JEE Main 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) द्विघात समीकरण $x^2-(p+2)x+(2p+9)=0$ के मूल ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना आवश्यक है:
$1$. विविक्तकर $D \geq 0$:
$D = (p+2)^2 - 4(2p+9) \geq 0$
$p^2 + 4p + 4 - 8p - 36 \geq 0$
$p^2 - 4p - 32 \geq 0$
$(p-8)(p+4) \geq 0$
इसका अर्थ है $p \in (-\infty, -4] \cup [8, \infty)$.
$2$. मूलों का योग ऋणात्मक होना चाहिए:
योग $= -\frac{b}{a} = p+2 < 0 \implies p < -2$.
$3$. मूलों का गुणनफल धनात्मक होना चाहिए:
गुणनफल $= \frac{c}{a} = 2p+9 > 0 \implies p > -\frac{9}{2}$.
इन शर्तों को मिलाने पर: $p \in (-\frac{9}{2}, -4]$.
अतः,$\alpha = -\frac{9}{2}$ और $\beta = -4$.
हमें $\beta - 2\alpha = -4 - 2(-\frac{9}{2}) = -4 + 9 = 5$ प्राप्त होता है।

(D) $1$. $3y-x=2$ और $x+y=2$ को हल करने पर शीर्ष $A$ के निर्देशांक $(1, 1)$ प्राप्त होते हैं।
$2$. चूँकि $B$ और $C$ $x$-अक्ष पर हैं $(y=0)$,समीकरणों में $y=0$ रखने पर $B = (-2, 0)$ और $C = (2, 0)$ प्राप्त होते हैं।
$3$. $A$ से $BC$ पर डाला गया लंब $x=1$ है।
$4$. $B$ से $AC$ पर डाला गया लंब $y=x+2$ है।
$5$. लंबकेंद्र $P$,$x=1$ और $y=x+2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो $(1, 3)$ है।
$6$. $\triangle PBC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$.

(C) मान लीजिए नाभियाँ $F_1(-ae, 0)$ और $F_2(ae, 0)$ हैं। दिया गया है $F_1 = P(-3, 0)$,इसलिए $ae = 3$.
नाभिलंब $F_2(ae, 0)$ से गुजरता है और इसके अंतिम बिंदु $L_1(ae, b^2/a)$ और $L_2(ae, -b^2/a)$ हैं।
कोण $\angle L_1 P L_2 = 90^\circ$ है। चूँकि त्रिभुज $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए कोण $\angle L_1 P F_2 = 45^\circ$ है।
$\triangle L_1 P F_2$ में,$\tan 45^\circ = \frac{L_1 F_2}{P F_2} = \frac{b^2/a}{2ae} = 1$.
अतः,$b^2 = 2a(ae) = 2a(3) = 6a$.
अतिपरवलय के गुण $b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2e^2 - a^2$ का उपयोग करते हुए,हमें $6a = 9 - a^2$ मिलता है,इसलिए $a^2 + 6a - 9 = 0$.
$a$ के लिए हल करने पर,$a = -3 \pm 3\sqrt{2}$। चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 3\sqrt{2} - 3$.
तब $a^2 = 27 - 18\sqrt{2}$ और $b^2 = 18\sqrt{2} - 18$.
$a^2b^2 = (27 - 18\sqrt{2})(18\sqrt{2} - 18) = 810\sqrt{2} - 1134$.
$\alpha\sqrt{2} - \beta$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = 810$ और $\beta = 1134$.
इसलिए,$\alpha + \beta = 810 + 1134 = 1944$.

(A) $\{1, 2, \ldots, n\}$ के $r$ अवयवों वाले उन उपसमुच्चयों की संख्या जिनमें कोई भी दो अवयव क्रमागत न हों,सूत्र $\binom{n-r+1}{r}$ द्वारा दी जाती है।
$n=5$ के लिए,प्रत्येक संभावित आकार $r$ के लिए ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या इस प्रकार है:
- $r=0$ (रिक्त समुच्चय) के लिए: $\binom{5-0+1}{0} = \binom{6}{0} = 1$.
- $r=1$ के लिए: $\binom{5-1+1}{1} = \binom{5}{1} = 5$.
- $r=2$ के लिए: $\binom{5-2+1}{2} = \binom{4}{2} = 6$.
- $r=3$ के लिए: $\binom{5-3+1}{3} = \binom{3}{3} = 1$.
उपसमुच्चयों की कुल संख्या $n(S_5) = 1 + 5 + 6 + 1 = 13$।

(A) माना रेखाएँ $L_1: y = x + 1$,$L_2: y = 4x - 8$,और $L_3: y = mx + c$ हैं। लंबकेंद्र $H(3, -1)$ है।
सबसे पहले,$L_1$ और $L_2$ को हल करके शीर्ष $P$ ज्ञात करें: $x + 1 = 4x - 8$ $\Rightarrow 3x = 9$ $\Rightarrow x = 3$. अतः $y = 4$. यानी $P = (3, 4)$.
$P$ से $QR$ पर डाला गया लंब $H(3, -1)$ से होकर गुजरता है। $P$ और $H$ दोनों का $x$-निर्देशांक $3$ है,इसलिए लंब ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 3$ है। अतः,$QR$ एक क्षैतिज रेखा होनी चाहिए,जिसका अर्थ है $m = 0$.
रेखा $QR$,$y = c$ है। चूँकि $H(3, -1)$ लंबकेंद्र है,रेखा $QH$,$PR$ के लंबवत है। $PR$ (रेखा $L_2$) की ढाल $4$ है,इसलिए $QH$ की ढाल $-1/4$ होगी।
रेखा $QH$,$H(3, -1)$ और $Q$ से होकर गुजरती है। $Q$,$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $y = x + 1$ और $y = c \Rightarrow x = c - 1$. अतः $Q = (c - 1, c)$.
$QH$ की ढाल $= \frac{c - (-1)}{(c - 1) - 3} = \frac{c + 1}{c - 4} = -\frac{1}{4}$.
$4c + 4 = -c + 4$ $\Rightarrow 5c = 0$ $\Rightarrow c = 0$.
अतः,$m - c = 0 - 0 = 0$.

(A) समुच्चय $A$ के लिए,हमारे पास $|\alpha-1| \leq 4$ और $|\beta-5| \leq 6$ है।
इसका अर्थ है $-4 \leq \alpha-1 \leq 4$,इसलिए $-3 \leq \alpha \leq 5$ है।
और $-6 \leq \beta-5 \leq 6$,इसलिए $-1 \leq \beta \leq 11$ है।
अतः,$A$ एक आयताकार क्षेत्र को दर्शाता है जो $\alpha \in [-3, 5]$ और $\beta \in [-1, 11]$ द्वारा परिभाषित है।
समुच्चय $B$ के लिए,हमारे पास $16(\alpha-2)^2+9(\beta-6)^2 \leq 144$ है।
$144$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{(\alpha-2)^2}{9} + \frac{(\beta-6)^2}{16} \leq 1$ प्राप्त होता है।
यह $(2, 6)$ पर केंद्रित एक दीर्घवृत्त है,जिसका अर्ध-दीर्घ अक्ष $b=4$ ($\beta$ की दिशा में) और अर्ध-लघु अक्ष $a=3$ ($\alpha$ की दिशा में) है।
$B$ के लिए $\alpha$ का परिसर $[2-3, 2+3] = [-1, 5]$ है,जो $[-3, 5]$ में समाहित है।
$B$ के लिए $\beta$ का परिसर $[6-4, 6+4] = [2, 10]$ है,जो $[-1, 11]$ में समाहित है।
चूंकि संपूर्ण दीर्घवृत्तीय क्षेत्र $B$,आयताकार क्षेत्र $A$ के भीतर स्थित है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $B \subset A$।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2} + \cos \frac{5 \theta}{2} = 2 \cos^3 \frac{5 \theta}{2}$
सर्वसमिका $2 \cos^3 A - \cos A = \cos 3A$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2} = \cos \frac{15 \theta}{2}$
इस समीकरण का हल $\theta = \frac{n \pi}{3}$ और $\theta = \frac{2n \pi}{9}$ प्राप्त होता है।
अंतराल $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ में हल $\theta \in \{-\frac{4 \pi}{9}, -\frac{\pi}{3}, -\frac{2 \pi}{9}, 0, \frac{2 \pi}{9}, \frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{9}\}$ हैं।
कुल हलों की संख्या $7$ है।

(C) दिया है $a_6 = a + 5d = 7$ $(i)$
दिया है $S_7 = \frac{7}{2}(2a + 6d) = 7 \Rightarrow a + 3d = 1$ $(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $(a + 5d) - (a + 3d) = 7 - 1$ $\Rightarrow 2d = 6$ $\Rightarrow d = 3$.
$d = 3$ को $(ii)$ में रखने पर: $a + 3(3) = 1 \Rightarrow a = -8$.
दिया है $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = 700$.
$a = -8$ और $d = 3$ रखने पर: $\frac{n}{2}[2(-8) + (n-1)3] = 700$.
$\frac{n}{2}[-16 + 3n - 3] = 700$ $\Rightarrow n(3n - 19) = 1400$ $\Rightarrow 3n^2 - 19n - 1400 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(3n + 56)(n - 25) = 0$.
चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 25$.
अतः,$a_n = a_{25} = a + 24d = -8 + 24(3) = -8 + 72 = 64$.

(C) दिया गया है$\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{2z+i}\right)+\operatorname{Re}\left(\frac{\bar{z}-1}{2\bar{z}-i}\right)=2$
चूंकि $\operatorname{Re}(w)=\operatorname{Re}(\bar{w})$, हमारे पास
$\operatorname{Re}\left(\frac{\bar{z}-1}{2\bar{z}-i}\right)=\operatorname{Re}\left(\overline{\left(\frac{\bar{z}-1}{2\bar{z}-i}\right)}\right)=\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{2z+i}\right)$
अतः,$2\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{2z+i}\right)=2 \Rightarrow \operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{2z+i}\right)=1$
माना $z=x+iy$. तब
$\frac{z-1}{2z+i}=\frac{(x-1)+iy}{2x+i(2y+1)}=\frac{((x-1)+iy)(2x-i(2y+1))}{4x^2+(2y+1)^2}$
वास्तविक भाग:
$\frac{2x(x-1)+y(2y+1)}{4x^2+(2y+1)^2}=1$
$2x^2-2x+2y^2+y=4x^2+4y^2+4y+1$
$2x^2+2y^2+2x+3y+1=0$
$x^2+y^2+x+\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=0$
मानक समीकरण से तुलना करने पर,
केंद्र $(a,b)=\left(-\frac{1}{2},-\frac{3}{4}\right)$
त्रिज्या का वर्ग:
$r^2=\left(-\frac{1}{2}\right)^2+\left(-\frac{3}{4}\right)^2-\frac{1}{2}$
$=\frac{1}{4}+\frac{9}{16}-\frac{1}{2}$
$=\frac{5}{16}$
अतः, $\frac{15ab}{r^2}=15\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)\cdot\frac{16}{5}=18$

(B) दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 10$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = 5a$।
उत्केंद्रता $e$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(t) = t^2 + t + \frac{11}{12}$ का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं।
अवकलन करने पर,$f'(t) = 2t + 1 = 0$,इसलिए $t = -\frac{1}{2}$।
न्यूनतम मान $f(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + \frac{11}{12} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{11}{12} = \frac{3 - 6 + 11}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ है।
अतः,$e = \frac{2}{3}$,इसलिए $e^2 = \frac{4}{9}$।
दीर्घवृत्त के लिए,$e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,इसलिए $\frac{4}{9} = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,जो देता है $\frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$।
$b^2 = 5a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{5a}{a^2} = \frac{5}{9}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{5}{a} = \frac{5}{9}$,जिसका अर्थ है $a = 9$।
अतः $b^2 = 5(9) = 45$।
इसलिए,$a^2 + b^2 = 9^2 + 45 = 81 + 45 = 126$।

