JEE Main 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) मान लीजिए $G.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है ($r > 1$ क्योंकि पद बढ़ रहे हैं)।
$a_3 a_5 = (ar^2)(ar^4) = a^2 r^6 = 729 \Rightarrow ar^3 = 27 \dots (i)$
$a_2 + a_4 = ar + ar^3 = \frac{111}{4} \dots (ii)$
$(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$ar + 27 = \frac{111}{4} \Rightarrow ar = \frac{111}{4} - 27 = \frac{111 - 108}{4} = \frac{3}{4} \dots (iii)$
$(i)$ को $(iii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{ar^3}{ar} = \frac{27}{3/4}$ $\Rightarrow r^2 = 27 \times \frac{4}{3} = 36$ $\Rightarrow r = 6$ (क्योंकि पद धनात्मक हैं)।
$(iii)$ से,$a(6) = \frac{3}{4} \Rightarrow a = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$.
अब,$24(a_1 + a_2 + a_3) = 24(a + ar + ar^2) = 24a(1 + r + r^2)$.
$= 24 \times \frac{1}{8} (1 + 6 + 36) = 3(43) = 129$.

(D) दिए गए परवलय रेखा $y = x$ के सापेक्ष सममित हैं।
बिंदुओं $A$ और $B$ पर स्पर्श रेखाएं रेखा $y = x$ के समानांतर होनी चाहिए,इसलिए स्पर्श रेखाओं की ढाल $1$ है।
परवलय $y = x^2 + 2$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = 2x = 1$,जिससे $x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{1}{2}$ को $y = x^2 + 2$ में रखने पर,हमें $y = (\frac{1}{2})^2 + 2 = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $B = (\frac{1}{2}, \frac{9}{4})$ है। सममिति द्वारा,बिंदु $A = (\frac{9}{4}, \frac{1}{2})$ है।
दूरी $AB = \sqrt{(\frac{9}{4} - \frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2} - \frac{9}{4})^2} = \sqrt{(\frac{7}{4})^2 + (-\frac{7}{4})^2} = \sqrt{\frac{49}{16} + \frac{49}{16}} = \sqrt{\frac{98}{16}} = \frac{7 \sqrt{2}}{4}$ है।
सबसे छोटे वृत्त का व्यास दूरी $AB$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{AB}{2} = \frac{7 \sqrt{2}}{8}$ है।

(A) माना $P(W_{1}) = x$ है।
कुल शब्दों की संख्या $5! = 120$ है,इसलिए प्रायिकताओं का योग $\sum_{i=1}^{120} P(W_{i}) = 1$ है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है: $x + 2x + 2^{2}x + \dots + 2^{119}x = 1$।
$\frac{x(2^{120}-1)}{2-1} = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2^{120}-1}$।
अब,शब्द $CDBEA$ का क्रम ज्ञात करते हैं:
$A$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$।
$B$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$।
$CA$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$।
$CB$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$।
$CDA$ से शुरू होने वाले शब्द: $2! = 2$।
$CDBAE$: $1$।
$CDBEA$: $1$।
कुल क्रम $n = 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 1 + 1 = 64$।
अतः,$P(W_{64}) = 2^{63} P(W_{1}) = \frac{2^{63}}{2^{120}-1}$।
$\frac{2^{\alpha}}{2^{\beta}-1}$ से तुलना करने पर,$\alpha = 63$ और $\beta = 120$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha + \beta = 63 + 120 = 183$।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित बिंदु $P$ के लिए नाभीय दूरियों का गुणनफल $PS_1 \cdot PS_2 = b^2 + \frac{b^2}{a^2}x_1^2$ होता है। दिया गया है कि $PS_1 \cdot PS_2 = 32$ और $P(4, 2\sqrt{3})$,अतः $b^2 + \frac{b^2}{a^2}(16) = 32 \Rightarrow b^2(\frac{a^2+16}{a^2}) = 32$.
चूंकि बिंदु $P$ अतिपरवलय पर स्थित है,$\frac{16}{a^2} - \frac{12}{b^2} = 1 \Rightarrow b^2 = \frac{12a^2}{16-a^2}$.
इन मानों को हल करने पर,$a^2 = 8$ और $b^2 = 12$ प्राप्त होता है।
$p = 2b = 4\sqrt{3} \Rightarrow p^2 = 48$.
$q = \frac{2b^2}{a} = 6\sqrt{2} \Rightarrow q^2 = 72$.
$p^2 + q^2 = 48 + 72 = 120$.

(D) $7$ अंकों की कुल संख्याएँ $= 9,000,000$ हैं।
किसी भी $7$ अंकीय संख्या $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5 d_6 d_7$ के लिए,पहले $6$ अंकों का योग $S$ सम या विषम हो सकता है।
यदि $S$ सम है,तो $d_7$ को सम $(0, 2, 4, 6, 8)$ होना चाहिए ($5$ विकल्प)।
यदि $S$ विषम है,तो $d_7$ को विषम $(1, 3, 5, 7, 9)$ होना चाहिए ($5$ विकल्प)।
अतः,अंकों का योग सम होने वाली $7$ अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $= \frac{9,000,000}{2} = 4,500,000$ है।
यह मान $m \cdot n \cdot 10^n = 9 \cdot 5 \cdot 10^5$ के रूप में है।
अतः $m=9$ और $n=5$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$m+n = 9+5 = 14$।

(D) माना बिंदु $A(4,6), B(-1,5), C(0,0)$ और $D(k, 3k)$ हैं।
$AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{5-6}{-1-4} = \frac{1}{5}$ और $BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{5-0}{-1-0} = -5$ है।
चूंकि $m_{AB} \cdot m_{BC} = -1$,इसलिए $\angle ABC = 90^\circ$ है।
अतः,$AC$ वृत्त का व्यास है। व्यास $AC$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-4)(x-0) + (y-6)(y-0) = 0$ अर्थात $x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0$ है।
बिंदु $D(k, 3k)$ वृत्त पर स्थित है,इसलिए $k^2 + (3k)^2 - 4k - 6(3k) = 0$।
$10k^2 - 22k = 0 \implies k = \frac{11}{5}$ (क्योंकि $k \neq 0$)।
वृत्त का केंद्र $AC$ का मध्यबिंदु $(2, 3)$ है। त्रिज्या का वर्ग $r^2 = (2-0)^2 + (3-0)^2 = 13$ है।
अतः,$10k + r^2 = 10(\frac{11}{5}) + 13 = 22 + 13 = 35$।

(D) दिया गया माध्य $\overline{x} = \frac{\sum x_i}{5} = 5$ है,इसलिए $1+3+a+7+b = 25$,जिसका अर्थ है $a+b = 14$.
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{5} - (\overline{x})^2 = 10$ है,इसलिए $\frac{1^2+3^2+a^2+7^2+b^2}{5} - 25 = 10$,जिससे $1+9+a^2+49+b^2 = 175$,जो $a^2+b^2 = 116$ देता है।
$a+b=14$ और $a^2+b^2=116$ से,$(a+b)^2 - 2ab = 116$ $\Rightarrow 196 - 2ab = 116$ $\Rightarrow ab = 40$.
$a$ और $b$ समीकरण $t^2 - 14t + 40 = 0$ के मूल हैं,इसलिए $(t-10)(t-4) = 0$। चूँकि $a > b$,इसलिए $a=10$ और $b=4$ है।
नए अवलोकन $y_n = n+x_n$ क्रमशः $2, 5, 13, 11, 9$ हैं।
नया माध्य $\overline{y} = \frac{2+5+13+11+9}{5} = 8$ है।
नया प्रसरण $\frac{2^2+5^2+13^2+11^2+9^2}{5} - 8^2 = \frac{400}{5} - 64 = 80 - 64 = 16$ है।

(A) दी गई रेखाओं के परिवार का समीकरण $x(3 \lambda+1)+y(7 \lambda+2)=17 \lambda+5$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(x+2y-5) + \lambda(3x+7y-17) = 0$ प्राप्त होता है।
यह परिवार $x+2y-5=0$ और $3x+7y-17=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरता है।
इन समीकरणों को हल करने पर,$P(1, 2)$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से सबसे दूर स्थित रेखा $L$,$OP$ के लंबवत होती है।
$OP$ की ढाल $m_{OP} = 2$ है,इसलिए रेखा $L$ की ढाल $m_L = -\frac{1}{2}$ है।
बिंदु $P(1, 2)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ का समीकरण $x+2y-5=0$ है।
बिंदु $Q(3, 6)$ से रेखा $L$ की दूरी $d = \frac{|3+12-5|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$ है।
अतः,$d^2 = 20$.

(A) दिया गया समीकरण: $x(x+2)(12-k)=2$.
मान लीजिए $\lambda = 12-k$ है। चूंकि समीकरण के मूल समान हैं,$k \neq 12$,इसलिए $\lambda \neq 0$ है।
समीकरण $\lambda(x^2+2x) = 2$ या $\lambda x^2 + 2\lambda x - 2 = 0$ बन जाता है।
समान मूलों के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 0$ होगा।
$(2\lambda)^2 - 4(\lambda)(-2) = 0$.
$4\lambda^2 + 8\lambda = 0$.
$4\lambda(\lambda + 2) = 0$.
चूंकि $\lambda \neq 0$,इसलिए $\lambda = -2$ है।
मान रखने पर,$12-k = -2$,जिससे $k = 14$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(k, \frac{k}{2}) = (14, 7)$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax+By+C=0$ की दूरी $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ होती है।
$d = \frac{|3(14) + 4(7) + 5|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|42 + 28 + 5|}{5} = \frac{75}{5} = 15$.

(B) कुल बिंदुओं की संख्या $1 + 12 + 9 = 22$ है।
त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $3$ असंरेख बिंदुओं का चयन करना होगा।
बिंदु $O, P_1, \ldots, P_{12}$ रेखा $L_1$ पर संरेख हैं,और $O, Q_1, \ldots, Q_9$ रेखा $L_2$ पर संरेख हैं।
$22$ में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $\binom{22}{3} = 1540$ हैं।
हमें उन स्थितियों को घटाना होगा जहाँ $3$ बिंदु संरेख हैं:
$1$. $L_1$ पर $3$ बिंदु: $\binom{13}{3} = 286$।
$2$. $L_2$ पर $3$ बिंदु: $\binom{10}{3} = 120$।
कुल त्रिभुज = $1540 - 286 - 120 = 1134$।

(A) $z_1, z_2, z_3$ शीर्षों और केंद्रक $z_0$ वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1$ होता है।
केंद्रक $z_0 = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$ है,जिसका अर्थ है $z_1 + z_2 + z_3 = 3z_0$।
हमें $\sum_{k=1}^3 (z_k - z_0)^2 = (z_1 - z_0)^2 + (z_2 - z_0)^2 + (z_3 - z_0)^2$ का मान ज्ञात करना है।
विस्तार करने पर,$(z_1^2 + z_2^2 + z_3^2) - 2z_0(z_1 + z_2 + z_3) + 3z_0^2$ प्राप्त होता है।
$z_1 + z_2 + z_3 = 3z_0$ रखने पर,$(z_1^2 + z_2^2 + z_3^2) - 6z_0^2 + 3z_0^2 = (z_1^2 + z_2^2 + z_3^2) - 3z_0^2$ प्राप्त होता है।
समबाहु त्रिभुज के लिए $z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 3z_0^2$ होता है,इसलिए परिणाम $3z_0^2 - 3z_0^2 = 0$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $(4-\sqrt{3}) \sin x - 2 \sqrt{3} \cos^2 x = -\frac{4}{1+\sqrt{3}}$
$RHS$ का परिमेयकरण करने पर: $-\frac{4(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = 2 - 2\sqrt{3}$
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ रखने पर:
$2\sqrt{3} \sin^2 x + (4-\sqrt{3}) \sin x - 2 = 0$
$(2 \sin x - 1)(\sqrt{3} \sin x + 2) = 0$
$\sin x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अंतराल $x \in [-2\pi, \frac{5\pi}{2}]$ में $\sin x = \frac{1}{2}$ के हल: $-\frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$ हैं।
कुल हलों की संख्या $5$ है।

(D) दीर्घवृत्त $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए नाभियाँ $(\pm 2, 0)$ हैं,इसलिए $ae = 2$ है। चूँकि $e = \frac{1}{2}$ है,$a(\frac{1}{2}) = 2 \implies a = 4$ प्राप्त होता है।
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = 16(1 - \frac{1}{4}) = 16(\frac{3}{4}) = 12$,इसलिए $b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ है।
दीर्घवृत्त को घेरने वाला न्यूनतम क्षेत्रफल वाला वृत्त सहायक वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ है,इसलिए $C: x^2 + y^2 = 16$ है।
भुजा $QR$,$x$-अक्ष के समानांतर है और $(0, -b) = (0, -2\sqrt{3})$ से होकर गुजरती है। अतः,रेखा $QR$ का समीकरण $y = -2\sqrt{3}$ है।
$QR$ की लंबाई $4$ है। वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ पर $P$ का $y$-निर्देशांक $y_P$ है। त्रिभुज की ऊँचाई $h = y_P - (-2\sqrt{3}) = y_P + 2\sqrt{3}$ है।
क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times (y_P + 2\sqrt{3}) = 2(y_P + 2\sqrt{3})$ है।
$A$ को अधिकतम करने के लिए,हम $y_P$ को अधिकतम करते हैं। वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ पर अधिकतम $y$-निर्देशांक $4$ है।
अधिकतम क्षेत्रफल $= 2(4 + 2\sqrt{3}) = 8 + 4\sqrt{3} = 4(2 + \sqrt{3})$ है। विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $D$ है।

(D) दिया गया परवलय $y^2=8x$ है,जहाँ $4a=8 \Rightarrow a=2$ है। परवलय के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है।
ढाल $m$ का उपयोग करते हुए,अभिलंब $y = mx - 4m - 2m^3$ है।
दिया गया वृत्त $x^2+y^2+12y+35=0$ है,जिसे $x^2+(y+6)^2=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। केंद्र $C(0, -6)$ और त्रिज्या $r=1$ है।
वक्रों के बीच की न्यूनतम दूरी केंद्र $C$ से परवलय तक की दूरी में से त्रिज्या $r$ को घटाने पर प्राप्त होती है।
$C(0, -6)$ से परवलय पर अभिलंब $-6 = m(0) - 4m - 2m^3$ को संतुष्ट करता है,इसलिए $2m^3 + 4m - 6 = 0$,जो $m^3 + 2m - 3 = 0$ में सरल होता है।
निरीक्षण द्वारा,$m=1$ एक मूल है। अतः,$(m-1)(m^2+m+3)=0$। चूंकि $m^2+m+3=0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है,इसलिए $m=1$ है।
परवलय पर बिंदु $P$ जहाँ अभिलंब $C$ से गुजरता है,वह $(2, -4)$ है।
दूरी $PC = \sqrt{(2-0)^2 + (-4 - (-6))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$ है।
अतः,न्यूनतम दूरी $PC - r = 2\sqrt{2} - 1$ है।

(D) श्रेणी का $r$-वां पद $T_r = \frac{1+3+5+\ldots+(2r-1)}{r!}$ है।
चूंकि प्रथम $r$ विषम संख्याओं का योग $r^2$ होता है,इसलिए $T_r = \frac{r^2}{r!} = \frac{r}{(r-1)!}$ है।
हम $r$ को $(r-1+1)$ के रूप में लिख सकते हैं,अतः $T_r = \frac{r-1+1}{(r-1)!} = \frac{r-1}{(r-1)!} + \frac{1}{(r-1)!} = \frac{1}{(r-2)!} + \frac{1}{(r-1)!}$ ($r \ge 2$ के लिए)।
योग $S = \sum_{r=1}^{\infty} T_r = T_1 + \sum_{r=2}^{\infty} \left( \frac{1}{(r-2)!} + \frac{1}{(r-1)!} \right)$ है।
$S = 1 + \sum_{r=2}^{\infty} \frac{1}{(r-2)!} + \sum_{r=2}^{\infty} \frac{1}{(r-1)!}$ है।
$S = 1 + (\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ldots) + (\frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ldots) = 1 + e + (e-1) = 2e$।

(B) दिया गया है $(1+x+x^2)^{10} = \sum_{r=0}^{20} a_r x^r$।
मान लीजिए $S_1 = a_0+a_1+a_2+\ldots+a_{20} = (1+1+1)^{10} = 3^{10} = 59049$।
मान लीजिए $S_2 = a_0-a_1+a_2-\ldots+a_{20} = (1-1+1)^{10} = 1^{10} = 1$।
$S_1$ में से $S_2$ घटाने पर: $S_1 - S_2 = 2(a_1+a_3+\ldots+a_{19}) = 59049 - 1 = 59048$।
अतः,$a_1+a_3+\ldots+a_{19} = 29524$।
$a_2$ ज्ञात करने के लिए,हम $(1+x+x^2)^{10} = (1+(x+x^2))^{10} = 1 + 10(x+x^2) + \binom{10}{2}(x+x^2)^2 + \ldots$ का विस्तार करते हैं।
$x^2$ का गुणांक $a_2 = 10(1) + \binom{10}{2}(1)^2 = 10 + 45 = 55$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $29524 - 11(55) = 121k$।
$29524 - 605 = 28919$।
$k = \frac{28919}{121} = 239$।

(C) माना $P = \lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$.
चूंकि यह $1^{\infty}$ रूप है,हम सूत्र $\lim_{x \rightarrow a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \rightarrow a} (f(x)-1)g(x)}$ का उपयोग करते हैं।
$P = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{\tan x}{x} - 1\right) \frac{1}{x^2}} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan x - x}{x^3}}$.
टेलर श्रेणी विस्तार $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots$ का उपयोग करने पर:
$P = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x + \frac{x^3}{3} + \dots) - x}{x^3}} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^3/3}{x^3}} = e^{1/3}$.
अतः,$\log_e p = \log_e (e^{1/3}) = \frac{1}{3}$.
इसलिए,$96 \log_e p = 96 \times \frac{1}{3} = 32$.

