JEE Main 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) $m$ દળ અને $\ell$ લંબાઈના સમાન પાતળા સળિયા માટે,તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{1} = \frac{m \ell^{2}}{3}$ છે.
જ્યારે સળિયાને $r$ ત્રિજ્યાની રીંગમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે રીંગનો પરિઘ સળિયાની લંબાઈ જેટલો હોય છે,તેથી $\ell = 2 \pi r$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{\ell}{2 \pi}$.
$m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{2} = \frac{1}{2} m r^{2}$ છે.
$I_{2}$ ના સમીકરણમાં $r = \frac{\ell}{2 \pi}$ મૂકતા,આપણને $I_{2} = \frac{1}{2} m \left(\frac{\ell}{2 \pi}\right)^{2} = \frac{m \ell^{2}}{8 \pi^{2}}$ મળે છે.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{I_{1}}{I_{2}}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{\frac{m \ell^{2}}{3}}{\frac{m \ell^{2}}{8 \pi^{2}}} = \frac{8 \pi^{2}}{3}$.
આને આપેલ સમીકરણ $\frac{x \pi^{2}}{3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 8$ મળે છે.

(D) ટાવરની ઊંચાઈ $H = 180 \,m$ છે. દડા જમીનથી $100 \,m$ ઉપર મળે છે,તેથી તેઓએ ટોચથી $S = 180 - 100 = 80 \,m$ અંતર કાપ્યું છે.
દડા $A$ માટે,જે સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત થાય છે $(u_A = 0)$:
$S = \frac{1}{2} g t_A^2 \implies 80 = \frac{1}{2} \times 10 \times t_A^2 \implies t_A^2 = 16 \implies t_A = 4 \,s$.
દડા $B$ ને $t = 2 \,s$ સમયે ફેંકવામાં આવે છે,તેથી તેનો મુસાફરીનો સમય $t_B = t_A - 2 = 4 - 2 = 2 \,s$ છે.
દડા $B$ માટે,ગતિના સમીકરણ $S = u t_B + \frac{1}{2} g t_B^2$ નો ઉપયોગ કરતા (નીચેની દિશાને ધન લેતા):
$80 = u(2) + \frac{1}{2}(10)(2)^2$
$80 = 2u + 20$
$2u = 60$
$u = 30 \,m \,s^{-1}$.

(B) ત્રણ ટુકડાઓના દળ $m_1 = \frac{M}{4}$,$m_2 = \frac{M}{4}$,અને $m_3 = \frac{2M}{4} = \frac{M}{2}$ છે.
શરૂઆતમાં પદાર્થ સ્થિર હોવાથી,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ કુલ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $\vec{P}_1 + \vec{P}_2 + \vec{P}_3 = 0$.
આથી $\vec{P}_3 = -(\vec{P}_1 + \vec{P}_2)$.
બે નાના ટુકડાઓના વેગમાનના મૂલ્યો $P_1 = m_1 v_1 = \frac{M}{4} \times 30 = 7.5M$ અને $P_2 = m_2 v_2 = \frac{M}{4} \times 40 = 10M$ છે.
$\vec{P}_1$ અને $\vec{P}_2$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના પરિણામી વેગમાનનું મૂલ્ય $P_{12} = \sqrt{P_1^2 + P_2^2} = \sqrt{(7.5M)^2 + (10M)^2} = \sqrt{56.25M^2 + 100M^2} = \sqrt{156.25M^2} = 12.5M$ થાય.
$\vec{P}_3 = -(\vec{P}_1 + \vec{P}_2)$ હોવાથી,$P_3 = P_{12} = 12.5M$.
હવે $P_3 = m_3 v_3 = \frac{M}{2} v_3$ હોવાથી,$\frac{M}{2} v_3 = 12.5M$.
તેથી,$v_3 = 12.5 \times 2 = 25 \, m/s$ મળે.

(C) ધારો કે $L_{O}$ એ ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કવચનું કોણીય વેગમાન છે.
કવચ સમક્ષિતિજ સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતું હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $V_{cm} = \omega R$ થાય.
ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કુલ કોણીય વેગમાન એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિને કારણે કોણીય વેગમાન અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાનનો સરવાળો છે:
$L_{O} = m V_{cm} R + I_{cm} \omega$
ગોલીય કવચ માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{3} m R^{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા $(m = 1 \, kg)$:
$L_{O} = (1) (\omega R) R + (\frac{2}{3} (1) R^{2}) \omega$
$L_{O} = \omega R^{2} + \frac{2}{3} R^{2} \omega$
$L_{O} = (1 + \frac{2}{3}) R^{2} \omega = \frac{5}{3} R^{2} \omega$
આને આપેલ સમીકરણ $\frac{a}{3} R^{2} \omega$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{a}{3} = \frac{5}{3}$
તેથી,$a = 5$.