(D) बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या $p = {}^{n}C_{3}$ है।
बनाए जा सकने वाले चतुर्भुजों की संख्या $q = {}^{n}C_{4}$ है।
दिया गया है $p+q = 126$,इसलिए ${}^{n}C_{3} + {}^{n}C_{4} = 126$ है।
सर्वसमिका ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_{r}$ का उपयोग करने पर,हमें ${}^{n+1}C_{4} = 126$ प्राप्त होता है।
चूंकि ${}^{9}C_{4} = 126$,इसलिए $n+1 = 9$,जिसका अर्थ है $n = 8$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$ है।
यहाँ,$a^2 = 16$ और $b^2 = 8$ है। इसलिए उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{8}{16}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(C) हम समीकरण $x|x-2|+3|x-3|+1=0$ का तीन स्थितियों में विश्लेषण करते हैं:
स्थिति $(I): x < 2$
समीकरण $x(2-x) + 3(3-x) + 1 = 0$ हो जाता है
$-x^2 + 2x + 9 - 3x + 1 = 0$
$-x^2 - x + 10 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 10 = 0$
मूल $x = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}$ प्राप्त होते हैं।
यहाँ $x = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}$ स्थिति $x < 2$ को संतुष्ट करता है।
स्थिति $(II): 2 \leq x < 3$
समीकरण $x^2 - 5x + 10 = 0$ हो जाता है,जिसका विविक्तकर $D < 0$ है,अतः कोई वास्तविक मूल नहीं है।
स्थिति $(III): x \geq 3$
समीकरण $x^2 + x - 8 = 0$ हो जाता है,जिसके मूल $x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}$ हैं,जो $x \geq 3$ की स्थिति को संतुष्ट नहीं करते हैं।
अतः,कुल $1$ वास्तविक मूल है।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{25} = 1$ के लिए,चूंकि $b < 5$,मुख्य अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश है। अतः,$e_1^2 = 1 - \frac{b^2}{25}$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,$e_2^2 = 1 + \frac{b^2}{16}$ है।
दिया है $e_1 e_2 = 1$,इसलिए $e_1^2 e_2^2 = 1$ है।
$(1 - \frac{b^2}{25})(1 + \frac{b^2}{16}) = 1$ है।
$1 + \frac{b^2}{16} - \frac{b^2}{25} - \frac{b^4}{400} = 1$ है।
$\frac{9b^2}{400} = \frac{b^4}{400} \Rightarrow b^2 = 9$ है।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(0, \pm ae_1) = (0, \pm \sqrt{25-9}) = (0, \pm 4)$ हैं।
अतिपरवलय की नाभियाँ $(\pm ae_2, 0) = (\pm \sqrt{16+9}, 0) = (\pm 5, 0)$ हैं।
$(\pm 5, 0)$ और $(0, \pm 4)$ से गुजरने वाला दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ है।
इसकी उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ है।

(D) माना $G.P.$ $a, ar, ar^2, \dots$ है जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।
दिया है $ar + ar^3 + ar^5 = 21 \Rightarrow ar(1 + r^2 + r^4) = 21$ $(1)$.
दिया है $ar^7 + ar^9 + ar^{11} = 15309 \Rightarrow ar^7(1 + r^2 + r^4) = 15309$ $(2)$.
$(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर,$\frac{ar^7(1 + r^2 + r^4)}{ar(1 + r^2 + r^4)} = \frac{15309}{21}$.
$r^6 = 729$ $\Rightarrow r^6 = 3^6$ $\Rightarrow r = 3$ (चूंकि पद धनात्मक हैं)।
$r = 3$ को $(1)$ में रखने पर: $a(3)(1 + 9 + 81) = 21$ $\Rightarrow 3a(91) = 21$ $\Rightarrow a = \frac{21}{273} = \frac{1}{13}$.
पहले $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ है।
$n = 9$ के लिए,$S_9 = \frac{\frac{1}{13}(3^9 - 1)}{3 - 1} = \frac{19683 - 1}{13 \times 2} = \frac{19682}{26} = 757$.

(C) मान लीजिए $y = (t+2)^{\frac{1}{42}}$. जैसे $t \rightarrow -1^{+}$,$y \rightarrow 1^{+}$.
तब $(t+2)^{\frac{1}{7}} = y^6$,$(t+2)^{\frac{1}{6}} = y^7$,और $(t+2)^{\frac{1}{21}} = y^2$.
समीकरण $(y^6-1)x^2 + (y^7-1)x + (y^2-1) = 0$ बन जाता है।
$(y-1)$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{y^6-1}{y-1}x^2 + \frac{y^7-1}{y-1}x + \frac{y^2-1}{y-1} = 0$ प्राप्त होता है।
$y \rightarrow 1$ पर सीमा लेने पर,हमें $6x^2 + 7x + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
मूलों का योग $a+b = -\frac{7}{6}$.
अतः,$72(a+b)^2 = 72 \times \left(-\frac{7}{6}\right)^2 = 72 \times \frac{49}{36} = 2 \times 49 = 98$.

(D) दी गई नाभि $S = (-5, 0)$ और नियता $x = -9/5$ है। चूंकि नाभि $x$-अक्ष पर है,अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
$ae = 5$ और $\frac{a}{e} = \frac{9}{5}$.
इनका गुणा करने पर: $a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$.
तब $e = 5/3$. चूंकि $b^2 = a^2(e^2 - 1)$,$b^2 = 9(\frac{25}{9} - 1) = 16$,इसलिए $b = 4$.
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ है।
अतिपरवलय पर बिंदु $(\alpha, 2\sqrt{5})$ के लिए: $\frac{\alpha^2}{9} - \frac{20}{16} = 1$ $\Rightarrow \frac{\alpha^2}{9} = 1 + \frac{5}{4} = \frac{9}{4}$ $\Rightarrow \alpha^2 = \frac{81}{4}$.
बिंदु $P(x, y)$ की नाभीय दूरियाँ $r_1 = |ex - a|$ और $r_2 = |ex + a|$ हैं।
गुणनफल $p = |e^2x^2 - a^2| = |\frac{25}{9} \cdot \frac{81}{4} - 9| = |\frac{225}{4} - 9| = |\frac{225 - 36}{4}| = \frac{189}{4}$.
अतः,$4p = 4 \cdot \frac{189}{4} = 189$.

(A) माना सामान्य पद $T_r = (-1)^{r-4} (r-1)(r-2) {}^{20}C_r$ है,जहाँ $r = 4$ से $20$ तक है।
$(1-x)^{20} = \sum_{r=0}^{20} {}^{20}C_r (-x)^r$ के विस्तार पर विचार करें।
$x$ के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर:
$\frac{d^2}{dx^2} (1-x)^{20} = 380(1-x)^{18}$ प्राप्त होता है।
$x=1$ रखने पर,योग $0$ प्राप्त होता है।
अतः,श्रेणी का योग $34$ है।

(C) दिया गया है $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\ldots = \frac{\pi^4}{90}$.
$\beta = \frac{1}{2^4}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{6^4}+\ldots = \frac{1}{2^4} \left( \frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\ldots \right) = \frac{1}{16} \times \frac{\pi^4}{90}$.
$\alpha = \frac{1}{1^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{5^4}+\ldots = \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \right) - \beta = \frac{\pi^4}{90} - \frac{1}{16} \times \frac{\pi^4}{90} = \frac{15}{16} \times \frac{\pi^4}{90}$.
अतः,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\frac{15}{16} \times \frac{\pi^4}{90}}{\frac{1}{16} \times \frac{\pi^4}{90}} = 15$.

(B) $|x-2|^2+|x-2|-2=0$ समीकरण के लिए:
माना $t = |x-2|$,तब $t^2+t-2=0$.
$(t+2)(t-1)=0 \Rightarrow t=1$ (क्योंकि $t \geq 0$).
$|x-2|=1 \Rightarrow x-2=1$ या $x-2=-1$.
$x=3, 1$.
मूलों के वर्गों का योग $= 3^2+1^2 = 9+1 = 10$.
$x^2-2|x-3|-5=0$ समीकरण के लिए:
स्थिति-$I$: $x \geq 3$,तो $x^2-2(x-3)-5=0$ $\Rightarrow x^2-2x+1=0$ $\Rightarrow (x-1)^2=0$ $\Rightarrow x=1$.
चूंकि $1 < 3$,यह मान्य नहीं है।
स्थिति-$II$: $x < 3$,तो $x^2-2(-(x-3))-5=0$ $\Rightarrow x^2+2x-6-5=0$ $\Rightarrow x^2+2x-11=0$.
मूल $\alpha, \beta = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-11)}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{3}$.
दोनों मूल $3$ से छोटे हैं,इसलिए दोनों मान्य हैं।
मूलों के वर्गों का योग $= (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = (-2)^2 - 2(-11) = 4 + 22 = 26$.
कुल योग $= 10 + 26 = 36$.

(A) विकर्ण $OB$ की ढाल $m_1 = -\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = -\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = -(2+\sqrt{3}) = \tan(105^{\circ})$ है।
चूंकि विकर्ण $OB$,$\angle AOC = 90^{\circ}$ को समद्विभाजित करता है,इसलिए $OA$ द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\alpha = 105^{\circ} - 45^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
अतः,शीर्ष $A$ के निर्देशांक $(a \cos 60^{\circ}, a \sin 60^{\circ}) = (\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2})$ हैं।
शीर्ष $A$ दूसरे विकर्ण $(\sqrt{3}-1)x - (\sqrt{3}+1)y + 8\sqrt{3} = 0$ पर स्थित है।
$A$ के निर्देशांकों को समीकरण में रखने पर:
$(\sqrt{3}-1)(\frac{a}{2}) - (\sqrt{3}+1)(\frac{\sqrt{3}a}{2}) + 8\sqrt{3} = 0$
$a(\frac{\sqrt{3}-1 - 3 - \sqrt{3}}{2}) = -8\sqrt{3}$
$-2a = -8\sqrt{3} \implies a = 4\sqrt{3}$.
अतः,$a^2 = (4\sqrt{3})^2 = 48$.

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 11 = 0$ है। केंद्र $C$ $(1, 2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{1^2 + 2^2 - (-11)} = 4$ है।
दीर्घवृत्त $3x^2 + py^2 = 4$ बिंदु $(1, 2)$ से गुजरता है,इसलिए $3(1)^2 + p(2)^2 = 4$,जिससे $p = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4/3} + \frac{y^2}{16} = 1$ है।
यहाँ $a^2 = \frac{4}{3}$ और $b^2 = 16$ है। यह एक ऊर्ध्वाधर दीर्घवृत्त है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{4/3}{16}} = \sqrt{\frac{11}{12}}$ है।
नाभीय दूरियाँ $b \pm ey_0$ हैं,अर्थात $4 \pm \sqrt{\frac{11}{12}} \times 2$।
अतः $f_1 f_2 = 16 - \frac{11}{3} = \frac{37}{3}$।
अंत में,$6f_1f_2 - r = 6(\frac{37}{3}) - 4 = 70$।

(A) मान लीजिए प्रारंभिक रेखा $PQ$ है जिसकी ढाल $\tan \alpha$ है। घड़ी की दिशा में $\frac{\alpha}{2}$ कोण से घुमाने के बाद,नई रेखा $PR$ का झुकाव कोण $\alpha - \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2}$ होगा।
नई रेखा $PR$ की ढाल $2-\sqrt{3}$ दी गई है,इसलिए $\tan(\frac{\alpha}{2}) = 2-\sqrt{3} = \tan 15^{\circ}$ है।
अतः,$\frac{\alpha}{2} = 15^{\circ}$,जिसका अर्थ है $\alpha = 30^{\circ}$।
बिंदु $P(a, 0)$ से गुजरने वाली और $m = 2-\sqrt{3}$ ढाल वाली रेखा $PR$ का समीकरण $y - 0 = (2-\sqrt{3})(x - a)$ है,जिसे सरल करने पर $(2-\sqrt{3})x - y - a(2-\sqrt{3}) = 0$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $\frac{1}{\sqrt{2}}$ दी गई है।
दूरी सूत्र $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{|-a(2-\sqrt{3})|}{\sqrt{(2-\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
हर का सरलीकरण: $\sqrt{4 + 3 - 4\sqrt{3} + 1} = \sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$।
अतः,$|a| = \sqrt{3}+1$।
$a^2 = (\sqrt{3}+1)^2 = 4+2\sqrt{3}$।
अब,$3a^2 \tan^2 \alpha - 2\sqrt{3} = 3(4+2\sqrt{3}) \tan^2 30^{\circ} - 2\sqrt{3} = 3(4+2\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{3} - 2\sqrt{3} = 4+2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4$।

