JEE Main 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2 \cos ^2 x+3 \cos x}-\sqrt{\cos ^2 x+\sin x+4}}{\sin x}$ है।
अंश का परिमेयकरण करने पर:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{(2 \cos ^2 x+3 \cos x) - (\cos ^2 x+\sin x+4)}{\sin x (\sqrt{2 \cos ^2 x+3 \cos x}+\sqrt{\cos ^2 x+\sin x+4})}$
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{\cos ^2 x+3 \cos x - \sin x - 4}{\sin x (\sqrt{2 \cos ^2 x+3 \cos x}+\sqrt{\cos ^2 x+\sin x+4})}$
चूँकि $\cos ^2 x + 3 \cos x - 4 = (\cos x - 1)(\cos x + 4)$ है:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{(\cos x - 1)(\cos x + 4) - \sin x}{\sin x (\sqrt{2 \cos ^2 x+3 \cos x}+\sqrt{\cos ^2 x+\sin x+4})}$
$\cos x - 1 = -2 \sin ^2 \frac{x}{2}$ और $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{-2 \sin ^2 \frac{x}{2}(\cos x + 4) - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} (\sqrt{2 \cos ^2 x+3 \cos x}+\sqrt{\cos ^2 x+\sin x+4})}$
अंश और हर को $2 \sin \frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{-\sin \frac{x}{2}(\cos x + 4) - \cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} (\sqrt{2 \cos ^2 x+3 \cos x}+\sqrt{\cos ^2 x+\sin x+4})}$
जब $x \rightarrow 0$,तब $\sin \frac{x}{2} \rightarrow 0$,$\cos \frac{x}{2} \rightarrow 1$,$\cos x \rightarrow 1$:
$L = \frac{-(0)(5) - 1}{1 (\sqrt{5} + \sqrt{5})} = -\frac{1}{2 \sqrt{5}}$.

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित बिंदु $(x_1, y_1)$ की नाभीय दूरियों का गुणनफल $a^2 - e^2x_1^2$ होता है।
दिए गए बिंदु $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ के लिए,गुणनफल $a^2 - e^2(\sqrt{3})^2 = a^2 - 3e^2 = \frac{7}{4}$ है।
अतः,$4a^2 = 7 + 12e^2$.
चूंकि बिंदु दीर्घवृत्त पर स्थित है,$\frac{3}{a^2} + \frac{1}{4b^2} = 1$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$\frac{3}{a^2} + \frac{1}{4a^2(1 - e^2)} = 1$.
$4a^2(1 - e^2)$ से गुणा करने पर,$12(1 - e^2) + 1 = 4a^2(1 - e^2)$.
$4a^2 = 7 + 12e^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$13 - 12e^2 = (7 + 12e^2)(1 - e^2)$.
$13 - 12e^2 = 7 - 7e^2 + 12e^2 - 12e^4$.
$12e^4 - 17e^2 + 6 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $e^2$ ज्ञात करने पर: $e^2 = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 288}}{24} = \frac{17 \pm 1}{24}$.
अतः,$e_1^2 = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ और $e_2^2 = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.
इसलिए,$e_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $e_2 = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
निरपेक्ष अंतर $|e_1 - e_2| = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$.

(A) प्रारंभिक माध्य $\overline{x} = 5.5$ और $n = 10$ के लिए,प्रारंभिक योग $\sum_{i=1}^{10} x_i = 5.5 \times 10 = 55$ है।
दिया गया है $\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 371$।
योग में सुधार: $(\sum x_i)_{\text{new}} = 55 - (4 + 5) + (6 + 8) = 60$।
वर्गों के योग में सुधार: $(\sum x_i^2)_{\text{new}} = 371 - (4^2 + 5^2) + (6^2 + 8^2) = 430$।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\frac{\sum x_i}{n})^2$।
$\sigma^2 = \frac{430}{10} - (\frac{60}{10})^2 = 43 - 36 = 7$।

(D) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ है। इसका केंद्र $(1, -2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{1^2 + (-2)^2 - (-4)} = \sqrt{1+4+4} = 3$ है।
माना वृत्त $C$ का केंद्र $O(h, k)$ है। रेखा $2x-3y+5=0$ के सापेक्ष $(1, -2)$ का प्रतिबिंब इस प्रकार है:
$\frac{h-1}{2} = \frac{k+2}{-3} = \frac{-2(2(1)-3(-2)+5)}{2^2+(-3)^2} = \frac{-2(2+6+5)}{13} = -2$.
अतः,$h-1 = -4 \Rightarrow h = -3$ और $k+2 = 6 \Rightarrow k = 4$. इसलिए,$O = (-3, 4)$.
वृत्त $C$ का समीकरण $(x+3)^2+(y-4)^2 = 3^2 = 9$ है।
बिंदु $A$,$C$ पर इस प्रकार है कि $OA$,$x$-अक्ष के समांतर है और $A$,$O$ के दाईं ओर है। चूँकि $O=(-3, 4)$ और $r=3$ है,इसलिए $A = (-3+3, 4) = (0, 4)$ प्राप्त होता है।
चाप $AB$ की लंबाई परिधि का $1/6$ भाग है,इसलिए केंद्रीय कोण $\theta = \frac{1}{6} \times 2\pi = \frac{\pi}{3}$ है।
चूँकि $B(\alpha, \beta)$,$C$ पर स्थित है और $\beta < 4$ है,इसलिए $B$,क्षैतिज रेखा $y=4$ के नीचे है। अतः,$\beta = 4 - 3\sin(\pi/3) = 4 - 3\sqrt{3}/2$ और $\alpha = -3 + 3\cos(\pi/3) = -3 + 1.5 = -1.5$ प्राप्त होता है।
अतः $\beta - \sqrt{3}\alpha = (4 - 3\sqrt{3}/2) - \sqrt{3}(-1.5) = 4 - 1.5\sqrt{3} + 1.5\sqrt{3} = 4$.

(B) $(1+x)^{n+4}$ के $5^{\text{th}}$,$6^{\text{th}}$ और $7^{\text{th}}$ पदों के गुणांक $^{n+4}C_4$,$^{n+4}C_5$ और $^{n+4}C_6$ हैं।
चूंकि वे $A.P.$ में हैं,$2 \times ^{n+4}C_5 = ^{n+4}C_4 + ^{n+4}C_6$।
इस समीकरण को हल करने पर,$n^2 - 13n + 30 = 0$ प्राप्त होता है।
$n=3$ या $n=10$ मिलता है,लेकिन $n \neq 10$ होने के कारण $n=3$ लेते हैं।
अतः,$(1+x)^7$ के विस्तार में सबसे बड़ा गुणांक $^{7}C_3 = 35$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $(x^2-9x+11)^2-(x^2-9x+20)=3$
माना $t = x^2-9x$ है।
समीकरण में $t$ प्रतिस्थापित करने पर: $(t+11)^2 - (t+20) = 3$
$t^2 + 22t + 121 - t - 20 - 3 = 0$
$t^2 + 21t + 98 = 0$
$(t+14)(t+7) = 0$
अतः,$t = -7$ या $t = -14$ है।
स्थिति $1$: $x^2-9x = -7 \Rightarrow x^2-9x+7 = 0$। मूल $x = \frac{9 \pm \sqrt{81-28}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{53}}{2}$ (अपरिमेय) हैं।
स्थिति $2$: $x^2-9x = -14 \Rightarrow x^2-9x+14 = 0$।
$(x-7)(x-2) = 0 \Rightarrow x = 7, 2$ (परिमेय)।
परिमेय मूलों का गुणनफल $7 \times 2 = 14$ है।

(D) मान लीजिए $P = (1, 2)$ और $Q = \left(\frac{57}{13}, \frac{-40}{13}\right)$ है। रेखा $2x - 3y + \lambda = 0$ रेखाखंड $PQ$ का लंब समद्विभाजक है।
$PQ$ का मध्य-बिंदु $M$ इस प्रकार है:
$M = \left(\frac{1 + \frac{57}{13}}{2}, \frac{2 - \frac{40}{13}}{2}\right) = \left(\frac{35}{13}, \frac{-7}{13}\right)$.
चूँकि $M$ रेखा $2x - 3y + \lambda = 0$ पर स्थित है:
$2\left(\frac{35}{13}\right) - 3\left(\frac{-7}{13}\right) + \lambda = 0$
$\frac{70}{13} + \frac{21}{13} + \lambda = 0$ $\Rightarrow 7 + \lambda = 0$ $\Rightarrow \lambda = -7$.
चूँकि तीनों रेखाएँ संगामी हैं,उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} 3 & -4 & -\alpha \\ 8 & -11 & -33 \\ 2 & -3 & \lambda \end{vmatrix} = 0$
$\lambda = -7$ रखने पर:
$3(77 - 99) + 4(-56 + 66) - \alpha(-24 + 22) = 0$
$-66 + 40 + 2\alpha = 0$ $\Rightarrow 2\alpha = 26$ $\Rightarrow \alpha = 13$.
अतः,$|\alpha \lambda| = |13 \times (-7)| = 91$.

(C) $3$-अंकों की कुल संख्याएँ $999 - 99 = 900$ हैं।
कोई संख्या $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य है यदि वह $\text{lcm}(2, 3) = 6$ से विभाज्य है।
$6$ से विभाज्य $3$-अंकों की संख्याएँ $\frac{900}{6} = 150$ हैं।
कोई संख्या $4$ और $9$ दोनों से विभाज्य है यदि वह $\text{lcm}(4, 9) = 36$ से विभाज्य है।
$36$ से विभाज्य $3$-अंकों की संख्याएँ $\frac{900}{36} = 25$ हैं।
चूंकि $36$ से विभाज्य प्रत्येक संख्या $6$ से भी विभाज्य होती है,इसलिए $2$ और $3$ से विभाज्य लेकिन $4$ और $9$ से विभाज्य न होने वाली संख्याएँ $150 - 25 = 125$ हैं।

(A) मान लीजिए $S = \{p_1, p_2, \ldots, p_{10}\}$। समुच्चय $P$,$S$ के भिन्न अवयवों के गुणनफलों से बना है। समुच्चय $A = S \cup P$ में $S$ के $k$ भिन्न अवयवों के सभी गुणनफल शामिल हैं,जहाँ $k = 1, 2, \ldots, 10$।
एक निश्चित $x \in S$ के लिए,हमें $y \in A$ की संख्या ज्ञात करनी है ताकि $x, y$ को विभाजित करे।
यदि $y = p_{i_1} p_{i_2} \ldots p_{i_k}$ है,तो $x, y$ को तभी विभाजित करेगा यदि $x \in \{p_{i_1}, \ldots, p_{i_k}\}$ हो।
एक निश्चित $x = p_j$ के लिए,ऐसे गुणनफलों $y$ की संख्या $S$ के उन उपसमुच्चयों की संख्या है जिनमें $p_j$ शामिल है।
चूंकि $S$ में $10$ अवयव हैं,एक विशिष्ट अवयव $p_j$ वाले उपसमुच्चयों की संख्या $2^{10-1} = 2^9 = 512$ है।
$x \in S$ के लिए $10$ विकल्प होने के कारण,क्रमित युग्मों $(x, y)$ की कुल संख्या $10 \times 512 = 5120$ है।

(A) दिए गए मध्य-बिंदु $(x_1, y_1)$ वाले दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की जीवा का समीकरण $T = S_1$ होता है।
यहाँ,$T = \frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} - 1$ और $S_1 = \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} - 1$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ और मध्य-बिंदु $(3, 1)$ के लिए:
$\frac{3x}{25} + \frac{1y}{16} - 1 = \frac{3^2}{25} + \frac{1^2}{16} - 1$.
$\frac{3x}{25} + \frac{y}{16} = \frac{9}{25} + \frac{1}{16}$.
$400$ से गुणा करने पर:
$16(3x) + 25(y) = 16(9) + 25(1)$.
$48x + 25y = 144 + 25$.
$48x + 25y = 169$.

(C) समुच्चय $A$ के लिए: $\log_{(2/\pi)}|\sin x| + \log_{(2/\pi)}|\cos x| = 2$
$\Rightarrow \log_{(2/\pi)}|\sin x \cos x| = 2$
$\Rightarrow |\sin x \cos x| = (2/\pi)^2 = 4/\pi^2$
$\Rightarrow |\frac{1}{2} \sin 2x| = 4/\pi^2$
$\Rightarrow |\sin 2x| = 8/\pi^2$
चूँकि $8/\pi^2 < 1$,समीकरण $|\sin 2x| = 8/\pi^2$ के $(0, \pi) - \{\pi/2\}$ में $4$ हल हैं।
समुच्चय $B$ के लिए: माना $t = \sqrt{x} \geq 0$ है। समीकरण $t(t - 4) - 3|t - 2| + 6 = 0$ है।
स्थिति $1$: $0 \leq t < 2$. $|t - 2| = 2 - t$.
$t^2 - 4t - 3(2 - t) + 6 = 0$ $\Rightarrow t^2 - t = 0$ $\Rightarrow t = 0, 1$। अतः $x = 0, 1$।
स्थिति $2$: $t \geq 2$. $|t - 2| = t - 2$.
$t^2 - 4t - 3(t - 2) + 6 = 0$ $\Rightarrow t^2 - 7t + 12 = 0$ $\Rightarrow t = 3, 4$। अतः $x = 9, 16$।
समुच्चय $B = \{0, 1, 9, 16\}$,अतः $n(B) = 4$ है।
चूँकि $A$ और $B$ असंयुक्त हैं,$n(A \cup B) = 4 + 4 = 8$ है।

(C) दी गई रेखाएँ $L_1: x + y = 11$,$L_2: x + 2y = 16$,और $L_3: 2x + 3y = 29$ हैं।
हमें बिंदु $\left(\frac{11}{2}, \alpha\right)$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $x = \frac{11}{2}$।
रेखाओं के समीकरणों में $x = \frac{11}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$L_1$ के लिए: $\frac{11}{2} + y = 11 \implies y = 5.5 = \frac{11}{2}$।
$L_2$ के लिए: $\frac{11}{2} + 2y = 16 \implies 2y = 10.5 \implies y = 5.25 = \frac{21}{4}$।
$L_3$ के लिए: $2\left(\frac{11}{2}\right) + 3y = 29 \implies 11 + 3y = 29 \implies 3y = 18 \implies y = 6$।
इन रेखाओं द्वारा परिबद्ध क्षेत्र में $x = \frac{11}{2}$ पर,$\alpha$ का मान सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के बीच है। न्यूनतम मान $\alpha_{\min} = \frac{11}{2}$ और अधिकतम मान $\alpha_{\max} = 6$ है।
अतः गुणनफल $\alpha_{\min} \cdot \alpha_{\max} = \frac{11}{2} \times 6 = 33$ है।

(B) माना $a$ प्रथम पद है और $d$ समांतर श्रेणी का सार्व अंतर है।
$S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
$S_{40} = 1030$ के लिए: $\frac{40}{2}[2a + 39d] = 1030 \implies 2a + 39d = 51.5$ $(1)$
$S_{12} = 57$ के लिए: $\frac{12}{2}[2a + 11d] = 57 \implies 2a + 11d = 9.5$ $(2)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर: $28d = 42 \implies d = 1.5$
$d = 1.5$ को $(2)$ में रखने पर: $2a + 11(1.5) = 9.5 \implies 2a = -7 \implies a = -3.5$
अब,$S_{30} - S_{10} = 20a + 390d = 20(-3.5) + 390(1.5) = -70 + 585 = 515$.

