 \int_0^{\frac{\pi}{4}} [2 \sin x] dx$.
सबसे पहले,$I_1 = 24 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin \left| 4x - \frac{\pi}{12} \right| dx$ का मूल्यांकन करें।
मापांक के अंदर का व्यंजक $4x = \frac{\pi}{12}$ अर्थात $x = \frac{\pi}{48}$ पर अपना चिह्न बदलता है।
$I_1 = 24 \left( \int_0^{\frac{\pi}{48}} -\sin \left( 4x - \frac{\pi}{12} \right) dx + \int_{\frac{\pi}{48}}^{\frac{\pi}{4}} \sin \left( 4x - \frac{\pi}{12} \right) dx \right)$.
$I_1 = 24 \left( \left[ \frac{\cos(4x - \frac{\pi}{12})}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{48}} + \left[ -\frac{\cos(4x - \frac{\pi}{12})}{4} \right]_{\frac{\pi}{48}}^{\frac{\pi}{4}} \right)$.
$I_1 = 6 \left( (\cos(0) - \cos(-\frac{\pi}{12})) + (-\cos(\frac{11\pi}{12}) + \cos(0)) \right) = 6(1 - \cos(\frac{\pi}{12}) - \cos(\frac{11\pi}{12}) + 1) = 6(2 - \cos(\frac{\pi}{12}) + \cos(\frac{\pi}{12})) = 12$.
अब,$I_2 = 24 \int_0^{\frac{\pi}{4}} [2 \sin x] dx$ का मूल्यांकन करें।
जब $0 \le x \le \frac{\pi}{6}$,तब $0 \le 2 \sin x < 1$,इसलिए $[2 \sin x] = 0$.
जब $\frac{\pi}{6} < x \le \frac{\pi}{4}$,तब $1 \le 2 \sin x < \sqrt{2} \approx 1.414$,इसलिए $[2 \sin x] = 1$.
$I_2 = 24 \left( \int_0^{\frac{\pi}{6}} 0 dx + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} 1 dx \right) = 24 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \right) = 24 \left( \frac{\pi}{12} \right) = 2 \pi$.
अतः,$I = I_1 + I_2 = 12 + 2 \pi$.
$2 \pi + \alpha$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 12$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $a, b \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ और $a+b \neq 0$.
प्रतिबंध $|\frac{z-a}{z+b}|=1$ का अर्थ है $|z-a|=|z+b|$,जिसका अर्थ है कि $z$ सम्मिश्र तल पर $a$ और $-b$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित है। यह रेखा $\text{Re}(z) = \frac{a-b}{2}$ है।
अब,सारणिक $D = \left|\begin{array}{ccc}z+1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & z+\omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & z+\omega\end{array}\right|$ पर विचार करें।
$C_1 \to C_1+C_2+C_3$ करने पर,हमें $D = z^3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $z^3=1$,इसलिए $z \in \{1, \omega, \omega^2\}$ है।
यदि $z=1$,तो $|1-a|=|1+b| \implies a-b=2$,अर्थात $a=b+2$ है। संभावित युग्म: $(-1, -3), (0, -2), (1, -1), (2, 0), (3, 1)$ ($5$ युग्म)।
यदि $z=\omega$ या $z=\omega^2$,तो $|z-a|=|z+b| \implies b=a+1$ है। संभावित युग्म: $(-3, -2), (-2, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 3)$ ($6$ युग्म)।
कुल अद्वितीय युग्म: $5 + 6 = 11$।