(A) अतिपरवलय का केंद्र नाभियों $(4,2)$ और $(8,2)$ का मध्यबिंदु है,जो $C = (6,2)$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 4$ है,इसलिए $ae = 2$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{(x-6)^2}{a^2} - \frac{(y-2)^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $b^2 = 4 - a^2$ है।
दिए गए समीकरण $3x^2 - y^2 - \alpha x + \beta y + \gamma = 0$ को मानक रूप में बदलने पर,केंद्र $(\frac{\alpha}{6}, \frac{\beta}{2}) = (6,2)$ प्राप्त होता है,इसलिए $\alpha = 36$ और $\beta = 4$ है।
समीकरण $3(x-6)^2 - (y-2)^2 = 104 - \gamma$ बन जाता है।
अतिपरवलय के गुणों के अनुसार,$104 - \gamma = 3$ लेने पर $\gamma = 101$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = 36 + 4 + 101 = 141$ है।

(C) समुच्चय $A$ एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a_1 = 1$ और सार्व अंतर $d_1 = 5$ है। $2025$ वां पद $T_{2025} = 1 + (2025 - 1) \times 5 = 10121$ है।
समुच्चय $B$ एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a_2 = 9$ और सार्व अंतर $d_2 = 7$ है। $2025$ वां पद $T'_{2025} = 9 + (2025 - 1) \times 7 = 14177$ है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ में दोनों में उभयनिष्ठ पद हैं। पहला उभयनिष्ठ पद $16$ है। $A \cap B$ का सार्व अंतर $\text{lcm}(5, 7) = 35$ है।
$A \cap B$ का सामान्य पद $T_n = 16 + (n - 1) \times 35$ है।
हमें $T_n \leq 10121$ की आवश्यकता है।
$16 + (n - 1) \times 35 \leq 10121$ $\Rightarrow n - 1 \leq 288.71$ $\Rightarrow n \leq 289.71$।
अतः,$289$ उभयनिष्ठ पद हैं।
सूत्र $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ का उपयोग करने पर,$n(A \cup B) = 2025 + 2025 - 289 = 3761$ प्राप्त होता है।

(D) $(x+y)^{2n-3}$ के विस्तार में पदों की संख्या $(2n-3+1) = 2n-2$ है।
सभी गुणांकों का योग $x=1$ और $y=1$ रखने पर प्राप्त होता है,जो $2^{2n-3}$ है।
सभी गुणांकों का समांतर माध्य $\frac{2^{2n-3}}{2n-2} = 16$ है।
यह $2^{2n-3} = 16(2n-2) = 2^4 \times 2(n-1) = 2^5(n-1)$ में सरल होता है।
$n=5$ के लिए,$2^{2(5)-3} = 2^7 = 128$ और $2^5(5-1) = 32 \times 4 = 128$। अतः,$n=5$ है।
बिंदु $P$ का मान $(2(5)-1, 5^2-4(5)) = (9, 5)$ है।
बिंदु $P(9, 5)$ की रेखा $x+y-8=0$ से दूरी $d = \frac{|9+5-8|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ है।

(A) $16$ $(4+2+10)$ व्यक्तियों में से $12$ व्यक्तियों को चुनने के कुल तरीके $^{16}C_{12} = ^{16}C_4 = 1820$ हैं।
हमें कम से कम $3$ इंजीनियरों और कम से कम $1$ डॉक्टर की आवश्यकता है। संभावित स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
$1)$ $3$ इंजीनियर,$1$ डॉक्टर,$8$ प्रोफेसर: $^4C_3 \times ^2C_1 \times ^{10}C_8 = 360$।
$2)$ $3$ इंजीनियर,$2$ डॉक्टर,$7$ प्रोफेसर: $^4C_3 \times ^2C_2 \times ^{10}C_7 = 480$।
$3)$ $4$ इंजीनियर,$1$ डॉक्टर,$7$ प्रोफेसर: $^4C_4 \times ^2C_1 \times ^{10}C_7 = 240$।
$4)$ $4$ इंजीनियर,$2$ डॉक्टर,$6$ प्रोफेसर: $^4C_4 \times ^2C_2 \times ^{10}C_6 = 210$।
कुल अनुकूल तरीके = $360 + 480 + 240 + 210 = 1290$।
आवश्यक प्रायिकता = $\frac{1290}{1820} = \frac{129}{182}$।

(A) माना $x-1 = h$. जैसे $x \rightarrow 1^{+}$,वैसे $h \rightarrow 0^{+}$.
सीमा में मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h(6+\lambda \cos h) - \mu \sin h}{h^3} = -1$.
टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए,$\cos h = 1 - \frac{h^2}{2!} + \dots$ और $\sin h = h - \frac{h^3}{3!} + \dots$,व्यंजक इस प्रकार बनता है:
$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h(6 + \lambda(1 - \frac{h^2}{2})) - \mu(h - \frac{h^3}{6})}{h^3} = -1$.
$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(6 + \lambda - \mu)h + (\frac{\mu}{6} - \frac{\lambda}{2})h^3}{h^3} = -1$.
सीमा के अस्तित्व और $-1$ के बराबर होने के लिए,$h$ का गुणांक $0$ होना चाहिए:
$6 + \lambda - \mu = 0 \implies \mu - \lambda = 6$.
$h^3$ का गुणांक $-1$ होना चाहिए:
$\frac{\mu}{6} - \frac{\lambda}{2} = -1 \implies \mu - 3\lambda = -6$.
समीकरणों को हल करने पर: $\mu - \lambda = 6$ और $\mu - 3\lambda = -6$.
घटाने पर: $2\lambda = 12 \implies \lambda = 6$.
$\lambda = 6$ को $\mu - \lambda = 6$ में रखने पर,$\mu = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda + \mu = 6 + 12 = 18$.

(B) श्रेणी $1, 3, 5^2, 7, 9^2, 11, 13^2, \ldots$ $40$ पदों तक है।
इसे दो श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है:
श्रेणी $1$: $1, 5^2, 9^2, \ldots$ ($20$ पद) जहाँ $r$-वाँ पद $(4r-3)^2$ है।
श्रेणी $2$: $3, 7, 11, \ldots$ ($20$ पद) जहाँ $r$-वाँ पद $(4r-1)$ है।
योग $= \sum_{r=1}^{20} (4r-3)^2 + \sum_{r=1}^{20} (4r-1)$
$= \sum_{r=1}^{20} (16r^2 - 24r + 9 + 4r - 1)$
$= \sum_{r=1}^{20} (16r^2 - 20r + 8)$
$= 16 \sum_{r=1}^{20} r^2 - 20 \sum_{r=1}^{20} r + 8 \sum_{r=1}^{20} 1$
$= 16 \left( \frac{20 \times 21 \times 41}{6} \right) - 20 \left( \frac{20 \times 21}{2} \right) + 8(20)$
$= 16(2870) - 20(210) + 160$
$= 45920 - 4200 + 160 = 41880$.

(C) विस्तार का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^n C_r (2^{1/3})^{n-r} (3^{-1/3})^r$ है।
प्रारंभ से $15^{\text{th}}$ पद $T_{15} = {}^n C_{14} (2^{1/3})^{n-14} (3^{-1/3})^{14}$ है।
अंत से $15^{\text{th}}$ पद,प्रारंभ से $(n-14)^{\text{th}}$ पद है,जो $T'_{15} = {}^n C_{n-14} (2^{1/3})^{14} (3^{-1/3})^{n-14}$ है।
दिया गया अनुपात $\frac{T_{15}}{T'_{15}} = \frac{1}{6}$ और ${}^n C_{14} = {}^n C_{n-14}$ होने के कारण:
$\frac{(2^{1/3})^{n-14} (3^{-1/3})^{14}}{(2^{1/3})^{14} (3^{-1/3})^{n-14}} = \frac{1}{6}$
$(6^{1/3})^{n-28} = 6^{-1}$
$\frac{n-28}{3} = -1 \Rightarrow n = 25$.
अतः,${}^{25} C_3 = \frac{25 \times 24 \times 23}{6} = 2300$.

(D) नाभियों के बीच की दूरी $2ae = \sqrt{(2-2)^2 + (5 - (-3))^2} = 8$ है।
उत्केंद्रता $e = \frac{4}{5}$ दी गई है,इसलिए $2ae = 8$ अर्थात $ae = 4$ है।
$e = \frac{4}{5}$ रखने पर,$a \times \frac{4}{5} = 4$,जिससे $a = 5$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त के लिए,$a^2 = b^2 + (ae)^2$ संबंध का उपयोग करने पर ($a > b$ के लिए):
$5^2 = b^2 + 4^2$ $\Rightarrow 25 = b^2 + 16$ $\Rightarrow b^2 = 9$ है।
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{5} = \frac{18}{5}$।

(C) दिया गया समीकरण $x^2+4x-n=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $x^2+4x+4 = n+4$ प्राप्त होता है,जो $(x+2)^2 = n+4$ में सरल हो जाता है।
मूलों के पूर्णांक होने के लिए,$n+4$ को एक पूर्ण वर्ग $k^2$ होना चाहिए,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
चूँकि $20 \leq n \leq 100$,इसलिए $24 \leq n+4 \leq 104$ है।
अतः,$24 \leq k^2 \leq 104$ है।
इस सीमा में संभावित पूर्ण वर्ग $k^2$ के मान $25, 36, 49, 64, 81, 100$ हैं।
तदनुसार,$n = k^2 - 4$ लेने पर $n \in \{21, 32, 45, 60, 77, 96\}$ प्राप्त होता है।
अतः,$n$ के $6$ ऐसे भिन्न मान संभव हैं।

(A) दिया गया है $10 \sin^4 \theta + 15 \cos^4 \theta = 6$.
माना $\sin^2 \theta = t$,तो $\cos^2 \theta = 1 - t$.
समीकरण $10t^2 + 15(1 - t)^2 = 6$ हो जाता है।
$10t^2 + 15(1 - 2t + t^2) = 6$.
$10t^2 + 15 - 30t + 15t^2 = 6$.
$25t^2 - 30t + 9 = 0$.
$(5t - 3)^2 = 0$,अतः $t = \frac{3}{5}$.
इस प्रकार,$\sin^2 \theta = \frac{3}{5}$ और $\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.
अब,$\operatorname{cosec}^2 \theta = \frac{5}{3}$ और $\sec^2 \theta = \frac{5}{2}$.
व्यंजक $\frac{27 \operatorname{cosec}^6 \theta + 8 \sec^6 \theta}{16 \sec^8 \theta} = \frac{27(\frac{5}{3})^3 + 8(\frac{5}{2})^3}{16(\frac{5}{2})^4}$.
$= \frac{27 \times \frac{125}{27} + 8 \times \frac{125}{8}}{16 \times \frac{625}{16}} = \frac{125 + 125}{625} = \frac{250}{625} = \frac{2}{5}$.

(C) मान लीजिए $z = x + iy$ है।
समुच्चय $A$ के लिए, $|(x - 2) + i(y - 1)| = 3$, जिसका अर्थ है $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$।
समुच्चय $B$ के लिए, $\operatorname{Re}((x + iy) - i(x + iy)) = \operatorname{Re}((x + y) + i(y - x)) = x + y = 2$।
$A$ के समीकरण में $y = 2 - x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - 2)^2 + (2 - x - 1)^2 = 9$
$(x - 2)^2 + (1 - x)^2 = 9$
$x^2 - 4x + 4 + 1 - 2x + x^2 = 9$
$2x^2 - 6x - 4 = 0 \implies x^2 - 3x - 2 = 0$।
मूल $x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$ हैं।
चूंकि $y = 2 - x$, बिंदु $z_1 = x_1 + iy_1$ और $z_2 = x_2 + iy_2$ हैं।
$|z|^2 = x^2 + y^2 = x^2 + (2 - x)^2 = 2x^2 - 4x + 4$।
$x^2 = 3x + 2$ का उपयोग करने पर, हमें $|z|^2 = 2(3x + 2) - 4x + 4 = 2x + 8$ प्राप्त होता है।
योग $= (2x_1 + 8) + (2x_2 + 8) = 2(x_1 + x_2) + 16$।
चूंकि $x_1 + x_2 = 3$, योग $= 2(3) + 16 = 22$।

(D) वृत्त $C: x^2 + (y-1)^2 = 2$ है। $P(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x x_1 + (y-1)(y_1-1) = 2$ है। इसे $x+y=3$ से तुलना करने पर,$P = (1, 2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $P$,$QR$ का मध्य-बिंदु है और $PQ = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ है,रेखा $x+y=3$ के प्राचलिक रूप का उपयोग करने पर,$Q$ और $R$ के निर्देशांक $(\frac{5}{3}, \frac{4}{3})$ और $(\frac{1}{3}, \frac{8}{3})$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$x_1y_1 = 2$,$x_2y_2 = \frac{20}{9}$,और $x_3y_3 = \frac{8}{9}$ है।
परिणामस्वरूप,$9(x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3) = 9(2 + \frac{28}{9}) = 46$।

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \cot^{-1}\left(\frac{4n^2+3}{4}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{4}{4n^2+3}\right)$ है।
इसे हम $T_n = \tan^{-1}\left(\frac{(2n+1)-(2n-1)}{1+(2n+1)(2n-1)}\right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सूत्र $\tan^{-1}x - \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें $T_n = \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1)$ प्राप्त होता है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n (\tan^{-1}(2k+1) - \tan^{-1}(2k-1))$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(1)$।
जब $n \to \infty$,तब $S_{\infty} = \lim_{n \to \infty} \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$।
ध्यान दें कि $\tan^{-1}(1/2) = \frac{\pi}{2} - \cot^{-1}(1/2)$।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर $\frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(2)$ है,जो $\tan^{-1}(1/2)$ के बराबर है।