(C) माना $S = 5 + \frac{1}{7}(5 + \alpha) + \frac{1}{7^2}(5 + 2\alpha) + \dots \infty$.
दिया है $S = 7$.
दोनों पक्षों को $\frac{1}{7}$ से गुणा करने पर: $\frac{1}{7}S = \frac{1}{7}(5) + \frac{1}{7^2}(5 + \alpha) + \frac{1}{7^3}(5 + 2\alpha) + \dots \infty$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$S - \frac{1}{7}S = 5 + [\frac{1}{7}(5 + \alpha - 5) + \frac{1}{7^2}(5 + 2\alpha - (5 + \alpha)) + \dots \infty]$.
$\frac{6}{7}S = 5 + [\frac{\alpha}{7} + \frac{\alpha}{7^2} + \frac{\alpha}{7^3} + \dots \infty]$.
कोष्ठक में दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $a = \frac{\alpha}{7}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{7}$ है।
योग $= \frac{a}{1-r} = \frac{\alpha/7}{1 - 1/7} = \frac{\alpha}{6}$.
अतः,$\frac{6}{7}S = 5 + \frac{\alpha}{6}$.
चूंकि $S = 7$,इसलिए $\frac{6}{7}(7) = 5 + \frac{\alpha}{6}$.
$6 = 5 + \frac{\alpha}{6}$ $\Rightarrow 1 = \frac{\alpha}{6}$ $\Rightarrow \alpha = 6$.

(B) $(1+x)^m$ के विस्तार में $r^{\text{th}}$ पद $T_r = {}^{m}C_{r-1} x^{r-1}$ द्वारा दिया जाता है।
$(1+x)^{2n-1}$ के विस्तार के लिए:
$30^{\text{th}}$ पद $T_{30} = {}^{2n-1}C_{29} x^{29}$ है,इसलिए $A = {}^{2n-1}C_{29}$ है।
$12^{\text{th}}$ पद $T_{12} = {}^{2n-1}C_{11} x^{11}$ है,इसलिए $B = {}^{2n-1}C_{11}$ है।
दिया गया है $2A = 5B$,इसलिए $2({}^{2n-1}C_{29}) = 5({}^{2n-1}C_{11})$ है।
गुणधर्म ${}^{n}C_r = {}^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,${}^{2n-1}C_{29} = {}^{2n-1}C_{2n-30}$ है।
अतः,$2({}^{2n-1}C_{2n-30}) = 5({}^{2n-1}C_{11})$ है।
$n=21$ रखने पर,$2n-1 = 41$ प्राप्त होता है।
$2({}^{41}C_{29}) = 5({}^{41}C_{11})$ है।
$2 \times \frac{41!}{12! 29!} = 5 \times \frac{41!}{11! 30!} \implies \frac{2}{12} = \frac{5}{30} \implies \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ है।
अतः,$n = 21$ सही उत्तर है।

(C) हमें कुल $4$ लड़कों और $4$ लड़कियों का चयन करना है,ताकि $5$ विद्यार्थी समूह $A$ से और $3$ विद्यार्थी समूह $B$ से हों।
मान लीजिए $x_1, y_1$ समूह $A$ से चुने गए लड़कों और लड़कियों की संख्या है,और $x_2, y_2$ समूह $B$ से चुने गए लड़कों और लड़कियों की संख्या है।
हमें प्राप्त होता है $x_1 + y_1 = 5$ और $x_2 + y_2 = 3$,जहाँ $x_1 + x_2 = 4$ और $y_1 + y_2 = 4$.
संभावित स्थितियाँ:
स्थिति $I$: $x_1=2, y_1=3$ (समूह $A$ से) और $x_2=2, y_2=1$ (समूह $B$ से): $\binom{7}{2} \binom{3}{3} \times \binom{6}{2} \binom{5}{1} = 21 \times 1 \times 15 \times 5 = 1575$.
स्थिति $II$: $x_1=3, y_1=2$ (समूह $A$ से) और $x_2=1, y_2=2$ (समूह $B$ से): $\binom{7}{3} \binom{3}{2} \times \binom{6}{1} \binom{5}{2} = 35 \times 3 \times 6 \times 10 = 6300$.
स्थिति $III$: $x_1=4, y_1=1$ (समूह $A$ से) और $x_2=0, y_2=3$ (समूह $B$ से): $\binom{7}{4} \binom{3}{1} \times \binom{6}{0} \binom{5}{3} = 35 \times 3 \times 1 \times 10 = 1050$.
कुल तरीके $= 1575 + 6300 + 1050 = 8925$.

(C) माना $f(x) = x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$.
माना $g(x) = \min \{|x-3|, |x+2|\}$.
हमें $y = f(x)$ और $y = g(x)$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करनी है।
$x < -2$ के लिए,$f(x) > 0$ और $g(x) = |x-3| = 3-x$. $x^2+3x+2 = 3-x$ को हल करने पर $x^2+4x-1 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = -2 \pm \sqrt{5}$. चूँकि $x < -2$,इसलिए $x = -2-\sqrt{5}$ एक हल है।
$-2 \le x < 0.5$ के लिए,$g(x) = |x+2| = x+2$. $x^2+3x+2 = x+2$ को हल करने पर $x^2+2x = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x=0$ या $x=-2$। दोनों अंतराल में हैं।
$x \ge 0.5$ के लिए,$g(x) = |x-3|$। परवलय $f(x)$ वर्धमान है और $g(x)$ घटता या बढ़ता है,लेकिन $f(x)$ बहुत तेजी से बढ़ता है,इसलिए कोई अन्य हल नहीं है।
हल $x = -2-\sqrt{5}$,$x = -2$,और $x = 0$ हैं। अतः,कुल $3$ वास्तविक हल हैं।

(D) परवलय का अक्ष नियता $x + 2y = 0$ के लंबवत है और शीर्ष $V \left(\frac{3}{2}, 3\right)$ से गुजरता है।
अतः,अक्ष की ढाल $2$ है। अक्ष का समीकरण $y - 3 = 2 \left(x - \frac{3}{2}\right)$ है,जो $y = 2x$ में सरल होता है।
नियता का पाद $x + 2y = 0$ और $y = 2x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो $(0, 0)$ है।
चूंकि शीर्ष नाभि $S$ और नियता के पाद $(0, 0)$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $\frac{x_S + 0}{2} = \frac{3}{2}$ और $\frac{y_S + 0}{2} = 3$ है,जिससे नाभि $S(3, 6)$ प्राप्त होती है।
परवलय की परिभाषा के अनुसार,$PS^2 = PM^2$,जहाँ $P(x, y)$ परवलय पर एक बिंदु है:
$(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = \left(\frac{x + 2y}{\sqrt{5}}\right)^2$
$5(x^2 - 6x + 9 + y^2 - 12y + 36) = x^2 + 4y^2 + 4xy$
$4x^2 + y^2 - 4xy - 30x - 60y + 225 = 0$
$\alpha = 4, \beta = 1, \gamma = 4$ की तुलना करने पर,$\alpha + \beta + \gamma = 4 + 1 + 4 = 9$ प्राप्त होता है।

(D) $H_1: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए,नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 15\sqrt{2}$ और $e_1^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{5}{2}$ है।
$e_1^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{5}{2}$ से,हमें $\frac{b^2}{a^2} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $b^2 = \frac{3}{2}a^2$.
नाभिलंब के समीकरण में मान रखने पर: $\frac{2(\frac{3}{2}a^2)}{a} = 15\sqrt{2} \implies 3a = 15\sqrt{2} \implies a = 5\sqrt{2}$.
तब $b^2 = \frac{3}{2}(50) = 75$,इसलिए $b = 5\sqrt{3}$.
$H_1$ के अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 10\sqrt{2}$ है।
$H_2: \frac{y^2}{B^2}-\frac{x^2}{A^2}=1$ के लिए,नाभिलंब की लंबाई $\frac{2A^2}{B} = 12\sqrt{5}$ है।
अनुप्रस्थ अक्षों का गुणनफल $(2a)(2B) = 100\sqrt{10}$ है।
$(10\sqrt{2})(2B) = 100\sqrt{10} \implies 20\sqrt{2}B = 100\sqrt{10} \implies B = 5\sqrt{5}$.
$\frac{2A^2}{B} = 12\sqrt{5}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{2A^2}{5\sqrt{5}} = 12\sqrt{5} \implies 2A^2 = 60(5) = 300 \implies A^2 = 150$ प्राप्त होता है।
$H_2$ के लिए,$e_2^2 = 1 + \frac{A^2}{B^2} = 1 + \frac{150}{125} = 1 + \frac{6}{5} = \frac{11}{5}$ है।
अतः,$25e_2^2 = 25 \times \frac{11}{5} = 55$.

(D) $5$-अंकीय संख्या को $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5$ मानें। चूँकि संख्या $> 50000$ है,$d_1 \in \{5, 6, 7\}$।
दिया है $d_1 + d_5 \le 8$।
स्थिति $1$: $d_1 = 5$। तब $5 + d_5 \le 8 \implies d_5 \in \{0, 1, 2, 3\}$। $d_5$ के लिए $4$ विकल्प हैं।
$d_2, d_3, d_4$ के लिए $8$ विकल्प हैं। अतः,$4 \times 8^3 = 2048$।
स्थिति $2$: $d_1 = 6$। तब $6 + d_5 \le 8 \implies d_5 \in \{0, 1, 2\}$। $d_5$ के लिए $3$ विकल्प हैं। कुल $= 3 \times 512 = 1536$।
स्थिति $3$: $d_1 = 7$। तब $7 + d_5 \le 8 \implies d_5 \in \{0, 1\}$। $d_5$ के लिए $2$ विकल्प हैं। कुल $= 2 \times 512 = 1024$।
योग: $2048 + 1536 + 1024 = 4608$।
चूँकि संख्या $50000$ से बड़ी होनी चाहिए,$50000$ को घटाने पर,कुल संख्या $4608 - 1 = 4607$ होगी।

(A) परवलय $y^2=4ax$ है जहाँ $a=1$ है। मान लीजिए $A$ के निर्देशांक $(t_1^2, 2t_1)$ और $C$ के $(t_2^2, 2t_2)$ हैं। चूँकि $AD$ और $BC$,$y$-अक्ष के समांतर हैं,$A$ और $D$ का $x$-निर्देशांक समान है,और $B$ और $C$ का $x$-निर्देशांक समान है। अतः,$D$ का मान $(t_1^2, -2t_1)$ और $B$ का $(t_2^2, -2t_2)$ है।
चूँकि विकर्ण $AC$ नाभि $S(1,0)$ से होकर गुजरता है,बिंदु $A, S, C$ संरेख हैं। नाभि से गुजरने वाली जीवा के लिए $t_1 t_2 = -1$,इसलिए $t_2 = -\frac{1}{t_1}$ है।
निर्देशांक $A(t_1^2, 2t_1)$ और $C(\frac{1}{t_1^2}, -\frac{2}{t_1})$ हैं।
$AC$ की लंबाई $\sqrt{(t_1^2 - \frac{1}{t_1^2})^2 + (2t_1 + \frac{2}{t_1})^2} = \frac{25}{4}$ है।
सरल करने पर,$(t_1 + \frac{1}{t_1})^2 = \frac{25}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$t_1 + \frac{1}{t_1} = \frac{5}{2}$,जिससे $t_1 = 2$ या $t_1 = \frac{1}{2}$ मिलता है।
$t_1 = 2$ लेने पर,$A(4, 4)$ और $D(4, -4)$ प्राप्त होते हैं। फिर $t_2 = -\frac{1}{2}$,इसलिए $C(\frac{1}{4}, -1)$ और $B(\frac{1}{4}, 1)$ प्राप्त होते हैं।
समांतर भुजाएँ $AD = 8$ और $BC = 2$ हैं। समलंब की ऊँचाई $x$-निर्देशांकों का अंतर है: $h = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} (AD + BC) \times h = \frac{1}{2} (8 + 2) \times \frac{15}{4} = \frac{75}{4}$।

(C) किसी भी प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए $i^k$ का मान केवल चार मानों में से एक हो सकता है: $\{i, -1, -i, 1\}$.
चूंकि $k_1$ और $k_2$ को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए $(i^{k_1}, i^{k_2})$ के लिए कुल $4 \times 4 = 16$ संभावित जोड़े हैं।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है जहाँ $i^{k_1} + i^{k_2} \neq 0$,जो $1 - P(i^{k_1} + i^{k_2} = 0)$ के बराबर है।
शर्त $i^{k_1} + i^{k_2} = 0$ का अर्थ है $i^{k_1} = -i^{k_2}$।
इस शर्त को पूरा करने वाले संभावित जोड़े: $(i, -i), (-i, i), (1, -1), (-1, 1)$ हैं।
ऐसे $4$ प्रतिकूल मामले हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $16 - 4 = 12$ है।
प्रायिकता $\frac{12}{16} = \frac{3}{4}$ है।

(B) चूंकि $A(x, y, z)$ $xy$-समतल में स्थित है,इसलिए $z = 0$ होगा। अतः,$A = (x, y, 0)$ है।
दिया गया है कि $AP^2 = AQ^2 = AR^2$ है।
$AR^2 = x^2 + y^2 + (0 - 1)^2 = x^2 + y^2 + 1$ है।
$AP^2 = x^2 + (y - 3)^2 + (0 - 2)^2 = x^2 + y^2 - 6y + 9 + 4 = x^2 + y^2 - 6y + 13$ है।
$AQ^2 = (x - 2)^2 + y^2 + (0 - 3)^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2 + 9 = x^2 + y^2 - 4x + 13$ है।
$AP^2 = AR^2$ को बराबर करने पर: $x^2 + y^2 - 6y + 13 = x^2 + y^2 + 1 \implies 6y = 12 \implies y = 2$ है।
$AQ^2 = AR^2$ को बराबर करने पर: $x^2 + y^2 - 4x + 13 = x^2 + y^2 + 1 \implies 4x = 12 \implies x = 3$ है।
अतः,$A = (3, 2, 0)$ है।
अब,$A(3, 2, 0)$,$B(1, 4, -1)$ और $C(2, 0, -2)$ के साथ $\triangle ABC$ की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB^2 = (3 - 1)^2 + (2 - 4)^2 + (0 - (-1))^2 = 2^2 + (-2)^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9 \implies AB = 3$ है।
$AC^2 = (3 - 2)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - (-2))^2 = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9 \implies AC = 3$ है।
$BC^2 = (1 - 2)^2 + (4 - 0)^2 + (-1 - (-2))^2 = (-1)^2 + 4^2 + 1^2 = 1 + 16 + 1 = 18 \implies BC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ है।
चूंकि $AB = AC = 3$ और $AB^2 + AC^2 = 9 + 9 = 18 = BC^2$ है,इसलिए $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है। अतः,$(S1)$ सही है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$ है।
चूंकि $\frac{9}{2} \neq \frac{9\sqrt{2}}{2}$ है,इसलिए $(S2)$ गलत है।
अतः,केवल $(S1)$ सही है।

(D) वृत्त $x$-अक्ष को $(a, 0)$ पर स्पर्श करता है और $x$-अक्ष के नीचे स्थित है,इसलिए इसका केंद्र $(a, -r)$ और त्रिज्या $r$ है,जहाँ $r > 0$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - a)^2 + (y + r)^2 = r^2$ है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2ax + 2ry + a^2 = 0$ बन जाता है।
इसे $x^2 + y^2 - \alpha x + \beta y + \gamma = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 2a$,$\beta = 2r$,और $\gamma = a^2$ प्राप्त होता है।
वृत्त $y$-अक्ष पर $b$ लंबाई का अंतःखंड काटता है। समीकरण में $x = 0$ रखने पर,$y^2 + \beta y + \gamma = 0$ प्राप्त होता है। इसके मूल $y_1, y_2$ हैं और $|y_1 - y_2| = b$ है।
मूलों के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$|y_1 - y_2| = \sqrt{\beta^2 - 4\gamma} = b$,इसलिए $b^2 = \beta^2 - 4\gamma$ है।
अतः,क्रमित युग्म $(2a, b^2)$ का मान $(\alpha, \beta^2 - 4\gamma)$ है।

(B) दिया गया पुनरावृत्ति संबंध $2a_{n+2} - 5a_{n+1} + 3a_n = 0$ है।
अभिलक्षणिक समीकरण $2x^2 - 5x + 3 = 0$ है,जिसके गुणनखंड $(2x - 3)(x - 1) = 0$ हैं।
अतः,मूल $x = 1$ और $x = \frac{3}{2}$ हैं।
सामान्य पद $a_n = A(1)^n + B(\frac{3}{2})^n = A + B(\frac{3}{2})^n$ है।
प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करते हुए:
$n = 0$ के लिए: $A + B = 0 \Rightarrow A = -B$.
$n = 1$ के लिए: $A + \frac{3}{2}B = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow -B + \frac{3}{2}B = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{2}B = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow B = 1, A = -1$.
अतः,$a_n = (\frac{3}{2})^n - 1$.
अब,$\sum_{k=1}^{100} a_k = \sum_{k=1}^{100} ((\frac{3}{2})^k - 1) = \sum_{k=1}^{100} (\frac{3}{2})^k - \sum_{k=1}^{100} 1$.
गुणोत्तर श्रेणी का योग $\frac{\frac{3}{2}((\frac{3}{2})^{100} - 1)}{\frac{3}{2} - 1} = 3((\frac{3}{2})^{100} - 1)$ है।
इसलिए,$\sum_{k=1}^{100} a_k = 3((\frac{3}{2})^{100} - 1) - 100 = 3a_{100} - 100$.