(C) $STP$ પર વાયુના મોલની સંખ્યા $n$ એ કદને $STP$ પરના મોલર કદ $(22.4 \, L/mol)$ વડે ભાગવાથી મળે છે:
$n = \frac{44.8 \, L}{22.4 \, L/mol} = 2 \, mol$.
હિલિયમ એક પરમાણ્વિક વાયુ હોવાથી,અચળ કદે તેની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{3}{2} R$ છે.
તાપમાનમાં $\Delta T = 20.0^{\circ} C$ (જે $20.0 \, K$ ને સમાન છે) જેટલો વધારો કરવા માટે જરૂરી ઉષ્માનું સૂત્ર:
$\Delta Q = n C_V \Delta T$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta Q = 2 \times (\frac{3}{2} R) \times 20.0$
$\Delta Q = 3 \times R \times 20.0 = 60 R$.
$R = 8.3 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$ આપેલ હોવાથી:
$\Delta Q = 60 \times 8.3 = 498 \, J$.

(C) હૂકના નિયમ મુજબ,લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta L$ એ લાગુ પાડેલા બળ $F$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $F = k \Delta L$,જ્યાં $k$ એ તારનો બળ અચળાંક છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$F_{1} = m_{1}g = 1 \cdot g = 10 \, N$ ($g = 10 \, m/s^2$ લેતા),અને લંબાઈમાં વધારો $\Delta L_{1} = L_{1} - L$ છે.
તેથી,$10 = k(L_{1} - L)$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે,$F_{2} = m_{2}g = 2 \cdot g = 20 \, N$,અને લંબાઈમાં વધારો $\Delta L_{2} = L_{2} - L$ છે.
તેથી,$20 = k(L_{2} - L)$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{10}{20} = \frac{k(L_{1} - L)}{k(L_{2} - L)}$
$\frac{1}{2} = \frac{L_{1} - L}{L_{2} - L}$
$L_{2} - L = 2(L_{1} - L)$
$L_{2} - L = 2L_{1} - 2L$
$L = 2L_{1} - L_{2}$

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પરિણામી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K.E. = K_f - K_i$.
અહીં દળ $m = 500 \,g = 0.5 \,kg$ અને વેગ $v = b x^{5/2}$ આપેલ છે.
$x_i = 0$ આગળ,$v_i = b(0)^{5/2} = 0$,તેથી $K_i = 0$.
$x_f = 4 \,m$ આગળ,$v_f = b(4)^{5/2} = 0.25 \times (2^2)^{5/2} = 0.25 \times 2^5 = 0.25 \times 32 = 8 \,m/s$.
થયેલું કાર્ય $W = \frac{1}{2} m v_f^2 - 0 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (8)^2$.
$W = 0.25 \times 64 = 16 \,J$.

(C) પાણીના ફુવારા દ્વારા બ્લોક પર લાગતું બળ એ બ્લોક સાથે અથડાતા પાણીના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$F = \frac{dp}{dt} = v \frac{dm}{dt}$
અહીં,પાણીની ઝડપ $v = 10 \,m \,s^{-1}$ અને દળનો પ્રવાહ દર $\frac{dm}{dt} = 1 \,kg \,s^{-1}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$F = 10 \times 1 = 10 \,N$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = Ma$,જ્યાં $M$ એ બ્લોકનું દળ છે અને $a$ તેનો પ્રવેગ છે.
$10 = 2 \times a$
$a = \frac{10}{2} = 5 \,m \,s^{-2}$
તેથી,બ્લોકનો પ્રારંભિક પ્રવેગ $5 \,m \,s^{-2}$ છે.

(C) પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,માત્ર સમાન પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી થઈ શકે છે.
$1$. પદ $\left[ P + \frac{a}{V^2} \right]$ પરથી,$P$ ના પરિમાણ એ $\frac{a}{V^2}$ ના પરિમાણ જેટલા હોવા જોઈએ.
$[P] = \left[ \frac{a}{V^2} \right] \implies [a] = [P][V^2]$.
$2$. પદ $[V - b]$ પરથી,$b$ ના પરિમાણ એ $V$ ના પરિમાણ જેટલા હોવા જોઈએ.
$[b] = [V]$.
$3$. હવે,ગુણોત્તર $\frac{a}{b}$ ના પરિમાણ શોધીએ:
$\left[ \frac{a}{b} \right] = \frac{[P][V^2]}{[V]} = [P][V]$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{a}{b}$ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ $PV$ ને સમાન છે.

