बिंदु (-9, 4) से गुजरने वाले और रेखाओं x+y=3 | vedclass

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Question

(A) रेखाएँ $x+y=3$ और $x-y=3$ बिंदु $(3, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। इन रेखाओं के कोण समद्विभाजक $y=0$ और $x=3$ हैं। चूँकि वृत्त दोनों रेखाओं को स्पर्

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$768$

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(A) रेखाएँ $x+y=3$ और $x-y=3$ बिंदु $(3, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। इन रेखाओं के कोण समद्विभाजक $y=0$ और $x=3$ हैं। चूँकि वृत्त दोनों रेखाओं को स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्र कोण समद्विभाजक $y=0$ पर स्थित होने चाहिए। माना केंद्र $(a, 0)$ है।त्रिज्या $r$,बिंदु $(a, 0)$ से रेखा $x+y-3=0$ की लंबवत दूरी है,अतः $r = \frac{|a+0-3|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|a-3|}{\sqrt{2}}$।वृत्त का समीकरण $(x-a)^2 + y^2 = r^2 = \frac{(a-3)^2}{2}$ है।चूँकि वृत्त $(-9, 4)$ से गुजरता है,इसलिए $(-9-a)^2 + 4^2 = \frac{(a-3)^2}{2}$ होगा।$2((a+9)^2 + 16) = (a-3)^2$$2(a^2 + 18a + 81 + 16) = a^2 - 6a + 9$$2a^2 + 36a + 194 = a^2 - 6a + 9$$a^2 + 42a + 185 = 0$$(a+37)(a+5) = 0$अतः,$a = -37$ या $a = -5$ है।$a = -37$ के लिए,$r_1 = \frac{|-37-3|}{\sqrt{2}} = \frac{40}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2}$,इसलिए $r_1^2 = 800$।$a = -5$ के लिए,$r_2 = \frac{|-5-3|}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$,इसलिए $r_2^2 = 32$।त्रिज्याओं के वर्गों का निरपेक्ष अंतर $|800 - 32| = 768$ है।

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समतल में क्षेत्रों $A=\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 100\}$ और $B=\{(x, y) \mid \sin (x+y)>0\}$ पर विचार करें। तब,क्षेत्र $A \cap B$ का क्षेत्रफल $....\pi$ है।

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