(B) दिया गया है $T_m = a + (m-1)d = \frac{1}{25}$ और $T_{25} = a + 24d = \frac{1}{20}$.
$A.P.$ का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + T_n)$ है।
दिया गया है $20 \sum_{r=1}^{25} T_r = 13 \Rightarrow 20 \times \frac{25}{2}(a + T_{25}) = 13$.
$250(a + \frac{1}{20}) = 13$ $\Rightarrow a + \frac{1}{20} = \frac{13}{250}$ $\Rightarrow a = \frac{13}{250} - \frac{1}{20} = \frac{26-25}{500} = \frac{1}{500}$.
$a$ का मान $T_{25} = a + 24d = \frac{1}{20}$ में रखने पर,$\frac{1}{500} + 24d = \frac{25}{500}$ $\Rightarrow 24d = \frac{24}{500}$ $\Rightarrow d = \frac{1}{500}$.
$T_m = a + (m-1)d = \frac{1}{25}$ $\Rightarrow \frac{1}{500} + \frac{m-1}{500} = \frac{20}{500}$ $\Rightarrow m-1 = 19$ $\Rightarrow m = 20$.
हमें $5m \sum_{r=m}^{2m} T_r = 100 \sum_{r=20}^{40} T_r$ ज्ञात करना है।
योग $= \frac{n}{2}(T_{first} + T_{last}) = \frac{40-20+1}{2}(T_{20} + T_{40}) = \frac{21}{2}(a+19d + a+39d) = \frac{21}{2}(2a+58d) = 21(a+29d)$.
$21(\frac{1}{500} + \frac{29}{500}) = 21(\frac{30}{500}) = 21(\frac{3}{50}) = \frac{63}{50} = 1.26$.
$100 \times 1.26 = 126$.

(C) दिया गया समीकरण: $x^2+|2x-3|-4=0$.
स्थिति $I$: $x \geq \frac{3}{2}$.
समीकरण $x^2 + 2x - 3 - 4 = 0$ हो जाता है,जो $x^2 + 2x - 7 = 0$ है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-7)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{2}$.
चूंकि $x \geq \frac{3}{2}$,हम $x = 2\sqrt{2} - 1$ को स्वीकार करते हैं।
स्थिति $II$: $x < \frac{3}{2}$.
समीकरण $x^2 - (2x - 3) - 4 = 0$ हो जाता है,जो $x^2 - 2x - 1 = 0$ है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
चूंकि $x < \frac{3}{2}$,हम $x = 1 + \sqrt{2}$ और $x = 1 - \sqrt{2}$ दोनों को स्वीकार करते हैं।
मूल $2\sqrt{2}-1$,$1+\sqrt{2}$,और $1-\sqrt{2}$ हैं।
वर्गों का योग $= (2\sqrt{2}-1)^2 + (1+\sqrt{2})^2 + (1-\sqrt{2})^2$.
$= (8 - 4\sqrt{2} + 1) + (1 + 2\sqrt{2} + 2) + (1 - 2\sqrt{2} + 2)$.
$= 9 - 4\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2} = 15 - 4\sqrt{2}$.

(A) दिया है ${}^nC_{r-1} = 28$,${}^nC_r = 56$,और ${}^nC_{r+1} = 70$।
गुणधर्म $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{56}{28} = \frac{n-r+1}{r}$ $\Rightarrow 2r = n-r+1$ $\Rightarrow n = 3r-1$ $(i)$।
इसी प्रकार,$\frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_r} = \frac{n-r}{r+1} = \frac{70}{56} = \frac{5}{4}$।
$4(n-r) = 5(r+1)$ $\Rightarrow 4n - 4r = 5r + 5$ $\Rightarrow 4n = 9r + 5$ (ii)।
$(i)$ को (ii) में प्रतिस्थापित करने पर: $4(3r-1) = 9r+5$ $\Rightarrow 12r - 4 = 9r + 5$ $\Rightarrow 3r = 9$ $\Rightarrow r = 3$।
अतः $n = 3(3)-1 = 8$।
$C$ के निर्देशांक $(3(3)-8, 3^2-8-1) = (1, 0)$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $(x, y)$ इस प्रकार है:
$x = \frac{4 \cos t + 2 \sin t + 1}{3} \Rightarrow 3x - 1 = 4 \cos t + 2 \sin t$।
$y = \frac{4 \sin t - 2 \cos t + 0}{3} \Rightarrow 3y = 4 \sin t - 2 \cos t$।
वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3x-1)^2 + (3y)^2 = (4 \cos t + 2 \sin t)^2 + (4 \sin t - 2 \cos t)^2$।
$= 16 \cos^2 t + 4 \sin^2 t + 16 \sin^2 t + 4 \cos^2 t = 20(\cos^2 t + \sin^2 t) = 20$।
अतः $\alpha = 20$।

(D) दिया है $z_1 = \sqrt{3} + 2\sqrt{2}i$. मापांक $|z_1| = \sqrt{11}$ है।
दिया है $\sqrt{3}|z_2| = |z_1|$,इसलिए $|z_2| = \sqrt{\frac{11}{3}}$.
दिया है $\arg(z_2) - \arg(z_1) = \frac{\pi}{6}$,इसलिए $\angle AOB = \frac{\pi}{6}$.
$\triangle ABO$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |z_1| |z_2| \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{11}{4\sqrt{3}}$.
कोसाइन नियम के अनुसार,$AB^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2|z_1||z_2| \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{11}{3}$.
यहाँ $|z_2| = AB$ है,इसलिए $\triangle ABO$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
तीसरा कोण $\angle ABO = \frac{2\pi}{3}$ है,इसलिए यह एक अधिककोणीय समद्विबाहु त्रिभुज है।

(B) दिया गया है $\alpha = 1 + \sum_{r=1}^6 (-3)^{r-1} \binom{12}{2r-1}$.
$(1 + \sqrt{3}i)^{12}$ और $(1 - \sqrt{3}i)^{12}$ के विस्तार का उपयोग करने पर,योग $0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = 1$ है।
रेखा का समीकरण $x - \sqrt{3}y + 1 = 0$ हो जाता है।
बिंदु $(12, \sqrt{3})$ से रेखा की दूरी $d = \frac{|12 - 3 + 1|}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{10}{2} = 5$ है।

(A) $E_1: \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ के लिए,अर्ध-दीर्घ अक्ष $a_1 = 3$ और अर्ध-लघु अक्ष $b_1 = 2$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b_1^2}{a_1^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
चूंकि सभी दीर्घवृत्त $E_i$ की उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ समान है,इसलिए $e^2 = 1 - \frac{b_i^2}{a_i^2} = \frac{5}{9}$,जिसका अर्थ है $\frac{b_i^2}{a_i^2} = \frac{4}{9}$,या $b_i = \frac{2}{3}a_i$ है।
प्रश्न के अनुसार $E_i$ के लघु अक्ष की लंबाई $(2b_i)$,$E_{i+1}$ के दीर्घ अक्ष की लंबाई $(2a_{i+1})$ के बराबर है,इसलिए $2b_i = 2a_{i+1}$,जिसका अर्थ है $a_{i+1} = b_i$ है।
$b_i = \frac{2}{3}a_i$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a_{i+1} = \frac{2}{3}a_i$ प्राप्त होता है। यह अर्ध-दीर्घ अक्षों के लिए सार्व अनुपात $r = \frac{2}{3}$ वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A_i = \pi a_i b_i = \pi a_i (\frac{2}{3}a_i) = \frac{2\pi}{3} a_i^2$ है।
चूंकि $a_i$ का अनुपात $\frac{2}{3}$ है,इसलिए $a_i^2$ का अनुपात $(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$ होगा।
अतः,$A_i$ प्रथम पद $A_1 = \pi(3)(2) = 6\pi$ और सार्व अनुपात $R = \frac{4}{9}$ वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है।
अनंत श्रेणी का योग $\sum_{i=1}^{\infty} A_i = \frac{A_1}{1 - R} = \frac{6\pi}{1 - 4/9} = \frac{6\pi}{5/9} = \frac{54\pi}{5}$ है।
इसलिए,$\frac{5}{\pi} \sum_{i=1}^{\infty} A_i = \frac{5}{\pi} \times \frac{54\pi}{5} = 54$।

(A) स्थिति सदिश $\vec{OA} = \sqrt{3}\hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{OB} = \hat{i} + \sqrt{3}\hat{j}$ हैं।
चूंकि $|\vec{OA}| = 2$ और $|\vec{OB}| = 2$,$\angle AOB$ का कोण समद्विभाजक मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा है जिसकी दिशा $\vec{OA} + \vec{OB} = (\sqrt{3} + 1)\hat{i} + (1 + \sqrt{3})\hat{j}$ है।
यह रेखा $y = x$ या $x - y = 0$ है।
बिंदु $C(a, 1 - a)$ की रेखा $x - y = 0$ से दूरी $d = \frac{|a - (1 - a)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|2a - 1|}{\sqrt{2}}$ है।
दिया गया है कि $d = \frac{9}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{|2a - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $|2a - 1| = 9$.
अतः,$2a - 1 = 9 \Rightarrow a = 5$,या $2a - 1 = -9 \Rightarrow a = -4$.
$a$ के सभी संभावित मानों का योग $5 + (-4) = 1$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-(3-2 i) x-(2 i-2)=0$ है। \\
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर: \\
$x = \frac{(3-2 i) \pm \sqrt{(3-2 i)^2 - 4(1)(-(2 i-2))}}{2}$ \\
$x = \frac{(3-2 i) \pm \sqrt{9 - 4 - 12i + 8i - 8}}{2}$ \\
$x = \frac{(3-2 i) \pm \sqrt{-3 - 4i}}{2}$ \\
चूंकि $-3-4i = 1^2 + (2i)^2 - 2(1)(2i) = (1-2i)^2$,इसलिए: \\
$x = \frac{(3-2 i) \pm (1-2 i)}{2}$ \\
स्थिति $1$: $x = \frac{3-2i + 1-2i}{2} = \frac{4-4i}{2} = 2-2i$. यहाँ $\alpha=2, \beta=-2$. \\
स्थिति $2$: $x = \frac{3-2i - (1-2i)}{2} = \frac{2}{2} = 1+0i$. यहाँ $\gamma=1, \delta=0$. \\
अतः,$\alpha \gamma + \beta \delta = (2)(1) + (-2)(0) = 2+0 = 2$.

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए मध्यबिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ होता है।
यहाँ दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ और मध्यबिंदु $(\sqrt{2}, 4/3)$ के लिए,जीवा का समीकरण:
$\frac{x(\sqrt{2})}{9}+\frac{y(4/3)}{4} = \frac{2}{9}+\frac{4}{9} = \frac{2}{3}$
$\sqrt{2}x+3y=6 \Rightarrow y = \frac{6-\sqrt{2}x}{3}$.
इस मान को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर:
$4x^2 + 9\left(\frac{6-\sqrt{2}x}{3}\right)^2 = 36$
$6x^2 - 12\sqrt{2}x = 0 \Rightarrow x=0, 2\sqrt{2}$.
अतः $y=2, 2/3$.
जीवा की लंबाई = $\sqrt{(2\sqrt{2}-0)^2 + (2/3-2)^2} = \sqrt{8 + 16/9} = \sqrt{88/9} = \frac{2\sqrt{22}}{3}$.
अतः $\alpha = 22$.

(D) $\text{GARDEN}$ शब्द में $6$ अलग-अलग अक्षर हैं: $\{G, A, R, D, E, N\}$.
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= 6! = 720$.
शब्द में स्वर $\{A, E\}$ हैं।
किसी भी व्यवस्था में,स्वर $A$ और $E$ दो सापेक्ष क्रमों में आ सकते हैं: $(A, E)$ या $(E, A)$.
चूंकि केवल दो स्वर हैं,इसलिए ये दोनों क्रम समान रूप से संभावित हैं।
अतः,प्रायिकता कि स्वर वर्णमाला के क्रम $(A, E)$ में हैं,$\frac{1}{2}$ है।
प्रायिकता कि स्वर वर्णमाला के क्रम में $\text{NOT}$ (नहीं) होंगे,$1 - P(\text{alphabetical order}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।

(C) $a_n = \frac{n^2 + 5n + 6}{4} = \frac{(n+2)(n+3)}{4}$
$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{4}{(k+2)(k+3)}$
$S_n = 4 \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k+2} - \frac{1}{k+3} \right)$
अंतर विधि का उपयोग करते हुए:
$S_n = 4 \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right) \right]$
$S_n = 4 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{n+3} \right) = 4 \left( \frac{n+3-3}{3(n+3)} \right) = \frac{4n}{3(n+3)}$
$n = 2025$ के लिए:
$S_{2025} = \frac{4 \times 2025}{3(2025+3)} = \frac{4 \times 2025}{3 \times 2028} = \frac{4 \times 2025}{6084}$
$507 S_{2025} = 507 \times \frac{4 \times 2025}{3 \times 2028} = 675$

(C) माना $T_r = \frac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{4} + (r-1) \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{r\pi}{6}\right)}$.
$\sin \frac{\pi}{6}$ से गुणा और भाग करने पर:
$T_r = 2 \left[ \cot \left(\frac{\pi}{4} + (r-1) \frac{\pi}{6}\right) - \cot \left(\frac{\pi}{4} + \frac{r\pi}{6}\right) \right]$.
$r=1$ से $13$ तक का योग एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S = 2 \left[ \cot \left(\frac{\pi}{4}\right) - \cot \left(\frac{\pi}{4} + \frac{13\pi}{6}\right) \right] = 2 [1 - (2 - \sqrt{3})] = 2\sqrt{3} - 2$.
यहाँ $a = 2$ और $b = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$a^2 + b^2 = 2^2 + (-2)^2 = 8$.