(B) दिया गया है कि $\omega_1 = (8 \sin \theta + 7 \cos \theta) + i(\sin \theta + 4 \cos \theta)$ और $\omega_2 = (\sin \theta + 4 \cos \theta) + i(8 \sin \theta + 7 \cos \theta)$ है।
मान लीजिए $x = 8 \sin \theta + 7 \cos \theta$ और $y = \sin \theta + 4 \cos \theta$ है।
तब $\omega_1 = x + iy$ और $\omega_2 = y + ix$ है।
गुणनफल $\omega_1 \omega_2 = (x + iy)(y + ix) = xy + ix^2 + iy^2 + i^2yx = xy + i(x^2 + y^2) - xy = i(x^2 + y^2)$ है।
अतः,$\alpha = 0$ और $\beta = x^2 + y^2$ है।
$\beta = (8 \sin \theta + 7 \cos \theta)^2 + (\sin \theta + 4 \cos \theta)^2 = 65 \sin^2 \theta + 65 \cos^2 \theta + 120 \sin \theta \cos \theta = 65 + 60 \sin(2 \theta)$ है।
इसलिए $\alpha + \beta = 65 + 60 \sin(2 \theta)$,अधिकतम मान $p = 125$ और न्यूनतम मान $q = 5$ है।
अतः $p + q = 125 + 5 = 130$ है।

(B) शीर्ष $V$ मूल बिंदु से $y=x$ रेखा पर $\sqrt{2}$ की दूरी पर है,इसलिए $V = (1, 1)$ है।
नाभि $S$ मूल बिंदु से $y=x$ रेखा पर $2\sqrt{2}$ की दूरी पर है,इसलिए $S = (2, 2)$ है।
शीर्ष और नाभि के बीच की दूरी $a = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2}$ है।
नियता (directrix) अक्ष $y=x$ के लंबवत है और बिंदु $Z$ से गुजरती है जहाँ $V$,$SZ$ का मध्य बिंदु है। चूँकि $S=(2,2)$ और $V=(1,1)$ है,इसलिए $Z = (0,0)$ होगा।
नियता का समीकरण $x+y=0$ है।
परवलय की परिभाषा के अनुसार,परवलय पर स्थित किसी बिंदु $P(1, k)$ की नाभि $S(2, 2)$ से दूरी,$P$ की नियता $x+y=0$ से दूरी के बराबर होती है।
$PS = \sqrt{(1-2)^2 + (k-2)^2} = \sqrt{1 + (k-2)^2}$.
$PM = \frac{|1+k|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|1+k|}{\sqrt{2}}$.
$PS^2 = PM^2$ रखने पर:
$1 + (k-2)^2 = \frac{(1+k)^2}{2}$
$2(1 + k^2 - 4k + 4) = 1 + k^2 + 2k$
$2k^2 - 8k + 10 = 1 + k^2 + 2k$
$k^2 - 10k + 9 = 0$
$(k-1)(k-9) = 0$.
अतः,$k=1$ या $k=9$ है। चूँकि $k=1$ शीर्ष को दर्शाता है,इसलिए दूसरा संभावित मान $k=9$ है।

(C) अतिपरवलय पर बिंदु $P(x, y)$ की नाभीय दूरियों का योग $2ex = 8\sqrt{\frac{5}{3}}$ होता है।
$x = 4$ दिया गया है,इसलिए $2e(4) = 8\sqrt{\frac{5}{3}}$,जिसका अर्थ है $e = \sqrt{\frac{5}{3}}$.
चूंकि $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,हमारे पास $\frac{5}{3} = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ $\Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = \frac{2}{3}$ $\Rightarrow b^2 = \frac{2}{3}a^2$ है।
बिंदु $P(4, 3)$ को अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर: $\frac{16}{a^2} - \frac{9}{b^2} = 1$.
$b^2 = \frac{2}{3}a^2$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{16}{a^2} - \frac{9}{(2/3)a^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{16}{a^2} - \frac{27}{2a^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{32 - 27}{2a^2} = 1$ $\Rightarrow 2a^2 = 5$ $\Rightarrow a^2 = \frac{5}{2}$.
अतः $b^2 = \frac{2}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{5}{3}$.
नाभिलंब की लंबाई $l = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(5/3)}{\sqrt{5/2}} = \frac{10}{3} \times \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{2\sqrt{10}}{3}$.
$l^2 = \frac{4 \times 10}{9} = \frac{40}{9} \Rightarrow 9l^2 = 40$.
नाभीय दूरियों का गुणनफल $m = e^2x^2 - a^2 = \frac{5}{3}(16) - \frac{5}{2} = \frac{80}{3} - \frac{5}{2} = \frac{160 - 15}{6} = \frac{145}{6}$.
इस प्रकार,$6m = 145$.
अंततः,$9l^2 + 6m = 40 + 145 = 185$.

(C) श्रेणी का $r$-वाँ पद $T_r = \frac{4r}{4+3r^2+r^4}$ है।
हर का गुणनखंड करने पर: $r^4+3r^2+4 = (r^2+r+2)(r^2-r+2)$.
अतः,$T_r = 2 \left( \frac{1}{r^2-r+2} - \frac{1}{r^2+r+2} \right)$.
माना $f(r) = \frac{1}{r^2-r+2}$,तो $f(r+1) = \frac{1}{r^2+r+2}$.
योग $S_{20} = 2(f(1) - f(21)) = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{422} \right) = \frac{420}{422} = \frac{210}{211}$.
यहाँ $m = 210$ और $n = 211$,इसलिए $m+n = 421$.

(A) दिया गया योग $S = \sum_{r=1}^{15} r^2 \binom{15}{r}$ है।
सर्वसमिका $r \binom{n}{r} = n \binom{n-1}{r-1}$ का उपयोग करने पर,$S = \sum_{r=1}^{15} r \cdot 15 \binom{14}{r-1} = 15 \sum_{r=1}^{15} (r-1+1) \binom{14}{r-1}$.
$S = 15 \left[ \sum_{r=1}^{15} (r-1) \binom{14}{r-1} + \sum_{r=1}^{15} \binom{14}{r-1} \right]$.
$S = 15 \left[ 14 \sum_{r=2}^{15} \binom{13}{r-2} + 2^{14} \right]$.
$S = 15 \left[ 14 \cdot 2^{13} + 2^{14} \right] = 15 \cdot 2^{13} (14 + 2) = 15 \cdot 2^{13} \cdot 16$.
$S = (3 \cdot 5) \cdot 2^{13} \cdot 2^4 = 2^{17} \cdot 3^1 \cdot 5^1$.
$2^m \cdot 3^n \cdot 5^k$ से तुलना करने पर,$m=17, n=1, k=1$ प्राप्त होता है।
अतः,$m+n+k = 17+1+1 = 19$.

(B) रेखा $y = mx + p$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ को स्पर्श करने की शर्त $p^2 = a^2m^2 + b^2$ है। यहाँ $a^2 = 16, b^2 = 9, m = 1$,इसलिए $p^2 = 16(1)^2 + 9 = 25$,जिससे $p = \pm 5$ प्राप्त होता है।
स्पर्श बिंदु $\left( \mp \frac{a^2m}{p}, \pm \frac{b^2}{p} \right)$ द्वारा दिए जाते हैं। $p = 5$ के लिए,$A = \left( -\frac{16}{5}, \frac{9}{5} \right)$। $p = -5$ के लिए,$B = \left( \frac{16}{5}, -\frac{9}{5} \right)$।
रेखा $y = x$,दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{x^2}{9} = 1$ को काटती है,इसलिए $x^2(\frac{9+16}{144}) = 1$,$x^2 = \frac{144}{25}$,$x = \pm \frac{12}{5}$। अतः $C = \left( \frac{12}{5}, \frac{12}{5} \right)$ और $D = \left( -\frac{12}{5}, -\frac{12}{5} \right)$।
चतुर्भुज $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है क्योंकि रेखाएँ $y = x + 5$ और $y = x - 5$ समांतर हैं,और रेखा $y = x$ केंद्र $(0,0)$ से होकर गुजरती है।
चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $2 \times \text{Area}(\triangle ABC)$ के रूप में गणना की जा सकती है।
निर्देशांकों $A(-\frac{16}{5}, \frac{9}{5})$,$B(\frac{16}{5}, -\frac{9}{5})$,$C(\frac{12}{5}, \frac{12}{5})$ का उपयोग करने पर,क्षेत्रफल $24$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए समुच्चय $A$ के तत्व $(a-d, a, a+d)$ हैं। योग $3a = 36$ है,इसलिए $a = 12$ है। गुणनफल $p = a(a^2 - d^2) = 12(144 - d^2)$ है।
मान लीजिए समुच्चय $B$ के तत्व $(b-D, b, b+D)$ हैं। योग $3b = 36$ है,इसलिए $b = 12$ है। गुणनफल $q = b(b^2 - D^2) = 12(144 - D^2)$ है।
दिया गया है $\frac{p+q}{p-q} = \frac{19}{5}$। योगांतरानुपात नियम (componendo and dividendo) द्वारा,$\frac{p}{q} = \frac{19+5}{19-5} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}$ है।
$p$ और $q$ का मान रखने पर: $\frac{12(144-d^2)}{12(144-D^2)} = \frac{12}{7}$।
चूंकि $D = d+3$,इसलिए $D^2 = (d+3)^2 = d^2 + 6d + 9$ है।
$\frac{144-d^2}{144-(d^2+6d+9)} = \frac{12}{7} \implies \frac{144-d^2}{135-d^2-6d} = \frac{12}{7}$।
$7(144-d^2) = 12(135-d^2-6d) \implies 1008 - 7d^2 = 1620 - 12d^2 - 72d$।
$5d^2 + 72d - 612 = 0$। द्विघात सूत्र का उपयोग करके $d$ का मान निकालने पर: $d = \frac{-72 \pm 132}{10}$।
चूंकि $d > 0$,इसलिए $d = 6$ है। अतः $D = 6+3 = 9$ है।
$p - q = 12(D^2 - d^2) = 12(81 - 36) = 12(45) = 540$।

(B) मान लीजिए कि नाभियों $F_1$ और $F_2$ के बीच की दूरी $2c$ है। चूंकि वृत्त $C$ मूलबिंदु पर केंद्रित है और नाभियों $(\pm c, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r = c$ है।
चूंकि $P$ वृत्त $C$ पर स्थित है,इसलिए दूरी $OP = c$ है। साथ ही,चूंकि $F_1$ और $F_2$ वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए कोण $\angle F_1PF_2 = 90^\circ$ है क्योंकि $F_1F_2$ वृत्त का व्यास है।
मान लीजिए $PF_1 = x$ और $PF_2 = y$ है। चूंकि $P$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार $x + y = 2a = 17$ है।
समकोण त्रिभुज $PF_1F_2$ में,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} xy = 30$ है,इसलिए $xy = 60$ है।
हम जानते हैं कि $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ होता है। $\triangle PF_1F_2$ में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = (F_1F_2)^2 = (2c)^2 = 4c^2$ है।
अतः,$(2a)^2 = 4c^2 + 2xy$,जिससे हमें $17^2 = 4c^2 + 2(60)$ प्राप्त होता है।
$289 = 4c^2 + 120$.
$4c^2 = 169$.
$2c = \sqrt{169} = 13$.
नाभियों के बीच की दूरी $2c = 13$ है।

(A) दिए गए प्रेक्षण: $2, 3, 3, 4, 5, 7, a, b$। कुल प्रेक्षण $n = 8$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{2+3+3+4+5+7+a+b}{8} = 4 \implies 24 + a + b = 32 \implies a + b = 8$।
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{2} \implies \sigma^2 = 2$।
विचरण का सूत्र: $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$।
$2 = \frac{4+9+9+16+25+49+a^2+b^2}{8} - 16$।
$18 = \frac{112 + a^2 + b^2}{8} \implies a^2 + b^2 = 32$।
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \implies 64 = 32 + 2ab \implies ab = 16$।
अतः $a=4, b=4$।
प्रेक्षण $2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 7$ हैं। बहुलक $4$ है।
बहुलक के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{|2-4| + |3-4| + |3-4| + |4-4| + |4-4| + |4-4| + |5-4| + |7-4|}{8} = \frac{8}{8} = 1$।

(A) दिया गया है कि $\alpha$ समीकरण $x^2+x+1=0$ का एक मूल है,इसलिए $\alpha = \omega$ या $\alpha = \omega^2$,जहाँ $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है।
चूंकि $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ और $\frac{1}{\omega^2} = \omega$,व्यंजक $\left(\alpha^k+\frac{1}{\alpha^k}\right)^2$ सरल होकर $\left(\omega^k+\omega^{2k}\right)^2 = \omega^{2k} + \omega^{4k} + 2\omega^{3k} = \omega^{2k} + \omega^k + 2$ हो जाता है।
हमें $n$ का मान ज्ञात करना है ताकि $\sum_{k=1}^n (\omega^{2k} + \omega^k + 2) = 20$ हो।
यह $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} + \sum_{k=1}^n \omega^k + 2n = 20$ है।
यदि $n$,$3$ का गुणज है,मान लीजिए $n=3m$,तो $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} = 0$ और $\sum_{k=1}^n \omega^k = 0$,इसलिए $2n = 20 \Rightarrow n = 10$ ($3$ का गुणज नहीं है)।
यदि $n = 3m+1$,तो $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} = \omega^2$ और $\sum_{k=1}^n \omega^k = \omega$,इसलिए $\omega^2 + \omega + 2n = 20$ $\Rightarrow -1 + 2n = 20$ $\Rightarrow 2n = 21$ (कोई पूर्णांक हल नहीं)।
यदि $n = 3m+2$,तो $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} = \omega^2 + \omega^4 = \omega^2 + \omega = -1$ और $\sum_{k=1}^n \omega^k = \omega + \omega^2 = -1$,इसलिए $-1 - 1 + 2n = 20$ $\Rightarrow 2n = 22$ $\Rightarrow n = 11$.
चूंकि $11 = 3(3) + 2$,यह शर्त को संतुष्ट करता है।

(D) मान लीजिए $m = 6a$ और $n = 6b$ है। चूँकि $m < n$,इसलिए $a < b$ है।
चूँकि $m$ और $n$ $2$-अंकीय संख्याएँ हैं,$10 \leq 6a \leq 99$ और $10 \leq 6b \leq 99$,जिसका अर्थ है $2 \leq a < b \leq 16$।
साथ ही,$\operatorname{gcd}(m, n) = 6$ का अर्थ है $\operatorname{gcd}(a, b) = 1$।
हम उन युग्मों $(a, b)$ की गणना करते हैं जहाँ $2 \leq a < b \leq 16$ और $\operatorname{gcd}(a, b) = 1$ है:
युग्मों की कुल संख्या = $7 + 9 + 6 + 9 + 3 + 8 + 4 + 5 + 2 + 5 + 1 + 3 + 1 + 1 = 64$।

(C) हम मानक सीमाओं का उपयोग करते हैं: $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\tan u}{u} = 1$,$\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$,$\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\tan^{-1} u}{u} = 1$,और $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{e^u-1}{u} = 1$.
दी गई अभिव्यक्ति: $L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0^{+}} \frac{\tan \left(5 x^{1 / 3}\right)}{5 x^{1 / 3}} \cdot \frac{5 x^{1 / 3}}{\left(\tan ^{-1} 3 x^{1 / 2}\right)^2} \cdot \frac{\ln(1+3 x^2)}{3 x^2} \cdot \frac{3 x^2}{e^{5 x^{4 / 3}}-1}$.
यहाँ $\left(\tan ^{-1} 3 x^{1 / 2}\right)^2 = 9x$ और $e^{5 x^{4 / 3}}-1 = 5 x^{4 / 3}$ होता है।
मान रखने पर: $L = 1 \cdot \frac{5 x^{1 / 3}}{9x} \cdot 1 \cdot \frac{3 x^2}{5 x^{4 / 3}} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$.