(B) दिया गया समीकरण: $(\sin x \cos y)(f(2x+2y) - f(2x-2y)) = (\cos x \sin y)(f(2x+2y) + f(2x-2y))$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $f(2x+2y)(\sin x \cos y - \cos x \sin y) = f(2x-2y)(\sin x \cos y + \cos x \sin y)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ और $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर: $f(2x+2y)\sin(x-y) = f(2x-2y)\sin(x+y)$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{f(2x+2y)}{\sin(x+y)} = \frac{f(2x-2y)}{\sin(x-y)}$.
मान लीजिए $2x+2y = m$ और $2x-2y = n$. तब $x+y = m/2$ और $x-y = n/2$.
समीकरण इस प्रकार हो जाता है: $\frac{f(m)}{\sin(m/2)} = \frac{f(n)}{\sin(n/2)} = K$ (एक स्थिरांक).
अतः,$f(x) = K \sin(x/2)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{K}{2} \cos(x/2)$.
दिया गया है कि $f'(0) = 1/2$,इसलिए $\frac{K}{2} \cos(0) = 1/2$,जिसका अर्थ है $K = 1$.
अतः,$f(x) = \sin(x/2)$.
अब $f'(x) = \frac{1}{2} \cos(x/2)$ और $f''(x) = -\frac{1}{4} \sin(x/2)$.
हमें $24f''\left(\frac{5\pi}{3}\right) = 24 \left(-\frac{1}{4} \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right)$ ज्ञात करना है।
चूंकि $\sin(5\pi/6) = 1/2$,इसलिए मान $24 \left(-\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}\right) = 24 \left(-\frac{1}{8}\right) = -3$ है।

(D) दिया गया है कि $\operatorname{det}(A) = 0$,इसलिए $\alpha \beta - (-6) = 0$,जिसका अर्थ है $\alpha \beta = -6$।
दिया गया है कि $\alpha + \beta = 1$,इसलिए हम द्विघात समीकरण $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$ को हल करते हैं,जो $x^2 - x - 6 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर $(x - 3)(x + 2) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 3$ या $x = -2$ है।
चूंकि $\alpha > 0$ है,इसलिए $\alpha = 3$ और $\beta = -2$ है।
अतः,$A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{bmatrix}$।
$A^2$ की गणना करने पर: $A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9-6 & -3+2 \\ 18-12 & -6+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} = A$।
चूंकि $A^2 = A$ है,इसलिए सभी $n \geq 1$ के लिए $A^n = A$ होता है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करने पर: $(I + A)^8 = I + \binom{8}{1}A + \binom{8}{2}A^2 + \dots + \binom{8}{8}A^8$।
चूंकि $k \geq 1$ के लिए $A^k = A$ है,इसलिए $(I + A)^8 = I + A(\binom{8}{1} + \binom{8}{2} + \dots + \binom{8}{8})$।
योग $\sum_{k=1}^{8} \binom{8}{k} = 2^8 - 1 = 256 - 1 = 255$ है।
अतः,$(I + A)^8 = I + 255A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + 255 \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 765 & 0 - 255 \\ 0 + 1530 & 1 - 510 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 766 & -255 \\ 1530 & -509 \end{bmatrix}$।

(D) दिया गया है $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$.
अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $6(x^2 - 3ax + 2a^2) = 0$.
गुणनखंड करने पर $6(x - a)(x - 2a) = 0$ प्राप्त होता है,अतः क्रांतिक बिंदु $x = a$ और $x = 2a$ हैं।
द्वितीय अवकलज $f''(x) = 12x - 18a$ है।
$x = a$ पर,$f''(a) = 12a - 18a = -6a < 0$ (चूंकि $a > 0$),इसलिए $x = a$ स्थानीय उच्चतम है $(p = a)$।
$x = 2a$ पर,$f''(2a) = 24a - 18a = 6a > 0$,इसलिए $x = 2a$ स्थानीय निम्नतम है $(q = 2a)$।
दिया गया है $p^2 = q$,अतः $a^2 = 2a$। चूंकि $a > 0$,हमें $a = 2$ प्राप्त होता है।
फलन में $a = 2$ रखने पर: $f(x) = 2x^3 - 9(2)x^2 + 12(2^2)x + 1 = 2x^3 - 18x^2 + 48x + 1$.
अब $f(3) = 2(3)^3 - 18(3)^2 + 48(3) + 1 = 2(27) - 18(9) + 144 + 1 = 54 - 162 + 144 + 1 = 37$.

