माना परवलय y^2=16x की नाभीय जीवा PQ का बिंदु | vedclass

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Question

(A) परवलय का समीकरण $y^2=16x$ है। इसे $y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$a=4$ प्राप्त होता है। नाभि $S$ $(4, 0)$ है।बिंदु $P$ के निर्देशांक $(at_1^2, 2at_1)$

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$17$

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(A) परवलय का समीकरण $y^2=16x$ है। इसे $y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$a=4$ प्राप्त होता है। नाभि $S$ $(4, 0)$ है।बिंदु $P$ के निर्देशांक $(at_1^2, 2at_1)$ हैं। दिया है $P = (1, -4)$,अतः $2at_1 = -4$ $\Rightarrow 2(4)t_1 = -4$ $\Rightarrow t_1 = -\frac{1}{2}$.चूँकि $PQ$ एक नाभीय जीवा है,इसके अंत बिंदुओं के प्राचल का गुणनफल $t_1 t_2 = -1$ होता है। अतः,$t_2 = -\frac{1}{t_1} = 2$.बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(at_2^2, 2at_2) = (4(2)^2, 2(4)(2)) = (16, 16)$ हैं।माना नाभि $S(4, 0)$ जीवा $PQ$ को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करती है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:$4 = \frac{m(16) + n(1)}{m+n}$$4m + 4n = 16m + n$$3n = 12m \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{1}{4}$.यहाँ $\operatorname{gcd}(1, 4) = 1$,अतः $m=1$ और $n=4$.इसलिए,$m^2+n^2 = 1^2+4^2 = 17$.

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