(C) माना कि दो समान भुजाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं।
$-x+2y=4$ और $x+y=4$ समीकरणों से,हमें $m_1 = \frac{1}{2}$ और $m_2 = -1$ प्राप्त होता है।
माना कि तीसरी भुजा का ढाल $m$ है। चूंकि त्रिभुज समद्विबाहु है,तीसरी भुजा और पहली भुजा के बीच का कोण,तीसरी भुजा और दूसरी भुजा के बीच के कोण के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right| = \left| \frac{m - m_2}{1 + m \cdot m_2} \right|$.
मान रखने पर,$\left| \frac{m - 1/2}{1 + m/2} \right| = \left| \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)} \right|$.
$\left| \frac{2m - 1}{2 + m} \right| = \left| \frac{m + 1}{1 - m} \right|$.
इसके दो मामले हैं:
मामला $1$: $\frac{2m - 1}{2 + m} = \frac{m + 1}{1 - m} \implies m^2 = -1$ (कोई वास्तविक हल नहीं)।
मामला $2$: $\frac{2m - 1}{2 + m} = \frac{m + 1}{m - 1} \implies m^2 - 6m - 1 = 0$.
इस द्विघात समीकरण के मूलों का योग $-\frac{b}{a} = -\frac{-6}{1} = 6$ है।

(A) $(a+b)^{12}$ में $T_r, T_{r+1}, T_{r+2}$ के गुणांक $^{12}C_{r-1}, ^{12}C_r, ^{12}C_{r+1}$ हैं।
चूंकि वे $G.P.$ में हैं,इसलिए $(^{12}C_r)^2 = (^{12}C_{r-1}) \times (^{12}C_{r+1})$ होगा।
गुणधर्म $\frac{^{n}C_k}{^{n}C_{k-1}} = \frac{n-k+1}{k}$ का उपयोग करने पर,$\frac{^{12}C_r}{^{12}C_{r-1}} = \frac{13-r}{r}$ और $\frac{^{12}C_{r+1}}{^{12}C_r} = \frac{12-r}{r+1}$ प्राप्त होता है।
अनुपातों की तुलना करने पर: $\frac{13-r}{r} = \frac{12-r}{r+1} \implies (13-r)(r+1) = r(12-r)$.
$12r + 13 = 12r \implies 13 = 0$,जो असंभव है।
अतः,$r$ का कोई मान संभव नहीं है,इसलिए $p = 0$ है।
$(3^{1/4} + 4^{1/3})^{12}$ के लिए,सामान्य पद $T_{k+1} = ^{12}C_k (3^{1/4})^{12-k} (4^{1/3})^k$ है।
पद के परिमेय होने के लिए,$(12-k)$ को $4$ से और $k$ को $3$ से विभाज्य होना चाहिए।
$k$ के संभावित मान $k=0$ और $k=12$ हैं।
$k=0$ के लिए: $T_1 = 27$.
$k=12$ के लिए: $T_{13} = 256$.
योग $q = 27 + 256 = 283$ है।
इसलिए,$p+q = 0 + 283 = 283$।

(D) दिए गए समीकरण: $x^2+y^2-8x=0$ $(1)$ और $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ $(2)$।
$(2)$ से,$4x^2-9y^2=36 \Rightarrow 9y^2=4x^2-36$।
$(1)$ से $y^2=8x-x^2$ को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $4x^2-9(8x-x^2)=36$।
$4x^2-72x+9x^2=36 \Rightarrow 13x^2-72x-36=0$।
$(13x+6)(x-6)=0$,इसलिए $x=6$ या $x=-\frac{6}{13}$।
$x=6$ के लिए,$y^2=8(6)-6^2=48-36=12$,इसलिए $y=\pm\sqrt{12}$।
अतः,$A=(6, \sqrt{12})$ और $B=(6, -\sqrt{12})$।
माना $P=(\alpha, \beta)$ रेखा $2x-3y+4=0$ पर एक बिंदु है,इसलिए $2\alpha-3\beta+4=0$।
$\triangle PAB$ का केंद्रक $(h, k)$ है: $h=\frac{6+6+\alpha}{3} = \frac{12+\alpha}{3}$ और $k=\frac{\sqrt{12}-\sqrt{12}+\beta}{3} = \frac{\beta}{3}$।
इसलिए $\alpha=3h-12$ और $\beta=3k$।
$2\alpha-3\beta+4=0$ में मान रखने पर: $2(3h-12)-3(3k)+4=0$।
$6h-24-9k+4=0 \Rightarrow 6h-9k=20$।
केंद्रक का बिंदुपथ $6x-9y=20$ है।

(A) माना तीन अंकों की संख्या $xyz$ है,जहाँ $x, y, z \in \{0, 1, \dots, 9\}$ और $x \in \{2, 3, \dots, 9\}$ है। हमें $x+y+z=15$ की आवश्यकता है। चूँकि संख्या $212$ और $999$ के बीच है,हम $x$ के लिए स्थितियों की जाँच करते हैं:
$1$. यदि $x=2$,तो $y+z=13$. संभावित जोड़े $(y, z)$ हैं: $(4,9), (5,8), (6,7), (7,6), (8,5), (9,4)$. कुल = $6$.
$2$. यदि $x=3$,तो $y+z=12$. संभावित जोड़े $(y, z)$ हैं: $(3,9), (4,8), (5,7), (6,6), (7,5), (8,4), (9,3)$. कुल = $7$.
$3$. यदि $x=4$,तो $y+z=11$. संभावित जोड़े $(y, z)$ हैं: $(2,9), (3,8), (4,7), (5,6), (6,5), (7,4), (8,3), (9,2)$. कुल = $8$.
$4$. यदि $x=5$,तो $y+z=10$. संभावित जोड़े $(y, z)$ हैं: $(1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5), (6,4), (7,3), (8,2), (9,1)$. कुल = $9$.
$5$. यदि $x=6$,तो $y+z=9$. संभावित जोड़े $(y, z)$ हैं: $(0,9), (1,8), (2,7), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (7,2), (8,1), (9,0)$. कुल = $10$.
$6$. यदि $x=7$,तो $y+z=8$. संभावित जोड़े $(y, z)$ हैं: $(0,8), (1,7), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), (7,1), (8,0)$. कुल = $9$.
$7$. यदि $x=8$,तो $y+z=7$. संभावित जोड़े $(y, z)$ हैं: $(0,7), (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (7,0)$. कुल = $8$.
$8$. यदि $x=9$,तो $y+z=6$. संभावित जोड़े $(y, z)$ हैं: $(0,6), (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), (6,0)$. कुल = $7$.
योग: $6+7+8+9+10+9+8+7 = 64$.

(B) योगफल के अंदर का व्यंजक $\frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \tan(2\theta)$ है,जहाँ $\theta = \frac{x}{2^{r+1}}$.
अतः,पद $\tan(2 \cdot \frac{x}{2^{r+1}}) = \tan(x/2^r)$ है।
योगफल की गणना करने पर $f(x) = x$ प्राप्त होता है।
सीमा $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - e^{f(x)}}{x - f(x)}$ के लिए,यदि $f(x) = x$ है,तो इसका मान $1$ होता है।

(C) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग $(n-2) \times 180^{\circ}$ होता है।
माना कोण $A.P.$ में हैं,जिसका प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d = 6^{\circ}$ है।
$A.P.$ का योग $\frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = (n-2) \times 180^{\circ}$ है।
सबसे बड़ा कोण $a + (n-1)d = 219^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $a = 219^{\circ} - 6(n-1) = 225^{\circ} - 6n$ है।
$a$ का मान योग के सूत्र में रखने पर:
$\frac{n}{2}[2(225 - 6n) + (n-1)6] = (n-2)180$
$n[222 - 3n] = 180n - 360$
$3n^2 - 42n - 360 = 0$
$3$ से भाग देने पर: $n^2 - 14n - 120 = 0$
$(n - 20)(n + 6) = 0$
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 20$.

(D) परवलय $y^2=4x$ है जिसकी नाभि $S(1,0)$ है।
रेखा $x+y+4=0$ के सापेक्ष परवलय का प्रतिबिंब लेने पर,नए परवलय की नाभि $S'(-4,-5)$ प्राप्त होती है।
चित्र से,$A$ और $B$ के बीच की दूरी $d=4$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई $5$ है।
क्षेत्रफल $a = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 = 10$.
अतः,$a+d = 10+4 = 14$.

(B) रेखा $AB$ का समीकरण $x+y=1$ है। $AB$ की ढाल $-1$ है। $AB$ के लंबवत और मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा (क्योंकि $AB$ का मध्य बिंदु $y=x$ रेखा पर स्थित है) $y=x$ है।
$y=x$ को $x^2+y^2=4$ के साथ हल करने पर,हमें $2x^2=4$ प्राप्त होता है,इसलिए $x^2=2$,$x=\pm \sqrt{2}$। अतः,$C=(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ और $D=(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ है।
जीवा $CD$ की लंबाई वृत्त का व्यास है,जो $2r = 2(2) = 4$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से जीवा $AB$ की दूरी $d = \frac{|0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
जीवा $AB$ की लंबाई $2\sqrt{r^2-d^2} = 2\sqrt{4-\frac{1}{2}} = 2\sqrt{\frac{7}{2}} = \sqrt{14}$ है।
चूंकि $CD$,$AB$ के लंबवत है,इसलिए चतुर्भुज $ADBC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{विकर्ण}_1 \times \text{विकर्ण}_2 = \frac{1}{2} \times AB \times CD = \frac{1}{2} \times \sqrt{14} \times 4 = 2\sqrt{14}$ है।

(A) परवलय की परिभाषा के अनुसार,परवलय पर स्थित बिंदु नाभि और नियता से समान दूरी पर होते हैं।
प्रथम परवलय के लिए: $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = y^2 \implies (x - 4)^2 = 6y - 9$.
दूसरे परवलय के लिए: $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = x^2 \implies (y - 3)^2 = 8x - 16$.
प्रतिच्छेदन बिंदुओं के लिए $x^2 = y^2$ है,अतः $y = x$ प्राप्त होता है।
$y = x$ को समीकरण में रखने पर: $(x - 4)^2 + (x - 3)^2 = x^2 \implies x^2 - 14x + 25 = 0$.
यहाँ $x_1 + x_2 = 14$ और $x_1 x_2 = 25$ है।
$(AB)^2 = 2(x_1 - x_2)^2 = 2[(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2] = 2[196 - 100] = 2(96) = 192$.

(A) सबसे पहले,रेखाओं के समीकरणों को युग्मों में हल करके त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करें:
$1$) $7x-6y+3=0$ और $x+2y-31=0$ बिंदु $A(9, 11)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$2$) $7x-6y+3=0$ और $9x-2y-19=0$ बिंदु $B(3, 4)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$3$) $x+2y-31=0$ और $9x-2y-19=0$ बिंदु $C(5, 13)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$\Delta ABC$ का केंद्रक $G = \left(\frac{9+3+5}{3}, \frac{11+4+13}{3}\right) = \left(\frac{17}{3}, \frac{28}{3}\right)$ है।
माना $(h, k)$,रेखा $3x+6y-53=0$ में $G\left(\frac{17}{3}, \frac{28}{3}\right)$ का प्रतिबिंब है। प्रतिबिंब के लिए सूत्र $\frac{h-x_1}{a} = \frac{k-y_1}{b} = -2\frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2}$ है।
यहाँ,$a=3, b=6, c=-53, x_1=\frac{17}{3}, y_1=\frac{28}{3}$ है।
$\frac{h-17/3}{3} = \frac{k-28/3}{6} = -2\frac{3(17/3)+6(28/3)-53}{3^2+6^2} = -2\frac{17+56-53}{45} = -\frac{8}{9}$.
$h = 3, k = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$h^2+k^2+hk = 3^2+4^2+(3)(4) = 37$।

(B) मान लीजिए अंक $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7 \in \{1, 2, 3\}$ हैं ताकि $\sum_{i=1}^{7} x_i = 11$ हो।
मान लीजिए $n_1, n_2, n_3$ क्रमशः $1, 2$ और $3$ के आने की संख्या है।
तब $n_1 + n_2 + n_3 = 7$ और $1n_1 + 2n_2 + 3n_3 = 11$ है।
दूसरे समीकरण से पहले को घटाने पर: $n_2 + 2n_3 = 4$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: यदि $n_3 = 0$,तो $n_2 = 4$ और $n_1 = 3$ है। क्रमचयों की संख्या $\frac{7!}{3!4!0!} = 35$ है।
स्थिति $2$: यदि $n_3 = 1$,तो $n_2 = 2$ और $n_1 = 4$ है। क्रमचयों की संख्या $\frac{7!}{4!2!1!} = 105$ है।
स्थिति $3$: यदि $n_3 = 2$,तो $n_2 = 0$ और $n_1 = 5$ है। क्रमचयों की संख्या $\frac{7!}{5!0!2!} = 21$ है।
$P$ में कुल तत्वों की संख्या $= 35 + 105 + 21 = 161$ है।

(A) विस्तार का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} (7^{1/3})^{n-r} (11^{1/12})^{r} = {}^{n}C_{r} 7^{(n-r)/3} 11^{r/12}$ है।
पद के पूर्णांक होने के लिए,घातांक $\frac{n-r}{3}$ और $\frac{r}{12}$ दोनों पूर्णांक होने चाहिए।
इसका अर्थ है कि $r$,$12$ का गुणज होना चाहिए,अतः $r \in \{0, 12, 24, \dots, 12k\}$।
साथ ही,$n-r$,$3$ का गुणज होना चाहिए। चूँकि $r$,$12$ का गुणज है,यह $3$ का भी गुणज है,जिससे पता चलता है कि $n$ भी $3$ का गुणज होना चाहिए।
यहाँ $183$ पूर्णांक पद हैं,इसलिए $r$ के मान $0, 12, 24, \dots, 12 \times 182$ होंगे।
$r$ का अधिकतम मान $12 \times 182 = 2184$ है।
चूँकि $r \le n$,$183$ पद प्राप्त करने के लिए $n$ का न्यूनतम मान $n = 2184$ है।

(B) माना $\frac{1}{\sqrt{x}} = \alpha$,जहाँ $x > 0$ है।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(9\alpha^2 - 9\alpha + 2)(2\alpha^2 - 7\alpha + 3) = 0$.
द्विघात व्यंजकों का गुणनखंड करने पर:
$(3\alpha - 1)(3\alpha - 2)(2\alpha - 1)(\alpha - 3) = 0$.
इससे $\alpha$ के मान $\alpha = \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}, 3$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि $\alpha = \frac{1}{\sqrt{x}}$,इसलिए $\sqrt{x} = \frac{1}{\alpha}$,अतः $x = \frac{1}{\alpha^2}$.
प्रत्येक $\alpha$ के लिए $x$ का मान ज्ञात करने पर:
$\alpha = \frac{1}{3}$ के लिए,$x = 9$.
$\alpha = \frac{2}{3}$ के लिए,$x = \frac{9}{4}$.
$\alpha = \frac{1}{2}$ के लिए,$x = 4$.
$\alpha = 3$ के लिए,$x = \frac{1}{9}$.
$x$ के ये सभी मान धनात्मक हैं और $x > 0$ की शर्त को पूरा करते हैं।
अतः,कुल $4$ हल हैं।

(A) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ है।
$A \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ से,हमें $A$ का दूसरा स्तंभ $\begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है। अतः,$a_{12} = 0, a_{22} = 0, a_{32} = 1$ है।
$A \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ से,दूसरी पंक्ति का समीकरण $4a_{21} + a_{22} + 3a_{23} = 1$ है। चूंकि $a_{22} = 0$ है,इसलिए $4a_{21} + 3a_{23} = 1$ (समीकरण $1$)।
$A \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ से,दूसरी पंक्ति का समीकरण $2a_{21} + a_{22} + 2a_{23} = 0$ है। चूंकि $a_{22} = 0$ है,इसलिए $2a_{21} + 2a_{23} = 0$,जिसका अर्थ है $a_{21} = -a_{23}$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर: $4(-a_{23}) + 3a_{23} = 1 \Rightarrow -4a_{23} + 3a_{23} = 1 \Rightarrow -a_{23} = 1 \Rightarrow a_{23} = -1$।

(B) रेखाएँ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{p}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{q}$ के रूप में हैं,जहाँ $\vec{a_1} = (2, 1, -3)$,$\vec{p} = (1, 2, -3)$,$\vec{a_2} = (-1, -3, -5)$,और $\vec{q} = (2, 4, -5)$ है।
दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})|}{|\vec{p} \times \vec{q}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,$\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -5 \end{vmatrix} = 2\hat{i} - \hat{j} + 0\hat{k}$ की गणना करें।
इसका परिमाण $|\vec{p} \times \vec{q}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{5}$ है।
आगे,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-3, -4, -2)$ है।
डॉट गुणनफल $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q}) = (-3, -4, -2) \cdot (2, -1, 0) = -6 + 4 + 0 = -2$ है।
अतः,$d = \frac{|-2|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
न्यूनतम दूरी का वर्ग $d^2 = \frac{4}{5}$ है।
यहाँ $m=4$ और $n=5$ सह-अभाज्य हैं।
इसलिए,$m+n = 4+5 = 9$।

(A) माना $I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x \sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\frac{\pi}{2}-x) \sin(\frac{\pi}{2}-x) \cos(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin ^4(\frac{\pi}{2}-x)+\cos ^4(\frac{\pi}{2}-x)} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\frac{\pi}{2}-x) \cos x \sin x}{\cos ^4 x+\sin ^4 x} dx$.
$I_2$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{\pi}{2} \sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} dx = \frac{\pi}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} dx$.
अंश और हर को $\cos^4 x$ से विभाजित करने पर:
$I_2 = \frac{\pi}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\tan x \sec^2 x}{\tan^4 x + 1} dx$.
माना $t = \tan^2 x$,तब $dt = 2 \tan x \sec^2 x dx$,अतः $\tan x \sec^2 x dx = \frac{dt}{2}$.
जब $x \to 0, t \to 0$ और जब $x \to \frac{\pi}{2}, t \to \infty$.
$I_2 = \frac{\pi}{4} \int_0^{\infty} \frac{dt/2}{t^2+1} = \frac{\pi}{8} [\tan^{-1} t]_0^{\infty} = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{16}$.