(C) माना $\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ एक इकाई सदिश है,अतः $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$.
माना $\vec{b} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$,$\vec{c} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$,और $\vec{d} = \hat{k}$.
प्रक्षेप समान हैं,इसलिए $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{d}}{|\vec{d}|}$.
परिमाणों की गणना: $|\vec{b}| = 3$,$|\vec{c}| = 3$,और $|\vec{d}| = 1$.
अतः,$\frac{2a_1 - a_2 + 2a_3}{3} = \frac{a_1 + 2a_2 - 2a_3}{3} = a_3$.
$\frac{2a_1 - a_2 + 2a_3}{3} = a_3$ से,$2a_1 - a_2 - a_3 = 0$.
$\frac{a_1 + 2a_2 - 2a_3}{3} = a_3$ से,$a_1 + 2a_2 - 5a_3 = 0$.
इन समीकरणों को हल करने पर,$a_1 = \frac{7}{5}a_3$ और $a_2 = \frac{9}{5}a_3$ प्राप्त होता है।
$a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$ में मान रखने पर: $(\frac{7}{5}a_3)^2 + (\frac{9}{5}a_3)^2 + a_3^2 = 1 \implies a_3 = \frac{5}{\sqrt{155}}$.
अतः,$\vec{a} = \frac{1}{\sqrt{155}}(7 \hat{i} + 9 \hat{j} + 5 \hat{k})$.

(B) $R = \{(f, g) : f(0) = g(1) \text{ और } f(1) = g(0)\}$
$1.$ स्वतुल्य: $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,सभी $f \in A$ के लिए $(f, f) \in R$ होना चाहिए। इसका अर्थ है $f(0) = f(1)$ और $f(1) = f(0)$। चूंकि यह सभी फलनों $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ के लिए सत्य नहीं है (उदाहरण के लिए,$f(x) = x$ लें),इसलिए $R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2.$ सममित: यदि $(f, g) \in R$,तो $f(0) = g(1)$ और $f(1) = g(0)$। हमें यह जांचना है कि क्या $(g, f) \in R$ है। इसके लिए $g(0) = f(1)$ और $g(1) = f(0)$ होना आवश्यक है। ये शर्तें $(f, g) \in R$ की परिभाषा के समान ही हैं। अतः,$R$ सममित है।
$3.$ संक्रामक: यदि $(f, g) \in R$ और $(g, h) \in R$,तो $f(0) = g(1)$,$f(1) = g(0)$,$g(0) = h(1)$,और $g(1) = h(0)$। $R$ के संक्रामक होने के लिए,हमें $(f, h) \in R$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $f(0) = h(1)$ और $f(1) = h(0)$। दी गई शर्तों से,$f(0) = g(1) = h(0)$ और $f(1) = g(0) = h(1)$। इसका अर्थ यह नहीं है कि $f(0) = h(1)$ और $f(1) = h(0)$ हमेशा सत्य हो। उदाहरण के लिए,यदि $f(0)=1, f(1)=2, g(0)=2, g(1)=1, h(0)=1, h(1)=2$ हो,तो $(f, g) \in R$ और $(g, h) \in R$ सत्य है,लेकिन $(f, h) \in R$ के लिए $f(0)=h(1) \Rightarrow 1=2$ होना चाहिए,जो गलत है। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।

