यदि 24 int_0^{frac{pi}{4}} left( sin left| 4x | vedclass

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Question

(B) माना $I = 24 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin \left| 4x - \frac{\pi}{12} \right| dx + 24 \int_0^{\frac{\pi}{4}} [2 \sin x] dx$. सबसे पहले,$I_1 = 24 \in

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$12$

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(B) माना $I = 24 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin \left| 4x - \frac{\pi}{12} \right| dx + 24 \int_0^{\frac{\pi}{4}} [2 \sin x] dx$. सबसे पहले,$I_1 = 24 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin \left| 4x - \frac{\pi}{12} \right| dx$ का मूल्यांकन करें। मापांक के अंदर का व्यंजक $4x = \frac{\pi}{12}$ अर्थात $x = \frac{\pi}{48}$ पर अपना चिह्न बदलता है। $I_1 = 24 \left( \int_0^{\frac{\pi}{48}} -\sin \left( 4x - \frac{\pi}{12} \right) dx + \int_{\frac{\pi}{48}}^{\frac{\pi}{4}} \sin \left( 4x - \frac{\pi}{12} \right) dx \right)$. $I_1 = 24 \left( \left[ \frac{\cos(4x - \frac{\pi}{12})}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{48}} + \left[ -\frac{\cos(4x - \frac{\pi}{12})}{4} \right]_{\frac{\pi}{48}}^{\frac{\pi}{4}} \right)$. $I_1 = 6 \left( (\cos(0) - \cos(-\frac{\pi}{12})) + (-\cos(\frac{11\pi}{12}) + \cos(0)) \right) = 6(1 - \cos(\frac{\pi}{12}) - \cos(\frac{11\pi}{12}) + 1) = 6(2 - \cos(\frac{\pi}{12}) + \cos(\frac{\pi}{12})) = 12$. अब,$I_2 = 24 \int_0^{\frac{\pi}{4}} [2 \sin x] dx$ का मूल्यांकन करें। जब $0 \le x \le \frac{\pi}{6}$,तब $0 \le 2 \sin x जब $\frac{\pi}{6} $I_2 = 24 \left( \int_0^{\frac{\pi}{6}} 0 dx + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} 1 dx \right) = 24 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \right) = 24 \left( \frac{\pi}{12} \right) = 2 \pi$. अतः,$I = I_1 + I_2 = 12 + 2 \pi$. $2 \pi + \alpha$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 12$ प्राप्त होता है।

यदि $24 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left( \sin \left| 4x - \frac{\pi}{12} \right| + [2 \sin x] \right) dx = 2 \pi + \alpha$,जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,तो $\alpha$ का मान . . . . . . है।

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