मान लीजिए alpha, beta (alpha neq beta) m के व | vedclass

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Question

(D) रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और संवर्धित सारणिक $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ भ

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$440$

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(D) रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और संवर्धित सारणिक $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ भी $0$ होने चाहिए।गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 4 \ 1 & 4 & 10 \end{bmatrix}$ है।$\Delta = 1(20-16) - 1(10-4) + 1(4-2) = 4 - 6 + 2 = 0$.अब,$\Delta_z = 0$ के लिए शर्त की जाँच करते हैं:$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 2 & m \ 1 & 4 & m^2 \end{vmatrix} = 1(2m^2-4m) - 1(m^2-m) + 1(4-2) = 2m^2 - 4m - m^2 + m + 2 = m^2 - 3m + 2 = 0$.$m^2 - 3m + 2 = 0$ को हल करने पर $(m-1)(m-2) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $m = 1$ या $m = 2$.इस प्रकार,$\alpha = 1$ और $\beta = 2$.हमें $\sum_{n=1}^{10}(n^1 + n^2) = \sum_{n=1}^{10} n + \sum_{n=1}^{10} n^2$ की गणना करनी है।$k=10$ के लिए सूत्रों $\sum_{n=1}^{k} n = \frac{k(k+1)}{2}$ और $\sum_{n=1}^{k} n^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:$\sum_{n=1}^{10} n = \frac{10 	imes 11}{2} = 55$.$\sum_{n=1}^{10} n^2 = \frac{10 	imes 11 	imes 21}{6} = 385$.कुल योग $55 + 385 = 440$ है।

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