(D) $12$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{12}C_3$ हैं।
चूँकि $5$ बिंदु संरेख हैं,इसलिए उनसे चुने गए $3$ बिंदु त्रिभुज नहीं बनाते हैं।
इन $5$ संरेख बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $^{5}C_3$ हैं।
अतः,बनने वाले कुल त्रिभुजों की संख्या = $^{12}C_3 - ^{5}C_3$ है।
$^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$।
$^{5}C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$।
कुल त्रिभुज = $220 - 10 = 210$।

(A) दिया गया समीकरण $1 + 10 \operatorname{Re}\left(\frac{2 \cos \theta + i \sin \theta}{\cos \theta - 3i \sin \theta}\right) = 0$ है।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(\cos \theta + 3i \sin \theta)$ से गुणा करने पर:
$\frac{(2 \cos \theta + i \sin \theta)(\cos \theta + 3i \sin \theta)}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta} = \frac{2 \cos^2 \theta + 6i \cos \theta \sin \theta + i \sin \theta \cos \theta - 3 \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta} = \frac{(2 \cos^2 \theta - 3 \sin^2 \theta) + i(7 \sin \theta \cos \theta)}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta}$.
वास्तविक भाग $\frac{2 \cos^2 \theta - 3 \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta}$ है।
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर:
$1 + 10 \left(\frac{2 \cos^2 \theta - 3 \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta}\right) = 0$.
$\frac{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta + 20 \cos^2 \theta - 30 \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta} = 0$.
$21 \cos^2 \theta - 21 \sin^2 \theta = 0 \implies 21 \cos(2\theta) = 0$.
अतः, $\cos(2\theta) = 0$, जिसका अर्थ है $2\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$.
इसलिए, $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
अब $\sum \theta^2 = \left(\frac{\pi}{4}\right)^2 + \left(\frac{3\pi}{4}\right)^2 + \left(\frac{5\pi}{4}\right)^2 + \left(\frac{7\pi}{4}\right)^2 = \frac{\pi^2}{16}(1 + 9 + 25 + 49) = \frac{84 \pi^2}{16} = \frac{21 \pi^2}{4}$.

(D) विस्तार का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{1016}C_{r} (5^{\frac{1}{2}})^{1016-r} (7^{\frac{1}{8}})^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
पद को पूर्णांक होने के लिए,$5$ और $7$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
$7$ का घातांक $\frac{r}{8}$ है,इसलिए $r$ को $8$ का गुणज होना चाहिए।
$5$ का घातांक $\frac{1016-r}{2} = 508 - \frac{r}{2}$ है। इसे पूर्णांक होने के लिए,$r$ को सम संख्या होना चाहिए।
चूंकि $r$ को $8$ का गुणज होना चाहिए,इसलिए यह स्वतः ही सम है।
अतः,$r \in \{0, 8, 16, \dots, 1016\}$।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a = 0$,$d = 8$,और अंतिम पद $l = 1016$ है।
सूत्र $l = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर,$1016 = 0 + (n-1)8$ प्राप्त होता है।
$n-1 = \frac{1016}{8} = 127$।
$n = 128$।
इसलिए,कुल $128$ पूर्णांक पद हैं।

(D) For Statement $I$:
Using Taylor series expansions:
$\tan ^{-1} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots$
$\log _e \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} = \frac{1}{2} [\ln(1+x) - \ln(1-x)] = \frac{1}{2} [(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5}) - (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{5})] = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \dots$
Substituting these into the limit:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}) + (x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}) - 2x}{x^5} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x + \frac{2x^5}{5} - 2x}{x^5} = \frac{2}{5}$.
Thus,Statement $I$ is true.
For Statement $II$:
Let $L = \lim _{x \rightarrow 1} x^{\frac{2}{1-x}}$. This is a $1^\infty$ form.
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 1} (x-1) \cdot \frac{2}{1-x}} = e^{\lim _{x \rightarrow 1} -2} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$.
Thus,Statement $II$ is true.

(D) हमें $(1919)^{1919}$ के अंतिम दो अंक ज्ञात करने हैं।
यह $(1919)^{1919} \pmod{100}$ ज्ञात करने के बराबर है।
$(1919)^{1919} \equiv (19)^{1919} \pmod{100}$.
चूंकि $19^2 = 361 \equiv 61 \pmod{100}$,इसलिए $19^4 = (61)^2 = 3721 \equiv 21 \pmod{100}$.
$19^8 = (21)^2 = 441 \equiv 41 \pmod{100}$.
$19^{10} = 19^8 \times 19^2 = 41 \times 61 = 2501 \equiv 01 \pmod{100}$.
अतः,$(19)^{10} \equiv 1 \pmod{100}$.
अब,$19^{1919} = (19^{10})^{191} \times 19^9 \equiv 1^{191} \times 19^9 \pmod{100}$.
$19^9 = 19^8 \times 19 = 41 \times 19 = 779 \equiv 79 \pmod{100}$.
अंतिम दो अंक $79$ हैं।
अंतिम दो अंकों का गुणनफल $7 \times 9 = 63$ है।

(A) $x$-अक्ष को $(a, 0)$ पर स्पर्श करने वाले और $r$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण $(x - a)^2 + (y - r)^2 = r^2$ है।
चूंकि यह $(4, 6)$ से गुजरता है,इसलिए $(4 - a)^2 + (6 - r)^2 = r^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,$16 - 8a + a^2 + 36 - 12r + r^2 = r^2$,जो सरल होकर $a^2 - 8a - 12r + 52 = 0$ (समीकरण $1$) देता है।
परवलय $y^2 = 9x$ की $(4, 6)$ पर स्पर्श रेखा $y(6) = \frac{9}{2}(x + 4)$ है,जो सरल होकर $12y = 9x + 36$ या $3x - 4y + 12 = 0$ हो जाती है।
चूंकि वृत्त इस रेखा को $(4, 6)$ पर स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र $(a, r)$ से रेखा $3x - 4y + 12 = 0$ की दूरी $r$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|3a - 4r + 12|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = r$,जो $|3a - 4r + 12| = 5r$ देता है।
इसका अर्थ है $3a - 4r + 12 = 5r$ या $3a - 4r + 12 = -5r$ है।
स्थिति $1$: $3a - 9r + 12 = 0 \Rightarrow a = 3r - 4$. समीकरण $1$ में रखने पर: $(3r - 4)^2 - 8(3r - 4) - 12r + 52 = 0$.
$9r^2 - 24r + 16 - 24r + 32 - 12r + 52 = 0$ $\Rightarrow 9r^2 - 60r + 100 = 0$ $\Rightarrow (3r - 10)^2 = 0$ $\Rightarrow r = \frac{10}{3}$.
स्थिति $2$: $3a + r + 12 = 0 \Rightarrow a = \frac{-r - 12}{3}$. समीकरण $1$ में रखने पर: $(\frac{-r - 12}{3})^2 - 8(\frac{-r - 12}{3}) - 12r + 52 = 0$.
$9$ से गुणा करने पर: $(r + 12)^2 + 24(r + 12) - 108r + 468 = 0$.
$r^2 + 24r + 144 + 24r + 288 - 108r + 468 = 0$ $\Rightarrow r^2 - 60r + 900 = 0$ $\Rightarrow (r - 30)^2 = 0$ $\Rightarrow r = 30$.
चूंकि $a < 0$,$r = 30$ के लिए,$a = \frac{-30 - 12}{3} = -14 < 0$,जो मान्य है। अतः,$r = 30$.

(C) माना बिंदु $A(-2, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y = m(x + 2)$ है।
परवलय के समीकरण $y^2 = x - 2$ में $x = \frac{y}{m} - 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^2 = \frac{y}{m} - 2 - 2$ प्राप्त होता है,जो $y^2 - \frac{y}{m} + 4 = 0$ या $my^2 - y + 4m = 0$ में सरल हो जाता है।
चूंकि रेखा परवलय को स्पर्श करती है,इसलिए विविक्तकर $D = 0$ होगा।
$(-1)^2 - 4(m)(4m) = 0 \implies 1 - 16m^2 = 0 \implies m^2 = \frac{1}{16} \implies m = \frac{1}{4}$ (चूंकि $B$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $m > 0$)।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y = \frac{1}{4}(x + 2)$ या $x = 4y - 2$ है।
स्पर्श बिंदु $B$ ज्ञात करने के लिए $m = \frac{1}{4}$ को $y^2 - 4y + 4 = 0$ में रखने पर,$(y - 2)^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $y = 2$ मिलता है। तब $x = 4(2) - 2 = 6$। अतः $B = (6, 2)$।
रेखा $AB$,परवलय $P$ और $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $y = 0$ से $y = 2$ तक समाकलन करके प्राप्त किया जाता है:
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{2} (x_{\text{line}} - x_{\text{parabola}}) dy = \int_{0}^{2} ((4y - 2) - (y^2 + 2)) dy = \int_{0}^{2} (4y - 4 - y^2) dy$.
क्षेत्रफल $= [2y^2 - 4y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{2} = (2(4) - 4(2) - \frac{8}{3}) - 0 = 8 - 8 - \frac{8}{3} = |-\frac{8}{3}| = \frac{8}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया है कि $A^n = A^{n-2} + A^2 - I$ है। $n=50$ के लिए,हमारे पास $A^{50} = A^{48} + A^2 - I$ है।
इस पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करते हुए,हमें $A^{50} = A^{48} + (A^2 - I) = A^{46} + 2(A^2 - I) = A^{44} + 3(A^2 - I) = \dots = A^2 + 24(A^2 - I) = 25A^2 - 24I$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें: $A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
अब,$A^{50} = 25 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} - 24 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25-24 & 0 & 0 \\ 25 & 25-24 & 0 \\ 25 & 0 & 25-24 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 25 & 1 & 0 \\ 25 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सभी अवयवों का योग $1 + 0 + 0 + 25 + 1 + 0 + 25 + 0 + 1 = 53$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(7 x^4 \cot y-e^x \operatorname{cosec} y\right) \frac{d x}{d y}=x^5$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{d y}{d x} = \frac{7 \cot y}{x} - \frac{e^x \operatorname{cosec} y}{x^5}$.
$\sin y$ से गुणा करने पर: $\sin y \frac{d y}{d x} - \frac{7 \cos y}{x} = -\frac{e^x}{x^5}$.
माना $t = \cos y$,तो $\frac{d t}{d x} = -\sin y \frac{d y}{d x}$.
समीकरण में मान रखने पर: $-\frac{d t}{d x} - \frac{7 t}{x} = -\frac{e^x}{x^5}$,अर्थात $\frac{d t}{d x} + \frac{7 t}{x} = \frac{e^x}{x^5}$.
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $I.F. = x^7$ है।
हल: $t \cdot x^7 = \int x^2 e^x dx = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$.
$x=1, y=\frac{\pi}{2}$ रखने पर,$0 = e + C \implies C = -e$.
अतः,$\cos y = \frac{e^x(x^2 - 2x + 2) - e}{x^7}$.
$x=2$ के लिए,$\cos y = \frac{e^2(4 - 4 + 2) - e}{128} = \frac{2e^2 - e}{128}$.