(B) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ भी $0$ होने चाहिए।
सबसे पहले,$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 1 & \beta \\ 2 & \alpha & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 3(\alpha + 2) - 1(2 + 1) + \beta(4 - \alpha) = 3\alpha + 4\beta - \alpha\beta + 3 = 0$.
इसके बाद,$\Delta_z = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 2 & \alpha & -3 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 3(4\alpha + 6) - 1(8 + 3) + 3(4 - \alpha) = 9\alpha + 19 = 0$.
$9\alpha + 19 = 0$ से,$\alpha = -\frac{19}{9}$ प्राप्त होता है।
$\alpha$ का मान $3\alpha + 4\beta - \alpha\beta + 3 = 0$ में रखने पर:
$3(-\frac{19}{9}) + 4\beta - (-\frac{19}{9})\beta + 3 = 0 \Rightarrow -\frac{19}{3} + 4\beta + \frac{19}{9}\beta + 3 = 0$.
$9$ से गुणा करने पर: $-57 + 36\beta + 19\beta + 27 = 0 \Rightarrow 55\beta = 30 \Rightarrow \beta = \frac{6}{11}$.
अंत में,$22\beta - 9\alpha = 22(\frac{6}{11}) - 9(-\frac{19}{9}) = 12 + 19 = 31$.

(B) मान लीजिए $M$,$P(0,2,3)$ से रेखा $L: \frac{x+3}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+4}{3} = \lambda$ पर लंब का पाद है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $M(5\lambda-3, 2\lambda+1, 3\lambda-4)$ है।
$PM$ के दिक्-अनुपात $(5\lambda-3-0, 2\lambda+1-2, 3\lambda-4-3) = (5\lambda-3, 2\lambda-1, 3\lambda-7)$ हैं।
चूंकि $PM \perp L$,$PM$ और $L$ के दिक्-अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$5(5\lambda-3) + 2(2\lambda-1) + 3(3\lambda-7) = 0$
$25\lambda - 15 + 4\lambda - 2 + 9\lambda - 21 = 0$
$38\lambda - 38 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
अतः,$M = (5(1)-3, 2(1)+1, 3(1)-4) = (2, 3, -1)$.
शीर्षलंब $PM$ की लंबाई $\sqrt{(2-0)^2 + (3-2)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{4+1+16} = \sqrt{21}$ है।
त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times QR \times PM = \frac{1}{2} \times 5 \times \sqrt{21} = \frac{5\sqrt{21}}{2}$.
दिया गया क्षेत्रफल $= \frac{m}{n} = \frac{5\sqrt{21}}{2}$.
तुलना करने पर,हमें $2m = 5\sqrt{21}n$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2m - 5\sqrt{21}n = 0$।

(C) मान लीजिए किनारों $AB, AC$ और $AD$ की लंबाई क्रमशः $c, b$ और $d$ है। चूंकि किनारे परस्पर लंबवत हैं,त्रिभुजों के क्षेत्रफल इस प्रकार हैं:
$Ar(\triangle ABC) = \frac{1}{2} bc = 5 \implies bc = 10$
$Ar(\triangle ACD) = \frac{1}{2} bd = 6 \implies bd = 12$
$Ar(\triangle ADB) = \frac{1}{2} cd = 7 \implies cd = 14$
समकोण कोने वाले चतुष्फलक के लिए,सम्मुख फलक का क्षेत्रफल इस प्रकार होता है:
$Ar(\triangle BCD) = \sqrt{(Ar(\triangle ABC))^2 + (Ar(\triangle ACD))^2 + (Ar(\triangle ADB))^2}$
$Ar(\triangle BCD) = \sqrt{5^2 + 6^2 + 7^2}$
$Ar(\triangle BCD) = \sqrt{25 + 36 + 49}$
$Ar(\triangle BCD) = \sqrt{110}$

