मान लीजिए P_n = alpha^n + beta^n, n in N है। | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $P_n = \alpha^n + \beta^n$। हम देखते हैं कि $P_{10} = P_9 + P_8$ $(123 = 76 + 47)$।यह दर्शाता है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण

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$x^2 + x - 1 = 0$

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(B) दिया गया है $P_n = \alpha^n + \beta^n$। हम देखते हैं कि $P_{10} = P_9 + P_8$ $(123 = 76 + 47)$।यह दर्शाता है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2 - x - 1 = 0$ के मूल हैं।इस समीकरण के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = 1$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = -1$ है।हमें $\frac{1}{\alpha}$ और $\frac{1}{\beta}$ मूलों वाला द्विघात समीकरण ज्ञात करना है।नए मूलों का योग $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{1}{-1} = -1$ है।नए मूलों का गुणनफल $\frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha \beta} = \frac{1}{-1} = -1$ है।आवश्यक द्विघात समीकरण $x^2 - (	ext{मूलों का योग})x + (	ext{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।मान रखने पर,हमें $x^2 - (-1)x + (-1) = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + x - 1 = 0$ हो जाता है।

मान लीजिए $P_n = \alpha^n + \beta^n, n \in N$ है। यदि $P_{10} = 123, P_9 = 76, P_8 = 47$ और $P_1 = 1$ है,तो $\frac{1}{\alpha}$ और $\frac{1}{\beta}$ मूलों वाला द्विघात समीकरण क्या है?

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