(D) दिया गया है $f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = x^2 + 5$। $x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर,$f\left(\frac{1}{x}\right) + 2f(x) = \frac{1}{x^2} + 5$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों को हल करने पर $f(x) = \frac{2x^2}{3} - \frac{1}{3x^2} + \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है।
$\alpha = \int_1^2 \left(\frac{2x^2}{3} - \frac{1}{3x^2} + \frac{5}{3}\right) dx$ का समाकलन करने पर $\alpha = \frac{19}{6}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार $g(x)$ के लिए हल करने पर $g(x) = -\frac{2x}{5} - \frac{3}{5x}$ प्राप्त होता है।
$\beta = \int_1^2 (-\frac{2x}{5} - \frac{3}{5x}) dx$ का समाकलन करने पर $\beta = -\frac{3}{5} - \frac{3}{5}\ln 2$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$9\alpha + \beta$ का मान $11$ है।

(A) रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के दिशा सदिश $\vec{v_1} = \langle 1, 0, -1 \rangle$ और $\vec{v_2} = \langle 3, 4, 5 \rangle$ हैं।
मान लीजिए $\theta$ रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के बीच का कोण है।
$\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|} = \frac{|(1)(3) + (0)(4) + (-1)(5)|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}} = \frac{|3 + 0 - 5|}{\sqrt{2} \sqrt{9 + 16 + 25}} = \frac{2}{\sqrt{2} \sqrt{50}} = \frac{2}{\sqrt{100}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ है।
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{5}$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5}$ है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$AB = AC = \sqrt{15}$ दिया गया है,इसलिए $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \sqrt{15} \times \sqrt{15} \times \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{1}{2} \times 15 \times \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{3 \sqrt{24}}{2}$ है।
क्षेत्रफल का वर्ग $(\frac{3 \sqrt{24}}{2})^2 = \frac{9 \times 24}{4} = 9 \times 6 = 54$ है।

(B) माना $I = \int \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)^{10}}{(\sqrt{1+x^2}-x)^9} dx$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$I = \int \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)^{10}}{(\sqrt{1+x^2}-x)^9} \cdot \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)^9}{(\sqrt{1+x^2}+x)^9} dx = \int (\sqrt{1+x^2}+x)^{19} dx$.
माना $t = \sqrt{1+x^2}+x$. तब $\frac{dt}{dx} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + 1 = \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{t}{\sqrt{1+x^2}}$.
अतः,$dx = \frac{\sqrt{1+x^2}}{t} dt$.
चूँकि $t = \sqrt{1+x^2}+x$,हमारे पास $\sqrt{1+x^2}-x = \frac{1}{t}$ है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2\sqrt{1+x^2} = t + \frac{1}{t} \implies \sqrt{1+x^2} = \frac{1}{2}(t + \frac{1}{t})$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int t^{19} \cdot \frac{1}{2}(t + \frac{1}{t}) \cdot \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \int (t^{19} + t^{17}) dt$.
$I = \frac{1}{2} (\frac{t^{20}}{20} + \frac{t^{18}}{18}) + C = \frac{t^{19}}{2} (\frac{t}{20} + \frac{1}{18t}) + C = \frac{t^{19}}{360} (9t + \frac{10}{t}) + C$.
चूँकि $t = \sqrt{1+x^2}+x$ और $\frac{1}{t} = \sqrt{1+x^2}-x$,हमारे पास $9t + \frac{10}{t} = 9(\sqrt{1+x^2}+x) + 10(\sqrt{1+x^2}-x) = 19\sqrt{1+x^2} - x$ है।
अतः,$I = \frac{1}{360} ((\sqrt{1+x^2}+x)^{19} (19\sqrt{1+x^2}-x)) + C$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$m = 360$ और $n = 19$.
इसलिए,$m+n = 360 + 19 = 379$.

(B) माना $S$ वह घटना है कि खोया हुआ पत्ता हुकुम का है,और $E$ वह घटना है कि शेष $51$ पत्तों में से निकाले गए $n$ पत्ते हुकुम के हैं।
हमें $P(S|E) = \frac{11}{50}$ दिया गया है।
बेयस प्रमेय के अनुसार,$P(S|E) = \frac{P(E|S)P(S)}{P(E|S)P(S) + P(E|S^c)P(S^c)}$.
यदि खोया हुआ पत्ता हुकुम $(S)$ का है,तो $51$ पत्तों में $12$ हुकुम शेष बचेंगे। $P(E|S) = \frac{\binom{12}{n}}{\binom{51}{n}}$.
यदि खोया हुआ पत्ता हुकुम का नहीं $(S^c)$ है,तो $51$ पत्तों में $13$ हुकुम शेष बचेंगे। $P(E|S^c) = \frac{\binom{13}{n}}{\binom{51}{n}}$.
$P(S) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ और $P(S^c) = \frac{39}{52} = \frac{3}{4}$.
मान रखने पर:
$P(S|E) = \frac{\binom{12}{n}}{\binom{12}{n} + 3 \cdot \binom{13}{n}} = \frac{11}{50}$.
$\frac{13-n}{52-n} = \frac{11}{50}$ को हल करने पर,$n = 2$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं। सरलता के लिए,मान लीजिए $\vec{a} = \vec{0}$ है।
दिया गया है $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,इसलिए $\vec{b} = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$।
दिया गया है $\vec{CA} = \vec{a} - \vec{c} = \hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}$,इसलिए $\vec{c} = -(\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}) = -\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}$।
केंद्रक $G$ का स्थिति सदिश $\vec{g} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} = \frac{\vec{0} + (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + (-\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k})}{3} = \frac{\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}}{3}$ है।
अब,$\overrightarrow{AG} = \vec{g} - \vec{a} = \frac{1}{3}(\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k})$। अतः,$|\overrightarrow{AG}|^2 = \frac{1}{9}(1^2+2^2+6^2) = \frac{41}{9}$।
$\overrightarrow{BG} = \vec{g} - \vec{b} = (\frac{1}{3}-2)\hat{i} + (\frac{2}{3}+1)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = -\frac{5}{3}\hat{i} + \frac{5}{3}\hat{j} + \hat{k}$। अतः,$|\overrightarrow{BG}|^2 = \frac{25}{9} + \frac{25}{9} + 1 = \frac{59}{9}$।
$\overrightarrow{CG} = \vec{g} - \vec{c} = (\frac{1}{3}+1)\hat{i} + (\frac{2}{3}-3)\hat{j} + (2-5)\hat{k} = \frac{4}{3}\hat{i} - \frac{7}{3}\hat{j} - 3\hat{k}$। अतः,$|\overrightarrow{CG}|^2 = \frac{16}{9} + \frac{49}{9} + 9 = \frac{65+81}{9} = \frac{146}{9}$।
अंत में,$6(|\overrightarrow{AG}|^2+|\overrightarrow{BG}|^2+|\overrightarrow{CG}|^2) = 6(\frac{41+59+146}{9}) = 6(\frac{246}{9}) = 6 \times \frac{82}{3} = 2 \times 82 = 164$।

(D) माना दो रेखाएं $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $L_2: \frac{x}{1}=\frac{y}{\alpha}=\frac{z-5}{1}$ हैं।
रेखाओं पर बिंदु $A(1, 2, 3)$ और $B(0, 0, 5)$ हैं।
दिशा सदिश $\vec{b_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{b_2} = \hat{i} + \alpha\hat{j} + \hat{k}$ हैं।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & \alpha & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-4\alpha) - \hat{j}(2-4) + \hat{k}(2\alpha-3) = (3-4\alpha)\hat{i} + 2\hat{j} + (2\alpha-3)\hat{k}$.
सदिश $\vec{AB} = (0-1)\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|(-1)(3-4\alpha) + (-2)(2) + (2)(2\alpha-3)|}{\sqrt{(3-4\alpha)^2 + 2^2 + (2\alpha-3)^2}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$.
$|4\alpha - 3 - 4 + 4\alpha - 6| = |8\alpha - 13|$.
$\frac{|8\alpha - 13|}{\sqrt{16\alpha^2 - 24\alpha + 9 + 4 + 4\alpha^2 - 12\alpha + 9}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$.
$\frac{|8\alpha - 13|}{\sqrt{20\alpha^2 - 36\alpha + 22}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $6(64\alpha^2 - 208\alpha + 169) = 25(20\alpha^2 - 36\alpha + 22)$.
$384\alpha^2 - 1248\alpha + 1014 = 500\alpha^2 - 900\alpha + 550$.
$116\alpha^2 + 348\alpha - 464 = 0$.
$116$ से विभाजित करने पर: $\alpha^2 + 3\alpha - 4 = 0$.
मूलों का योग $\alpha_1 + \alpha_2 = -3$.

(A) $f(x) = x^3 + ax^2 + b \ln|x| + 1$
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + \frac{b}{x}$
चूंकि $x=-1$ और $x=2$ क्रांतिक बिंदु हैं,इसलिए $f'(-1) = 0$ और $f'(2) = 0$.
$f'(-1) = 3 - 2a - b = 0 \implies 2a + b = 3$
$f'(2) = 12 + 4a + \frac{b}{2} = 0 \implies 8a + b = -24$
समीकरणों को घटाने पर: $6a = -27 \implies a = -4.5$
$a$ का मान रखने पर: $2(-4.5) + b = 3 \implies -9 + b = 3 \implies b = 12$
अतः,$f(x) = x^3 - 4.5x^2 + 12 \ln|x| + 1$.
अंतराल $[-2, -0.5]$ में,हम क्रांतिक बिंदुओं और अंत बिंदुओं की जांच करते हैं।
$f'(x) = 3x^2 - 9x + \frac{12}{x} = \frac{3(x+1)(x-2)^2}{x}$.
$[-2, -0.5]$ में,$f'(x) = 0$ बिंदु $x = -1$ पर है।
$f(-1) = -1 - 4.5 + 12 \ln(1) + 1 = -4.5$.
$f(-2) = -8 - 4.5(4) + 12 \ln(2) + 1 = -8 - 18 + 1 + 12(0.7) = -25 + 8.4 = -16.6$.
$f(-0.5) = -0.125 - 4.5(0.25) + 12 \ln(0.5) + 1 = -0.125 - 1.125 + 1 - 12(0.7) = -0.25 - 8.4 = -8.65$.
$M = -4.5$ और $m = -16.6$.
$|M+m| = |-4.5 - 16.6| = |-21.1| = 21.1$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x(x^2 + e^x) dy + (e^x(x-2)y - x^3) dx = 0$ है।
इसे रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में व्यवस्थित करने पर:
$x(x^2 + e^x) \frac{dy}{dx} + e^x(x-2)y = x^3$
$\frac{dy}{dx} + \frac{e^x(x-2)}{x(x^2 + e^x)} y = \frac{x^2}{x^2 + e^x}$.
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int \frac{e^x(x-2)}{x(x^2 + e^x)} dx}$.
मान लीजिए $u = 1 + \frac{e^x}{x^2}$. तब $du = \frac{x^2 e^x - e^x(2x)}{x^4} dx = \frac{e^x(x-2)}{x^3} dx$.
अतः,$I$.$F$. $= e^{\int \frac{1}{u} du} = u = 1 + \frac{e^x}{x^2}$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y(1 + \frac{e^x}{x^2}) = \int \frac{x^2}{x^2 + e^x} \cdot (\frac{x^2 + e^x}{x^2}) dx + C$.
$y(1 + \frac{e^x}{x^2}) = \int 1 dx + C = x + C$.
चूंकि वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $0(1 + e) = 1 + C$,जिससे $C = -1$.
अतः,$y = \frac{x-1}{1 + \frac{e^x}{x^2}}$.
$x = 2$ के लिए,$y(2) = \frac{2-1}{1 + \frac{e^2}{4}} = \frac{1}{\frac{4+e^2}{4}} = \frac{4}{4+e^2}$.