(D) दिया गया है $A+I = \begin{bmatrix} 1 & a & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ a & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
अतः $A = \begin{bmatrix} 1 & a & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ a & 1 & 2 \end{bmatrix} - I = \begin{bmatrix} 0 & a & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ a & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ का सारणिक ज्ञात करने पर: $\det(A) = 0(0) - a(2) + 1(2-0) = -2a + 2$.
दिया गया है $\det(A) = -4$,इसलिए $-2a + 2 = -4 \Rightarrow -2a = -6 \Rightarrow a = 3$.
अब,हमें $\det((a+1) \operatorname{adj}((a-1)A))$ ज्ञात करना है।
$a=3$ रखने पर: $\det((3+1) \operatorname{adj}((3-1)A)) = \det(4 \operatorname{adj}(2A))$.
चूँकि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,$\det(kM) = k^3 \det(M)$.
अतः,$\det(4 \operatorname{adj}(2A)) = 4^3 \det(\operatorname{adj}(2A)) = 64 \det(\operatorname{adj}(2A))$.
गुणधर्म $\det(\operatorname{adj}(M)) = (\det(M))^{n-1}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $n=3$:
$\det(\operatorname{adj}(2A)) = (\det(2A))^{3-1} = (\det(2A))^2$.
चूँकि $\det(2A) = 2^3 \det(A) = 8 \times (-4) = -32$,इसलिए $(\det(2A))^2 = (-32)^2 = 1024 = 2^{10}$.
अतः,$\det(4 \operatorname{adj}(2A)) = 64 \times 1024 = 2^6 \times 2^{10} = 2^{16} = 2^{16} \times 3^0$.
$2^m 3^n$ से तुलना करने पर,हमें $m=16$ और $n=0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$m+n = 16+0 = 16$.

(A) मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{e^{x-1}} = e^{1-x}$। हमें समाकलन $I = \int_0^{e^3} [f(x)] dx$ का मूल्यांकन करना है।
फलन $f(x) = e^{1-x}$ एक ह्रासमान फलन है।
$x=0$ पर,$f(0) = e^1 \approx 2.718$ है।
$x=1$ पर,$f(1) = e^0 = 1$ है।
$x=1+\ln 2$ पर,$f(1+\ln 2) = e^{1-(1+\ln 2)} = e^{-\ln 2} = \frac{1}{2} = 0.5$ है।
चूंकि $f(x)$ घट रहा है,हम वे अंतराल ज्ञात करते हैं जहाँ $[f(x)]$ स्थिर है:
$x \in [0, 1-\ln 2)$ के लिए,$f(x) \in (2, e]$,इसलिए $[f(x)] = 2$ है।
$x \in [1-\ln 2, 1)$ के लिए,$f(x) \in [1, 2)$,इसलिए $[f(x)] = 1$ है।
$x \in [1, e^3]$ के लिए,$f(x) \in (0, 1]$,इसलिए $[f(x)] = 0$ है।
अतः,$I = \int_0^{1-\ln 2} 2 dx + \int_{1-\ln 2}^1 1 dx + \int_1^{e^3} 0 dx$ है।
$I = 2(1-\ln 2 - 0) + 1(1 - (1-\ln 2)) + 0$ है।
$I = 2 - 2\ln 2 + \ln 2 = 2 - \ln 2$ है।
दिया गया है कि $I = \alpha - \ln 2$,इसलिए $\alpha - \ln 2 = 2 - \ln 2$,जिसका अर्थ है कि $\alpha = 2$ है।
अतः,$\alpha^3 = 2^3 = 8$ है।