(C) ધારો કે સદિશો $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ ના મૂલ્યો $A = B = a$ છે.
સરવાળાનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cos \theta} = 2a \cos(\theta/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તફાવતનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}| = \sqrt{a^2 + a^2 - 2a^2 \cos \theta} = 2a \sin(\theta/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$|\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}| = 2|\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}|$.
કિંમતો મૂકતા,$2a \cos(\theta/2) = 2(2a \sin(\theta/2))$.
આથી,$\cos(\theta/2) = 2 \sin(\theta/2)$,એટલે કે $\tan(\theta/2) = 1/2$.
નિત્યસમ $\cos \theta = \frac{1 - \tan^2(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \theta = \frac{1 - (1/2)^2}{1 + (1/2)^2} = \frac{3/4}{5/4} = \frac{3}{5}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(3/5)$.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
દળ $M = \rho \times \text{કદ} = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $V_e = \sqrt{\frac{2G \rho \frac{4}{3} \pi R^3}{R}} = \sqrt{\frac{8}{3} G \pi \rho R^2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $V_e \propto R \sqrt{\rho}$.
ગ્રહ $B$ માટે આપેલ છે: $\rho_B = 4\rho_A$ અને $R_B = \frac{1}{2}R_A$.
તેથી,$\frac{V_{eB}}{V_{eA}} = \frac{R_B}{R_A} \sqrt{\frac{\rho_B}{\rho_A}} = \left(\frac{1}{2}\right) \sqrt{4} = \frac{1}{2} \times 2 = 1$.
આમ,$V_{eB} = V_{eA} = 12 \, km/s$.

(B) તરંગનું સમીકરણ $y = A \sin 2 \pi (nt - \frac{x}{\lambda})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,કંપવિસ્તાર $A = 10 \, cm$ છે.
મહત્તમ કણ વેગ $V_{p, \text{max}} = \omega A = (2 \pi n) A$ છે.
તરંગ વેગ $V_{\text{wave}} = n \lambda = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi n}{2 \pi / \lambda} = n \lambda$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$V_{p, \text{max}} = 4 V_{\text{wave}}$.
સમીકરણો મૂકતા: $(2 \pi n) A = 4 (n \lambda)$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને $2 \pi A = 4 \lambda$ મળે છે.
તેથી,$\lambda = \frac{2 \pi A}{4}$.
$A = 10 \, cm$ મૂકતા: $\lambda = \frac{2 \pi (10)}{4} = \frac{20 \pi}{4} = 5 \pi \, cm$.

(B) ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $\frac{\Delta Q}{\Delta t} = \left(\frac{1}{R}\right) \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ ઉષ્મીય અવરોધ છે.
$L$ જાડાઈ,$K$ ઉષ્માવાહકતા અને $A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી પ્લેટ માટે,ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{L}{KA}$ છે.
પ્લેટ $A$ માટે: $R_{1} = \frac{L_{1}}{K_{1}A} = \frac{4.0}{K(120)}$.
પ્લેટ $B$ માટે: $R_{2} = \frac{L_{2}}{K_{2}A} = \frac{2.5}{(2K)(120)}$.
પ્લેટો શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{\text{eq}} = R_{1} + R_{2}$ થાય.
કુલ જાડાઈ $L_{\text{eq}} = L_{1} + L_{2}$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ ધરાવતી સંયુક્ત પ્લેટ માટે સમતુલ્ય ઉષ્માવાહકતા $K_{\text{eq}}$ નું સૂત્ર $\frac{L_{\text{eq}}}{K_{\text{eq}}A} = \frac{L_{1}}{K_{1}A} + \frac{L_{2}}{K_{2}A}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4.0 + 2.5}{K_{\text{eq}}(120)} = \frac{4.0}{K(120)} + \frac{2.5}{2K(120)}$.
$\frac{6.5}{K_{\text{eq}}} = \frac{4}{K} + \frac{1.25}{K} = \frac{5.25}{K} = \frac{21/4}{K} = \frac{21}{4K}$.
તેથી,$K_{\text{eq}} = \frac{6.5 \times 4K}{21} = \frac{26}{21}K = \left(1 + \frac{5}{21}\right)K$.
આને $\left(1 + \frac{5}{\alpha}\right)K$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 21$ મળે છે.