(B) माना $N = ((64)^{64})^{64}$.
$N = (64)^{64 \times 64} = (64)^{4096}$.
हम जानते हैं कि $64 = 7 \times 9 + 1$,इसलिए $64 \equiv 1 \pmod{7}$.
अतः,$N = (64)^{4096} \equiv (1)^{4096} \pmod{7}$.
$N \equiv 1 \pmod{7}$.
इस प्रकार,जब $N$ को $7$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $1$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय की परिभाषा के अनुसार,परवलय पर स्थित किसी बिंदु $P(x, y)$ की नाभि से दूरी और नियता से लंबवत दूरी समान होती है।
दी गई नाभि $S = (-2, 1)$ और नियता $L: 2x + y + 2 = 0$ है।
परवलय का समीकरण $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = \left(\frac{2x + y + 2}{\sqrt{2^2 + 1^2}}\right)^2$ है।
$5[(x + 2)^2 + (y - 1)^2] = (2x + y + 2)^2$.
$x = -2$ वाले बिंदुओं की कोटि ज्ञात करने के लिए,समीकरण में $x = -2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$5[(-2 + 2)^2 + (y - 1)^2] = (2(-2) + y + 2)^2$.
$5(y - 1)^2 = (y - 2)^2$.
$5(y^2 - 2y + 1) = y^2 - 4y + 4$.
$5y^2 - 10y + 5 = y^2 - 4y + 4$.
$4y^2 - 6y + 1 = 0$.
यह $y$ में एक द्विघात समीकरण है। मान लीजिए इसके मूल $y_1$ और $y_2$ हैं। कोटियों का योग मूलों का योग है,जो $-\frac{b}{a} = -\frac{-6}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ है।

(B) चुने जाने वाले कुल खिलाड़ी = $10$.
दिया गया है: $1$ बल्लेबाज (कप्तान) और $1$ गेंदबाज (उप-कप्तान) पहले से ही चुने जा चुके हैं।
शेष चुने जाने वाले खिलाड़ी = $10 - 2 = 8$.
शेष समूह: $6$ बल्लेबाज और $5$ गेंदबाज।
शर्तें: कुल कम से कम $4$ बल्लेबाज और $4$ गेंदबाज।
चूंकि $1$ बल्लेबाज और $1$ गेंदबाज पहले से ही शामिल हैं,हमें शेष $8$ स्थानों के लिए कम से कम $3$ और बल्लेबाज और $3$ और गेंदबाजों की आवश्यकता है।
$6$ बल्लेबाजों और $5$ गेंदबाजों में से $8$ खिलाड़ियों को चुनने के संभावित मामले:
मामला $1$: $5$ बल्लेबाज और $3$ गेंदबाज: ${}^6C_5 \times {}^5C_3 = 6 \times 10 = 60$.
मामला $2$: $4$ बल्लेबाज और $4$ गेंदबाज: ${}^6C_4 \times {}^5C_4 = 15 \times 5 = 75$.
मामला $3$: $3$ बल्लेबाज और $5$ गेंदबाज: ${}^6C_3 \times {}^5C_5 = 20 \times 1 = 20$.
कुल तरीके = $60 + 75 + 20 = 155$.

(D) दिया है $x = 3 \tan \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = 3 \left( \frac{\tan \theta + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \tan \theta} \right)$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x(1 - \sqrt{3} \tan \theta) = 3 \tan \theta + 3\sqrt{3}$ $\Rightarrow x - 3\sqrt{3} = \tan \theta (3 + \sqrt{3}x)$ $\Rightarrow \tan \theta = \frac{x - 3\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}x} \dots (1)$.
दिया है $y = 2 \tan \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \left( \frac{\tan \theta + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{\tan \theta}{\sqrt{3}}} \right) = 2 \left( \frac{\sqrt{3} \tan \theta + 1}{\sqrt{3} - \tan \theta} \right)$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$y(\sqrt{3} - \tan \theta) = 2\sqrt{3} \tan \theta + 2 \dots (2)$.
$(1)$ को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y \left( \sqrt{3} - \frac{x - 3\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}x} \right) = 2\sqrt{3} \left( \frac{x - 3\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}x} \right) + 2$.
$y \left( \frac{3\sqrt{3} + 3x - x + 3\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}x} \right) = \frac{2\sqrt{3}x - 18 + 6 + 2\sqrt{3}x}{3 + \sqrt{3}x}$.
$y(2x + 6\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}x - 12 \Rightarrow 2xy + 6\sqrt{3}y = 4\sqrt{3}x - 12$.
$2$ से विभाजित करने पर: $xy - 2\sqrt{3}x + 3\sqrt{3}y + 6 = 0$.
$xy + \alpha x + \beta y + \gamma = 0$ से तुलना करने पर,$\alpha = -2\sqrt{3}$,$\beta = 3\sqrt{3}$,$\gamma = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (-2\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2 + (6)^2 = 12 + 27 + 36 = 75$.

(C) वृत्त $C_1$ तीसरे चतुर्थांश में है,जिसकी त्रिज्या $r_1 = 3$ है और यह दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $A(-3, -3)$ है।
$C_1$ का समीकरण $(x+3)^2 + (y+3)^2 = 3^2$ है।
$C_2$ का केंद्र $B(1, 3)$ है। मान लीजिए $C_2$ की त्रिज्या $r_2$ है।
केंद्रों $A$ और $B$ के बीच की दूरी $AB = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,$AB = r_1 + r_2$। अतः,$2\sqrt{13} = 3 + r_2$,जिससे $r_2 = 2\sqrt{13} - 3$ प्राप्त होता है।
स्पर्श बिंदु $P(\alpha, \beta)$ रेखाखंड $AB$ को $r_1 : r_2 = 3 : (2\sqrt{13} - 3)$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$\alpha = \frac{r_1 x_B + r_2 x_A}{r_1 + r_2} = \frac{3(1) + (2\sqrt{13} - 3)(-3)}{2\sqrt{13}} = \frac{3 - 6\sqrt{13} + 9}{2\sqrt{13}} = \frac{12 - 6\sqrt{13}}{2\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}} - 3$.
$\beta = \frac{r_1 y_B + r_2 y_A}{r_1 + r_2} = \frac{3(3) + (2\sqrt{13} - 3)(-3)}{2\sqrt{13}} = \frac{9 - 6\sqrt{13} + 9}{2\sqrt{13}} = \frac{18 - 6\sqrt{13}}{2\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}} - 3$.
अब,$\beta - \alpha = (\frac{9}{\sqrt{13}} - 3) - (\frac{6}{\sqrt{13}} - 3) = \frac{3}{\sqrt{13}}$.
इसलिए,$(\beta - \alpha)^2 = (\frac{3}{\sqrt{13}})^2 = \frac{9}{13}$.
यहाँ,$m = 9$ और $n = 13$ है। चूंकि $\operatorname{gcd}(9, 13) = 1$,इसलिए $m + n = 9 + 13 = 22$।

(C) $(S1)$ के लिए: मान लीजिए $z = x+iy$. चूंकि $|z|=1$,$x^2+y^2=1$. $\frac{z-i}{z+i}$ विशुद्ध वास्तविक है का अर्थ है $\frac{z-i}{z+i} = \frac{\bar{z}+i}{\bar{z}-i}$.
इसे सरल करने पर $2i(z+\bar{z}) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x=0$. $|z|=1$ होने के कारण $y^2=1$,अतः $z = \pm i$. लेकिन $z \neq -i$ होने के कारण,केवल $z=i$ संभव है। अतः,$(S1)$ गलत है.
$(S2)$ के लिए: मान लीजिए $w = \frac{z-1}{z+1}$. $w$ विशुद्ध काल्पनिक है का अर्थ है $w + \bar{w} = 0$.
इसे सरल करने पर $2|z|^2 - 2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $|z|^2 = 1$. यह दी गई शर्त $|z|=1$ को संतुष्ट करता है। अतः,$(S2)$ सही है.

(D) दिया गया है $n = 100$,गलत माध्य $\bar{x} = 40$,गलत मानक विचलन $s = 5.1$ है।
प्रेक्षणों का गलत योग $\sum x_i = 100 \times 40 = 4000$ है।
प्रेक्षणों का सही योग $\sum x_i' = 4000 - 50 + 40 = 3990$ है।
सही माध्य $\mu = \frac{3990}{100} = 39.9$ है।
गलत प्रसरण $s^2 = (5.1)^2 = 26.01$ है।
$s^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ का उपयोग करने पर,$26.01 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 40^2$ प्राप्त होता है।
$\sum x_i^2 = 100(26.01 + 1600) = 100(1626.01) = 162601$ है।
वर्गों का सही योग $\sum x_i'^2 = 162601 - 50^2 + 40^2 = 162601 - 2500 + 1600 = 161701$ है।
सही प्रसरण $\sigma^2 = \frac{161701}{100} - (39.9)^2 = 1617.01 - 1592.01 = 25$ है।
सही मानक विचलन $\sigma = \sqrt{25} = 5$ है।
अतः,$10(\mu + \sigma) = 10(39.9 + 5) = 10(44.9) = 449$ है।

(D) मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी के पद $a, ar, ar^2, ar^3$ हैं।
दिया गया है कि $a-2, ar-7, ar^2-9, ar^3-5$ एक समांतर श्रेणी में हैं।
समांतर श्रेणी के लिए $2B = A+C$ और $2C = B+D$ होता है।
$2(ar-7) = (a-2) + (ar^2-9) \implies a(r-1)^2 = -3 \dots(i)$
$2(ar^2-9) = (ar-7) + (ar^3-5) \implies ar(r-1)^2 = -6 \dots(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर,$r = 2$ प्राप्त होता है।
$r=2$ को $(i)$ में रखने पर,$a = -3$ प्राप्त होता है।
पद $x_1 = -3, x_2 = -6, x_3 = -12, x_4 = -24$ हैं।
गुणनफल $x_1 x_2 x_3 x_4 = 5184$ है।
$\frac{1}{24}(x_1 x_2 x_3 x_4) = \frac{5184}{24} = 216$.

(C) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ भी $0$ होने चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & \lambda & 3 \\ 3 & 2 & -1 \\ 4 & 5 & \mu \end{vmatrix} = 2(2\mu + 5) - \lambda(3\mu + 4) + 3(15 - 8) = 0$
$4\mu + 10 - 3\lambda\mu - 4\lambda + 21 = 0 \Rightarrow 4\mu - 3\lambda\mu - 4\lambda + 31 = 0 \dots (1)$
अब,$\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & \lambda & 5 \\ 3 & 2 & 7 \\ 4 & 5 & 9 \end{vmatrix} = 0$ लेने पर:
$2(18 - 35) - \lambda(27 - 28) + 5(15 - 8) = 0$
$2(-17) - \lambda(-1) + 5(7) = 0 \Rightarrow -34 + \lambda + 35 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$
समीकरण $(1)$ में $\lambda = -1$ रखने पर:
$4\mu - 3(-1)\mu - 4(-1) + 31 = 0$
$4\mu + 3\mu + 4 + 31 = 0 \Rightarrow 7\mu = -35 \Rightarrow \mu = -5$
अतः,$\lambda^2 + \mu^2 = (-1)^2 + (-5)^2 = 1 + 25 = 26$.

(C) मान लीजिए $B_I, B_{II}, B_{III}$ क्रमशः थैली $I$,थैली $II$ और थैली $III$ चुनने की घटनाएँ हैं। चूँकि थैलियों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(B_I) = P(B_{II}) = P(B_{III}) = \frac{1}{3}$।
मान लीजिए $R$ लाल गेंद निकालने की घटना है और $G$ हरी गेंद निकालने की घटना है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$p = P(B_I | R) = \frac{P(B_I)P(R|B_I)}{P(B_I)P(R|B_I) + P(B_{II})P(R|B_{II}) + P(B_{III})P(R|B_{III})}$
$p = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{3}{10}}{\frac{1}{3} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{4}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{10}} = \frac{3}{3+4+5} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$।
इसी प्रकार,हरी गेंद के लिए:
$q = P(B_{III} | G) = \frac{P(B_{III})P(G|B_{III})}{P(B_I)P(G|B_I) + P(B_{II})P(G|B_{II}) + P(B_{III})P(G|B_{III})}$
$q = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{4}{10}}{\frac{1}{3} \times \frac{5}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{4}{10}} = \frac{4}{5+3+4} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$।
अतः,$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{1/4} + \frac{1}{1/3} = 4 + 3 = 7$।

(A) फलन को परिभाषित होने के लिए,हर में वर्गमूल के अंदर के व्यंजक धनात्मक होने चाहिए।
$1) \ x + |x| > 0$
यदि $x \leq 0$ है,तो $x + |x| = 0$ होता है,जिससे हर शून्य हो जाता है। अतः,$x > 0$ होना चाहिए।
इस प्रकार,$x \in (0, \infty)$.
$2) \ 10 + 3x - x^2 > 0$
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 - 3x - 10 < 0$ प्राप्त होता है।
$(x - 5)(x + 2) < 0$.
यह असमिका $x \in (-2, 5)$ के लिए सत्य है।
$x \in (0, \infty)$ और $x \in (-2, 5)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें प्रांत $(a, b) = (0, 5)$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 0$ और $b = 5$.
अभीष्ट मान: $(1+a)^2 + b^2 = (1+0)^2 + 5^2 = 1 + 25 = 26$.

(B) माना $I = 4 \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{3+x^2}+\sqrt{1+x^2}} dx - 3 \ln \sqrt{3}$.
समाकल्य का परिमेयकरण करने पर:
$I = 4 \int_0^1 \frac{\sqrt{3+x^2}-\sqrt{1+x^2}}{(3+x^2)-(1+x^2)} dx - \frac{3}{2} \ln 3$
$I = 4 \int_0^1 \frac{\sqrt{3+x^2}-\sqrt{1+x^2}}{2} dx - \frac{3}{2} \ln 3$
$I = 2 \int_0^1 \sqrt{3+x^2} dx - 2 \int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx - \frac{3}{2} \ln 3$
सूत्र $\int \sqrt{a^2+x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2+x^2} + \frac{a^2}{2}\ln(x+\sqrt{a^2+x^2})$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{3+x^2} + \frac{3}{2}\ln(x+\sqrt{3+x^2}) \right]_0^1 - 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} + \frac{1}{2}\ln(x+\sqrt{1+x^2}) \right]_0^1 - \frac{3}{2} \ln 3$
$I = \left[ x\sqrt{3+x^2} + 3\ln(x+\sqrt{3+x^2}) \right]_0^1 - \left[ x\sqrt{1+x^2} + \ln(x+\sqrt{1+x^2}) \right]_0^1 - \frac{3}{2} \ln 3$
$I = (1\sqrt{4} + 3\ln(1+2) - (0 + 3\ln\sqrt{3})) - (1\sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2}) - (0 + \ln 1)) - \frac{3}{2} \ln 3$
$I = (2 + 3\ln 3 - \frac{3}{2}\ln 3) - (\sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2})) - \frac{3}{2} \ln 3$
$I = 2 + \frac{3}{2}\ln 3 - \sqrt{2} - \ln(1+\sqrt{2}) - \frac{3}{2} \ln 3$
$I = 2 - \sqrt{2} - \ln(1+\sqrt{2})$.

