यदि sum_{r=1}^9 left(frac{r+3}{2^r}right) cdo | vedclass

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Question

(C) दिया गया व्यंजक $\sum_{r=1}^9 \left(\frac{r+3}{2^r}\right) \cdot {}^9C_r = \alpha \left(\frac{3}{2}\right)^9 - \beta$ है। योगफल को दो भागों में वि

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$81$

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(C) दिया गया व्यंजक $\sum_{r=1}^9 \left(\frac{r+3}{2^r}\right) \cdot {}^9C_r = \alpha \left(\frac{3}{2}\right)^9 - \beta$ है। योगफल को दो भागों में विभाजित करने पर: $\sum_{r=1}^9 \frac{r}{2^r} {}^9C_r + 3 \sum_{r=1}^9 \frac{1}{2^r} {}^9C_r$. सर्वसमिका $r \cdot {}^nC_r = n \cdot {}^{n-1}C_{r-1}$ का उपयोग करने पर,पहला भाग: $\frac{9}{2} \sum_{r=1}^9 {}^8C_{r-1} \left(\frac{1}{2}\right)^{r-1} = \frac{9}{2} \left(1 + \frac{1}{2}\right)^8 = 3 \left(\frac{3}{2}\right)^9$. दूसरा भाग: $3 \left[ \left(1 + \frac{1}{2}\right)^9 - 1 \right] = 3 \left(\frac{3}{2}\right)^9 - 3$. दोनों को जोड़ने पर: $6 \left(\frac{3}{2}\right)^9 - 3$. तुलना करने पर $\alpha = 6$ और $\beta = 3$ प्राप्त होता है। अतः,$(\alpha + \beta)^2 = (6 + 3)^2 = 81$.

यदि $\sum_{r=1}^9 \left(\frac{r+3}{2^r}\right) \cdot {}^9C_r = \alpha \left(\frac{3}{2}\right)^9 - \beta$,जहाँ $\alpha, \beta \in N$,तो $(\alpha + \beta)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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