(D) પ્રારંભિક કંપનવિસ્તાર $A = 10 \, cm$. $SHM$ ની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે.
સ્થાન $x = 5 \, cm$ પર,વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega \sqrt{10^2 - 5^2} = \omega \sqrt{75}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\omega^2 = \frac{k}{m}$,તેથી $v = \sqrt{\frac{k}{m}} \sqrt{75}$.
જ્યારે વેગ ત્રણ ગણો કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો વેગ $v' = 3v = 3 \sqrt{\frac{75k}{m}}$ થાય છે.
$x = 5 \, cm$ પર સ્થિતિ ઉર્જા બદલાતી નથી: $U = \frac{1}{2} k (5)^2 = 12.5 k$.
નવી કુલ ઉર્જા $E'$ એ $x=5$ પરની સ્થિતિ ઉર્જા અને નવી ગતિ ઉર્જા $K'$ નો સરવાળો છે:
$E' = \frac{1}{2} k (5)^2 + \frac{1}{2} m (3v)^2 = 12.5 k + \frac{1}{2} m \left( 9 \cdot \frac{75k}{m} \right) = 12.5 k + 337.5 k = 350 k$.
કારણ કે $E' = \frac{1}{2} k A'^2$,તેથી $\frac{1}{2} k A'^2 = 350 k \implies A'^2 = 700$.
આમ,$A' = \sqrt{700} \, cm$,જે સૂચવે છે કે $x = 700$.

(D) રિવર્સિબલ હીટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $Q_1 = 300 \, cal$ અને $Q_2 = 225 \, cal$ આપેલ છે.
સ્ત્રોતનું તાપમાન $T_1 = 227^{\circ} C = 227 + 273 = 500 \, K$.
સંબંધ $\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_2}{T_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{225}{300} = \frac{T_2}{500}$.
$T_2 = \frac{225 \times 500}{300} = \frac{225 \times 5}{3} = 75 \times 5 = 375 \, K$.
સિંકનું તાપમાન સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2(^{\circ} C) = 375 - 273 = 102^{\circ} C$.

(A) ટીપું સંતુલનમાં રહે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતા બળો (પ્લવન બળ અને પૃષ્ઠતાણ બળ) નીચેની તરફ લાગતા બળ (ટીપાનું વજન) ને સંતુલિત કરવા જોઈએ.
ધારો કે $R$ એ ટીપાની ત્રિજ્યા છે. ટીપાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ છે.
પ્લવન બળ $F_b = \text{ડૂબેલું કદ} \times \sigma \times g = \frac{V}{2} \sigma g = \frac{2}{3}\pi R^3 \sigma g$.
પૃષ્ઠતાણ બળ $F_T = T \times (2\pi R) = 2\pi RT$.
ટીપાનું વજન $W = mg = V \rho g = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho g$.
બળોને સરખાવતા: $F_b + F_T = W$
$\frac{2}{3}\pi R^3 \sigma g + 2\pi RT = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho g$
$2\pi RT = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho g - \frac{2}{3}\pi R^3 \sigma g = \frac{2}{3}\pi R^3 g (2\rho - \sigma)$
$T = \frac{R^2 g (2\rho - \sigma)}{3} \Rightarrow R^2 = \frac{3T}{g(2\rho - \sigma)}$
આપેલ છે $T = 7.5 \times 10^{-4} \, N/cm = 7.5 \times 10^{-2} \, N/m$ અને $g = 10 \, m/s^2$:
$R = \sqrt{\frac{3 \times 7.5 \times 10^{-2}}{10(2\rho - \sigma)}} = \sqrt{\frac{22.5 \times 10^{-2}}{10(2\rho - \sigma)}} = \sqrt{\frac{2.25 \times 10^{-2}}{2\rho - \sigma}} = \frac{0.15}{\sqrt{2\rho - \sigma}} \, m$
$cm$ માં ફેરવતા $(1 \, m = 100 \, cm)$:
$R = \frac{0.15 \times 100}{\sqrt{2\rho - \sigma}} \, cm = \frac{15}{\sqrt{2\rho - \sigma}} \, cm$.

