यदि y = y(x) अवकल समीकरण sqrt{4-x^2} frac{dy} | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{4-x^2} \frac{dy}{dx} + y \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) = \left(\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right)^3$ है। $\s

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{4-x^2} \frac{dy}{dx} + y \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) = \left(\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right)^3$ है। $\sqrt{4-x^2}$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} + \frac{\sin^{-1}(x/2)}{\sqrt{4-x^2}} y = \frac{(\sin^{-1}(x/2))^3}{\sqrt{4-x^2}}$ प्राप्त होता है। यह एक रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x) = \frac{\sin^{-1}(x/2)}{\sqrt{4-x^2}}$ और $Q(x) = \frac{(\sin^{-1}(x/2))^3}{\sqrt{4-x^2}}$ है। समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\sin^{-1}(x/2)}{\sqrt{4-x^2}} dx}$ है। माना $u = \sin^{-1}(x/2)$,तो $du = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$ है। अतः,$IF = e^{\int u du} = e^{u^2/2} = e^{\frac{(\sin^{-1}(x/2))^2}{2}}$ है। हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है। $y e^{\frac{(\sin^{-1}(x/2))^2}{2}} = \int u^3 e^{u^2/2} du + C$ है। माना $t = u^2/2$,तो $dt = u du$ है। समाकलन $\int 2t e^t dt = 2e^t(t-1) + C$ होता है। मान रखने पर,$y = u^2 - 2 + C e^{-u^2/2}$ प्राप्त होता है। $y(2) = \frac{\pi^2-8}{4}$ और $u = \pi/2$ रखने पर,$C = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$y = u^2 - 2 = (\sin^{-1}(x/2))^2 - 2$ है। $x=0$ के लिए,$y(0) = -2$ है। अतः,$y^2(0) = (-2)^2 = 4$ है।

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