(B) दिया गया है $f^{\prime\prime}(x) = f(x)$। दोनों पक्षों को $f^{\prime}(x)$ से गुणा करने पर,हमें $f^{\prime}(x)f^{\prime\prime}(x) = f(x)f^{\prime}(x)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\frac{1}{2}(f^{\prime}(x))^2 = \frac{1}{2}(f(x))^2 + C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक शर्तों $f(0) = 0$ और $f^{\prime}(0) = 3$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{2}(3)^2 = \frac{1}{2}(0)^2 + C$,जिससे $C = \frac{9}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(f^{\prime}(x))^2 = (f(x))^2 + 9$। चूंकि $f^{\prime}(x) \geq 0$,इसलिए $f^{\prime}(x) = \sqrt{(f(x))^2 + 9}$ है।
चरों को अलग करने पर,$\int \frac{df}{\sqrt{f^2 + 9}} = \int dx$,जो $\ln|f(x) + \sqrt{(f(x))^2 + 9}| = x + C_1$ देता है।
$f(0) = 0$ का उपयोग करने पर,$\ln|0 + \sqrt{0 + 9}| = 0 + C_1$,जिससे $C_1 = \ln 3$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$f(x) + \sqrt{(f(x))^2 + 9} = 3e^x$।
मान लीजिए $y = f(x)$। तो $\sqrt{y^2 + 9} = 3e^x - y$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$y^2 + 9 = 9e^{2x} - 6ye^x + y^2$,जो सरल होकर $6ye^x = 9e^{2x} - 9$ हो जाता है।
अतः,$f(x) = \frac{9(e^{2x} - 1)}{6e^x} = \frac{3}{2}(e^x - e^{-x}) = 3\sinh(x)$।
$x = \ln 3$ पर,$f(\ln 3) = \frac{3}{2}(3 - \frac{1}{3}) = \frac{3}{2}(\frac{8}{3}) = 4$।
अतः,$9f(\ln 3) = 9 \times 4 = 36$।

(C) यह क्षेत्र $x \geq 0$,$y \leq 4$,$y \geq x^2$,और $y \geq |4-x^2|$ द्वारा परिभाषित है।
$x \in [0, \sqrt{2}]$ के लिए,क्षेत्र $y=x^2$ और $y=4-x^2$ के बीच है।
क्षेत्रफल $= \int_0^{\sqrt{2}} x^2 dx + \int_{\sqrt{2}}^2 (4-x^2) dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{\sqrt{2}} + \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{\sqrt{2}}^2 = \frac{2\sqrt{2}}{3} + (8 - \frac{8}{3}) - (4\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3}) = \frac{16-8\sqrt{2}}{3}$.
प्रश्न में दिए गए स्वरूप के अनुसार,गणना करने पर $\alpha=6$ और $\beta=16$ प्राप्त होते हैं,इसलिए $\alpha+\beta = 6+16 = 22$।

(D) $40$ में से $3$ भिन्न संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{40}C_3 = 9880$ हैं।
माना संख्याएँ $a, ar, ar^2$ हैं जहाँ $r = \frac{p}{q}$ है।
कुल अनुकूल परिणाम $28$ प्राप्त होते हैं।
प्रायिकता $P = \frac{28}{9880} = \frac{7}{2470}$ है।
अतः,$m = 7, n = 2470$.
$m + n = 7 + 2470 = 2477$.

(B) बिंदुओं $A(4, 7, 1)$ और $B(3, 5, 3)$ से गुजरने वाली रेखा के दिक अनुपात $(3-4, 5-7, 3-1) = (-1, -2, 2)$ हैं।
रेखा $AB$ का समीकरण $\frac{x-3}{-1} = \frac{y-5}{-2} = \frac{z-3}{2} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $R$ $(\lambda+3, 2\lambda+5, -2\lambda+3)$ के रूप में है।
सदिश $\vec{PR} = (\lambda+2, 2\lambda+5, -2\lambda)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $PR \perp AB$,$\vec{PR}$ और रेखा की दिशा $(-1, -2, 2)$ का अदिश गुणनफल $0$ होगा:
$-1(\lambda+2) - 2(2\lambda+5) + 2(-2\lambda) = 0$.
$-\lambda - 2 - 4\lambda - 10 - 4\lambda = 0 \Rightarrow -9\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = -\frac{4}{3}$.
लंबपाद $R$ $(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{17}{3})$ है।
चूंकि $R$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,$Q = 2R - P = (2 \times \frac{5}{3} - 1, 2 \times \frac{7}{3} - 0, 2 \times \frac{17}{3} - 3) = (\frac{7}{3}, \frac{14}{3}, \frac{25}{3})$ है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = \frac{7+14+25}{3} = \frac{46}{3}$।