(D) दिया गया है कि $\vec{a}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+5 \hat{k}$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-15-2) - \hat{j}(10-3) + \hat{k}(4+9) = -17 \hat{i}-7 \hat{j}+13 \hat{k}$.
हमें दिया गया है कि $(\vec{a}-\vec{c}) \times \vec{b} = -18 \hat{i}-3 \hat{j}+12 \hat{k}$.
सदिश गुणनफल के वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$(\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{c} \times \vec{b}) = -18 \hat{i}-3 \hat{j}+12 \hat{k}$.
चूंकि $\vec{c} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{c})$,इसलिए $(\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{b} \times \vec{c}) = -18 \hat{i}-3 \hat{j}+12 \hat{k}$.
$\vec{a} \times \vec{b}$ का मान रखने पर,$(-17 \hat{i}-7 \hat{j}+13 \hat{k}) + (\vec{b} \times \vec{c}) = -18 \hat{i}-3 \hat{j}+12 \hat{k}$.
अतः,$\vec{d} = \vec{b} \times \vec{c} = (-18 \hat{i}-3 \hat{j}+12 \hat{k}) - (-17 \hat{i}-7 \hat{j}+13 \hat{k}) = -\hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k}$.
अंत में,$\vec{a} \cdot \vec{d} = (2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}) \cdot (-\hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k}) = (2)(-1) + (-3)(4) + (1)(-1) = -2 - 12 - 1 = -15$.
इसलिए,$|\vec{a} \cdot \vec{d}| = |-15| = 15$.

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण: $A^2(A-2I) - 4(A-I) = O$
इसका विस्तार करने पर: $A^3 - 2A^2 - 4A + 4I = O$
अतः,$A^3 = 2A^2 + 4A - 4I$
अब,$A^4$ ज्ञात करने के लिए $A$ से गुणा करने पर:
$A^4 = 2A^3 + 4A^2 - 4A$
$A^3 = 2A^2 + 4A - 4I$ का मान रखने पर:
$A^4 = 2(2A^2 + 4A - 4I) + 4A^2 - 4A$
$A^4 = 4A^2 + 8A - 8I + 4A^2 - 4A = 8A^2 + 4A - 8I$
अब,$A^5$ ज्ञात करने के लिए पुनः $A$ से गुणा करने पर:
$A^5 = 8A^3 + 4A^2 - 8A$
पुनः $A^3 = 2A^2 + 4A - 4I$ का मान रखने पर:
$A^5 = 8(2A^2 + 4A - 4I) + 4A^2 - 8A$
$A^5 = 16A^2 + 32A - 32I + 4A^2 - 8A$
$A^5 = 20A^2 + 24A - 32I$
$A^5 = \alpha A^2 + \beta A + \gamma I$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = 20, \beta = 24, \gamma = -32$ प्राप्त होता है
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = 20 + 24 - 32 = 12$

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + (2 \sec^2 x)y = 2 \sec^2 x + 3 \tan x \sec^2 x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = 2 \sec^2 x$ और $Q(x) = 2 \sec^2 x + 3 \tan x \sec^2 x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int 2 \sec^2 x dx} = e^{2 \tan x}$ है।
हल $y \cdot e^{2 \tan x} = \int (2 \sec^2 x + 3 \tan x \sec^2 x) e^{2 \tan x} dx$ है।
मान लीजिए $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x dx$। समाकलन $\int (2 + 3u) e^{2u} du$ हो जाता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int (2 + 3u) e^{2u} du = (2 + 3u) \frac{e^{2u}}{2} - \int 3 \frac{e^{2u}}{2} du = (1 + \frac{3}{2}u) e^{2u} - \frac{3}{4} e^{2u} + C = (\frac{3}{2}u + \frac{1}{4}) e^{2u} + C$ है।
अतः,$y \cdot e^{2 \tan x} = (\frac{3}{2} \tan x + \frac{1}{4}) e^{2 \tan x} + C$ है।
$e^{2 \tan x}$ से भाग देने पर,$y = \frac{3}{2} \tan x + \frac{1}{4} + C e^{-2 \tan x}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y(0) = \frac{5}{4}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{5}{4} = 0 + \frac{1}{4} + C \implies C = 1$ है।
इस प्रकार,$y(x) = \frac{3}{2} \tan x + \frac{1}{4} + e^{-2 \tan x}$ है।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$y(\frac{\pi}{4}) = \frac{3}{2}(1) + \frac{1}{4} + e^{-2} = \frac{7}{4} + e^{-2}$ है।
इसलिए,$12(y(\frac{\pi}{4}) - e^{-2}) = 12(\frac{7}{4}) = 21$ है।

(C) दिया गया है $y = \cos \left(\frac{\pi}{3} + \cos^{-1} \frac{x}{2}\right)$.
चूंकि $\cos^{-1} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $y = \cos \left(\cos^{-1} \frac{1}{2} + \cos^{-1} \frac{x}{2}\right)$.
सूत्र $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$y = \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{x}{2}\right) - \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} \sqrt{1 - \left(\frac{x}{2}\right)^2}$.
$y = \frac{x}{4} - \sqrt{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{4 - x^2}{4}} = \frac{x - \sqrt{3(4 - x^2)}}{4}$.
$4y = x - \sqrt{3(4 - x^2)}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(4y - x)^2 = 3(4 - x^2)$.
$16y^2 + x^2 - 8xy = 12 - 3x^2$.
$4x^2 + 16y^2 - 8xy = 12$.
$4$ से भाग देने पर:
$x^2 + 4y^2 - 2xy = 3$.
इसे $x^2 - 2xy + y^2 + 3y^2 = 3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$(x - y)^2 + 3y^2 = 3$।

(C) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $|A|=5$ है। यहाँ $|k A| = k^n |A|$ जहाँ $n=3$ और $|\operatorname{adj}(M)| = |M|^{n-1} = |M|^2$ गुणों का उपयोग किया गया है।
$|2 \operatorname{adj}(3 A \operatorname{adj}(2 A))| = 2^3 |\operatorname{adj}(3 A \operatorname{adj}(2 A))|$
$= 2^3 |3 A \operatorname{adj}(2 A)|^2$
$= 2^3 \cdot (3^3 |A \operatorname{adj}(2 A)|)^2 = 2^3 \cdot 3^6 \cdot |A|^2 \cdot |\operatorname{adj}(2 A)|^2$
$= 2^3 \cdot 3^6 \cdot |A|^2 \cdot (|2 A|^2)^2 = 2^3 \cdot 3^6 \cdot |A|^2 \cdot (2^3 |A|)^4$
$= 2^3 \cdot 3^6 \cdot |A|^2 \cdot 2^{12} \cdot |A|^4 = 2^{15} \cdot 3^6 \cdot |A|^6$
$|A|=5$ रखने पर,हमें $2^{15} \cdot 3^6 \cdot 5^6 = 2^\alpha \cdot 3^\beta \cdot 5^\gamma$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha=15, \beta=6, \gamma=6$ है।
इसलिए,$\alpha+\beta+\gamma = 15+6+6 = 27$।

(A) मान लीजिए रेखा $L_1 = \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}=p$ है। अतः $A = (2p+1, 3p+2, 4p+3)$ है।
मान लीजिए रेखा $L_2 = \frac{x-6}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-4}{-1}=q$ है। अतः $B = (q+6, q, 4-q)$ है।
बिंदु $P(4,1,0)$,$A$ और $B$ संरेख हैं। $PA$ के दिक अनुपात $(2p+1-4, 3p+2-1, 4p+3-0) = (2p-3, 3p+1, 4p+3)$ हैं।
$AB$ के दिक अनुपात $(q+6-(2p+1), q-(3p+2), 4-q-(4p+3)) = (q-2p+5, q-3p-2, -q-4p+1)$ हैं।
चूंकि $P, A, B$ संरेख हैं,$PA$ और $AB$ के दिक अनुपात समानुपाती होंगे:
$\frac{2p-3}{q-2p+5} = \frac{3p+1}{q-3p-2} = \frac{4p+3}{-q-4p+1} = k$.
इस प्रणाली को हल करने पर,हमें $p=-1$ और $q=3$ प्राप्त होता है।
$p=-1$ को $A$ में रखने पर,$A(-1, -1, -1)$ प्राप्त होता है।
$q=3$ को $B$ में रखने पर,$B(9, 3, 1)$ प्राप्त होता है।
अब,सारणिक का मान:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 9 & 3 & 1\end{array}\right| = 1(-1 - (-3)) - 0 + 1(-3 - (-9)) = 1(2) + 1(6) = 8$.

(D) दिया गया है $A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$। शर्त $0 \leq x^2 + 2y \leq 4$ है,जिसका अर्थ है $-\frac{x^2}{2} \leq y \leq 2 - \frac{x^2}{2}$।
प्रत्येक $x \in A$ के लिए,हम शर्त को पूरा करने वाले $y \in A$ ज्ञात करते हैं:
यदि $x = -3, x^2 = 9$: $-4.5 \leq y \leq -2.5 \Rightarrow y = -3$। युग्म: $(-3, -3)$।
यदि $x = -2, x^2 = 4$: $-2 \leq y \leq 0 \Rightarrow y = -2, -1, 0$। युग्म: $(-2, -2), (-2, -1), (-2, 0)$।
यदि $x = -1, x^2 = 1$: $-0.5 \leq y \leq 1.5 \Rightarrow y = 0, 1$। युग्म: $(-1, 0), (-1, 1)$।
यदि $x = 0, x^2 = 0$: $0 \leq y \leq 2 \Rightarrow y = 0, 1, 2$। युग्म: $(0, 0), (0, 1), (0, 2)$।
यदि $x = 1, x^2 = 1$: $-0.5 \leq y \leq 1.5 \Rightarrow y = 0, 1$। युग्म: $(1, 0), (1, 1)$।
यदि $x = 2, x^2 = 4$: $-2 \leq y \leq 0 \Rightarrow y = -2, -1, 0$। युग्म: $(2, -2), (2, -1), (2, 0)$।
यदि $x = 3, x^2 = 9$: $-4.5 \leq y \leq -2.5 \Rightarrow y = -3$। युग्म: $(3, -3)$।
समुच्चय $R = \{(-3, -3), (-2, -2), (-2, -1), (-2, 0), (-1, 0), (-1, 1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (2, -2), (2, -1), (2, 0), (3, -3)\}$।
तत्वों की गणना करने पर,$l = 15$।
$R$ को स्वतुल्य बनाने के लिए,इसमें प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a)$ होना चाहिए। लुप्त तत्व $(-1, -1), (2, 2), (3, 3)$ हैं।
अतः,$m = 3$ तत्वों को जोड़ने की आवश्यकता है।
इसलिए,$l + m = 15 + 3 = 18$।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \log_e\left(\frac{2x-3}{5+4x}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{4+3x}{2-x}\right)$ है।
फलन के परिभाषित होने के लिए:
$1) \frac{2x-3}{5+4x} > 0$
$2) -1 \leq \frac{4+3x}{2-x} \leq 1$
शर्त $(1)$ को हल करने पर:
$\frac{2x-3}{5+4x} > 0 \Rightarrow x \in \left(-\infty, -\frac{5}{4}\right) \cup \left(\frac{3}{2}, \infty\right)$.
शर्त $(2)$ को हल करने पर:
$-1 \leq \frac{4+3x}{2-x} \leq 1$
$\Rightarrow \frac{4+3x}{2-x} + 1 \geq 0$ और $\frac{4+3x}{2-x} - 1 \leq 0$
$\Rightarrow \frac{6+2x}{2-x} \geq 0$ और $\frac{2+4x}{2-x} \leq 0$
$\Rightarrow x \in [-3, -1/2]$.
दोनों शर्तों का सर्वनिष्ठ लेने पर:
$x \in [-3, -5/4)$.
अतः,$\alpha = -3$ और $\beta = -5/4$.
इसलिए,$\alpha^2 + 4\beta = (-3)^2 + 4(-5/4) = 9 - 5 = 4$.

(A) दिया गया है $y(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sin x & \cos x & \sin x + \cos x + 1 \\ 27 & 28 & 27 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$y(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sin x & \cos x & \cos x + 1 \\ 27 & 28 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right|$.
तीसरे स्तंभ $(C_3)$ के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$y(x) = (\cos x + 1) \times (27 \times 1 - 28 \times 1) = (\cos x + 1) \times (-1) = -\cos x - 1$.
अब,अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(-\cos x - 1) = \sin x$.
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$.
अतः,$\frac{d^2 y}{dx^2} + y = \cos x + (-\cos x - 1) = -1$.

(B) दिया गया है $\int_0^x g(t) dt = x - \int_0^x tg(t) dt$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$g(x) = 1 - xg(x)$।
अतः $g(x)(1+x) = 1$,जिससे $g(x) = \frac{1}{1+x}$ प्राप्त होता है।
अब $g(x)$ का मान अवकल समीकरण में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} - y \tan x = 2(x+1) \sec x \cdot \frac{1}{1+x} = 2 \sec x$।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\tan x dx} = \cos x$ है।
समीकरण का हल $y \cos x = \int 2 \sec x \cdot \cos x dx + C = \int 2 dx + C = 2x + C$ है।
$y(0) = 0$ होने के कारण,$C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $y = 2x \sec x$।
$x = \frac{\pi}{3}$ पर,$y(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\pi}{3} \cdot 2 = \frac{4 \pi}{3}$।

(D) मान लीजिए $3-x^2 = t^2$ है। तब $-2x dx = 2t dt$,जिसका अर्थ है $x dx = -t dt$।
साथ ही,$x^2 = 3-t^2$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \int (3-t^2) \cdot t \cdot (-t dt) + C$
$f(x) = \int (t^4 - 3t^2) dt + C$
$f(x) = \frac{t^5}{5} - t^3 + C$
$t = \sqrt{3-x^2}$ वापस रखने पर:
$f(x) = \frac{(3-x^2)^{5/2}}{5} - (3-x^2)^{3/2} + C$
दिया गया है कि $5f(\sqrt{2}) = -4$,अतः $f(\sqrt{2})$ की गणना करते हैं:
$f(\sqrt{2}) = \frac{(3-2)^{5/2}}{5} - (3-2)^{3/2} + C = \frac{1}{5} - 1 + C = -\frac{4}{5} + C$।
चूंकि $5f(\sqrt{2}) = -4$ है,इसलिए $5(-\frac{4}{5} + C) = -4$,जिससे $-4 + 5C = -4$ प्राप्त होता है,अतः $C = 0$।
इस प्रकार,$f(x) = \frac{(3-x^2)^{5/2}}{5} - (3-x^2)^{3/2}$।
अब,$f(1)$ की गणना करते हैं:
$f(1) = \frac{(3-1)^{5/2}}{5} - (3-1)^{3/2} = \frac{2^{5/2}}{5} - 2^{3/2} = \frac{4\sqrt{2}}{5} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}(\frac{4}{5} - 2) = \sqrt{2}(\frac{4-10}{5}) = -\frac{6\sqrt{2}}{5}$।

(A) फलन $f(x) = \log_2 \log_4 \log_6(3 + 4x - x^2)$ को परिभाषित होने के लिए,हमें निम्नलिखित शर्तों की आवश्यकता है:
$\log_4 \log_6(3 + 4x - x^2) > 0 \implies \log_6(3 + 4x - x^2) > 1 \implies 3 + 4x - x^2 > 6$
$x^2 - 4x + 3 < 0 \implies (x - 1)(x - 3) < 0 \implies x \in (1, 3)$.
अतः,$a = 1$ और $b = 3$,इसलिए $b - a = 2$.
हमें $\int_0^2 [x^2] dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $[x^2] = k$ जब $k \le x^2 < k+1$,अर्थात $\sqrt{k} \le x < \sqrt{k+1}$,हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$I = \int_0^1 [x^2] dx + \int_1^{\sqrt{2}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{3}}^2 [x^2] dx$
$I = 0 + 1(\sqrt{2} - 1) + 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 3(2 - \sqrt{3})$
$I = \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3} = 5 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$.
$p - \sqrt{q} - \sqrt{r}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $p = 5, q = 2, r = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$p + q + r = 5 + 2 + 3 = 10$.

