$(2+\sqrt{3})^8$ के विस्तार में सभी परिमेय पदों का योग क्या है?

यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है और $f(n)$,$(1+x)(1-x)^n$ के विस्तार में $x^n$ का गुणांक है,तो $f(2023) = $

यदि $\left(\frac{x}{2}-\frac{2y}{3}\right)^6$ के विस्तार में $4^{\text{th}}$ पद $-20$ है,तो $xy=$

$\left( \frac{x^2}{2} - \frac{2}{x} \right)^8$ के विस्तार में $x^7$ का गुणांक है

$(1 + 3x + 3x^2 + x^3)^6$ के विस्तार में मध्य पद है

मान लीजिए कि $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}+\beta x\right)^{4}$,$(1-3 \beta x)^{2}$ और $\left(1-\frac{\beta}{2} x\right)^{6}$ के विस्तार में मध्य पदों के गुणांक,जहाँ $\beta > 0$,क्रमशः एक $A.P.$ के पहले तीन पद बनाते हैं। यदि $d$ इस $A.P.$ का सार्व अंतर है,तो $50-\frac{2 d}{\beta^{2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।