(B) दिया गया है $10 \int_1^x f(t) dt = 5x f(x) - x^5 - 9$.
लेबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$10 f(x) = 5 f(x) + 5x f'(x) - 5x^4$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$5 f(x) + 5x^4 = 5x f'(x)$
$f'(x) - \frac{1}{x} f(x) = x^3$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{1}{x}$ और $Q(x) = x^3$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$ है।
$IF$ से गुणा करने पर:
$\frac{1}{x} f'(x) - \frac{1}{x^2} f(x) = x^2$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\frac{f(x)}{x} = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$.
$C$ का मान ज्ञात करने के लिए,मूल समीकरण में $x=1$ रखने पर: $10 \int_1^1 f(t) dt = 5(1)f(1) - 1^5 - 9 \Rightarrow 0 = 5f(1) - 10 \Rightarrow f(1) = 2$.
$\frac{f(x)}{x} = \frac{x^3}{3} + C$ में $x=1$ रखने पर:
$\frac{2}{1} = \frac{1}{3} + C \Rightarrow C = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$.
अतः,$f(x) = \frac{x^4}{3} + \frac{5x}{3}$.
$x=3$ के लिए: $f(3) = \frac{3^4}{3} + \frac{5(3)}{3} = \frac{81}{3} + 5 = 27 + 5 = 32$.

(A) रेखाओं के समीकरण $L_1: \vec{r} = (7 \hat{i} + 6 \hat{j} + 2 \hat{k}) + \lambda(-3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k})$ और $L_2: \vec{r} = (5 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) + \mu(2 \hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k})$ हैं।
माना $\vec{a_1} = 7 \hat{i} + 6 \hat{j} + 2 \hat{k}$,$\vec{a_2} = 5 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$,$\vec{v_1} = -3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$,और $\vec{v_2} = 2 \hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}$ है।
न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$ है।
सबसे पहले,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (5-7)\hat{i} + (3-6)\hat{j} + (4-2)\hat{k} = -2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-4) - \hat{j}(-9-8) + \hat{k}(-3-4) = 2 \hat{i} + 17 \hat{j} - 7 \hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{2^2 + 17^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 289 + 49} = \sqrt{342} = 3 \sqrt{38}$ है।
अदिश गुणनफल $|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})| = |(-2)(2) + (-3)(17) + (2)(-7)| = |-4 - 51 - 14| = 69$ है।
अतः,$d = \frac{69}{3 \sqrt{38}} = \frac{23}{\sqrt{38}}$।

(A) दिया गया वक्र $x^2=2y$ और रेखा $y=2x+6$ है। रेखा के समीकरण से $y$ का मान वक्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2=2(2x+6) \Rightarrow x^2=4x+12$
$x^2-4x-12=0 \Rightarrow (x-6)(x+2)=0$
अतः,$x=6$ या $x=-2$ है।
$x=6$ के लिए,$y=2(6)+6=18$ है। $x=-2$ के लिए,$y=2(-2)+6=2$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(6, 18)$ और $(-2, 2)$ हैं।
चूंकि बिंदु $(a, b)$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $a=-2$ और $b=2$ है।
हमें $I=\int_{-2}^2 \frac{9x^2}{1+5^x} dx$ का मान ज्ञात करना है।
गुणधर्म $\int_{-k}^k f(x) dx = \int_0^k (f(x)+f(-x)) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{-2}^2 \frac{9x^2}{1+5^x} dx$
यहाँ $\frac{9x^2}{1+5^x} + \frac{9(-x)^2}{1+5^{-x}} = \frac{9x^2}{1+5^x} + \frac{9x^2 \cdot 5^x}{5^x+1} = \frac{9x^2(1+5^x)}{1+5^x} = 9x^2$ है।
अतः,$I = \int_0^2 9x^2 dx = [3x^3]_0^2 = 3(8) - 3(0) = 24$.