(B) દરેક બોલનું દળ,$m = 0.05\,kg$.
એક બોલનો પ્રારંભિક વેગ,$u = 10\,m/s$.
અથડામણ પછી તે જ બોલનો અંતિમ વેગ,$v = -10\,m/s$ (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં પાછો ફરે છે).
એક બોલના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર,$\Delta P = m(v - u) = 0.05 \times (-10 - 10) = 0.05 \times (-20) = -1\,kg\cdot m/s$.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta P| = 1\,kg\cdot m/s$ છે.
લાગતું સરેરાશ બળ $F = \frac{|\Delta P|}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\Delta t = 0.005\,s$,તેથી $F = \frac{1}{0.005} = \frac{1000}{5} = 200\,N$.

(A) પદાર્થનો કુલ પ્રવેગ શૂન્ય થાય તે માટે પદાર્થ પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે જરૂરી વધારાનું બળ $\overrightarrow{F} = F_x \hat{i} + F_y \hat{j}$ છે.
પદાર્થ પર લાગતા બળો $5 \hat{i}$ (ધન $x$ દિશામાં),$-6 \hat{i}$ (ઋણ $x$ દિશામાં),$7 \hat{j}$ (ધન $y$ દિશામાં),અને $-8 \hat{j}$ (ઋણ $y$ દિશામાં) છે.
સંતુલન માટેની શરત $\sum \overrightarrow{F} = 0$ છે.
$\overrightarrow{F} + (5 \hat{i} - 6 \hat{i}) + (7 \hat{j} - 8 \hat{j}) = 0$
$\overrightarrow{F} - 1 \hat{i} - 1 \hat{j} = 0$
$\overrightarrow{F} = 1 \hat{i} + 1 \hat{j}$
બળનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{F}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ N}$ છે.
ધન $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{F_y}{F_x} = \frac{1}{1} = 1$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\theta = 45^{\circ}$.

(D) સેકન્ડ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \ s$ હોય છે.
સરળ લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g'}}$ છે.
સપાટીથી $h = 2R$ ઊંચાઈએ,ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ એ $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^{2} = g \left( \frac{R}{R+2R} \right)^{2} = g \left( \frac{1}{3} \right)^{2} = \frac{g}{9}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $g = \pi^{2} \ m/s^{2}$,તેથી $g' = \frac{\pi^{2}}{9} \ m/s^{2}$.
આ કિંમતોને આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા: $2 = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{\pi^{2}/9}}$.
$1 = \pi \sqrt{\frac{9L}{\pi^{2}}} = \pi \cdot \frac{3\sqrt{L}}{\pi} = 3\sqrt{L}$.
$\sqrt{L} = \frac{1}{3} \Rightarrow L = \frac{1}{9} \ m$.

(B) વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v_s = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયુના અણુઓની rms ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે કે $v_{rms} = \sqrt{2} v_s$,તેથી $\frac{v_s}{v_{rms}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
સૂત્રો મૂકતા: $\sqrt{\frac{\gamma}{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \frac{\gamma}{3} = \frac{1}{2} \Rightarrow \gamma = \frac{3}{2} = 1.5$.
મિશ્રણ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1 + \frac{2}{f_{mix}}$ છે,જ્યાં $f_{mix}$ એ અસરકારક મુક્તિના અંશો (degree of freedom) છે.
હિલિયમ (એક-પરમાણ્વીય) માટે,$f_1 = 3$. હાઇડ્રોજન (દ્વિ-પરમાણ્વીય) માટે,$f_2 = 5$.
$f_{mix} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2} = \frac{2 \times 3 + n \times 5}{n + 2} = \frac{6 + 5n}{n + 2}$.
$f_{mix}$ ને $\gamma$ ના સૂત્રમાં મૂકતા: $\gamma = 1 + \frac{2(n + 2)}{6 + 5n} = \frac{6 + 5n + 2n + 4}{6 + 5n} = \frac{7n + 10}{5n + 6}$.
તેને $1.5$ સાથે સરખાવતા: $\frac{7n + 10}{5n + 6} = \frac{3}{2} \Rightarrow 14n + 20 = 15n + 18$.
$n$ માટે ઉકેલતા: $n = 2$.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{L}}{T_{H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં તાપમાન કેલ્વિન $(K = ^{\circ}C + 273)$ માં હોવું જોઈએ.
$\eta_{1}$ માટે:
$T_{H} = 447 + 273 = 720 \ K$
$T_{L} = 147 + 273 = 420 \ K$
$\eta_{1} = 1 - \frac{420}{720} = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$.
$\eta_{2}$ માટે:
$T_{H} = 947 + 273 = 1220 \ K$
$T_{L} = 47 + 273 = 320 \ K$
$\eta_{2} = 1 - \frac{320}{1220} = 1 - \frac{16}{61} = \frac{45}{61}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{\eta_{1}}{\eta_{2}}$:
$\frac{\eta_{1}}{\eta_{2}} = \frac{5/12}{45/61} = \frac{5}{12} \times \frac{61}{45} = \frac{61}{108} \approx 0.5648$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ગુણોત્તર $0.56$ મળે છે.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{GM}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રથી અંતર $r = \frac{5}{4}R$ આપેલું હોવાથી,આ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ:
$g' = \frac{GM}{(\frac{5}{4}R)^2} = \frac{GM}{\frac{25}{16}R^2} = \frac{16}{25} \left( \frac{GM}{R^2} \right) = \frac{16}{25}g$.
વજન $W = mg$ હોવાથી,નવું વજન $W' = m g' = \frac{16}{25}mg = \frac{16}{25}W$ થાય.
વજનમાં ઘટાડો $\Delta W = W - W' = W - \frac{16}{25}W = \frac{9}{25}W$ છે.
વજનમાં ટકાવારી ઘટાડો $\frac{\Delta W}{W} \times 100 = \frac{9/25 W}{W} \times 100 = \frac{9}{25} \times 100 = 36\%$ થાય.
આમ,પદાર્થના વજનમાં થતો ટકાવારી ઘટાડો $36\%$ છે.

