यदि अवकल समीकरण frac{dy}{dx}+(tan x)y=frac{2+ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+(	an x)y=\frac{2+\sec x}{(1+2\sec x)^2}$ है।यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P

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$\frac{4-\sqrt{2}}{14}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+(	an x)y=\frac{2+\sec x}{(1+2\sec x)^2}$ है।यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=	an x$ और $Q=\frac{2+\sec x}{(1+2\sec x)^2}$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int 	an x dx} = \sec x$ है।सामान्य हल $y \sec x = \int Q \cdot IF dx + C$ है।$y \sec x = \int \frac{2+\sec x}{(1+2\sec x)^2} \sec x dx = \int \frac{2\cos x+1}{(\cos x+2)^2} dx$ है।$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ और $t = 	an(x/2)$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \frac{2dt}{1+t^2}$ प्राप्त होता है।$y \sec x = \int \frac{3-t^2}{(t^2+3)^2} 2dt = \frac{2t}{t^2+3} + C$ है।$f(\pi/3) = \sqrt{3}/10$ दिया गया है,अतः $x=\pi/3$ के लिए $t = 	an(\pi/6) = 1/\sqrt{3}$ है।$(\sqrt{3}/10) \cdot 2 = \frac{2(1/\sqrt{3})}{1/3+3} + C \implies C=0$ प्राप्त होता है।अतः $y \sec x = \frac{2t}{t^2+3}$ है। $x=\pi/4$ के लिए $t = 	an(\pi/8) = \sqrt{2}-1$ है।$y \cdot \sqrt{2} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}-1)^2+3} = \frac{\sqrt{2}-1}{3-\sqrt{2}}$ है।$y = \frac{4-\sqrt{2}}{14}$ प्राप्त होता है।

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मान लीजिए $f$ एक अवकलनीय फलन है जहाँ $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ है। यदि $y^{\prime}+y f^{\prime}(x)-f(x) f^{\prime}(x)=0$ और $\lim _{x \rightarrow \infty} y(x)=0$ है,तो:

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