(D) चूंकि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के साथ समतलीय है और $\vec{c} \perp \vec{b}$,हम लिख सकते हैं $\vec{c} = \lambda (\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b}))$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{b} \cdot \vec{b}) \vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b}$ का उपयोग करते हुए।
$\vec{b} \cdot \vec{b} = 3^2 + 1^2 + (-1)^2 = 11$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(1) + (3)(-1) = 3 + 2 - 3 = 2$ की गणना करें।
अतः,$\vec{c} = \lambda (11 \vec{a} - 2 \vec{b}) = \lambda (11(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) - 2(3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})) = \lambda (5\hat{i} + 20\hat{j} + 35\hat{k}) = 5\lambda (\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k})$.
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{c} = 5$,इसलिए $5\lambda (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}) = 5$.
$5\lambda (1 + 8 + 21) = 5 \implies 30\lambda = 1 \implies \lambda = \frac{1}{30}$.
इसलिए,$\vec{c} = \frac{1}{6} (\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k})$.
$|\vec{c}| = \frac{1}{6} \sqrt{1^2 + 4^2 + 7^2} = \frac{1}{6} \sqrt{1 + 16 + 49} = \frac{\sqrt{66}}{6} = \sqrt{\frac{66}{36}} = \sqrt{\frac{11}{6}}$.

(D) दिया गया है $I(m, n) = \int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$.
यह बीटा फलन $B(m, n)$ की परिभाषा है।
हम जानते हैं कि $I(m, n) = I(m+1, n) + I(m, n+1)$ होता है।
इस गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$I(9, 14) + I(10, 13) = \int_0^1 x^{9-1}(1-x)^{14-1} dx + \int_0^1 x^{10-1}(1-x)^{13-1} dx$
$= \int_0^1 x^8(1-x)^{13} dx + \int_0^1 x^9(1-x)^{12} dx$
$= \int_0^1 x^8(1-x)^{12} [(1-x) + x] dx$
$= \int_0^1 x^8(1-x)^{12} (1) dx$
$= \int_0^1 x^{9-1}(1-x)^{13-1} dx$
$= I(9, 13)$.

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{2^{x+2} + 16}{2^{2x+1} + 2^{x+4} + 32} = \frac{2}{2^x + 4}$.
$f(4-x) = \frac{2^x}{2(2^x + 4)}$ प्राप्त होता है।
अतः $f(x) + f(4-x) = \frac{1}{2}$.
कुल $59$ पद हैं,जिनमें $29$ युग्मों का योग $\frac{1}{2}$ है और मध्य पद $f(2) = \frac{1}{4}$ है।
योग $S = 29 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{59}{4}$.
अतः $8 \cdot S = 8 \cdot \frac{59}{4} = 118$.

(B) मान लीजिए $M$,$B(1,2,3)$ से रेखा $L: \frac{x-6}{3}=\frac{y-7}{2}=\frac{z-7}{-2} = \lambda$ पर डाले गए लंब का पाद है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $M(3\lambda+6, 2\lambda+7, -2\lambda+7)$ है।
सदिश $\overrightarrow{BM} = (3\lambda+6-1)\hat{i} + (2\lambda+7-2)\hat{j} + (-2\lambda+7-3)\hat{k} = (3\lambda+5)\hat{i} + (2\lambda+5)\hat{j} + (-2\lambda+4)\hat{k}$ है।
चूंकि $\overrightarrow{BM}$ रेखा के दिशा सदिश $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ के लंबवत है,इसलिए $\overrightarrow{BM} \cdot \vec{v} = 0$ होगा।
$3(3\lambda+5) + 2(2\lambda+5) - 2(-2\lambda+4) = 0$.
$9\lambda + 15 + 4\lambda + 10 + 4\lambda - 8 = 0 \implies 17\lambda + 17 = 0 \implies \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ रखने पर,हमें $\overrightarrow{BM} = (3(-1)+5)\hat{i} + (2(-1)+5)\hat{j} + (-2(-1)+4)\hat{k} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ प्राप्त होता है।
शीर्षलंब $BM$ की लंबाई $= |\overrightarrow{BM}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times AC \times BM = \frac{1}{2} \times 6 \times 7 = 21$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1+x^2)dy = (5x^2\sqrt{1+x^2} - xy)dx$ है।
इसे व्यवस्थित करने पर,$(1+x^2)\frac{dy}{dx} + xy = 5x^2\sqrt{1+x^2}$ प्राप्त होता है।
$(1+x^2)$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} + \frac{x}{1+x^2}y = \frac{5x^2}{\sqrt{1+x^2}}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{x}{1+x^2}$ और $Q(x) = \frac{5x^2}{\sqrt{1+x^2}}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x)dx} = e^{\int \frac{x}{1+x^2}dx} = e^{\frac{1}{2}\ln(1+x^2)} = \sqrt{1+x^2}$ है।
हल $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ है।
$y\sqrt{1+x^2} = \int \frac{5x^2}{\sqrt{1+x^2}} \cdot \sqrt{1+x^2} dx = \int 5x^2 dx = \frac{5x^3}{3} + C$.
$y(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0\sqrt{1+0} = \frac{5(0)^3}{3} + C$,जिससे $C=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \frac{5x^3}{3\sqrt{1+x^2}}$.
$x=\sqrt{3}$ के लिए,$y(\sqrt{3}) = \frac{5(\sqrt{3})^3}{3\sqrt{1+(\sqrt{3})^2}} = \frac{5(3\sqrt{3})}{3\sqrt{4}} = \frac{15\sqrt{3}}{3(2)} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.

(B) माना $P(S_5)$ दो पासों पर $5$ का योग प्राप्त करने की प्रायिकता है: $P(S_5) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
माना $P(S_8)$ दो पासों पर $8$ का योग प्राप्त करने की प्रायिकता है: $P(S_8) = \frac{5}{36}$.
$A$ के जीतने की प्रायिकता एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी द्वारा दी गई है:
$P(A) = \frac{P(S_5)}{1 - (1 - P(S_5)) \cdot (1 - P(S_8))} = \frac{1/9}{1 - (8/9 \cdot 31/36)} = \frac{9}{19}$.

(C) मान लीजिए कि आयत के शीर्ष $(t, t)$,$(t, 9 - \frac{11}{3}t^2)$,$(0, 9 - \frac{11}{3}t^2)$,और $(0, t)$ हैं।
आयत की चौड़ाई $t$ है और ऊँचाई $(9 - \frac{11}{3}t^2 - t)$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A$,$A(t) = t \cdot (9 - \frac{11}{3}t^2 - t) = 9t - t^2 - \frac{11}{3}t^3$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A(t)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dt} = 9 - 2t - 11t^2$.
$\frac{dA}{dt} = 0$ रखने पर,हमें $11t^2 + 2t - 9 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $11t^2 + 11t - 9t - 9 = 0 \Rightarrow 11t(t + 1) - 9(t + 1) = 0 \Rightarrow (11t - 9)(t + 1) = 0$.
चूंकि $x \geq 0$,इसलिए $t = \frac{9}{11}$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल $A(\frac{9}{11}) = \frac{9}{11} \cdot (9 - \frac{11}{3} \cdot (\frac{9}{11})^2 - \frac{9}{11}) = \frac{9}{11} \cdot (9 - \frac{27}{11} - \frac{9}{11}) = \frac{9}{11} \cdot (9 - \frac{36}{11}) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{99 - 36}{11}) = \frac{9}{11} \cdot \frac{63}{11} = \frac{567}{121}$ है।

(C) दिया गया क्षेत्र $x^2+4x+2 \leq y \leq |x+2|$ द्वारा परिभाषित है।
माना $u = x+2$,तो $x = u-2$. क्षेत्र $(u-2)^2 + 4(u-2) + 2 \leq y \leq |u|$ बन जाता है,जो सरल होकर $u^2-2 \leq y \leq |u|$ हो जाता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $u^2-2 = |u|$ हैं।
$u \geq 0$ के लिए,$u^2-u-2 = 0 \Rightarrow (u-2)(u+1) = 0 \Rightarrow u = 2$.
$u < 0$ के लिए,$u^2+u-2 = 0 \Rightarrow (u+2)(u-1) = 0 \Rightarrow u = -2$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $u = \pm 2$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $\int_{-2}^{2} (|u| - (u^2-2)) \, du$ है।
चूंकि फलन सम है,क्षेत्रफल $2 \int_{0}^{2} (u - u^2 + 2) \, du$ होगा।
$= 2 \left[ \frac{u^2}{2} - \frac{u^3}{3} + 2u \right]_{0}^{2}$.
$= 2 \left( \frac{4}{2} - \frac{8}{3} + 4 \right) = 2 \left( 2 - \frac{8}{3} + 4 \right) = 2 \left( 6 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{18-8}{3} \right) = 2 \left( \frac{10}{3} \right) = \frac{20}{3}$.

(D) बिंदु $(-1,2,1)$ से गुजरने वाली और रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{4}$ के समांतर रेखा का समीकरण:
$\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-1}{4}=\lambda$
अतः,इस रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(2\lambda-1, 3\lambda+2, 4\lambda+1)$ हैं।
दूसरी रेखा का समीकरण:
$\frac{x+2}{3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-4}{1}=\mu$
अतः,इस रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(3\mu-2, 2\mu+3, \mu+4)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ के लिए,निर्देशांक समान होने चाहिए:
$2\lambda-1 = 3\mu-2 \implies 2\lambda - 3\mu = -1$ $(i)$
$3\lambda+2 = 2\mu+3 \implies 3\lambda - 2\mu = 1$ (ii)
$(i)$ को $2$ से और (ii) को $3$ से गुणा करने पर:
$4\lambda - 6\mu = -2$
$9\lambda - 6\mu = 3$
घटाने पर $5\lambda = 5$ प्राप्त होता है,इसलिए $\lambda = 1$.
$(i)$ में $\lambda = 1$ रखने पर,$2(1) - 3\mu = -1 \implies 3\mu = 3 \implies \mu = 1$.
$z$-निर्देशांक के लिए जाँच: $4(1)+1 = 5$ और $1+4 = 5$. चूँकि वे समान हैं,प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ $(1, 5, 5)$ है।
बिंदु $Q(4, -5, 1)$ से $P(1, 5, 5)$ की दूरी:
$PQ = \sqrt{(4-1)^2 + (-5-5)^2 + (1-5)^2}$
$PQ = \sqrt{3^2 + (-10)^2 + (-4)^2}$
$PQ = \sqrt{9 + 100 + 16} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.

(B) रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और सारणिक $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ भी $0$ होने चाहिए।
सबसे पहले,हम $\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 5 & \lambda & 3 \\ 100 & -47 & \mu \end{vmatrix} = 2(\lambda\mu + 141) + 1(5\mu - 300) + 1(-235 - 100\lambda) = 0$ की गणना करते हैं।
सरल करने पर,$2\lambda\mu + 282 + 5\mu - 300 - 235 - 100\lambda = 0$,जो $2\lambda\mu + 5\mu - 100\lambda = 253$ देता है (समीकरण $1$)।
इसके बाद,हम $\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 5 & \lambda & 12 \\ 100 & -47 & 212 \end{vmatrix} = 0$ की गणना करते हैं।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $2(212\lambda + 564) + 1(1060 - 1200) + 4(-235 - 100\lambda) = 0$.
$424\lambda + 1128 - 140 - 940 - 400\lambda = 0$.
$24\lambda + 48 = 0 \Rightarrow \lambda = -2$.
$\lambda = -2$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $2(-2)\mu + 5\mu - 100(-2) = 253$.
$-4\mu + 5\mu + 200 = 253 \Rightarrow \mu = 53$.
अंत में,$\mu - 2\lambda = 53 - 2(-2) = 53 + 4 = 57$।

(A) दिया गया समीकरण: $2(x+2)^2 f(x) - 3(x+2)^2 = 10 \int_0^x (t+2) f(t) dt$.
$x=0$ पर,$2(2)^2 f(0) - 3(2)^2 = 0 \implies 8 f(0) = 12 \implies f(0) = \frac{3}{2}$.
लेबनीज नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$4(x+2) f(x) + 2(x+2)^2 f'(x) - 6(x+2) = 10(x+2) f(x)$.
$2(x+2)$ से विभाजित करने पर:
$2 f(x) + (x+2) f'(x) - 3 = 5 f(x)$.
$(x+2) f'(x) - 3 f(x) = 3$.
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{df}{dx} - \frac{3}{x+2} f = \frac{3}{x+2}$.
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{3}{x+2} dx} = (x+2)^{-3}$.
$IF$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx} [f(x) (x+2)^{-3}] = 3(x+2)^{-4}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $f(x) (x+2)^{-3} = -(x+2)^{-3} + C$.
$f(x) = -1 + C(x+2)^3$.
$f(0) = \frac{3}{2}$ का उपयोग करने पर: $\frac{3}{2} = -1 + 8C \implies C = \frac{5}{16}$.
अतः,$f(x) = \frac{5}{16}(x+2)^3 - 1$.
$f(2) = \frac{5}{16}(4)^3 - 1 = 20 - 1 = 19$.

(B) हमें समीकरण $\sec^2(\tan^{-1} \alpha) + \operatorname{cosec}^2(\cot^{-1} \beta) = 36$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sec^2(\tan^{-1} x) = 1 + x^2$ और $\operatorname{cosec}^2(\cot^{-1} x) = 1 + x^2$ का उपयोग करने पर:
$(1 + \alpha^2) + (1 + \beta^2) = 36$
$\alpha^2 + \beta^2 = 34$.
हमें $\alpha + \beta = 8$ भी दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\alpha + \beta)^2 = 64
\alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta = 64$.
$\alpha^2 + \beta^2 = 34$ रखने पर:
$34 + 2\alpha\beta = 64
2\alpha\beta = 30
\alpha\beta = 15$.
अब,$\alpha$ और $\beta$ ज्ञात करने के लिए:
$x^2 - 8x + 15 = 0
(x - 3)(x - 5) = 0$.
चूंकि $\alpha \leq \beta$,इसलिए $\alpha = 3$ और $\beta = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha^2 + \beta = 3^2 + 5 = 9 + 5 = 14$.