(C) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$f(0^-) = f(0) = f(0^+)$ होना चाहिए।
पहला,$f(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (1+ax)^{1/x} = e^a$.
दूसरा,$f(0) = 1+b$.
तीसरा,$f(0^+)$ के अस्तित्व के लिए हर $x=0$ पर शून्य होना चाहिए,अतः $(0+c)^{1/3}-2 = 0 \implies c = 8$.
$f(0^+)$ के लिए $L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करने पर: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{2}(x+4)^{-1/2}}{\frac{1}{3}(x+c)^{-2/3}} = \frac{1/4}{1/3 \cdot (8)^{-2/3}} = 3$.
सीमाओं की तुलना करने पर: $e^a = 1+b = 3$.
अतः,$b = 2$ और $c = 8$.
इसलिए $e^2bc$ का मान $3 \cdot 2 \cdot 8 = 48$ प्राप्त होता है।

(C) रेखा $L_1$ का समीकरण जो $(1, 2, 3)$ से गुजरती है और $z$-अक्ष के समांतर है,$\frac{x-1}{0} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-3}{1}$ है।
रेखा $L_2$ का समीकरण जो $(\lambda, 5, 6)$ से गुजरती है और $y$-अक्ष के समांतर है,$\frac{x-\lambda}{0} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-6}{0}$ है।
दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $SD = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{a_1} = (1, 2, 3)$,$\vec{b_1} = (0, 0, 1)$,$\vec{a_2} = (\lambda, 5, 6)$,$\vec{b_2} = (0, 1, 0)$.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (\lambda-1, 3, 3)$.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -\hat{i}$.
$SD = \frac{|(\lambda-1, 3, 3) \cdot (-1, 0, 0)|}{|-1|} = |-(\lambda-1)| = |\lambda-1| = 3$.
अतः,$\lambda-1 = 3$ या $\lambda-1 = -3$,जिससे $\lambda = 4$ या $\lambda = -2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\lambda_2 < \lambda_1$,इसलिए $\lambda_1 = 4$ और $\lambda_2 = -2$ है।
बिंदु $P(4, -2, 7)$ है। रेखा $L_1$ का रूप $(1, 2, z)$ है।
$P(4, -2, 7)$ से $L_1$ पर लंबवत दूरी का वर्ग,$L_1$ पर स्थित बिंदु $(1, 2, 7)$ से दूरी है।
$PQ^2 = (4-1)^2 + (-2-2)^2 + (7-7)^2 = 3^2 + (-4)^2 + 0^2 = 9 + 16 = 25$.

(C) दिया गया है $\vec{a} \times \hat{d} = \vec{b} \times \hat{d}$,अतः $(\vec{a} - \vec{b}) \times \hat{d} = 0$।
इसका अर्थ है कि $\hat{d}, \vec{a} - \vec{b}$ के समानांतर है।
$\vec{a} - \vec{b} = (1-3)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (1-(-1))\hat{k} = -2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$।
चूंकि $\hat{d}$ एक इकाई सदिश है,$\hat{d} = \pm \frac{-2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}}{3}$।
$\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ होने के कारण,$(\lambda \hat{j} + \mu \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$,अर्थात $\lambda + \mu = 0$,जिसका अर्थ है $\mu = -\lambda$।
अतः,$\vec{c} = \lambda(\hat{j} - \hat{k})$।
$\vec{c} \cdot \hat{d} = 1$ होने के कारण,$\lambda(\hat{j} - \hat{k}) \cdot \pm \frac{1}{3}(-2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 1$।
$\pm \frac{\lambda}{3}(-1 - 2) = 1 \Rightarrow \mp \lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \mp 1$।
दोनों स्थितियों में,$\lambda^2 = 1$ और $\mu^2 = \lambda^2 = 1$।
हमें $|3 \lambda \hat{d} + \mu \vec{c}|^2 = 9 \lambda^2 |\hat{d}|^2 + \mu^2 |\vec{c}|^2 + 6 \lambda \mu (\hat{d} \cdot \vec{c})$ की गणना करनी है।
$|\hat{d}|^2 = 1$,$|\vec{c}|^2 = \lambda^2 + \mu^2 = 2\lambda^2 = 2$,और $\hat{d} \cdot \vec{c} = 1$ होने के कारण:
$|3 \lambda \hat{d} + \mu \vec{c}|^2 = 9(1)(1) + (1)(2) + 6(\lambda)(-\lambda)(1) = 9 + 2 - 6\lambda^2 = 11 - 6(1) = 5$.

(A) हमें $y = \max \{| x |, x | x - 2 |\}$,$x$-अक्ष,$x = -2$ और $x = 4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
माना $f(x) = |x|$ और $g(x) = x|x-2|$ है।
$x \in [-2, 0]$ के लिए,$f(x) = -x$ और $g(x) = x(2-x) = 2x - x^2$ है। इस अंतराल में $f(x) \ge g(x)$ है,अतः क्षेत्रफल $\int_{-2}^{0} (-x) dx = [-\frac{x^2}{2}]_{-2}^{0} = 0 - (-2) = 2$ है।
$x \in [0, 2]$ के लिए,$f(x) = x$ और $g(x) = x(2-x) = 2x - x^2$ है। यहाँ $f(x) \ge g(x)$ है,अतः क्षेत्रफल $\int_{0}^{2} x dx = [\frac{x^2}{2}]_{0}^{2} = 2$ है।
$x \in [2, 3]$ के लिए,$f(x) = x$ और $g(x) = x(x-2) = x^2 - 2x$ है। यहाँ $f(x) \ge g(x)$ है,अतः क्षेत्रफल $\int_{2}^{3} x dx = [\frac{x^2}{2}]_{2}^{3} = \frac{9}{2} - 2 = 2.5$ है।
$x \in [3, 4]$ के लिए,$g(x) = x^2 - 2x$ और $f(x) = x$ है। यहाँ $g(x) \ge f(x)$ है,अतः क्षेत्रफल $\int_{3}^{4} (x^2 - 2x) dx = [\frac{x^3}{3} - x^2]_{3}^{4} = (\frac{64}{3} - 16) - (9 - 9) = \frac{16}{3}$ है।
कुल क्षेत्रफल = $2 + 2 + 2.5 + 5.33 = 11.83 \approx 12$।

(D) फलन $f(x) = ||x+2|-2|x||$ द्वारा दिया गया है।
स्थानीय चरम बिंदुओं को खोजने के लिए,हम उन बिंदुओं का विश्लेषण करते हैं जहाँ निरपेक्ष मान के अंदर का व्यंजक अपना चिह्न बदलता है,जो $x = -2$,$x = 0$ और $|x+2| = 2|x|$ हैं।
$|x+2| = 2|x|$ को हल करने पर:
स्थिति $1$: $x \geq 0 \implies x+2 = 2x \implies x = 2$.
स्थिति $2$: $-2 \leq x < 0 \implies x+2 = -2x \implies 3x = -2 \implies x = -2/3$.
स्थिति $3$: $x < -2 \implies -(x+2) = -2x \implies -x-2 = -2x \implies x = 2$ (डोमेन में नहीं है)।
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = -2, -2/3, 0, 2$ हैं।
ग्राफ बनाकर या $f(x)$ के चिह्न परिवर्तनों का विश्लेषण करके,हम देखते हैं कि:
- $x = -2/3$ पर,$f(x) = 0$,जो एक स्थानीय न्यूनतम है।
- $x = 0$ पर,$f(x) = 2$,जो एक स्थानीय अधिकतम है।
- $x = 2$ पर,$f(x) = 0$,जो एक स्थानीय न्यूनतम है।
- $x = -2$ पर,$f(x) = 4$,जो एक स्थानीय अधिकतम है।
इसलिए,स्थानीय न्यूनतम बिंदु $x = -2/3$ और $x = 2$ हैं,इसलिए $m = 2$ है।
स्थानीय अधिकतम बिंदु $x = -2$ और $x = 0$ हैं,इसलिए $n = 2$ है।
अतः,$m+n = 2+2 = 4$।

(A) माना $\alpha, \beta, \gamma$ रेखा द्वारा क्रमशः $x, y, z$-अक्ष की धनात्मक दिशाओं के साथ बनाए गए कोण हैं।
दिया गया है कि $\beta = \frac{\alpha}{2}$ और $\gamma = \frac{\alpha}{2}$।
रेखा की दिक्-कोज्याएँ संबंध $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ को संतुष्ट करती हैं।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\cos^2 \alpha + \cos^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 1$।
$\cos^2 \alpha + 2 \cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 1$।
सर्वसमिका $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos^2 \alpha + 2(\frac{1 + \cos \alpha}{2}) = 1$।
$\cos^2 \alpha + 1 + \cos \alpha = 1$।
$\cos^2 \alpha + \cos \alpha = 0$।
$\cos \alpha(\cos \alpha + 1) = 0$।
इसका अर्थ है कि $\cos \alpha = 0$ या $\cos \alpha = -1$।
यदि $\cos \alpha = 0$ है,तो $\alpha = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\beta = \frac{\pi}{4}$।
यदि $\cos \alpha = -1$ है,तो $\alpha = \pi$,इसलिए $\beta = \frac{\pi}{2}$।
$\beta$ के संभावित मान $\frac{\pi}{4}$ और $\frac{\pi}{2}$ हैं।
$\beta$ के सभी संभावित मानों का योग $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{4}$ है।

(A) दिया गया समुच्चय $A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ है।
संबंध $R$ को $x R y \iff y = \max \{x, 1\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$R$ के तत्वों की गणना:
$x = -2$ के लिए,$y = \max \{-2, 1\} = 1 \implies (-2, 1) \in R$.
$x = -1$ के लिए,$y = \max \{-1, 1\} = 1 \implies (-1, 1) \in R$.
$x = 0$ के लिए,$y = \max \{0, 1\} = 1 \implies (0, 1) \in R$.
$x = 1$ के लिए,$y = \max \{1, 1\} = 1 \implies (1, 1) \in R$.
$x = 2$ के लिए,$y = \max \{2, 1\} = 2 \implies (2, 2) \in R$.
$x = 3$ के लिए,$y = \max \{3, 1\} = 3 \implies (3, 3) \in R$.
अतः,$R = \{(-2, 1), (-1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 3)\}$.
इस प्रकार,$l = 6$.
$R$ को स्वतुल्य बनाने के लिए,सभी $x \in A$ के लिए $(x, x) \in R$ होना चाहिए। वर्तमान में,$R$ में $(1, 1), (2, 2), (3, 3)$ हैं। हमें $(-2, -2), (-1, -1), (0, 0)$ जोड़ने की आवश्यकता है। अतः,$m = 3$.
$R$ को सममित बनाने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $(y, x) \in R$ होना चाहिए। $R$ में मौजूद जोड़े $(-2, 1), (-1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 3)$ हैं।
सममितता के लिए $(1, -2), (1, -1), (1, 0)$ जोड़ने होंगे। अतः,$n = 3$.
इसलिए,$l + m + n = 6 + 3 + 3 = 12$.

(A) माना $I = \int_0^\pi \frac{8 x \, dx}{4 \cos^2 x + \sin^2 x}$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi \frac{8(\pi - x) \, dx}{4 \cos^2(\pi - x) + \sin^2(\pi - x)} = \int_0^\pi \frac{8(\pi - x) \, dx}{4 \cos^2 x + \sin^2 x}$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \frac{8x + 8\pi - 8x}{4 \cos^2 x + \sin^2 x} \, dx = 8\pi \int_0^\pi \frac{dx}{4 \cos^2 x + \sin^2 x}$.
चूँकि फलन $\pi/2$ के सापेक्ष सममित है,$2I = 8\pi \times 2 \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{4 \cos^2 x + \sin^2 x}$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = 8\pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x \, dx}{4 + \tan^2 x}$.
माना $t = \tan x$,तब $dt = \sec^2 x \, dx$. जब $x \to 0, t \to 0$ और जब $x \to \pi/2, t \to \infty$.
$I = 8\pi \int_0^\infty \frac{dt}{4 + t^2} = 8\pi \left[ \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{t}{2}\right) \right]_0^\infty$.
$I = 4\pi \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = 2\pi^2$.

(A) दिया गया समीकरण: $f(x) + 3f\left(\frac{24}{x}\right) = 4x$
चरण $1$: $x = 3$ रखने पर:
$f(3) + 3f(8) = 12$ --- (समीकरण $1$)
चरण $2$: $x = 8$ रखने पर:
$f(8) + 3f(3) = 32$ --- (समीकरण $2$)
चरण $3$: समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर:
$4(f(3) + f(8)) = 44$
चरण $4$: $4$ से भाग देने पर:
$f(3) + f(8) = 11$

(B) दिया गया क्षेत्र $|x-y| \leq y \leq 4 \sqrt{x}$ द्वारा परिभाषित है।
यह दो असमानताओं को दर्शाता है: $y \geq |x-y|$ और $y \leq 4 \sqrt{x}$।
$y \geq |x-y|$ से,हमें $-y \leq x-y \leq y$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x \geq 0$ और $x \leq 2y$,या $y \geq \frac{x}{2}$ हो जाता है।
$y \leq 4 \sqrt{x}$ से,हमें $y^2 \leq 16x$ प्राप्त होता है (जहाँ $y \geq 0$)।
$y = \frac{x}{2}$ और $y = 4 \sqrt{x}$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने के लिए,हम $\frac{x}{2} = 4 \sqrt{x} \Rightarrow x = 8 \sqrt{x} \Rightarrow x^2 = 64x \Rightarrow x(x-64) = 0$ रखते हैं।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0$ और $x = 64$ पर हैं।
$x \in [0, 64]$ के लिए,वक्र $y = 4 \sqrt{x}$ रेखा $y = \frac{x}{2}$ के ऊपर स्थित है।
क्षेत्रफल $\int_0^{64} (4 \sqrt{x} - \frac{x}{2}) dx$ द्वारा दिया जाता है।
$= \left[ 4 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{4} \right]_0^{64} = \left[ \frac{8}{3} x^{3/2} - \frac{x^2}{4} \right]_0^{64}$.
$= \frac{8}{3} (64)^{3/2} - \frac{64^2}{4} = \frac{8}{3} (512) - \frac{4096}{4} = \frac{4096}{3} - 1024 = \frac{4096 - 3072}{3} = \frac{1024}{3}$.

(A) फलन $f(x) = \log_7(1 - \log_4(x^2 - 9x + 18))$ को परिभाषित होने के लिए,$1 - \log_4(x^2 - 9x + 18) > 0$ और $x^2 - 9x + 18 > 0$ होना चाहिए।
चरण $1$: $x^2 - 9x + 18 > 0$ को हल करें।
$(x - 3)(x - 6) > 0 \implies x \in (-\infty, 3) \cup (6, \infty)$.
चरण $2$: $1 - \log_4(x^2 - 9x + 18) > 0$ को हल करें।
$\log_4(x^2 - 9x + 18) < 1 \implies x^2 - 9x + 18 < 4^1$.
$x^2 - 9x + 14 < 0 \implies (x - 2)(x - 7) < 0 \implies x \in (2, 7)$.
चरण $3$: दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें।
$x \in ((-\infty, 3) \cup (6, \infty)) \cap (2, 7) = (2, 3) \cup (6, 7)$.
अतः,$(\alpha, \beta) = (2, 3)$ और $(\gamma, \delta) = (6, 7)$.
इसलिए,$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 2 + 3 + 6 + 7 = 18$.