(C) माना $I = \int_0^\pi \frac{(x+3) \sin x}{1+3 \cos^2 x} dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x+3) \sin(\pi-x)}{1+3 \cos^2(\pi-x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi-x+3) \sin x}{1+3 \cos^2 x} dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \frac{(x+3+\pi-x+3) \sin x}{1+3 \cos^2 x} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi+6) \sin x}{1+3 \cos^2 x} dx$.
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ का उपयोग करने पर:
$2I = 2(\pi+6) \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{1+3 \cos^2 x} dx$.
$I = (\pi+6) \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{1+3 \cos^2 x} dx$.
माना $\sqrt{3} \cos x = t$,तब $-\sqrt{3} \sin x dx = dt$,अर्थात $\sin x dx = -\frac{dt}{\sqrt{3}}$.
जब $x=0, t=\sqrt{3}$ और जब $x=\pi/2, t=0$.
$I = (\pi+6) \int_{\sqrt{3}}^0 \frac{-dt/\sqrt{3}}{1+t^2} = \frac{\pi+6}{\sqrt{3}} \int_0^{\sqrt{3}} \frac{dt}{1+t^2}$.
$I = \frac{\pi+6}{\sqrt{3}} [\tan^{-1} t]_0^{\sqrt{3}} = \frac{\pi+6}{\sqrt{3}} (\tan^{-1} \sqrt{3} - \tan^{-1} 0) = \frac{\pi+6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi(\pi+6)}{3\sqrt{3}}$.

(D) दिया गया है कि $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A ))|=81$ है।
$n \times n$ आव्यूह के लिए $|\operatorname{adj} M| = |M|^{n-1}$ होता है,यहाँ $n=3$ है,इसलिए $|\operatorname{adj} M| = |M|^2$ होगा।
$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A ))| = (|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)|)^2 = ((|\operatorname{adj} A|)^2)^2 = (|\operatorname{adj} A|)^4 = (|A|^2)^4 = |A|^8$।
अतः,$|A|^8 = 81 = 3^4$,जिसका अर्थ है $|A| = 3^{4/8} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$।
इसलिए,$|A|^2 = 3$।
अब,$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)| = (|\operatorname{adj} A|)^2 = (|A|^2)^2 = |A|^4$।
दिया गया समीकरण $(|A|^4)^{\frac{(n-1)^2}{2}} = |A|^{(3n^2-5n-4)}$ है।
$|A|^{2(n-1)^2} = |A|^{(3n^2-5n-4)}$।
घातांकों की तुलना करने पर: $2(n^2-2n+1) = 3n^2-5n-4$।
$2n^2-4n+2 = 3n^2-5n-4$।
$n^2-n-6 = 0$।
$(n-3)(n+2) = 0$,इसलिए $n=3$ या $n=-2$।
हमें $\sum_{n \in S} |A|^{n^2+n}$ की गणना करनी है।
$n=3$ के लिए,$|A|^{3^2+3} = |A|^{12} = (|A|^2)^6 = 3^6 = 729$।
$n=-2$ के लिए,$|A|^{(-2)^2+(-2)} = |A|^{4-2} = |A|^2 = 3$।
योग $= 729 + 3 = 732$।

(A) वक्रों $y=4-\frac{x^2}{4}$ और $y=\frac{x-4}{2}$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\alpha$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले समीकरणों को बराबर करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$4-\frac{x^2}{4} = \frac{x-4}{2}$
$16-x^2 = 2x-8$
$x^2+2x-24 = 0$
$(x+6)(x-4) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=-6$ और $x=4$ हैं।
क्षेत्रफल $\alpha$ समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$\alpha = \int_{-6}^4 \left\{ \left(4-\frac{x^2}{4}\right) - \left(\frac{x-4}{2}\right) \right\} dx$
$\alpha = \int_{-6}^4 \left( 4 - \frac{x^2}{4} - \frac{x}{2} + 2 \right) dx = \int_{-6}^4 \left( 6 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{4} \right) dx$
$\alpha = \left[ 6x - \frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{12} \right]_{-6}^4$
$\alpha = \left( 6(4) - \frac{16}{4} - \frac{64}{12} \right) - \left( 6(-6) - \frac{36}{4} - \frac{-216}{12} \right)$
$\alpha = \left( 24 - 4 - \frac{16}{3} \right) - \left( -36 - 9 + 18 \right)$
$\alpha = \left( 20 - \frac{16}{3} \right) - (-27) = \frac{44}{3} + 27 = \frac{44+81}{3} = \frac{125}{3}$
इसलिए,$6 \alpha = 6 \times \frac{125}{3} = 2 \times 125 = 250$.

(B) प्रणाली के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए: $\left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 5 \\ 7 & 3 & -2 \\ 12 & 3 & -(4+\lambda) \end{array}\right| = 0$.
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $2(-3(4+\lambda) + 6) - 3(-7(4+\lambda) + 24) + 5(21 - 36) = 0$.
$2(-12 - 3\lambda + 6) - 3(-28 - 7\lambda + 24) + 5(-15) = 0$.
$2(-6 - 3\lambda) - 3(-4 - 7\lambda) - 75 = 0$.
$-12 - 6\lambda + 12 + 21\lambda - 75 = 0 \Rightarrow 15\lambda = 75 \Rightarrow \lambda = 5$.
अनंत हलों के लिए,संवर्धित आव्यूह का सारणिक भी शून्य होना चाहिए: $\left|\begin{array}{ccc} 9 & 3 & 5 \\ 8 & 3 & -2 \\ 16-\mu & 3 & -9 \end{array}\right| = 0$.
पंक्ति संक्रिया $R_1 \to R_1 - R_2$ का उपयोग करने पर: $\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 7 \\ 8 & 3 & -2 \\ 16-\mu & 3 & -9 \end{array}\right| = 0$.
$1(-27 + 6) - 0 + 7(24 - 3(16-\mu)) = 0$.
$-21 + 7(24 - 48 + 3\mu) = 0 \Rightarrow -21 + 7(3\mu - 24) = 0$.
$-3 + 3\mu - 24 = 0 \Rightarrow 3\mu = 27 \Rightarrow \mu = 9$.
वृत्त का केंद्र $(5, 9)$ है। रेखा $4x - 3y = 0$ है।
त्रिज्या $(5, 9)$ से $4x - 3y = 0$ तक की लंबवत दूरी है: $r = \frac{|4(5) - 3(9)|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|20 - 27|}{5} = \frac{7}{5}$.

(D) मान लीजिए कि रेखा $L$,$C(1,1,1)$ से होकर गुजरती है।
मान लीजिए कि रेखा $L$,रेखा $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4} = \lambda$ को बिंदु $A(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda+1)$ पर प्रतिच्छेद करती है।
मान लीजिए कि रेखा $L$,रेखा $L_2: \frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z}{1} = \mu$ को बिंदु $B(\mu+3, 2\mu+4, \mu)$ पर प्रतिच्छेद करती है।
चूंकि $A, B, C$ संरेख हैं,$AC$ और $BC$ के दिक अनुपात समानुपाती होने चाहिए।
$AC$ के दिक अनुपात $(2\lambda+1-1, 3\lambda-1-1, 4\lambda+1-1) = (2\lambda, 3\lambda-2, 4\lambda)$ हैं।
$BC$ के दिक अनुपात $(\mu+3-1, 2\mu+4-1, \mu-1) = (\mu+2, 2\mu+3, \mu-1)$ हैं।
चूंकि $A, B, C$ संरेख हैं,$\frac{2\lambda}{\mu+2} = \frac{3\lambda-2}{2\mu+3} = \frac{4\lambda}{\mu-1} = k$.
$\frac{2\lambda}{\mu+2} = \frac{4\lambda}{\mu-1}$ से,हमें $\frac{1}{\mu+2} = \frac{2}{\mu-1} \Rightarrow \mu-1 = 2\mu+4 \Rightarrow \mu = -5$ प्राप्त होता है।
$B$ के निर्देशांकों में $\mu = -5$ रखने पर,हमें $B(-5+3, 2(-5)+4, -5) = (-2, -6, -5)$ प्राप्त होता है।
रेखा $L$ के दिक अनुपात ($C(1,1,1)$ और $B(-2, -6, -5)$ से गुजरने वाली) $(1-(-2), 1-(-6), 1-(-5)) = (3, 7, 6)$ हैं।
रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x-1}{3} = \frac{y-1}{7} = \frac{z-1}{6}$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(7, 15, 13)$ के लिए: $\frac{7-1}{3} = 2, \frac{15-1}{7} = 2, \frac{13-1}{6} = 2$. चूंकि सभी अनुपात समान हैं,$(7, 15, 13)$ रेखा $L$ पर स्थित है।

(C) दिया गया है $\vec{c} = 3\hat{a} + 6\hat{b} + 9(\hat{a} \times \hat{b})$.
चूंकि $\sin \theta = \frac{\sqrt{65}}{9}$,इसलिए $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{65}{81} = \frac{16}{81}$,जिससे $\cos \theta = \frac{4}{9}$ (क्योंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$)।
अब,$\vec{c} \cdot \hat{a} = (3\hat{a} + 6\hat{b} + 9(\hat{a} \times \hat{b})) \cdot \hat{a} = 3(\hat{a} \cdot \hat{a}) + 6(\hat{b} \cdot \hat{a}) + 9((\hat{a} \times \hat{b}) \cdot \hat{a})$.
चूंकि $\hat{a} \cdot \hat{a} = 1$,$\hat{b} \cdot \hat{a} = \cos \theta = \frac{4}{9}$,और $(\hat{a} \times \hat{b}) \cdot \hat{a} = 0$,इसलिए $\vec{c} \cdot \hat{a} = 3(1) + 6(\frac{4}{9}) + 0 = 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}$.
इसी प्रकार,$\vec{c} \cdot \hat{b} = (3\hat{a} + 6\hat{b} + 9(\hat{a} \times \hat{b})) \cdot \hat{b} = 3(\hat{a} \cdot \hat{b}) + 6(\hat{b} \cdot \hat{b}) + 9((\hat{a} \times \hat{b}) \cdot \hat{b})$.
चूंकि $\hat{a} \cdot \hat{b} = \frac{4}{9}$,$\hat{b} \cdot \hat{b} = 1$,और $(\hat{a} \times \hat{b}) \cdot \hat{b} = 0$,इसलिए $\vec{c} \cdot \hat{b} = 3(\frac{4}{9}) + 6(1) + 0 = \frac{4}{3} + 6 = \frac{22}{3}$.
अंत में,$9(\vec{c} \cdot \hat{a}) - 3(\vec{c} \cdot \hat{b}) = 9(\frac{17}{3}) - 3(\frac{22}{3}) = 3(17) - 22 = 51 - 22 = 29$.