(D) दिया गया है कि सभी $X$ के लिए $X^{T}AX = 0$,अतः $A$ एक विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) होना चाहिए। मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix}$.
$A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ -5 \end{bmatrix}$ से,हमें $a+b=1$,$-a+c=4$,और $-b-c=-5 \Rightarrow b+c=5$ प्राप्त होता है।
इन्हें हल करने पर,$a=-1, b=2, c=3$ प्राप्त होता है। अतः $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0 \end{bmatrix}$.
तब $A+I = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ -2 & -3 & 1 \end{bmatrix}$. $\det(A+I) = 1(1+9) + 1(1+6) + 2(-3+2) = 10+7-2 = 15$.
$2(A+I)$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $\det(2(A+I)) = 2^3 \det(A+I) = 8 \times 15 = 120$.
सूत्र $\det(\operatorname{adj}(M)) = (\det M)^{n-1}$ का उपयोग करते हुए,$\det(\operatorname{adj}(2(A+I))) = (120)^{3-1} = 120^2 = (2^3 \cdot 3 \cdot 5)^2 = 2^6 \cdot 3^2 \cdot 5^2$.
इस प्रकार $\alpha=6, \beta=2, \gamma=2$. अतः,$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = 36+4+4 = 44$.

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$.
अंश और हर को $2^x$ से गुणा करने पर,हमें $f(x) = \frac{2^{2x} - 1}{2^{2x} + 1}$ प्राप्त होता है।
इसे हम $f(x) = \frac{(2^{2x} + 1) - 2}{2^{2x} + 1} = 1 - \frac{2}{2^{2x} + 1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
एकैकी (one-one) की जाँच के लिए,हम अवकलन ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{d}{dx} (1 - 2(2^{2x} + 1)^{-1}) = 0 - 2(-1)(2^{2x} + 1)^{-2} \cdot (2^{2x} \cdot \ln 2 \cdot 2) = \frac{4 \cdot 2^{2x} \cdot \ln 2}{(2^{2x} + 1)^2}$.
चूँकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है,फलन निरंतर वर्धमान है,इसलिए यह एकैकी है।
आच्छादक (onto) की जाँच के लिए,हम परिसर ज्ञात करते हैं: जैसे $x \rightarrow -\infty$,$2^{2x} \rightarrow 0$,इसलिए $f(x) \rightarrow 1 - \frac{2}{0+1} = -1$। जैसे $x \rightarrow \infty$,$2^{2x} \rightarrow \infty$,इसलिए $f(x) \rightarrow 1 - 0 = 1$।
$f(x)$ का परिसर $(-1, 1)$ है।
चूँकि परिसर $(-1, 1)$ सह-प्रांत $(-\infty, \infty)$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,फलन एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(D) माना दिया गया व्यंजक $S = \cot ^{-1}\left\{\beta+\frac{1+\beta^2}{\alpha-\beta}\right\}+\cot ^{-1}\left\{\gamma+\frac{1+\gamma^2}{\beta-\gamma}\right\}+\cot ^{-1}\left\{\alpha+\frac{1+\alpha^2}{\gamma-\alpha}\right\}$ है।
$\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(1/x)$ का उपयोग करने पर:
$S = \tan^{-1}\left(\frac{\alpha-\beta}{1+\alpha\beta}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{\beta-\gamma}{1+\beta\gamma}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{\gamma-\alpha}{1+\gamma\alpha}\right)$.
$\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ सूत्र के अनुसार:
$S = (\tan^{-1}\alpha - \tan^{-1}\beta) + (\tan^{-1}\beta - \tan^{-1}\gamma) + (\tan^{-1}\gamma - \tan^{-1}\alpha + \pi) = \pi$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 f^{\prime}(x) - 2 x f(x) = 3$.
दोनों पक्षों को $x^4$ से विभाजित करने पर (जहाँ $x \neq 0$):
$\frac{x^2 f^{\prime}(x) - 2 x f(x)}{x^4} = \frac{3}{x^4}$
इसे भागफल के अवकलज के रूप में लिखा जा सकता है:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{x^2} \right) = 3 x^{-4}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\frac{f(x)}{x^2} = \int 3 x^{-4} dx = 3 \left( \frac{x^{-3}}{-3} \right) + C = -\frac{1}{x^3} + C$
$x^2$ से गुणा करने पर:
$f(x) = -\frac{1}{x} + C x^2$
चूँकि $f(1) = 4$ दिया गया है,$x=1$ रखने पर:
$4 = -\frac{1}{1} + C(1)^2 \Rightarrow 4 = -1 + C \Rightarrow C = 5$.
अतः,$f(x) = 5x^2 - \frac{1}{x}$.
अब,$2f(2)$ की गणना करने पर:
$f(2) = 5(2)^2 - \frac{1}{2} = 20 - 0.5 = 19.5$.
$2f(2) = 2 \times 19.5 = 39$.

(A) मान लीजिए शीर्ष $A, B, C$ हैं। त्रिभुज का केंद्रक $G$ उसके शीर्षों के स्थिति सदिशों का औसत होता है:
$G = \frac{(4\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} - 3\overrightarrow{r}) + (-5\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + 2\overrightarrow{r}) + (2\overrightarrow{p} - \overrightarrow{q} + 2\overrightarrow{r})}{3}$
$G = \frac{(4-5+2)\overrightarrow{p} + (1+1-1)\overrightarrow{q} + (-3+2+2)\overrightarrow{r}}{3} = \frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{3}$
हम जानते हैं कि लंबकेंद्र $(O)$,केंद्रक $(G)$ और परिकेंद्र $(C)$ संरेख होते हैं,और केंद्रक लंबकेंद्र और परिकेंद्र को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। अतः,$G = \frac{1 \cdot O + 2 \cdot C}{3}$,जिसका अर्थ है $3G = O + 2C$.
दिया गया है $O = \frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{4}$ और $C = \alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r}$,इसलिए:
$3 \left( \frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{3} \right) = \frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{4} + 2(\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r})$
$\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r} - \frac{1}{4}(\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}) = 2(\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r})$
$\frac{3}{4}(\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}) = 2(\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r})$
$\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r} = \frac{3}{8}\overrightarrow{p} + \frac{3}{8}\overrightarrow{q} + \frac{3}{8}\overrightarrow{r}$
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\alpha = \frac{3}{8}, \beta = \frac{3}{8}, \gamma = \frac{3}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + 2\beta + 5\gamma = \frac{3}{8} + 2(\frac{3}{8}) + 5(\frac{3}{8}) = \frac{3 + 6 + 15}{8} = \frac{24}{8} = 3$.

(C) फलन $f(x) = [x] + |x - 2|$ अंतराल $-2 < x < 3$ के लिए दिया गया है।
$1$. सांतत्य: फलन $[x]$ अंतराल $(-2, 3)$ में सभी पूर्णांकों $x \in \{-1, 0, 1, 2\}$ पर असंतत है। फलन $|x - 2|$ हर जगह संतत है। अतः,$f(x)$ बिंदु $x = -1, 0, 1, 2$ पर असंतत है। इसलिए,$m = 4$.
$2$. अवकलनीयता: फलन $[x]$ सभी पूर्णांकों $x \in \{-1, 0, 1, 2\}$ पर अवकलनीय नहीं है। फलन $|x - 2|$ बिंदु $x = 2$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः,$f(x)$ बिंदु $x = -1, 0, 1, 2$ पर अवकलनीय नहीं है। इसलिए,$n = 4$.
$3$. गणना: $m + n = 4 + 4 = 8$.

(D) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,सारणिक $D = 0$ और $D_1 = D_2 = D_3 = 0$ होना चाहिए।
$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & \lambda & 5 \\ 14 & 3 & \mu \end{vmatrix} = 1(\lambda\mu - 15) - 2(2\mu - 70) - 3(6 - 14\lambda) = 0$
$\lambda\mu - 15 - 4\mu + 140 - 18 + 42\lambda = 0 \Rightarrow \lambda\mu + 42\lambda - 4\mu + 107 = 0$.
अब,$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & \lambda & 5 \\ 14 & 3 & 33 \end{vmatrix} = 1(33\lambda - 15) - 2(66 - 70) + 2(6 - 14\lambda) = 0$
$33\lambda - 15 + 8 + 12 - 28\lambda = 0 \Rightarrow 5\lambda + 5 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ को $D = 0$ के समीकरण में रखने पर:
$(-1)\mu + 42(-1) - 4\mu + 107 = 0 \Rightarrow -5\mu + 65 = 0 \Rightarrow \mu = 13$.
अतः,$\lambda + \mu = -1 + 13 = 12$.

(B) $f(x)$ के $(2, 3)$ पर निरंतर वर्धमान होने के लिए,$x \in (2, 3)$ के लिए $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
$f'(x) = \frac{2}{x-2} - 2x + a \geq 0$.
चूंकि $f''(x) = -\frac{2}{(x-2)^2} - 2 < 0$,इसलिए $f'(x)$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है।
अतः,$(2, 3)$ पर $f'(x) \geq 0$ का अर्थ है कि $f'(3) \geq 0$ होगा।
$f'(3) = \frac{2}{3-2} - 2(3) + a = 2 - 6 + a = a - 4 \geq 0$,इसलिए $a \geq 4$। न्यूनतम मान $a = 4$ है।
अब,$g(x) = (x-1)^3(x+2-4)^2 = (x-1)^3(x-2)^2$.
$g'(x) = 3(x-1)^2(x-2)^2 + (x-1)^3 \cdot 2(x-2) = (x-1)^2(x-2)[3(x-2) + 2(x-1)]$.
$g'(x) = (x-1)^2(x-2)(3x - 6 + 2x - 2) = (x-1)^2(x-2)(5x - 8)$.
$g(x)$ के निरंतर ह्रासमान होने के लिए,$g'(x) < 0$ होना चाहिए।
चूंकि $x \neq 1$ के लिए $(x-1)^2 > 0$,इसलिए $(x-2)(5x-8) < 0$ होना चाहिए।
मूल $x = 8/5$ और $x = 2$ हैं। अंतराल $(8/5, 2)$ है।
अतः,$b = 8/5$ और $c = 2$ है।
$100(a + b - c) = 100(4 + 8/5 - 2) = 100(2 + 1.6) = 100(3.6) = 360$.

(C) दिया गया है $\overrightarrow{a}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$.
सबसे पहले,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\times(\hat{i}-2\hat{k})$ की गणना करें:
$\overrightarrow{b}=\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -2\end{vmatrix} = \hat{i}(2-0) - \hat{j}(-6-2) + \hat{k}(0-(-1)) = 2\hat{i}+8\hat{j}+\hat{k}$.
इसके बाद,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\times\hat{k}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{c}=\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 8 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix} = \hat{i}(8-0) - \hat{j}(2-0) + \hat{k}(0-0) = 8\hat{i}-2\hat{j}$.
अब,$\overrightarrow{c}-2\hat{j} = (8\hat{i}-2\hat{j}) - 2\hat{j} = 8\hat{i}-4\hat{j}$ ज्ञात करें.
एक सदिश $\overrightarrow{v}$ का $\overrightarrow{a}$ पर प्रक्षेप $\frac{\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$ द्वारा दिया जाता है.
यहाँ,$\overrightarrow{v} = 8\hat{i}-4\hat{j}$ और $\overrightarrow{a} = 3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$.
$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{3^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{9+1+4} = \sqrt{14}$.
प्रक्षेप $= \frac{(8\hat{i}-4\hat{j}) \cdot (3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})}{\sqrt{14}} = \frac{(8)(3) + (-4)(-1) + (0)(2)}{\sqrt{14}} = \frac{24+4}{\sqrt{14}} = \frac{28}{\sqrt{14}} = 2\sqrt{14}$.

(D) दिया गया है $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} a+\frac{\sin x}{x} & 1 & b \\ a & 1+\frac{\sin x}{x} & b \\ a & 1 & b+\frac{\sin x}{x} \end{array}\right|$.
जब $x \rightarrow 0$,तब $\frac{\sin x}{x} \rightarrow 1$. मान लीजिए $k = \frac{\sin x}{x} \rightarrow 1$.
अतः $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \left|\begin{array}{ccc} a+1 & 1 & b \\ a & 2 & b \\ a & 1 & b+1 \end{array}\right|$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$= (a+1)[2(b+1) - b] - 1[a(b+1) - ab] + b[a - 2a]$
$= (a+1)(b+2) - a - ab$
$= ab + 2a + b + 2 - a - ab$
$= a + b + 2$.
$\lambda + \mu a + \nu b$ से तुलना करने पर,हमें $\lambda = 2, \mu = 1, \nu = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$(\lambda + \mu + \nu)^2 = (2 + 1 + 1)^2 = 4^2 = 16$.

(D) वक्र $y=e^x$ और $y=|e^x-1|$ हैं।
$x < 0$ के लिए,$e^x < 1$,इसलिए $|e^x-1| = 1-e^x$ है।
वक्र तब प्रतिच्छेद करते हैं जब $e^x = 1-e^x$,जिसका अर्थ है $2e^x = 1$,या $e^x = 1/2$,इसलिए $x = \ln(1/2) = -\ln 2$ है।
क्षेत्रफल $x = -\ln 2$ से $x = 0$ तक वक्रों $y=e^x$ और $y=1-e^x$ के बीच घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल $= \int_{-\ln 2}^{0} [e^x - (1-e^x)] \, dx$
$= \int_{-\ln 2}^{0} (2e^x - 1) \, dx$
$= [2e^x - x]_{-\ln 2}^{0}$
$= (2e^0 - 0) - (2e^{-\ln 2} - (-\ln 2))$
$= (2 - 0) - (2(1/2) + \ln 2)$
$= 2 - (1 + \ln 2)$
$= 1 - \ln 2$.