(D) सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,इसलिए $\sum_{x=0}^{\infty} k(x+1)3^{-x} = 1$.
माना $S = \sum_{x=0}^{\infty} (x+1)3^{-x} = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{9} + \frac{4}{27} + \ldots$.
तब $\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{3}{27} + \ldots$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S - \frac{1}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \ldots$.
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a=1$ और $r=\frac{1}{3}$ है,इसलिए $\frac{2}{3}S = \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{3}{2}$.
अतः $S = \frac{9}{4}$. चूँकि $kS = 1$,इसलिए $k = \frac{4}{9}$.
हमें $P(X \geq 3) = 1 - P(X=0) - P(X=1) - P(X=2)$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = k(1)3^0 = k = \frac{4}{9}$.
$P(X=1) = k(2)3^{-1} = \frac{2k}{3} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{9} = \frac{8}{27}$.
$P(X=2) = k(3)3^{-2} = \frac{3k}{9} = \frac{k}{3} = \frac{4}{27}$.
$P(X \geq 3) = 1 - (\frac{4}{9} + \frac{8}{27} + \frac{4}{27}) = 1 - (\frac{12+8+4}{27}) = 1 - \frac{24}{27} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 3(\tan^2 x + 1)y = \sec^2 x$ है।
चूंकि $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$,समीकरण $\frac{dy}{dx} + 3(\sec^2 x)y = \sec^2 x$ में सरल हो जाता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = 3\sec^2 x$ और $Q(x) = \sec^2 x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int 3\sec^2 x dx} = e^{3\tan x}$ है।
सामान्य हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$y \cdot e^{3\tan x} = \int \sec^2 x \cdot e^{3\tan x} dx + C$.
मान लीजिए $u = 3\tan x$,तो $du = 3\sec^2 x dx$,इसलिए $\sec^2 x dx = \frac{du}{3}$.
$y \cdot e^{3\tan x} = \int e^u \frac{du}{3} + C = \frac{1}{3}e^{3\tan x} + C$.
दिया है $y(0) = \frac{1}{3} + e^3$,$x=0$ पर $\tan(0)=0$,इसलिए $y(0) \cdot e^0 = \frac{1}{3}e^0 + C \Rightarrow \frac{1}{3} + e^3 = \frac{1}{3} + C \Rightarrow C = e^3$.
अतः,$y \cdot e^{3\tan x} = \frac{1}{3}e^{3\tan x} + e^3$.
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
$y\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot e^3 = \frac{1}{3}e^3 + e^3 = \frac{4}{3}e^3$.
इसलिए,$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{4}{3}$.

(B) माना दी गई रेखा $L_1: \frac{x-4}{1} = \frac{y-4}{0} = \frac{z-2}{3} = \lambda$ है। इस रेखा पर कोई भी बिंदु $Q = (\lambda+4, 4, 3\lambda+2)$ है।
चूंकि दूरी रेखा $\frac{x-9}{2} = \frac{y-13}{3} = \frac{z-17}{6}$ की दिशा में मापी जाती है,इसलिए सदिश $\vec{PQ}$ को सदिश $\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ के समानांतर होना चाहिए।
सदिश $\vec{PQ} = Q - P = (\lambda+4-7, 4-10, 3\lambda+2-11) = (\lambda-3, -6, 3\lambda-9)$.
चूंकि $\vec{PQ}$,$\vec{v}$ के समानांतर है,इसलिए उनके घटक समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{\lambda-3}{2} = \frac{-6}{3} = \frac{3\lambda-9}{6}$.
$\frac{\lambda-3}{2} = -2$ से,हमें $\lambda-3 = -4$ प्राप्त होता है,इसलिए $\lambda = -1$.
$Q$ के निर्देशांकों में $\lambda = -1$ रखने पर,हमें $Q = (-1+4, 4, 3(-1)+2) = (3, 4, -1)$ प्राप्त होता है।
दूरी $PQ = \sqrt{(3-7)^2 + (4-10)^2 + (-1-11)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14$.

(A) दिया गया है $|A| = \begin{vmatrix} \lambda & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -1$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $\lambda(10 - (-6)) - 2(8 - 42) + 3(-4 - 35) = -1$.
$16\lambda - 2(-34) + 3(-39) = -1 \Rightarrow 16\lambda + 68 - 117 = -1 \Rightarrow 16\lambda = 48 \Rightarrow \lambda = 3$.
हमें $B^{-1} = \operatorname{adj}(A \cdot \operatorname{adj}(A^2))$ दिया गया है।
मान लीजिए $C = A \cdot \operatorname{adj}(A^2)$.
चूंकि $A \cdot \operatorname{adj}(A) = |A|I$,हमारे पास $A^2 \cdot \operatorname{adj}(A^2) = |A^2|I = |A|^2 I = (-1)^2 I = I$ है।
अतः,$C = A^{-1}$.
तब $B^{-1} = \operatorname{adj}(A^{-1})$.
गुणधर्म $\operatorname{adj}(A^{-1}) = (A^{-1})^{-1} / |A^{-1}| = A / (1/|A|) = |A|A$ का उपयोग करने पर।
चूंकि $|A| = -1$,$B^{-1} = -A$,इसलिए $B = -A^{-1}$.
हमें $|\lambda B + I| = |3B + I| = |-3A^{-1} + I|$ ज्ञात करना है।
$|-3A^{-1} + I| = |A^{-1}(-3I + A)| = |A^{-1}| \cdot |A - 3I| = \frac{1}{|A|} |A - 3I| = -|A - 3I|$.
$A - 3I = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & -1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 6 \\ 7 & -1 & -1 \end{bmatrix}$.
$|A - 3I| = 0(2 + 6) - 2(-4 - 42) + 3(-4 - 14) = 0 - 2(-46) + 3(-18) = 92 - 54 = 38$.
अतः,$|3B + I| = -38$.
विकल्पों के संदर्भ में मापांक लेने पर,उत्तर $38$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{d} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{d}$,अतः $(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) \times \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$ है।
इसका अर्थ है कि $\overrightarrow{d} = \lambda(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c})$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए है।
$\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} = (3-2)\hat{i} + (-3 - (-1))\hat{j} + (3-2)\hat{k} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ की गणना करने पर।
अतः,$\overrightarrow{d} = \lambda(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$ है।
दिया गया है कि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d} = 4$,अतः $(\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \cdot \lambda(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = 4$ है।
$\lambda(1 - 4 + 1) = 4 \Rightarrow -2\lambda = 4 \Rightarrow \lambda = -2$ है।
इस प्रकार,$\overrightarrow{d} = -2(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = -2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
अब,$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 - 4) - \hat{j}(-2 - (-2)) + \hat{k}(4 - (-4)) = -8\hat{i} + 8\hat{k}$ है।
अतः $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{d}|^2 = (-8)^2 + 0^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{2x+3}{5x+2}$ और $g(x) = \frac{2-3x}{1-x}$।
हमें $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ ज्ञात करना है।
$(f \circ g)(x) = f\left(\frac{2-3x}{1-x}\right) = \frac{2\left(\frac{2-3x}{1-x}\right)+3}{5\left(\frac{2-3x}{1-x}\right)+2}$
अंश और हर को $(1-x)$ से गुणा करने पर:
$(f \circ g)(x) = \frac{2(2-3x) + 3(1-x)}{5(2-3x) + 2(1-x)} = \frac{4-6x+3-3x}{10-15x+2-2x} = \frac{7-9x}{12-17x}$.
अब,अंतराल $[2, 4]$ के अंत बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$(f \circ g)(2) = \frac{7-9(2)}{12-17(2)} = \frac{7-18}{12-34} = \frac{-11}{-22} = \frac{1}{2}$.
$(f \circ g)(4) = \frac{7-9(4)}{12-17(4)} = \frac{7-36}{12-68} = \frac{-29}{-56} = \frac{29}{56}$.
चूंकि फलन अंतराल $[2, 4]$ में एकदिष्ट (monotonic) है,इसलिए परिसर $[\alpha, \beta] = [\frac{1}{2}, \frac{29}{56}]$ होगा।
यहाँ,$\alpha = \frac{1}{2}$ और $\beta = \frac{29}{56}$.
अतः $\beta - \alpha = \frac{29}{56} - \frac{1}{2} = \frac{29-28}{56} = \frac{1}{56}$.
इसलिए,$\frac{1}{\beta-\alpha} = 56$.

(C) दिए गए समुच्चय हैं:
$A: x^2 + y^2 = 25$
$B: x^2 + 9y^2 = 144$
$C: \{(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} : x^2 + y^2 \leq 4\}$
$D = A \cap B$ ज्ञात करने के लिए,हम $A$ और $B$ के समीकरणों को हल करते हैं:
$x^2 = 25 - y^2$
$B$ में प्रतिस्थापित करने पर: $(25 - y^2) + 9y^2 = 144$
$8y^2 = 119 \Rightarrow y^2 = \frac{119}{8} \Rightarrow y = \pm \sqrt{\frac{119}{8}}$
$x^2 = 25 - \frac{119}{8} = \frac{200 - 119}{8} = \frac{81}{8} \Rightarrow x = \pm \frac{9}{2\sqrt{2}}$
अतः,$D$ में $4$ बिंदु हैं: $\left(\pm \frac{9}{2\sqrt{2}}, \pm \sqrt{\frac{119}{8}}\right)$। इसलिए,$|D| = 4$।
अब,$C$ के अवयव ज्ञात करें जहाँ $x, y \in \mathbb{Z}$ और $x^2 + y^2 \leq 4$:
संभावित पूर्णांक युग्म $(x, y)$ हैं:
$(0, 0), (0, 1), (0, -1), (0, 2), (0, -2), (1, 0), (-1, 0), (2, 0), (-2, 0), (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)$।
इनकी गणना करने पर,हमें $|C| = 13$ प्राप्त होता है।
$D$ से $C$ तक एकैकी फलनों की संख्या $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = |C| = 13$ और $r = |D| = 4$।
फलनों की कुल संख्या $= 13 \times 12 \times 11 \times 10 = 17160$।

(B) रेखाएँ $L_1: \frac{x-3}{3}=\frac{y-\alpha}{-1}=\frac{z-3}{1}$ और $L_2: \frac{x+3}{-3}=\frac{y+7}{2}=\frac{z-\beta}{4}$ हैं।
रेखाओं पर स्थित बिंदु $A(3, \alpha, 3)$ और $B(-3, -7, \beta)$ हैं।
दिशा सदिश $\vec{p} = (3, -1, 1)$ और $\vec{q} = (-3, 2, 4)$ हैं।
सदिश $\vec{BA} = (3 - (-3))\hat{i} + (\alpha - (-7))\hat{j} + (3 - \beta)\hat{k} = 6\hat{i} + (\alpha+7)\hat{j} + (3-\beta)\hat{k}$ है।
क्रॉस गुणनफल $\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{p} \times \vec{q}| = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|\vec{BA} \cdot (\vec{p} \times \vec{q})|}{|\vec{p} \times \vec{q}|} = 3\sqrt{30}$ है।
$|6(-6) + (\alpha+7)(-15) + (3-\beta)(3)| = 270$ है।
$|-36 - 15\alpha - 105 + 9 - 3\beta| = 270$ है।
$|-15\alpha - 3\beta - 132| = 270$ है।
धनात्मक मान के लिए,$15\alpha + 3\beta + 132 = 270$ लेने पर,$15\alpha + 3\beta = 138$ अर्थात $5\alpha + \beta = 46$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $f(x) = 1 - 2x + e^x \int_0^x e^{-t} f(t) dt$।
लाइबनीज नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$f'(x) = -2 + e^x \int_0^x e^{-t} f(t) dt + e^x (e^{-x} f(x)) = -2 + (f(x) - (1 - 2x)) + f(x) = 2f(x) + 2x - 3$।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} - 2y = 2x - 3$।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -2 dx} = e^{-2x}$ है।
$IF$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx}(y e^{-2x}) = (2x - 3) e^{-2x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $y e^{-2x} = \int (2x - 3) e^{-2x} dx = (2x - 3) \frac{e^{-2x}}{-2} - \int 2 \cdot \frac{e^{-2x}}{-2} dx = -\frac{2x-3}{2} e^{-2x} - \frac{1}{2} e^{-2x} + C$।
$y = -\frac{2x-3}{2} - \frac{1}{2} + C e^{2x} = -x + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} + C e^{2x} = -x + 1 + C e^{2x}$।
चूंकि $f(0) = 1 - 0 + 0 = 1$,हमारे पास $1 = -0 + 1 + C e^0 \Rightarrow C = 0$ है।
अतः,$f(x) = 1 - x$।
$y = 1 - x$ और निर्देशांक अक्षों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष $(0,0), (1,0), (0,1)$ हैं।
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$।

(B) रेखा $L$ पर कोई बिंदु $Q(3\lambda+6, 2\lambda+7, -2\lambda+7)$ है।
बिंदु $P(1, 2, 3)$ के लिए,सदिश $\overrightarrow{PQ} = (3\lambda+5, 2\lambda+5, -2\lambda+4)$ है।
रेखा $L$ की दिशा $\vec{b} = (3, 2, -2)$ है। लंब होने के कारण,$\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{b} = 0$ है।
$3(3\lambda+5) + 2(2\lambda+5) - 2(-2\lambda+4) = 0$ $\Rightarrow 17\lambda + 17 = 0$ $\Rightarrow \lambda = -1$.
अतः,लंब का पाद $Q(3, 5, 9)$ है।
बिंदु $A$ और $B$,$Q$ से $2\sqrt{17}$ की दूरी पर हैं। रेखा की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{1}{\sqrt{17}}(3, 2, -2)$ है।
$A, B = Q \pm 2\sqrt{17}\hat{u} = (3, 5, 9) \pm 2(3, 2, -2)$.
अतः $A(9, 9, 5)$ और $B(-3, 1, 13)$ प्राप्त होते हैं।
$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = (9)(-3) + (9)(1) + (5)(13) = -27 + 9 + 65 = 47$.

(B) दिया गया है $f(2x) - f(x) = x$। $x$ को $\frac{x}{2}, \frac{x}{4}, \dots, \frac{x}{2^n}$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) - f(\frac{x}{2}) = \frac{x}{2}$
$f(\frac{x}{2}) - f(\frac{x}{4}) = \frac{x}{4}$
$f(\frac{x}{4}) - f(\frac{x}{8}) = \frac{x}{8}$
$f(\frac{x}{2^{n-1}}) - f(\frac{x}{2^n}) = \frac{x}{2^n}$
इन समीकरणों को जोड़ने पर:
$f(x) - f(\frac{x}{2^n}) = \sum_{k=1}^{n} \frac{x}{2^k} = x(1 - (\frac{1}{2})^n)$।
$n \rightarrow \infty$ पर सीमा लेने पर:
$G(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} (f(x) - f(\frac{x}{2^n})) = x$।
अतः,$\sum_{r=1}^{10} G(r^2) = \sum_{r=1}^{10} r^2 = 385$।

(B) माना $y = \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x+\frac{1}{2} \sqrt{1-x^2}\right)$.
दिया है $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$,माना $x = \sin \theta$. अतः $\theta = \sin ^{-1} x$.
चूँकि $-\frac{1}{2} < \sin \theta < \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $-\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
$x = \sin \theta$ को व्यंजक में रखने पर:
$y = \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta\right)$
$y = \sin ^{-1}\left(\sin \theta \cos \frac{\pi}{6} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{6}\right)$
$y = \sin ^{-1}\left(\sin \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)\right)$.
चूँकि $-\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 < \theta + \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{12}$ प्राप्त होता है।
$\sin ^{-1}$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है और $0 < \theta + \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{12}$ इस परिसर के भीतर है,इसलिए $\sin ^{-1}(\sin(\theta + \frac{\pi}{6})) = \theta + \frac{\pi}{6}$ होगा।
अतः,$y = \sin ^{-1} x + \frac{\pi}{6}$।

(B) दिया गया है $\overrightarrow{u} = 3\hat{i} - \hat{j}$ और $\overrightarrow{v} = 2\hat{i} + \hat{j} - \lambda\hat{k}$.
$\overrightarrow{u}$ और $\overrightarrow{v}$ के बीच का कोण $\theta$ है,$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|}$.
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (3)(2) + (-1)(1) + (0)(-\lambda) = 6 - 1 = 5$.
$|\overrightarrow{u}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$.
$|\overrightarrow{v}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-\lambda)^2} = \sqrt{5 + \lambda^2}$.
दिया गया है $\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{7}}$,इसलिए $\frac{5}{\sqrt{10} \sqrt{5 + \lambda^2}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{7}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{25}{10(5 + \lambda^2)} = \frac{5}{4 \times 7} = \frac{5}{28}$.
$\frac{5}{2(5 + \lambda^2)} = \frac{5}{28} \Rightarrow 5 + \lambda^2 = 14 \Rightarrow \lambda^2 = 9 \Rightarrow \lambda = 3$ (चूंकि $\lambda > 0$).
अब,$\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$,जहाँ $\vec{v}_1 \parallel \overrightarrow{u}$ और $\vec{v}_2 \perp \overrightarrow{u}$.
चूंकि $\vec{v}_1$ और $\vec{v}_2$ लंबवत हैं,इसलिए $|\vec{v}|^2 = |\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2$.
$|\vec{v}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-3)^2 = 4 + 1 + 9 = 14$.
अतः,$|\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2 = 14$.