(C) माना $g(x) = [\frac{x^2}{2}]$ और $h(x) = [\sqrt{x}]$ है। फलन $f(x) = g(x) - h(x)$ वहाँ असंतत होता है जहाँ $g(x)$ या $h(x)$ असंतत होते हैं,बशर्ते उनके जंप एक-दूसरे को निरस्त न करें।
$g(x) = [\frac{x^2}{2}]$ तब असंतत होता है जब $\frac{x^2}{2} \in \mathbb{Z}$,अर्थात $x^2 \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$। $x \in [0, 4]$ के लिए,$x^2 \in [0, 16]$। अतः,$x^2 \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16\}$।
$g(x)$ इन बिंदुओं पर असंतत है: $x \in \{\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{8}, \sqrt{9}, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}, 4\}$।
$h(x) = [\sqrt{x}]$ तब असंतत होता है जब $\sqrt{x} \in \mathbb{Z}$,अर्थात $x \in \{1, 4, 9, 16\}$। $x \in [0, 4]$ के लिए,$x \in \{1, 4\}$।
इन बिंदुओं को मिलाने पर,असंतत बिंदुओं का कुल समुच्चय $x \in \{\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{8}, 3, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}, 4\}$ प्राप्त होता है।
मानों की जाँच करने पर,हमें $[0, 4]$ अंतराल में $10$ असंतत बिंदु प्राप्त होते हैं।

(B) समुच्चय $A = \{1, 2, 3\}$ है। संबंध $R$ के स्वतुल्य होने के लिए इसमें $(1, 1), (2, 2), (3, 3)$ का होना आवश्यक है।
दिया गया है कि $(1, 2) \in R$ है। संक्रामकता बनाए रखने के लिए,यदि हम अन्य अवयव जोड़ते हैं,तो संक्रामक गुण बना रहना चाहिए।
चूंकि $R$ को स्वतुल्य और संक्रामक होना चाहिए लेकिन सममित नहीं,और $(1, 2) \in R$ है लेकिन $(2, 1) \notin R$ (सममितता से बचने के लिए),हम अधिकतम $6$ अवयवों वाले संबंधों का विश्लेषण करते हैं:
$1$. यदि $R$ में $4$ अवयव हैं: $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2)\}$। यह स्वतुल्य और संक्रामक है,सममित नहीं है। ($1$ तरीका)
$2$. यदि $R$ में $5$ अवयव हैं: हम ${(1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2)}$ में से एक अवयव जोड़ते हैं। $(1, 2)$ के साथ संक्रामकता बनाए रखने के लिए,$(2, 3)$ जोड़ने पर $(1, 3)$ मिलता है,और $(3, 1)$ जोड़ने पर $(3, 2)$ मिलता है।
संभावित समुच्चय: ${(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (1, 3)}$ और ${(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (3, 1), (3, 2)}$। ($2$ तरीके)
$3$. यदि $R$ में $6$ अवयव हैं: हम दो अवयव जोड़ते हैं। संक्रामकता और स्वतुल्यता बनाए रखते हुए और सममितता से बचते हुए $3$ अलग समुच्चय मिलते हैं।
कुल संबंधों की संख्या $= 1 + 2 + 3 = 6$।

(D) एक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ सिंगुलर होता है यदि $|A| = ad - bc = 0$,जिसका अर्थ है $ad = bc$.
हमें $a, b, c, d \in \{2, 3, 6, 9\}$ चुनना है।
स्थिति $1$: सभी अवयव समान हैं। ऐसे $4$ आव्यूह संभव हैं।
स्थिति $2$: दो भिन्न अवयवों का उपयोग किया जाता है। $ad = bc$ शर्त के अनुसार,$(2 \times 9, 3 \times 6) = (18, 18)$ संभव है।
इस प्रकार,कुल $36$ सिंगुलर आव्यूह प्राप्त होते हैं।

(C) दिया गया है $\frac{|\vec{a}+\vec{b}|+|\vec{a}-\vec{b}|}{|\vec{a}+\vec{b}|-|\vec{a}-\vec{b}|}=\sqrt{2}+1$।
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{|\vec{a}+\vec{b}|}{|\vec{a}-\vec{b}|} = \frac{(\sqrt{2}+1)+1}{(\sqrt{2}+1)-1} = \frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (1+\sqrt{2})^2 |\vec{a}-\vec{b}|^2$।
$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (3+2\sqrt{2}) |\vec{a}-\vec{b}|^2$।
माना $|\vec{a}| = |\vec{b}| = k$।
$2k^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} = (3+2\sqrt{2})(2k^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b})$।
$2k^2$ से विभाजित करने पर:
$1 + \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{k^2} = (3+2\sqrt{2})(1 - \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{k^2})$।
माना $x = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{k^2}$।
$1+x = 3+2\sqrt{2} - (3+2\sqrt{2})x$।
$x(4+2\sqrt{2}) = 2+2\sqrt{2}$।
$x = \frac{2+2\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अब,$\frac{|\vec{a}+\vec{b}|^2}{|\vec{a}|^2} = \frac{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2} = 1 + 1 + 2x = 2 + 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 2+\sqrt{2}$।

(D) माना $y = \frac{5-x}{x^2-3x+2}$.
$y(x^2-3x+2) = 5-x$
$yx^2 - 3xy + 2y = 5-x$
$yx^2 + (1-3y)x + (2y-5) = 0$.
यदि $y=0$ है,तो $x=5$,जो एक मान्य मान है।
यदि $y \neq 0$ है,तो $x$ के वास्तविक होने के लिए विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (1-3y)^2 - 4(y)(2y-5) \geq 0$
$1 + 9y^2 - 6y - 8y^2 + 20y \geq 0$
$y^2 + 14y + 1 \geq 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $y^2 + 14y + 1 = 0$ को हल करने पर:
$y = \frac{-14 \pm \sqrt{196-4}}{2} = \frac{-14 \pm \sqrt{192}}{2} = \frac{-14 \pm 8\sqrt{3}}{2} = -7 \pm 4\sqrt{3}$.
अतः,$y \in (-\infty, -7-4\sqrt{3}] \cup [-7+4\sqrt{3}, \infty)$.
यहाँ,$\alpha = -7-4\sqrt{3}$ और $\beta = -7+4\sqrt{3}$.
$\alpha^2 + \beta^2 = (-7-4\sqrt{3})^2 + (-7+4\sqrt{3})^2$
$= (49 + 48 + 56\sqrt{3}) + (49 + 48 - 56\sqrt{3})$
$= 97 + 97 = 194$.

(A) माना $U$ निष्पक्ष सिक्का चुने जाने की घटना है,और $B$ पक्षपाती (दोनों तरफ चित वाले) सिक्के के चुने जाने की घटना है।
माना $H$ चित आने की घटना है।
हमारे पास $P(U) = \frac{19}{20}$ और $P(B) = \frac{1}{20}$ है।
निष्पक्ष सिक्के पर चित आने की प्रायिकता $P(H|U) = \frac{1}{2}$ है।
पक्षपाती सिक्के पर चित आने की प्रायिकता $P(H|B) = 1$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,चित आने पर चुने गए सिक्के के निष्पक्ष होने की प्रायिकता:
$P(U|H) = \frac{P(U)P(H|U)}{P(U)P(H|U) + P(B)P(H|B)}$
$P(U|H) = \frac{\frac{19}{20} \times \frac{1}{2}}{\frac{19}{20} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{20} \times 1} = \frac{\frac{19}{40}}{\frac{19}{40} + \frac{2}{40}} = \frac{19}{21}$.
अतः,$m = 19$ और $n = 21$.
$n^2 - m^2 = 21^2 - 19^2 = 441 - 361 = 80$.

(B) प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए:
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$
$p + p + q + q = 1 \implies 2p + 2q = 1 \implies p + q = \frac{1}{2}$
अब,अपेक्षित मान $E(X)$ की गणना करें:
$E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = 0(p) + 1(p) + 2(q) + 3(q) = p + 5q$
अपेक्षित मान $E(X^2)$ की गणना करें:
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i) = 0^2(p) + 1^2(p) + 2^2(q) + 3^2(q) = p + 13q$
दिया गया है कि $E(X^2) = 2E(X)$:
$p + 13q = 2(p + 5q)$
$p + 13q = 2p + 10q$
$p = 3q$
$p + q = \frac{1}{2}$ में $p = 3q$ रखने पर:
$3q + q = \frac{1}{2} \implies 4q = \frac{1}{2} \implies q = \frac{1}{8}$
अतः $p = 3(\frac{1}{8}) = \frac{3}{8}$
अंत में,$8p - 1$ का मान ज्ञात करें:
$8(\frac{3}{8}) - 1 = 3 - 1 = 2$

(A) यह क्षेत्र परवलय $y = 1+x^2$ और रेखाओं $y = x+7$ तथा $y = 11-3x$ द्वारा घिरा हुआ है।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$1+x^2 = x+7 \Rightarrow x^2-x-6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) = 0$. चूँकि क्षेत्र $[-2, 2]$ अंतराल में है,हम $x = -2$ लेते हैं।
$1+x^2 = 11-3x \Rightarrow x^2+3x-10 = 0 \Rightarrow (x+5)(x-2) = 0$. हम $x = 2$ लेते हैं।
$x+7 = 11-3x \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1$.
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{-2}^{1} ((x+7) - (1+x^2)) dx + \int_{1}^{2} ((11-3x) - (1+x^2)) dx$
$A = \int_{-2}^{1} (6+x-x^2) dx + \int_{1}^{2} (10-3x-x^2) dx$
$A = [6x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{1} + [10x - \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{1}^{2}$
गणना करने पर,$A = \frac{50}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$3A = 3 \times \frac{50}{3} = 50$.

(B) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=5$। चूंकि $f(x)$ चार घात का बहुपद है,मान लीजिए $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$।
सीमा के अस्तित्व और $5$ के बराबर होने के लिए,$e=0$,$d=0$ और $c=5$ होना चाहिए।
अतः,$f(x) = ax^4 + bx^3 + 5x^2$।
अवकलन करने पर,$f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 10x = x(4ax^2 + 3bx + 10)$।
चूंकि $f(x)$ के चरम मान $x=4$ और $x=5$ पर हैं,इसलिए $f'(4)=0$ और $f'(5)=0$।
$f'(4) = 64a + 12b + 10 = 0 \implies 32a + 6b = -5$।
$f'(5) = 100a + 15b + 10 = 0 \implies 20a + 3b = -2$।
इन समीकरणों को हल करने पर: $b = \frac{-2 - 20a}{3}$।
पहले समीकरण में रखने पर: $32a + 2(-2 - 20a) = -5 \implies 32a - 4 - 40a = -5 \implies -8a = -1 \implies a = \frac{1}{8}$।
तब $3b = -2 - 20(\frac{1}{8}) = -4.5 \implies b = -\frac{3}{2}$।
अब,$f(2) = \frac{1}{8}(2^4) - \frac{3}{2}(2^3) + 5(2^2) = 2 - 12 + 20 = 10$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2+1) \frac{dy}{dx} - 2xy = (x^2+1)^2 \cos x$ है।
$(x^2+1)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - \frac{2x}{x^2+1} y = (x^2+1) \cos x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2x}{x^2+1}$ और $Q(x) = (x^2+1) \cos x$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2x}{x^2+1} dx} = e^{-\ln(x^2+1)} = \frac{1}{x^2+1}$ है।
हल $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ है।
$y \cdot \frac{1}{x^2+1} = \int (x^2+1) \cos x \cdot \frac{1}{x^2+1} dx = \int \cos x dx = \sin x + C$.
चूंकि $y(0) = 1$ दिया गया है,$\frac{1}{0^2+1} = \sin(0) + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$.
अतः,$y = (x^2+1)(\sin x + 1)$।
अब,$\int_{-3}^3 y(x) dx = \int_{-3}^3 (x^2+1)(\sin x + 1) dx = \int_{-3}^3 (x^2 \sin x + x^2 + \sin x + 1) dx$।
चूंकि $x^2 \sin x$ और $\sin x$ विषम फलन हैं,$[-3, 3]$ पर उनका समाकलन $0$ होता है।
अतः,$\int_{-3}^3 y(x) dx = \int_{-3}^3 x^2 dx + \int_{-3}^3 1 dx = 2 \int_{0}^3 x^2 dx + 2 \int_{0}^3 1 dx = 2 [\frac{x^3}{3}]_0^3 + 2[x]_0^3 = 2(9) + 2(3) = 18 + 6 = 24$।

(B) अभीष्ट रेखा दो रेखाओं पर लंब है जिनके दिशा सदिश $\vec{v_1} = \hat{i} + a\hat{j} + b\hat{k}$ और $\vec{v_2} = -b\hat{i} + a\hat{j} + 5\hat{k}$ हैं।
अतः,अभीष्ट रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & a & b \\ -b & a & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(5a - ab) - \hat{j}(5 + b^2) + \hat{k}(a + ab)$ है।
रेखा $\frac{x-1}{-2} = \frac{y+4}{d} = \frac{z-c}{-4}$ के दिक अनुपात $(-2, d, -4)$ हैं।
चूंकि रेखाएं समांतर हैं,उनके दिक अनुपात समानुपाती होंगे: $\frac{5a - ab}{-2} = \frac{-(b^2 + 5)}{d} = \frac{a + ab}{-4} = k$.
बिंदु $(0, -\frac{1}{2}, 0)$ रेखा $\frac{x-1}{-2} = \frac{y+4}{d} = \frac{z-c}{-4}$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{0-1}{-2} = \frac{-1/2 + 4}{d} = \frac{0-c}{-4} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{7/2}{d} = \frac{-c}{-4}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{2} = \frac{7}{2d}$ से $d = 7$ मिलता है और $\frac{1}{2} = \frac{c}{4}$ से $c = 2$ मिलता है।
अब,$\frac{5a - ab}{-2} = \frac{a + ab}{-4} \Rightarrow 2(5a - ab) = a + ab \Rightarrow 10a - 2ab = a + ab \Rightarrow 9a = 3ab \Rightarrow b = 3$.
साथ ही,$\frac{-(b^2 + 5)}{d} = \frac{a + ab}{-4} \Rightarrow \frac{-(9 + 5)}{7} = \frac{a + 3a}{-4} \Rightarrow -2 = \frac{4a}{-4} \Rightarrow -2 = -a \Rightarrow a = 2$.
अतः,$a+b+c+d = 2 + 3 + 2 + 7 = 14$.