(D) क्रम $2$ का एक वर्ग आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ में $4$ अवयव होते हैं,जिनमें से प्रत्येक $0$ या $1$ है। ऐसे कुल आव्यूहों की संख्या $2^4 = 16$ है।
एक आव्यूह व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि उसका सारणिक $\det(A) = ad - bc \neq 0$ हो।
$\det(A) = 0$ तब होता है जब $ad = bc$ हो।
स्थिति $1$: $ad = 0$ और $bc = 0$। यह तब होता है जब $(a,d) \in \{(0,0), (0,1), (1,0)\}$ और $(b,c) \in \{(0,0), (0,1), (1,0)\}$ हो। ऐसे $3 \times 3 = 9$ आव्यूह हैं।
स्थिति $2$: $ad = 1$ और $bc = 1$। यह तब होता है जब $(a,d) = (1,1)$ और $(b,c) = (1,1)$ हो। ऐसा $1 \times 1 = 1$ आव्यूह है।
कुल अव्युत्क्रमणीय आव्यूह = $9 + 1 = 10$।
व्युत्क्रमणीय आव्यूहों की संख्या = $16 - 10 = 6$।
प्रायिकता $P(E) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$।

(A) हमें उन फलनों $f: \{1, 2, \ldots, 100\} \rightarrow \{0, 1\}$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें समुच्चय $\{1, 2, \ldots, 98\}$ का ठीक एक अवयव $1$ पर मैप होता है।
$1$. सबसे पहले,हम समुच्चय $\{1, 2, \ldots, 98\}$ से ठीक एक अवयव चुनते हैं जिसे $1$ पर मैप करना है। ऐसा करने के $\binom{98}{1} = 98$ तरीके हैं।
$2$. समुच्चय $\{1, 2, \ldots, 98\}$ के शेष $97$ अवयवों को $0$ पर मैप किया जाना चाहिए। ऐसा करने का केवल $1$ तरीका है।
$3$. अवयव $99$ को $0$ या $1$ पर मैप किया जा सकता है। इसके लिए $2$ विकल्प हैं।
$4$. अवयव $100$ को $0$ या $1$ पर मैप किया जा सकता है। इसके लिए $2$ विकल्प हैं।
गुणन सिद्धांत के अनुसार,ऐसे कुल फलनों की संख्या $98 \times 1 \times 2 \times 2 = 392$ है।

(B) मान लीजिए रेखा $L$ है $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{4} = \lambda$। $L$ पर कोई भी बिंदु $(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda)$ है।
चूंकि $R(5, p, q)$,$L$ पर स्थित है,इसलिए $2\lambda+1 = 5 \implies \lambda = 2$। अतः,$R = (5, 5, 8)$।
मान लीजिए $T$,$Q(7, -2, 5)$ से रेखा $L$ पर लंब का पाद है। मान लीजिए $T = (2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda)$।
सदिश $\vec{QT} = (2\lambda+1-7, 3\lambda-1+2, 4\lambda-5) = (2\lambda-6, 3\lambda+1, 4\lambda-5)$।
चूंकि $\vec{QT}$,रेखा के दिशा सदिश $\vec{b} = (2, 3, 4)$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{QT} \cdot \vec{b} = 0$।
$2(2\lambda-6) + 3(3\lambda+1) + 4(4\lambda-5) = 0 \implies 4\lambda - 12 + 9\lambda + 3 + 16\lambda - 20 = 0 \implies 29\lambda = 29 \implies \lambda = 1$।
अतः,$T = (3, 2, 4)$।
$P$,$Q$ का $L$ में प्रतिबिंब है,इसलिए $T$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$QT = TP$।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times RT \times (QT + TP) = \frac{1}{2} \times RT \times (2QT) = RT \times QT$।
$QT = \sqrt{(3-7)^2 + (2+2)^2 + (4-5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16+16+1} = \sqrt{33}$।
$RT = \sqrt{(5-3)^2 + (5-2)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4+9+16} = \sqrt{29}$।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{33} \times \sqrt{29} = \sqrt{957}$।
इसलिए,क्षेत्रफल का वर्ग $(\sqrt{957})^2 = 957$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $2 \cos x \frac{d y}{d x} = \sin 2x - 4y \sin x$ है।
$2 \cos x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{d y}{d x} = \frac{2 \sin x \cos x}{2 \cos x} - \frac{4y \sin x}{2 \cos x} = \sin x - 2y \tan x$।
इसे रैखिक अवकल समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $\frac{d y}{d x} + 2y \tan x = \sin x$।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int 2 \tan x \, dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = \sec^2 x$ है।
$I.F.$ से गुणा करने पर: $y \sec^2 x = \int \sin x \sec^2 x \, dx = \int \tan x \sec x \, dx = \sec x + C$।
चूंकि $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ दिया गया है,$x = \frac{\pi}{3}$ रखने पर: $0 \cdot \sec^2(\frac{\pi}{3}) = \sec(\frac{\pi}{3}) + C \implies 0 = 2 + C \implies C = -2$।
अतः,$y \sec^2 x = \sec x - 2$,जिसे सरल करने पर $y = \cos x - 2 \cos^2 x$ प्राप्त होता है।
अब,$y(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) - 2 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} - 2(\frac{1}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} - 1$।
आगे,$y^{\prime}(x) = -\sin x - 4 \cos x(-\sin x) = -\sin x + 4 \sin x \cos x = -\sin x + 2 \sin 2x$।
$y^{\prime}(\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) + 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} + 2$।
अंत में,$y^{\prime}(\frac{\pi}{4}) + y(\frac{\pi}{4}) = (-\frac{1}{\sqrt{2}} + 2) + (\frac{1}{\sqrt{2}} - 1) = 1$।

(A) माना $2 x^2+5 x+9 = A(x^2+x+1) + B(2x+1) + D$.
गुणांकों की तुलना करने पर: $A=2$,$A+2B=5 \implies 2+2B=5 \implies B=\frac{3}{2}$,और $A+B+D=9 \implies 2+\frac{3}{2}+D=9 \implies D=\frac{11}{2}$.
समाकलन इस प्रकार होगा: $\int \frac{2(x^2+x+1) + \frac{3}{2}(2x+1) + \frac{11}{2}}{\sqrt{x^2+x+1}} dx = 2\int \sqrt{x^2+x+1} dx + \frac{3}{2}\int \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}} dx + \frac{11}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}}$.
सूत्र $\int \sqrt{x^2+a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|$ का उपयोग करने पर:
$2[\frac{x+1/2}{2}\sqrt{x^2+x+1} + \frac{3/4}{2}\ln|x+1/2+\sqrt{x^2+x+1}|] + 3\sqrt{x^2+x+1} + \frac{11}{2}\ln|x+1/2+\sqrt{x^2+x+1}| + C$.
$= (x+\frac{1}{2})\sqrt{x^2+x+1} + \frac{3}{4}\ln|...| + 3\sqrt{x^2+x+1} + \frac{11}{2}\ln|...| + C$.
$= x\sqrt{x^2+x+1} + (\frac{1}{2}+3)\sqrt{x^2+x+1} + (\frac{3}{4}+\frac{11}{2})\ln|x+\frac{1}{2}+\sqrt{x^2+x+1}| + C$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर: $\alpha = \frac{7}{2}$ और $\beta = \frac{3}{4} + \frac{22}{4} = \frac{25}{4}$.
$\alpha + 2\beta = \frac{7}{2} + 2(\frac{25}{4}) = \frac{7}{2} + \frac{25}{2} = \frac{32}{2} = 16$.

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{2^x}{2^x + \sqrt{2}}$.
$f(1-x) = \frac{2^{1-x}}{2^{1-x} + \sqrt{2}} = \frac{2/2^x}{2/2^x + \sqrt{2}} = \frac{2}{2 + \sqrt{2} \cdot 2^x} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 2^x}$ प्राप्त करते हैं।
अतः,$f(x) + f(1-x) = \frac{2^x}{2^x + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2^x + \sqrt{2}} = \frac{2^x + \sqrt{2}}{2^x + \sqrt{2}} = 1$ है।
हमें $S = \sum_{k=1}^{81} f\left(\frac{k}{82}\right) = f\left(\frac{1}{82}\right) + f\left(\frac{2}{82}\right) + \dots + f\left(\frac{81}{82}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
पदों को युग्मित करने पर $f\left(\frac{k}{82}\right) + f\left(1 - \frac{k}{82}\right) = f\left(\frac{k}{82}\right) + f\left(\frac{82-k}{82}\right) = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ $40$ ऐसे युग्म हैं ($k=1$ से $40$ तक) और मध्य पद $f\left(\frac{41}{82}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right)$ है।
$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2^{1/2}}{2^{1/2} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$S = 40 \times 1 + \frac{1}{2} = \frac{81}{2}$।

(NONE) दिया गया है $f(x) = (3a+2)x^2 + \left(\frac{a+2}{a-1}\right)x + b$.
$f(x+y) = f(x) + f(y) + 1 - \frac{2}{7}xy$ में $x=y=0$ रखने पर,हमें $f(0) = 2f(0) + 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(0) = -1$.
चूँकि $f(0) = b$,इसलिए $b = -1$.
अब,$f(x+y) = f(x) + f(y) + 1 - \frac{2}{7}xy$.
$f(x+y) = A(x+y)^2 + B(x+y) + C$ के विस्तार में $xy$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$2A = -\frac{2}{7}$,इसलिए $A = -\frac{1}{7}$.
चूँकि $A = 3a+2$,इसलिए $3a+2 = -\frac{1}{7} \Rightarrow 3a = -\frac{15}{7} \Rightarrow a = -\frac{5}{7}$.
अब,$B = \frac{a+2}{a-1} = \frac{-5/7 + 2}{-5/7 - 1} = -\frac{3}{4}$.
अतः,$f(x) = -\frac{1}{7}x^2 - \frac{3}{4}x - 1$.
हमें $28 \sum_{i=1}^3 |f(i)|$ की गणना करनी है।
$f(1) = -\frac{53}{28}$,$f(2) = -\frac{86}{28}$,$f(3) = -\frac{127}{28}$.
$28 \sum_{i=1}^3 |f(i)| = 28 \left( \frac{53}{28} + \frac{86}{28} + \frac{127}{28} \right) = 53 + 86 + 127 = 266$.

(C) दिया गया संबंध $R = \{(x, y) : x, y \in \mathbb{Z} \text{ और } x + y \text{ सम है} \}$ है।
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $x \in \mathbb{Z}$ के लिए,$x + x = 2x$,जो हमेशा एक सम पूर्णांक होता है। अतः,सभी $x \in \mathbb{Z}$ के लिए $(x, x) \in R$ है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $(x, y) \in R$ है,तो $x + y$ सम है। चूँकि $x + y = y + x$,इसलिए $y + x$ भी सम है। अतः,$(y, x) \in R$ है। इसलिए,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: यदि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ है,तो $x + y$ सम है और $y + z$ सम है। दो सम संख्याओं का योग सम होता है,इसलिए $(x + y) + (y + z) = x + z + 2y$ सम है। चूँकि $2y$ सम है,इसलिए $x + z$ भी सम होगा। अतः,$(x, z) \in R$ है। इसलिए,$R$ संक्रामक है।
चूँकि संबंध स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(B) माना $x = \sin^{-1} \frac{3}{5}$,$y = \sin^{-1} \frac{5}{13}$,और $z = \sin^{-1} \frac{33}{65}$ है।
$\tan^{-1}$ रूप में बदलने पर:
$x = \tan^{-1} \frac{3}{4}$,$y = \tan^{-1} \frac{5}{12}$,और $z = \tan^{-1} \frac{33}{56}$ प्राप्त होता है।
अब,$\tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{5}{12} = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{3}{4} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{12}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{14/12}{33/48} \right) = \tan^{-1} \frac{56}{33}$ होता है।
अतः,व्यंजक $\cos \left( \tan^{-1} \frac{56}{33} + \tan^{-1} \frac{33}{56} \right)$ बन जाता है।
चूंकि $\tan^{-1} \frac{33}{56} = \cot^{-1} \frac{56}{33}$,इसलिए $\cos \left( \tan^{-1} \frac{56}{33} + \cot^{-1} \frac{56}{33} \right)$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\tan^{-1} \theta + \cot^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,$\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना दी गई रेखा $L: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{3} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई बिंदु $Q(2\lambda+1, \lambda+2, 3\lambda+1)$ है।
माना $P = (4,4,3)$ है। सदिश $\vec{PQ} = (2\lambda+1-4, \lambda+2-4, 3\lambda+1-3) = (2\lambda-3, \lambda-2, 3\lambda-2)$ है।
चूंकि $\vec{PQ}$ रेखा के दिशा सदिश $\vec{v} = (2, 1, 3)$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0$ होगा।
$2(2\lambda-3) + 1(\lambda-2) + 3(3\lambda-2) = 0$.
$4\lambda - 6 + \lambda - 2 + 9\lambda - 6 = 0$.
$14\lambda - 14 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
अतः,लंबपाद $Q$ का मान $(2(1)+1, 1+2, 3(1)+1) = (3, 3, 4)$ है।
माना $P$ का प्रतिबिंब $R(\alpha, \beta, \gamma)$ है। चूंकि $Q$,$PR$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$\frac{\alpha+4}{2} = 3 \Rightarrow \alpha = 2$.
$\frac{\beta+4}{2} = 3 \Rightarrow \beta = 2$.
$\frac{\gamma+3}{2} = 4 \Rightarrow \gamma = 5$.
अतः,प्रतिबिंब $(2, 2, 5)$ है।
इसलिए,$\alpha+\beta+\gamma = 2+2+5 = 9$.

(C) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{96 x^2 \cos^2 x}{1+e^x} dx$.
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{96 x^2 \cos^2 x}{1+e^{-x}} dx$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 96 x^2 \cos^2 x \left( \frac{1}{1+e^x} + \frac{1}{1+e^{-x}} \right) dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 96 x^2 \cos^2 x dx$.
चूँकि $x^2 \cos^2 x$ एक सम फलन है,$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 96 x^2 \cos^2 x dx = 48 \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 (1 + \cos 2x) dx$.
$I = 48 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} + 48 \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos 2x dx$.
$I = 48 \left( \frac{\pi^3}{24} \right) + 48 \left[ x^2 \frac{\sin 2x}{2} - \int 2x \frac{\sin 2x}{2} dx \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$.
$I = 2\pi^3 + 48 \left[ 0 - \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin 2x dx \right] = 2\pi^3 - 48 \left[ x \left( -\frac{\cos 2x}{2} \right) - \int -\frac{\cos 2x}{2} dx \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$.
$I = 2\pi^3 - 48 \left[ -\frac{x \cos 2x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 2\pi^3 - 48 \left[ -\frac{\pi}{2} \cdot \frac{(-1)}{2} - 0 \right] = 2\pi^3 - 12\pi = \pi(2\pi^2 - 12)$.
$\pi(\alpha \pi^2 + \beta)$ से तुलना करने पर,$\alpha = 2, \beta = -12$ प्राप्त होता है।
अतः,$(\alpha + \beta)^2 = (2 - 12)^2 = (-10)^2 = 100$.

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} 1-2x, & x < -1 \\ \frac{1}{3}(7+2|x|), & -1 \leq x \leq 2 \\ \frac{11}{18}(x-4)(x-5), & x > 2 \end{cases}$ है।
$-1 \leq x \leq 2$ के लिए,$f(x) = \frac{1}{3}(7+2|x|)$ है। यह फलन $x=0$ पर स्थानीय न्यूनतम मान रखता है,जिसका मान $f(0) = \frac{7}{3}$ है।
$x > 2$ के लिए,$f(x) = \frac{11}{18}(x-4)(x-5) = \frac{11}{18}(x^2 - 9x + 20)$ है।
स्थानीय न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम परवलय का शीर्ष ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{11}{18}(2x - 9) = 0 \implies x = \frac{9}{2} = 4.5$ है।
$x = 4.5$ पर मान $f(4.5) = \frac{11}{18}(4.5-4)(4.5-5) = \frac{11}{18}(0.5)(-0.5) = \frac{11}{18} \times (-\frac{1}{4}) = -\frac{11}{72}$ है।
अतः,स्थानीय न्यूनतम मान $\frac{7}{3}$ और $-\frac{11}{72}$ हैं।
इन मानों का योग $\frac{7}{3} - \frac{11}{72} = \frac{168 - 11}{72} = \frac{157}{72}$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\int_0^{x} t f(t) dt = x^2 f(x)$ जहाँ $x > 0$ है।
लाइबनीज नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x f(x) = x^2 f'(x) + 2x f(x)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2 f'(x) = x f(x) - 2x f(x) = -x f(x)$.
चूँकि $x > 0$,हम $x^2$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = -\frac{1}{x}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = -\int \frac{1}{x} dx$.
$\ln|f(x)| = -\ln|x| + C = \ln|\frac{k}{x}|$,जहाँ $C = \ln|k|$ है।
अतः,$f(x) = \frac{k}{x}$.
दिया गया है कि $f(2) = 3$,इसलिए $3 = \frac{k}{2}$,जिसका अर्थ है $k = 6$.
इस प्रकार,$f(x) = \frac{6}{x}$.
अंततः,$f(6) = \frac{6}{6} = 1$.