(D) माना $I = \int_{-1}^1 \frac{(1+\sqrt{|x|-x}) e^x+(\sqrt{|x|-x}) e^{-x}}{e^x+e^{-x}} dx$.
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,$x$ को $-x$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{-1}^1 \frac{(1+\sqrt{|-x|-(-x)}) e^{-x}+(\sqrt{|-x|-(-x)}) e^{-(-x)}}{e^{-x}+e^{-(-x)}} dx$
$I = \int_{-1}^1 \frac{(1+\sqrt{|x|+x}) e^{-x}+(\sqrt{|x|+x}) e^x}{e^{-x}+e^x} dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-1}^1 \frac{(1+\sqrt{|x|-x}) e^x + (\sqrt{|x|-x}) e^{-x} + (1+\sqrt{|x|+x}) e^{-x} + (\sqrt{|x|+x}) e^x}{e^x+e^{-x}} dx$
$2I = \int_{-1}^1 \frac{(1+\sqrt{|x|-x}+\sqrt{|x|+x})(e^x+e^{-x})}{e^x+e^{-x}} dx$
$2I = \int_{-1}^1 (1+\sqrt{|x|-x}+\sqrt{|x|+x}) dx$.
चूंकि फलन सम है,$2I = 2 \int_0^1 (1+\sqrt{x-x}+\sqrt{x+x}) dx = 2 \int_0^1 (1+0+\sqrt{2x}) dx$.
$I = \int_0^1 (1+\sqrt{2}x^{1/2}) dx = [x + \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} x^{3/2}]_0^1$
$I = 1 + \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

(B) $10$ में से $2$ पेन चुनने के कुल तरीके $^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ हैं।
यादृच्छिक चर $X$ के मान $0, 1, 2$ हो सकते हैं।
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$X$	$0$	$1$	$2$
$P(X)$	$\frac{^7C_2}{45} = \frac{21}{45}$	$\frac{^7C_1 \times ^3C_1}{45} = \frac{21}{45}$	$\frac{^3C_2}{45} = \frac{3}{45}$

माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{21}{45} + 1 \times \frac{21}{45} + 2 \times \frac{3}{45} = \frac{21+6}{45} = \frac{27}{45} = \frac{3}{5}$।
अपेक्षा $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{21}{45} + 1^2 \times \frac{21}{45} + 2^2 \times \frac{3}{45} = \frac{21+12}{45} = \frac{33}{45} = \frac{11}{15}$।
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{11}{15} - (\frac{3}{5})^2 = \frac{11}{15} - \frac{9}{25} = \frac{55-27}{75} = \frac{28}{75}$।

(A) यह क्षेत्र $y = 4\sqrt{x}$ और $y = |x-5|$ द्वारा घिरा हुआ है।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$x \geq 5$ के लिए,$4\sqrt{x} = x-5 \Rightarrow 16x = x^2 - 10x + 25 \Rightarrow x^2 - 26x + 25 = 0 \Rightarrow (x-25)(x-1) = 0$. चूँकि $x \geq 5$,इसलिए $x = 25$. $x=25$ पर,$y=20$.
$x < 5$ के लिए,$4\sqrt{x} = 5-x \Rightarrow 16x = x^2 - 10x + 25 \Rightarrow x^2 - 26x + 25 = 0$. चूँकि $x < 5$,इसलिए $x = 1$. $x=1$ पर,$y=4$.
क्षेत्रफल $A = \int_1^{25} 4\sqrt{x} \, dx - x=1$ और $x=25$ के बीच $y=|x-5|$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल।
$y=|x-5|$ के नीचे का क्षेत्रफल दो त्रिभुजों से बना है: एक शीर्ष $(1,4), (5,0), (1,0)$ के साथ और दूसरा $(5,0), (25,20), (25,0)$ के साथ।
पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (5-1) \times 4 = 8$.
दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (25-5) \times 20 = 200$.
$A = \int_1^{25} 4x^{1/2} \, dx - (8 + 200) = \left[ \frac{4x^{3/2}}{3/2} \right]_1^{25} - 208 = \frac{8}{3}(125 - 1) - 208 = \frac{8}{3}(124) - 208 = \frac{992 - 624}{3} = \frac{368}{3}$.
अतः,$3A = 368$.

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & -\sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{bmatrix}$।
चूंकि $A$ एक लंबकोणीय आव्यूह है,$A^T A = I$,जिसका अर्थ है $A^T = A^{-1}$।
दिया गया है $A^2 = A^T$,इसलिए $A^2 = A^{-1}$।
दोनों पक्षों को $A$ से गुणा करने पर,हमें $A^3 = I$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $B = (A + I)^3 + (A - I)^3 - 6A$ पर विचार करें।
घनों का विस्तार करने पर:
$(A + I)^3 = A^3 + 3A^2 + 3A + I$।
$(A - I)^3 = A^3 - 3A^2 + 3A - I$।
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$(A + I)^3 + (A - I)^3 = (A^3 + 3A^2 + 3A + I) + (A^3 - 3A^2 + 3A - I) = 2A^3 + 6A$।
इसे $B$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$B = (2A^3 + 6A) - 6A = 2A^3$।
चूंकि $A^3 = I$,इसलिए $B = 2I = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$।
$B$ के विकर्ण तत्वों का योग (ट्रेस) $2 + 2 + 2 = 6$ है।

(A) फलन को $f(x) = \max \{x, x^3, x^5, \dots, x^{21}\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$x \in (-1, 1)$ के लिए,अधिकतम मान $x$ है यदि $x > 0$ और $x^{21}$ है यदि $x < 0$।
$|x| > 1$ के लिए,अधिकतम मान $x$ है यदि $x > 1$ और $x^{21}$ है यदि $x < -1$।
इस प्रकार,फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$f(x) = \begin{cases} x^{21}, & x < -1 \\ x, & -1 \leq x < 0 \\ x^{21}, & 0 \leq x < 1 \\ x, & x \geq 1 \end{cases}$
सांतत्य की जाँच:
$x = -1$ पर: $\lim_{x \to -1^-} f(x) = (-1)^{21} = -1$ और $\lim_{x \to -1^+} f(x) = -1$। अतः,$f(x)$ बिंदु $x = -1$ पर सतत है।
$x = 0$ पर: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$ और $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0^{21} = 0$। अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है।
$x = 1$ पर: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^{21} = 1$ और $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$। अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 1$ पर सतत है।
चूँकि $f(x)$ हर जगह सतत है,इसलिए $n = 0$ है।
अवकलनीयता की जाँच:
$f'(x) = \begin{cases} 21x^{20}, & x < -1 \\ 1, & -1 < x < 0 \\ 21x^{20}, & 0 < x < 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases}$
$x = -1$ पर: $f'(-1^-) = 21(-1)^{20} = 21$ और $f'(-1^+) = 1$। चूँकि $21 \neq 1$,यह अवकलनीय नहीं है।
$x = 0$ पर: $f'(0^-) = 1$ और $f'(0^+) = 21(0)^{20} = 0$। चूँकि $1 \neq 0$,यह अवकलनीय नहीं है।
$x = 1$ पर: $f'(1^-) = 21(1)^{20} = 21$ और $f'(1^+) = 1$। चूँकि $21 \neq 1$,यह अवकलनीय नहीं है।
इस प्रकार,$m = 3$ है।
अतः,$m + n = 3 + 0 = 3$।

(B) दिया गया है $f(x) = 6x^3 - 45ax^2 + 108a^2x + 1$।
स्थानीय उच्चतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = 18x^2 - 90ax + 108a^2$।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$18(x^2 - 5ax + 6a^2) = 0$
$18(x - 2a)(x - 3a) = 0$।
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 2a$ और $x = 3a$ हैं।
चूंकि $f''(x) = 36x - 90a$,हम बिंदुओं की प्रकृति की जाँच करते हैं:
$f''(2a) = 36(2a) - 90a = -18a < 0$ ($x_1 = 2a$ पर स्थानीय उच्चतम)।
$f''(3a) = 36(3a) - 90a = 18a > 0$ ($x_2 = 3a$ पर स्थानीय न्यूनतम)।
दिया गया है $x_1x_2 = 54$,इसलिए $(2a)(3a) = 54$,जिसका अर्थ है $6a^2 = 54$,जिससे $a^2 = 9$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = 3$ है।
अतः $x_1 = 2(3) = 6$ और $x_2 = 3(3) = 9$।
अंत में,$a + x_1 + x_2 = 3 + 6 + 9 = 18$।

(A) दिया गया है $\lim_{x \rightarrow 0} (f(2+x))^{3/x} = e^\alpha$। यह $1^\infty$ रूप है।
सूत्र $\lim_{x \rightarrow 0} (f(x))^{g(x)} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} (f(x)-1)g(x)}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$e^{\lim_{x \rightarrow 0} (f(2+x)-1) \cdot \frac{3}{x}} = e^{3 f'(2)} = e^{3 \cdot 4} = e^{12}$।
अतः,$\alpha = 12$।
अब,वक्र समीकरण में $\alpha = 12$ रखने पर:
$y = 4x^3 - 4x^2 - 4(12-7)x - 12 = 4x^3 - 4x^2 - 20x - 12$।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें:
$4(x^3 - x^2 - 5x - 3) = 0$।
मूलों की जाँच करने पर,$x = -1$ एक मूल है: $(-1)^3 - (-1)^2 - 5(-1) - 3 = -1 - 1 + 5 - 3 = 0$।
$(x+1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x+1)(x^2 - 2x - 3) = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $(x+1)^2(x-3) = 0$ हैं।
मूल $x = -1$ (पुनरावृत्ति) और $x = 3$ हैं।
अतः,वक्र $x$-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है।

(B) संबंध $R$,$A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ पर $2x - y \in \{0, 1\}$ द्वारा परिभाषित है।
स्थिति $1$: $2x - y = 0 \implies y = 2x$.
$x = -1$ के लिए $y = -2$; $x = 0$ के लिए $y = 0$; $x = 1$ के लिए $y = 2$.
युग्म: $(-1, -2), (0, 0), (1, 2)$.
स्थिति $2$: $2x - y = 1 \implies y = 2x - 1$.
$x = -1$ के लिए $y = -3$; $x = 0$ के लिए $y = -1$; $x = 1$ के लिए $y = 1$; $x = 2$ के लिए $y = 3$.
युग्म: $(-1, -3), (0, -1), (1, 1), (2, 3)$.
अतः,$R = \{(-1, -2), (0, 0), (1, 2), (-1, -3), (0, -1), (1, 1), (2, 3)\}$.
तत्वों की संख्या $l = 7$.
$R$ को स्वतुल्य बनाने के लिए,सभी $x \in A$ के लिए $(x, x) \in R$ होना चाहिए। वर्तमान में,केवल $(0, 0)$ और $(1, 1)$ मौजूद हैं। हमें $(-3, -3), (-2, -2), (-1, -1), (2, 2), (3, 3)$ जोड़ने की आवश्यकता है। इसलिए,$m = 5$.
$R$ को सममित बनाने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $(y, x)$ भी $R$ में होना चाहिए। तत्व $(-1, -2), (1, 2), (-1, -3), (0, -1), (2, 3)$ हैं। इनके व्युत्क्रम $(-2, -1), (2, 1), (-3, -1), (-1, 0), (3, 2)$ हैं। इनमें से कोई भी $R$ में नहीं है। इसलिए,हमें $5$ तत्व जोड़ने की आवश्यकता है। इसलिए,$n = 5$.
अतः,$l + m + n = 7 + 5 + 5 = 17$.

(C) दो रेखाओं $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{a_1} + \lambda \overrightarrow{p}$ और $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{a_2} + \mu \overrightarrow{q}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\overrightarrow{a_2} - \overrightarrow{a_1}) \cdot (\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q})|}{|\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\overrightarrow{a_1} = -\hat{i}$,$\overrightarrow{p} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$,$\overrightarrow{a_2} = p\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$,और $\overrightarrow{q} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
$\overrightarrow{a_2} - \overrightarrow{a_1} = (p+1)\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(16-15) - \hat{j}(12-10) + \hat{k}(9-8) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
$|\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|((p+1)\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})|}{\sqrt{6}} = \frac{|p+1 - 4 + 1|}{\sqrt{6}} = \frac{|p-2|}{\sqrt{6}}$.
दिया है कि $d = \frac{1}{\sqrt{6}}$,इसलिए $|p-2| = 1$,जिसका अर्थ है $p-2 = 1$ या $p-2 = -1$.
अतः,$p = 3$ या $p = 1$. चूँकि $a < b$,इसलिए $a = 1$ और $b = 3$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{1^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$ है। यहाँ $a^2 = 1$ और $b^2 = 9$ है,इसलिए $b > a$.
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए जहाँ $b > a$ हो,नाभिलंब की लंबाई $\frac{2a^2}{b} = \frac{2(1)}{3} = \frac{2}{3}$ होती है।

(A) $f(x)$ के लिए,$\log_3 \log_7(8 - \log_2(x^2 + 4x + 5)) > 0$ आवश्यक है।
इसका अर्थ है $\log_7(8 - \log_2(x^2 + 4x + 5)) > 1$,अतः $8 - \log_2(x^2 + 4x + 5) > 7$।
अतः,$\log_2(x^2 + 4x + 5) < 1$,जिसका अर्थ है $x^2 + 4x + 5 < 2$,या $x^2 + 4x + 3 < 0$।
गुणनखंड करने पर $(x + 3)(x + 1) < 0$,अतः $x \in (-3, -1)$। इस प्रकार,$\alpha = -3$ और $\beta = -1$।
$g(x)$ के लिए,$-1 \leq \frac{7x + 10}{x - 2} \leq 1$ आवश्यक है।
$\frac{7x + 10}{x - 2} \leq 1$ को हल करने पर $x \in [-2, 2)$ प्राप्त होता है।
$\frac{7x + 10}{x - 2} \geq -1$ को हल करने पर $x \in (-\infty, -1] \cup (2, \infty)$ प्राप्त होता है।
दोनों का सर्वनिष्ठ $x \in [-2, -1]$ है। इस प्रकार,$\gamma = -2$ और $\delta = -1$।
अंत में,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + \delta^2 = (-3)^2 + (-1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 + 4 + 1 = 15$।