(B) रेखा $L_1$ को $\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-0}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है। मान लीजिए $Q = (\lambda+1, \lambda+2, \lambda)$ है।
चूंकि $PQ \perp L_1$,सदिश $\vec{PQ} = (\lambda-4, \lambda+1, \lambda+3)$ दिशा सदिश $\vec{v_1} = (1, 1, 1)$ के लंबवत है।
अतः,$(\lambda-4)(1) + (\lambda+1)(1) + (\lambda+3)(1) = 0 \Rightarrow 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.
इस प्रकार,$Q = (1, 2, 0)$ और $\vec{PQ} = (-4, 1, 3)$ है।
रेखा $L_2$ को $\frac{x-2}{1} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-1}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है। मान लीजिए $R = (\mu+2, \mu, \mu+1)$ है।
चूंकि $PR \perp L_2$,सदिश $\vec{PR} = (\mu-3, \mu-1, \mu+4)$ दिशा सदिश $\vec{v_2} = (1, 1, 1)$ के लंबवत है।
अतः,$(\mu-3)(1) + (\mu-1)(1) + (\mu+4)(1) = 0 \Rightarrow 3\mu = 0 \Rightarrow \mu = 0$.
इस प्रकार,$R = (2, 0, 1)$ और $\vec{PR} = (-3, -1, 4)$ है।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$ है।
$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & 1 & 3 \\ -3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - (-3)) - \hat{j}(-16 - (-9)) + \hat{k}(4 - (-3)) = 7\hat{i} + 7\hat{j} - 7\hat{k}$.
$|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \sqrt{7^2 + 7^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 \times 3} = 7\sqrt{3}$.
$A = \frac{1}{2} \times 7\sqrt{3} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$.
$4A^2 = 4 \times \frac{49 \times 3}{4} = 147$.

(A) प्रणाली के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और संवर्धित सारणिक $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$ भी $0$ होने चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 5 & -1 \\ 4 & 3 & -3 \\ 24 & 1 & \lambda \end{vmatrix} = 1(3\lambda + 3) - 5(4\lambda + 72) - 1(4 - 72) = -17\lambda - 289 = 0$.
अतः,$\lambda = -17$.
अब,$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 5 & -1 \\ 7 & 3 & -3 \\ \mu & 1 & -17 \end{vmatrix} = 540 - 12\mu = 0$.
अतः,$\mu = 45$.
समीकरण $x+5y-z=1$ और $4x+3y-3z=7$ प्राप्त होते हैं।
$(Eq 2)$ से $3 \times (Eq 1)$ घटाने पर: $x - 12y = 4 \Rightarrow x = 12y + 4$.
$x$ का मान $Eq 1$ में रखने पर: $z = 17y + 3$.
दिया गया है कि $7 \leq x+y+z \leq 77$.
$x$ और $z$ के मान रखने पर: $7 \leq 30y + 7 \leq 77 \Rightarrow 0 \leq 30y \leq 70 \Rightarrow 0 \leq y \leq 2.33$.
चूंकि $y$ एक पूर्णांक है,$y \in \{0, 1, 2\}$.
प्रत्येक $y$ के लिए,$x$ और $z$ के अद्वितीय पूर्णांक हल प्राप्त होते हैं।
अतः,कुल $3$ हल हैं।

(B) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
हम जानते हैं कि: $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \dots$ और $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$
अंश: $\tan(\tan x) - \sin(\sin x) = (\tan x - \sin x) + \frac{\tan^3 x}{3} + \frac{\sin^3 x}{6} + \dots$
हर: $\tan x - \sin x = \frac{x^3}{2} + \dots$
अतः,$f(x) = 1 + \frac{\frac{\tan^3 x}{3} + \frac{\sin^3 x}{6}}{\tan x - \sin x}$.
$x^3$ से भाग देने पर,$f(x) = 1 + \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = 1 + 1 = 2$.

(B) माना $I = \int \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3}\right) \left(3x^{-24} + x^{-26}\right)^{\frac{1}{23}} dx$.
$t = 3x^{-24} + x^{-26}$ लेने पर,$dt = -24(3x^{-25} + \frac{26}{24}x^{-27}) dx$.
दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,$\alpha = 23, \beta = -1, \gamma = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = 23 - 1 - 3 = 19$.

(A) रेखाएं $\vec{r_1} = (1, 2, 3) + t(2, 3, 4)$ और $\vec{r_2} = (\lambda, 4, 5) + s(3, 4, 5)$ द्वारा दी गई हैं।
दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ है।
यहाँ,$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{6}$ है।
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (\lambda-1, 2, 2)$.
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\lambda-1)(-1) + 2(2) + 2(-1)|}{\sqrt{6}} = \frac{|3-\lambda|}{\sqrt{6}}$.
दिया गया है कि $d = \frac{1}{\sqrt{6}}$,इसलिए $|3-\lambda| = 1$,जिससे $\lambda = 4$ या $\lambda = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda_1 = 4$ और $\lambda_2 = 2$.
हमें $(0,0), (4,2)$ और $(2,4)$ से गुजरने वाले वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करनी है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = 6$ है।
भुजाओं की लंबाई $OA = \sqrt{20}, OB = \sqrt{20}, AB = \sqrt{8}$ है।
त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{8}}{4 \cdot 6} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$.

(B) दिया गया है $x^2+x+1=0$. चूंकि $\alpha$ एक मूल है,$\alpha^2+\alpha+1=0$. अतः,$\alpha = \omega$ या $\omega^2$,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है। हम जानते हैं कि $\omega^3=1$ और $1+\omega+\omega^2=0$.
मैट्रिक्स गुणन करने पर: $\begin{bmatrix} 4 & a & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 16 & 13 \\ -1 & -1 & 2 \\ -2 & -14 & -8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-a-2b & 64-a-14b & 52+2a-8b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
इससे समीकरण मिलते हैं: $a+2b=4$ और $a+14b=64$.
समीकरणों को घटाने पर: $12b=60 \Rightarrow b=5$. $b=5$ को $a+2b=4$ में रखने पर $a+10=4 \Rightarrow a=-6$ प्राप्त होता है।
अब,$a=-6, b=5$ को $\frac{4}{\alpha^4} + \frac{m}{\alpha^a} + \frac{n}{\alpha^b} = 3$ में रखें।
चूंकि $\alpha^3=1$,$\alpha^4=\alpha$,$\alpha^{-6}=1$,और $\alpha^5=\alpha^2$.
अतः,$\frac{4}{\alpha} + m + \frac{n}{\alpha^2} = 3$.
$\frac{1}{\alpha} = \alpha^2$ और $\frac{1}{\alpha^2} = \alpha$ का उपयोग करने पर,$4\alpha^2 + m + n\alpha = 3$ प्राप्त होता है।
$\alpha^2 = -1-\alpha$ होने के कारण,$4(-1-\alpha) + m + n\alpha = 3 \Rightarrow (n-4)\alpha + (m-4) = 3$.
इस समीकरण के लिए,$n-4=0 \Rightarrow n=4$ और $m-4=3 \Rightarrow m=7$.
अतः,$m+n = 7+4 = 11$.

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{3} + \frac{3}{x} + 3$,$x \neq 0$.
वर्धमान और ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} = \frac{x^2 - 9}{3x^2} = \frac{(x-3)(x+3)}{3x^2}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 3$ और $x = -3$ प्राप्त होता है।
क्रांतिक बिंदु $x = -3, 0, 3$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर:
$x \in (-\infty, -3)$ के लिए,$f'(x) > 0$,अतः $f(x)$ निरंतर वर्धमान है।
$x \in (-3, 0)$ के लिए,$f'(x) < 0$,अतः $f(x)$ निरंतर ह्रासमान है।
$x \in (0, 3)$ के लिए,$f'(x) < 0$,अतः $f(x)$ निरंतर ह्रासमान है।
$x \in (3, \infty)$ के लिए,$f'(x) > 0$,अतः $f(x)$ निरंतर वर्धमान है।
दिए गए अंतरालों से तुलना करने पर:
वर्धमान अंतराल $(-\infty, -3) \cup (3, \infty) \Rightarrow \alpha_1 = -3, \alpha_2 = 3$.
ह्रासमान अंतराल $(-3, 0) \cup (0, 3) \Rightarrow \alpha_3 = -3, \alpha_4 = 0, \alpha_5 = 3$.
अतः,$\sum_{i=1}^5 \alpha_i^2 = (-3)^2 + (3)^2 + (-3)^2 + (0)^2 + (3)^2 = 9 + 9 + 9 + 0 + 9 = 36$.

(A) दिया गया है: $P(A) = 0.7$,$P(B) = 0.4$,$P(A \cap \overline{B}) = 0.5$.
सबसे पहले,$P(A \cap B)$ ज्ञात करें:
$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}) \implies 0.7 = P(A \cap B) + 0.5 \implies P(A \cap B) = 0.2$.
इसके बाद,$P(A \cup \overline{B})$ ज्ञात करें:
$P(A \cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A \cap \overline{B}) = 0.7 + (1 - 0.4) - 0.5 = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$.
अब,$P(B \mid (A \cup \overline{B}))$ की गणना करें:
$P(B \mid (A \cup \overline{B})) = \frac{P(B \cap (A \cup \overline{B}))}{P(A \cup \overline{B})} = \frac{P((B \cap A) \cup (B \cap \overline{B}))}{P(A \cup \overline{B})} = \frac{P(A \cap B) + 0}{0.8} = \frac{0.2}{0.8} = \frac{1}{4}$.

(D) दिया गया है $I_1 = \int_{-\frac{1}{2}}^1 2x f(2x(1-2x)) dx$. मान लीजिए $2x = t$,तो $2dx = dt$,अर्थात $dx = \frac{1}{2} dt$. जब $x = -\frac{1}{2}$,तब $t = -1$. जब $x = 1$,तब $t = 2$. इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$I_1 = \int_{-1}^2 t f(t(1-t)) \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_{-1}^2 t f(t(1-t)) dt$. अतः,$2I_1 = \int_{-1}^2 t f(t(1-t)) dt$.
गुणधर्म $\int_a^b g(t) dt = \int_a^b g(a+b-t) dt$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $2I_1 = \int_{-1}^2 (1-t) f((1-t)(1-(1-t))) dt = \int_{-1}^2 (1-t) f((1-t)t) dt$.
इसका विस्तार करने पर,$2I_1 = \int_{-1}^2 f(t(1-t)) dt - \int_{-1}^2 t f(t(1-t)) dt$.
$I_2 = \int_{-1}^2 f(t(1-t)) dt$ और $2I_1 = \int_{-1}^2 t f(t(1-t)) dt$ रखने पर,हमें मिलता है $2I_1 = I_2 - 2I_1$.
अतः,$4I_1 = I_2$,जिसका अर्थ है कि $\frac{I_2}{I_1} = 4$.