(A) कुल संतरों की संख्या = $10$। खराब संतरों की संख्या = $3$। अच्छे संतरों की संख्या = $7$। दो संतरे यादृच्छिक रूप से निकाले जाते हैं। मान लीजिए $x$ खराब संतरों की संख्या है। $x$ के संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$x_i$	$P(x_i)$
$0$	$\frac{^7C_2}{^{10}C_2} = \frac{21}{45} = \frac{42}{90}$
$1$	$\frac{^7C_1 \times ^3C_1}{^{10}C_2} = \frac{21}{45} = \frac{42}{90}$
$2$	$\frac{^3C_2}{^{10}C_2} = \frac{3}{45} = \frac{6}{90}$

माध्य $\mu = E(x) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{42}{90} + 1 \times \frac{42}{90} + 2 \times \frac{6}{90} = \frac{42 + 12}{90} = \frac{54}{90} = \frac{3}{5} = 0.6$।
अब,$E(x^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{42}{90} + 1^2 \times \frac{42}{90} + 2^2 \times \frac{6}{90} = \frac{42 + 24}{90} = \frac{66}{90} = \frac{11}{15}$।
प्रसरण $\sigma^2 = E(x^2) - [E(x)]^2 = \frac{11}{15} - (\frac{3}{5})^2 = \frac{11}{15} - \frac{9}{25} = \frac{55 - 27}{75} = \frac{28}{75}$।

(B) यह क्षेत्र $x \in [-3, 3]$ के लिए $0 \leq y \leq \min(2|x|+1, x^2+1)$ द्वारा परिभाषित है।
$y$-अक्ष के सापेक्ष सममिति के कारण,कुल क्षेत्रफल $2 \times \int_0^3 \min(2x+1, x^2+1) dx$ है।
सबसे पहले,$x > 0$ के लिए $y = 2x+1$ और $y = x^2+1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$x^2+1 = 2x+1 \Rightarrow x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x-2) = 0$.
अतः,वक्र $x = 0$ और $x = 2$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$x \in [0, 2]$ के लिए,$x^2+1 \leq 2x+1$,इसलिए $\min(2x+1, x^2+1) = x^2+1$ है।
$x \in [2, 3]$ के लिए,$2x+1 \leq x^2+1$,इसलिए $\min(2x+1, x^2+1) = 2x+1$ है।
इस प्रकार,क्षेत्रफल $2 \left[ \int_0^2 (x^2+1) dx + \int_2^3 (2x+1) dx \right]$ है।
$= 2 \left[ \left( \frac{x^3}{3} + x \right)_0^2 + \left( x^2 + x \right)_2^3 \right]$
$= 2 \left[ \left( \frac{8}{3} + 2 \right) + ((9+3) - (4+2)) \right]$
$= 2 \left[ \frac{14}{3} + 6 \right] = 2 \left[ \frac{32}{3} \right] = \frac{64}{3}$.

(A) $3 \times 3$ आव्यूह $A$ के लिए,$S_1$ (सममित आव्यूह) में अवयवों की संख्या स्वतंत्र प्रविष्टियों $a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{13}, a_{23}$ द्वारा निर्धारित होती है। चूंकि प्रत्येक $5$ मान ले सकता है,$n(S_1) = 5^6 = 15625$।
$S_2$ (विषम-सममित आव्यूह) के लिए,सभी $i$ के लिए $a_{ii}=0$। चूंकि $0 \notin S$,इसलिए $n(S_2) = 0$।
$S_3$ के लिए,शर्त $a_{11}+a_{22}+a_{33}=0$ है। $S$ से $(a_{11}, a_{22}, a_{33})$ चुनने के तरीके जिनका योग $0$ है: $(1, 2, -3)$ के $3! = 6$ क्रमचय,$(1, 1, -2)$ के $3$ क्रमचय,$(-1, -1, 2)$ के $3$ क्रमचय। कुल तरीके = $6+3+3 = 12$। अन्य $6$ प्रविष्टियाँ $5$ में से कोई भी हो सकती हैं,इसलिए $n(S_3) = 12 \times 5^6$।
$n(S_1 \cap S_3)$ के लिए $A=A^T$ और $a_{11}+a_{22}+a_{33}=0$ आवश्यक है। विकर्ण प्रविष्टियों को योग शर्त ($12$ तरीके) को पूरा करना होगा और अन्य $3$ प्रविष्टियाँ $5$ में से कोई भी हो सकती हैं। इसलिए $n(S_1 \cap S_3) = 12 \times 5^3$।
$n(S_1 \cup S_2 \cup S_3) = n(S_1) + n(S_2) + n(S_3) - n(S_1 \cap S_2) - n(S_2 \cap S_3) - n(S_1 \cap S_3) + n(S_1 \cap S_2 \cap S_3)$।
चूंकि $S_2$ रिक्त है,$S_2$ से जुड़े सभी प्रतिच्छेदन $0$ हैं।
$n(S_1 \cup S_2 \cup S_3) = 5^6 + 0 + 12 \times 5^6 - 0 - 0 - 12 \times 5^3 + 0 = 13 \times 5^6 - 12 \times 5^3 = 5^3(13 \times 5^3 - 12) = 125(1625 - 12) = 125(1613)$।
अतः,$\alpha = 1613$।

(C) दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$।
$\vec{d}=\vec{a} \times \vec{b} = -\hat{i}+\hat{j}$।
$|\vec{d}| = \sqrt{2}$।
$|\vec{c}-2\vec{a}|^2=8 \implies |\vec{c}|^2 + 4|\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 8$।
$|\vec{a}|^2 = 3$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}| = x$ लेने पर,$x^2 - 4x + 4 = 0 \implies |\vec{c}| = 2$।
$\vec{d}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है,इसलिए $|\vec{d} \times \vec{c}| = |\vec{d}||\vec{c}| \sin(\frac{\pi}{4}) = 2$।
अतः,$|\vec{d} \times \vec{c}|^2 = 4$।
सदिश त्रिक गुणन के गुण का उपयोग करते हुए,$|(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}|^2 = 4$।
$|2\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}|^2 = 4 \implies 3(\vec{b} \cdot \vec{c})^2 - 20(\vec{b} \cdot \vec{c}) + 32 = 0$।
$\vec{b} \cdot \vec{c} = 4$ या $\frac{8}{3}$ प्राप्त होता है।
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{8}{3}$ लेने पर,$|10 - 3(\frac{8}{3})| + 4 = 2+4 = 6$।

(D) $0 \leq x \leq 2$ के लिए,हम $f(x) = \min \{1+x+[x], x+2[x]\}$ का विश्लेषण करते हैं।
स्थिति $1$: $0 \leq x < 1$,तब $[x] = 0$. अतः,$f(x) = \min \{1+x, x\} = x$.
स्थिति $2$: $1 \leq x < 2$,तब $[x] = 1$. अतः,$f(x) = \min \{1+x+1, x+2(1)\} = \min \{x+2, x+2\} = x+2$.
स्थिति $3$: $x = 2$ पर,$[x] = 2$. अतः,$f(2) = \min \{1+2+2, 2+2(2)\} = \min \{5, 6\} = 5$.
इस प्रकार,फलन है:
$f(x) = \begin{cases} 3x, & x < 0 \\ x, & 0 \leq x < 1 \\ x+2, & 1 \leq x < 2 \\ 5, & x \geq 2 \end{cases}$
सांतत्य की जाँच:
$x=0$ पर: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$,$f(0) = 0$. संतत है।
$x=1$ पर: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$,$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 3$. असंतत है।
$x=2$ पर: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 4$,$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 5$. असंतत है।
अतः,$\alpha = 2$ (बिंदु $x=1, 2$ हैं)।
अवकलनीयता की जाँच:
$x=0$ पर: $f'(0^-) = 3$,$f'(0^+) = 1$. अवकलनीय नहीं है।
$x=1$ पर: असंतत होने के कारण,अवकलनीय नहीं है।
$x=2$ पर: असंतत होने के कारण,अवकलनीय नहीं है।
अतः,$\beta = 3$ (बिंदु $x=0, 1, 2$ हैं)।
इसलिए,$\alpha + \beta = 2 + 3 = 5$.

(B) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ क्रमशः थैलियों $B_1, B_2, B_3$ को चुनने की घटनाएँ हैं। चूँकि थैलियाँ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं,इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि निकाली गई गेंद सफेद है।
प्रत्येक थैली से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:
$P(A|E_1) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$P(A|E_2) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
$P(A|E_3) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि गेंद सफेद है तो उसके थैली $B_2$ से निकाले जाने की प्रायिकता:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{4}{10}}{\frac{1}{3} \times \frac{6}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{4}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{10}}$
$P(E_2|A) = \frac{4}{6 + 4 + 5} = \frac{4}{15}$

(D) माना $\vec{a}_{\parallel}$,$\vec{a}$ का $\vec{b}$ की दिशा में घटक है और $\vec{a}_{\perp}$,$\vec{a}$ का $\vec{b}$ के लंबवत घटक है।
दिया गया है कि $\vec{a}_{\parallel} = \frac{16}{11}(3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$ और $\vec{a}_{\perp} = \frac{1}{11}(-4 \hat{i} - 5 \hat{j} - 17 \hat{k})$.
चूंकि $\vec{a} = \vec{a}_{\parallel} + \vec{a}_{\perp}$,इसलिए:
$\vec{a} = \frac{16}{11}(3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + \frac{1}{11}(-4 \hat{i} - 5 \hat{j} - 17 \hat{k})$
$\vec{a} = \frac{48-4}{11} \hat{i} + \frac{16-5}{11} \hat{j} + \frac{-16-17}{11} \hat{k}$
$\vec{a} = \frac{44}{11} \hat{i} + \frac{11}{11} \hat{j} - \frac{33}{11} \hat{k}$
$\vec{a} = 4 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}$
$\vec{a} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = 4$,$\beta = 1$,और $\gamma = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (4)^2 + (1)^2 + (-3)^2 = 16 + 1 + 9 = 26$.

(D) दिया गया है $g(x^3) = x^6 + x^7$. मान लीजिए $u = x^3$,तो $x = u^{1/3}$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $g(u) = (u^{1/3})^6 + (u^{1/3})^7 = u^2 + u^{7/3}$ प्राप्त होता है।
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$g'(x) = x f(x)$,इसलिए $f(x) = \frac{g'(x)}{x}$ है।
$g(x) = x^2 + x^{7/3}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$g'(x) = 2x + \frac{7}{3}x^{4/3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \frac{2x + \frac{7}{3}x^{4/3}}{x} = 2 + \frac{7}{3}x^{1/3}$ है।
अब,$f(r^3) = 2 + \frac{7}{3}(r^3)^{1/3} = 2 + \frac{7}{3}r$ है।
हमें $\sum_{r=1}^{15} f(r^3) = \sum_{r=1}^{15} (2 + \frac{7}{3}r) = \sum_{r=1}^{15} 2 + \frac{7}{3} \sum_{r=1}^{15} r$ की गणना करनी है।
$= (2 \times 15) + \frac{7}{3} \times \frac{15 \times 16}{2} = 30 + \frac{7}{3} \times 120 = 30 + 7 \times 40 = 30 + 280 = 310$.

(C) माना कि दिया गया बिंदु $P\left(\frac{15}{7}, \frac{32}{7}, 7\right)$ है और रेखा $L$ समीकरण $\frac{x+1}{3}=\frac{y+3}{5}=\frac{z+5}{7} = k$ द्वारा दी गई है।
रेखा $L$ पर कोई भी बिंदु $Q(3k-1, 5k-3, 7k-5)$ के रूप में लिया जा सकता है।
सदिश $\vec{PQ} = \left(3k-1-\frac{15}{7}\right)\hat{i} + \left(5k-3-\frac{32}{7}\right)\hat{j} + (7k-5-7)\hat{k} = \left(3k-\frac{22}{7}\right)\hat{i} + \left(5k-\frac{53}{7}\right)\hat{j} + (7k-12)\hat{k}$ है।
चूंकि रेखा $PQ$ सदिश $\vec{v} = \hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}$ के समानांतर है,इसलिए $\vec{PQ}$ के घटक $\vec{v}$ के घटकों के समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{3k-\frac{22}{7}}{1} = \frac{5k-\frac{53}{7}}{4} = \frac{7k-12}{7} = \lambda$.
$\frac{7k-12}{7} = \lambda$ से,$7k-12 = 7\lambda \Rightarrow k = \lambda + \frac{12}{7}$ प्राप्त होता है।
$k$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $3(\lambda + \frac{12}{7}) - \frac{22}{7} = \lambda \Rightarrow 3\lambda + \frac{36-22}{7} = \lambda \Rightarrow 2\lambda = -2 \Rightarrow \lambda = -1$.
अतः,$k = -1 + \frac{12}{7} = \frac{5}{7}$ है।
बिंदु $Q$ का मान $Q(3(\frac{5}{7})-1, 5(\frac{5}{7})-3, 7(\frac{5}{7})-5) = Q(\frac{8}{7}, \frac{4}{7}, 0)$ है।
दूरी $PQ = \sqrt{(\frac{15}{7}-\frac{8}{7})^2 + (\frac{32}{7}-\frac{4}{7})^2 + (7-0)^2} = \sqrt{1^2 + 4^2 + 7^2} = \sqrt{1+16+49} = \sqrt{66}$ है।
इसलिए,दूरी का वर्ग $(PQ)^2 = 66$ है।

(C) दिए गए वक्र $x(1+y^2)=1$ और $y^2=2x$ हैं।
दूसरे समीकरण से,$x = \frac{y^2}{2}$ प्राप्त होता है।
इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{y^2}{2}(1+y^2) = 1 \Rightarrow y^2 + y^4 = 2 \Rightarrow y^4 + y^2 - 2 = 0$.
माना $y^2 = t$,तब $t^2 + t - 2 = 0 \Rightarrow (t+2)(t-1) = 0$.
चूंकि $y^2 = t \ge 0$,इसलिए $t = 1$,अतः $y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1$.
$y = \pm 1$ के लिए,$x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\int_{-1}^{1} \left( \frac{1}{1+y^2} - \frac{y^2}{2} \right) dy$ द्वारा दिया जाता है।
$= \left[ \tan^{-1}(y) - \frac{y^3}{6} \right]_{-1}^{1}$.
$= \left( \tan^{-1}(1) - \frac{1}{6} \right) - \left( \tan^{-1}(-1) - \frac{(-1)^3}{6} \right)$.
$= \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{6} \right) - \left( -\frac{\pi}{4} + \frac{1}{6} \right)$.
$= \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{6} - \frac{1}{6} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}$.

(A) दिया गया है कि $P = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है,इसलिए $P^T P = I$ और $P^T = P^{-1}$।
दिया गया है $B = P A P^T$।
तब $C = P^T B^{10} P = P^T (P A P^T)^{10} P = P^T (P A^{10} P^T) P = (P^T P) A^{10} (P^T P) = I A^{10} I = A^{10}$।
अतः,$C$ के विकर्ण तत्वों का योग $A^{10}$ का ट्रेस (trace) है।
$A = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
एक मैट्रिक्स $A = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix}$ के लिए,$A^n = \begin{bmatrix} a^n & b(a^{n-1} + a^{n-2}d + \dots + d^{n-1}) \\ 0 & d^n \end{bmatrix}$ होता है।
$A^{10}$ के विकर्ण तत्व $a^{10}$ और $d^{10}$ हैं।
यहाँ $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $d = 1$ है।
ट्रेस$(A^{10}) = a^{10} + d^{10} = (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10} + 1^{10} = \frac{1}{2^5} + 1 = \frac{1}{32} + 1 = \frac{33}{32}$।
दिया गया है $\frac{m}{n} = \frac{33}{32}$ जहाँ $\operatorname{gcd}(33, 32) = 1$,इसलिए $m = 33$ और $n = 32$ है।
अतः,$m + n = 33 + 32 = 65$।