(D) मान लीजिए सदिश $\vec{p}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में स्थित है। तब $\vec{p} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ होगा।
चूंकि $\vec{p}$,$\vec{a}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{p} \cdot \vec{a} = 0$ होगा।
$(\vec{a} + \lambda \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{a} + \lambda (\vec{b} \cdot \vec{a}) = 0$.
दिया है $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{a} \cdot \vec{a} = 1^2 + 2^2 + 1^2 = 6$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (2)(1) + (1)(2) + (-1)(1) = 2 + 2 - 1 = 3$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $6 + \lambda(3) = 0 \Rightarrow \lambda = -2$.
अतः,$\vec{p} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) - 2(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = -3\hat{i} + 3\hat{k}$.
इकाई सदिश $\hat{c}$ का मान $\pm \frac{\vec{p}}{|\vec{p}|} = \pm \frac{-3\hat{i} + 3\hat{k}}{\sqrt{(-3)^2 + 3^2}} = \pm \frac{-3\hat{i} + 3\hat{k}}{3\sqrt{2}} = \pm \frac{-\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}}$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही सदिश $\frac{1}{\sqrt{2}}(-\hat{i} + \hat{k})$ है।

(C) माना $I = \pi^2 \int_{-1}^{3/2} |x \sin(\pi x)| \, dx$.
चूंकि $x \sin(\pi x) \ge 0$ अंतराल $x \in [-1, 0]$ और $x \in [1, 3/2]$ के लिए है,और $x \sin(\pi x) \le 0$ अंतराल $x \in [0, 1]$ के लिए है,हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$I = \pi^2 \left[ \int_{-1}^{0} x \sin(\pi x) \, dx - \int_{0}^{1} x \sin(\pi x) \, dx + \int_{1}^{3/2} x \sin(\pi x) \, dx \right]$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int x \sin(\pi x) \, dx = -\frac{x}{\pi} \cos(\pi x) + \frac{1}{\pi^2} \sin(\pi x)$.
भागों का मूल्यांकन करने पर:
$\int_{-1}^{0} x \sin(\pi x) \, dx = [-\frac{x}{\pi} \cos(\pi x) + \frac{1}{\pi^2} \sin(\pi x)]_{-1}^{0} = \frac{1}{\pi}$.
$\int_{0}^{1} x \sin(\pi x) \, dx = [-\frac{x}{\pi} \cos(\pi x) + \frac{1}{\pi^2} \sin(\pi x)]_{0}^{1} = \frac{1}{\pi}$.
$\int_{1}^{3/2} x \sin(\pi x) \, dx = [-\frac{x}{\pi} \cos(\pi x) + \frac{1}{\pi^2} \sin(\pi x)]_{1}^{3/2} = -\frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{\pi}$.
मान रखने पर: $I = \pi^2 [\frac{1}{\pi} - \frac{1}{\pi} + (\frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi^2})] = 1 + 3\pi$.

(C) समुच्चय $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ है। संबंध $R$ को $(x, y) \in R$ यदि $\max\{x, y\} \in \{3, 4\}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
हम उन युग्मों $(x, y)$ को सूचीबद्ध करते हैं जिनके लिए $\max\{x, y\} = 3$ या $\max\{x, y\} = 4$ है:
$\max\{x, y\} = 3$ के लिए,युग्म $(0, 3), (3, 0), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 3)$ हैं।
$\max\{x, y\} = 4$ के लिए,युग्म $(0, 4), (4, 0), (1, 4), (4, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 4)$ हैं।
अतः,$R = \{(0, 3), (3, 0), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (0, 4), (4, 0), (1, 4), (4, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 4)\}$.
$R$ में अवयवों की कुल संख्या $16$ है। इसलिए,$(S_1)$ गलत है।
स्वतुल्यता के लिए: $(0, 0) \notin R$ क्योंकि $\max\{0, 0\} = 0 \notin \{3, 4\}$। अतः,$R$ स्वतुल्य नहीं है।
सममितता के लिए: यदि $(x, y) \in R$ है,तो $\max\{x, y\} \in \{3, 4\}$। चूंकि $\max\{x, y\} = \max\{y, x\}$,इसलिए $(y, x) \in R$। अतः,$R$ सममित है।
संक्रामकता के लिए: $(0, 3) \in R$ और $(3, 1) \in R$,लेकिन $(0, 1) \notin R$ क्योंकि $\max\{0, 1\} = 1 \notin \{3, 4\}$। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
इसलिए,केवल $(S_2)$ सही है।

(C) दिया गया है $f(x)=x-1$ और $g(x)=e^x$।
सबसे पहले,$g(f(f(x)))$ ज्ञात करें:
$f(f(x)) = f(x-1) = (x-1)-1 = x-2$.
$g(f(f(x))) = g(x-2) = e^{x-2}$.
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + \frac{y}{\sqrt{x}} = e^{-2 \sqrt{x}} \cdot e^{x-2} = e^{x-2 \sqrt{x}-2}$ है।
यह $\frac{d y}{d x} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ और $Q(x) = e^{x-2 \sqrt{x}-2}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx} = e^{2 \sqrt{x}}$ है।
हल $y \cdot e^{2 \sqrt{x}} = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \cdot e^{2 \sqrt{x}} = \int e^{x-2 \sqrt{x}-2} \cdot e^{2 \sqrt{x}} dx + C = \int e^{x-2} dx + C = e^{x-2} + C$.
$y(0)=0$ का उपयोग करने पर: $0 \cdot e^0 = e^{0-2} + C \implies 0 = e^{-2} + C \implies C = -e^{-2}$.
अतः,$y \cdot e^{2 \sqrt{x}} = e^{x-2} - e^{-2}$.
$x=1$ पर: $y \cdot e^2 = e^{1-2} - e^{-2} = e^{-1} - e^{-2} = \frac{1}{e} - \frac{1}{e^2} = \frac{e-1}{e^2}$.
इसलिए,$y(1) = \frac{e-1}{e^4}$.

(A) माना $f(x) = \cot ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\tan ^2 x}-1}{\tan x}\right)$ है। चूँकि $2$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\sec 2 < 0$,इसलिए $\sqrt{1+\tan^2 2} = |\sec 2| = -\sec 2$ होगा। अतः,पहला पद $\cot ^{-1}\left(\frac{-\sec 2 - 1}{\tan 2}\right) = \cot ^{-1}\left(\frac{-(1+\cos 2)}{\sin 2}\right) = \cot ^{-1}\left(-\cot 1\right) = \pi - \cot ^{-1}(\cot 1) = \pi - 1$ है।
दूसरे पद के लिए,चूँकि $1/2$ पहले चतुर्थांश में है,$\sec(1/2) > 0$,इसलिए $\sqrt{1+\tan^2(1/2)} = \sec(1/2)$ होगा। अतः,दूसरा पद $\cot ^{-1}\left(\frac{\sec(1/2) + 1}{\tan(1/2)}\right) = \cot ^{-1}\left(\frac{1+\cos(1/2)}{\sin(1/2)}\right) = \cot ^{-1}\left(\cot(1/4)\right) = 1/4$ है।
दोनों को घटाने पर,हमें $(\pi - 1) - 1/4 = \pi - 5/4$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 2+p & 2+p+q \\ 4 & 6+2p & 8+3p+2q \\ 6 & 12+3p & 20+6p+3q \end{bmatrix}$.
स्तंभ संक्रियाओं का उपयोग करते हुए: $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$,हम सारणिक को सरल करते हैं।
$|A| = \begin{vmatrix} 2 & p & q \\ 4 & 2+2p & 2+p+q \\ 6 & 6+3p & 8+3p+q \end{vmatrix}$.
इसे और सरल करने पर,हमें $|A| = 8 = 2^3$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(M))) = |M|^{(n-1)^2}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ $n=3$ है,इसलिए $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(3A))) = |3A|^{(3-1)^2} = |3A|^4$.
चूँकि $|3A| = 3^3 |A| = 3^3 \cdot 2^3$,इसलिए $|3A|^4 = (3^3 \cdot 2^3)^4 = 3^{12} \cdot 2^{12}$.
$2^m \cdot 3^n$ के साथ तुलना करने पर,हमें $m=12$ और $n=12$ प्राप्त होता है।
अतः,$m+n = 12+12 = 24$.

(A) यह क्षेत्र परवलय $y^2 = 9x$ और रेखा $y = 3x - 6$ द्वारा परिबद्ध है।
चित्र के अनुसार,छायांकित क्षेत्र $x=0$,$y^2=9x$ (निचली शाखा $y = -3\sqrt{x}$) और $y=3x-6$ द्वारा परिबद्ध है।
$y = -3\sqrt{x}$ और $y = 3x-6$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने पर: $3x-6 = -3\sqrt{x} \implies x-2 = -\sqrt{x}$. मान लीजिए $\sqrt{x} = t$,तो $t^2+t-2=0 \implies (t+2)(t-1)=0 \implies t=1 \implies x=1$.
$A = \int_{0}^{1} [(-3\sqrt{x}) - (3x-6)] dx = \int_{0}^{1} (-3x^{1/2} - 3x + 6) dx$
$A = [-3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{3x^2}{2} + 6x]_0^1 = [-2(1) - 1.5 + 6] = 2.5$.
$6A = 6 \times 2.5 = 15$.

(B) $f(x) = \cos^{-1}\left(\frac{4x+5}{3x-7}\right)$ के लिए,$-1 \leq \frac{4x+5}{3x-7} \leq 1$ आवश्यक है।
स्थिति $1$: $\frac{4x+5}{3x-7} \geq -1 \Rightarrow \frac{7x-2}{3x-7} \geq 0$. इससे $x \in (-\infty, 2/7] \cup (7/3, \infty)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $\frac{4x+5}{3x-7} \leq 1 \Rightarrow \frac{x+12}{3x-7} \leq 0$. इससे $x \in [-12, 7/3)$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन लेने पर,$f(x)$ का प्रांत $[-12, 2/7]$ है। अतः $\alpha = -12$ और $\beta = 2/7$.
$g(x) = \log_2(2-6\log_{27}(2x+5))$ के लिए,$2-6\log_{27}(2x+5) > 0$ और $2x+5 > 0$ आवश्यक है।
$6\log_{27}(2x+5) < 2$ $\Rightarrow \log_{27}(2x+5) < 1/3$ $\Rightarrow 2x+5 < 3$ $\Rightarrow x < -1$.
साथ ही,$2x+5 > 0 \Rightarrow x > -5/2$.
अतः,$g(x)$ का प्रांत $(-5/2, -1)$ है। अतः $\gamma = -5/2$ और $\delta = -1$.
अब,$|7(\alpha+\beta) + 4(\gamma+\delta)| = |7(-12 + 2/7) + 4(-5/2 - 1)| = |-84 + 2 - 10 - 4| = |-96| = 96$.

(C) मान लीजिए रेखाएं इस प्रकार हैं:
$L_1: x+2=y-1=z=\ell$
$L_2: \frac{x-3}{5}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{1}=m$
$L_3: \frac{x}{-3}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-2}{1}=n$
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$x = \ell-2, y = \ell+1, z = \ell$
$x = 5m+3, y = -m, z = m+1$
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\ell-2=5m+3, \ell+1=-m, \ell=m+1$. हल करने पर $\ell=0, m=-1$ प्राप्त होता है। बिंदु $A = (-2, 1, 0)$ है।
$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$x = 5m+3, y = -m, z = m+1$
$x = -3n, y = 3n+3, z = n+2$
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $5m+3=-3n, -m=3n+3, m+1=n+2$. हल करने पर $m=0, n=-1$ प्राप्त होता है। बिंदु $B = (3, 0, 1)$ है।
$L_3$ और $L_1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$x = -3n, y = 3n+3, z = n+2$
$x = \ell-2, y = \ell+1, z = \ell$
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $-3n=\ell-2, 3n+3=\ell+1, n+2=\ell$. हल करने पर $\ell=2, n=0$ प्राप्त होता है। बिंदु $C = (0, 3, 2)$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$
$\vec{AB} = (3 - (-2))\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (1-0)\hat{k} = 5\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AC} = (0 - (-2))\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2-2) - \hat{j}(10-2) + \hat{k}(10+2) = -4\hat{i} - 8\hat{j} + 12\hat{k}$
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2 + 12^2} = \frac{1}{2} \sqrt{16 + 64 + 144} = \frac{1}{2} \sqrt{224} = \sqrt{56}$
$A^2 = 56$.