(B) તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન: $P_i = m_b v_b + m_s v_s = 0.2 \, kg \times 10 \, ms^{-1} + 9.8 \, kg \times 0 = 2 \, kg \cdot ms^{-1}$.
તંત્રનું અંતિમ વેગમાન: $P_f = (m_b + m_s) v = (0.2 + 9.8) \, kg \times v = 10 \, kg \times v$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $P_i = P_f \implies 2 = 10v \implies v = 0.2 \, ms^{-1}$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા: $K_i = \frac{1}{2} m_b v_b^2 = \frac{1}{2} \times 0.2 \times (10)^2 = 0.1 \times 100 = 10 \, J$.
અંતિમ ગતિઊર્જા: $K_f = \frac{1}{2} (m_b + m_s) v^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.2)^2 = 5 \times 0.04 = 0.2 \, J$.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો: $\Delta K = K_i - K_f = 10 - 0.2 = 9.8 \, J$.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અવધિ અને મહત્તમ ઊંચાઈ સમાન છે,તેથી $R = H$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g} = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$.
બંને બાજુથી $u^2/g$ ને દૂર કરતા: $2 \sin\theta \cos\theta = \frac{\sin^2\theta}{2}$.
બંને બાજુને $\sin\theta$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\sin\theta \neq 0$): $2 \cos\theta = \frac{\sin\theta}{2}$.
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ માટે ગોઠવતા: $\tan\theta = 4$.

(D) વિદ્યુત પરિપથમાં વ્યય થતી ઉષ્માનું સૂત્ર $H = I^2 R t$ છે.
ઉષ્માના માપનમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$\frac{\Delta H}{H} = 2 \left( \frac{\Delta I}{I} \right) + \frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta t}{t}$.
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીશું:
$\frac{\Delta H}{H} \times 100 = 2 \left( \frac{\Delta I}{I} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta R}{R} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta t}{t} \times 100 \right)$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ:
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 1 \%$,
$\frac{\Delta I}{I} \times 100 = 2 \%$,
$\frac{\Delta t}{t} \times 100 = 3 \%$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$H$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $= 2(2 \%) + 1 \% + 3 \% = 4 \% + 1 \% + 3 \% = 8 \%$.

(A) વેગ $v$ એ સ્થાન $s$ ના વિધેય તરીકે આપેલ છે,જ્યાં સ્થાનની સાપેક્ષમાં વેગમાં થતો ફેરફાર $\frac{dv}{ds} = 5\,m^{-1}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a$ ને $a = v \frac{dv}{ds}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અહીં $v = 20\,m/s$ અને $\frac{dv}{ds} = 5\,m^{-1}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $a = 20 \times 5 = 100\,m/s^2$ મળે છે.

(A) ધારો કે ત્રણ ગોળાઓના સ્થાન મીટરમાં $(0, 0)$,$(3, 0)$ અને $(0, 3)$ છે.
દરેક ગોળાનું દળ $M$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r}_{\text{com}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\overrightarrow{r}_{\text{com}} = \frac{M(0\hat{i} + 0\hat{j}) + M(3\hat{i} + 0\hat{j}) + M(0\hat{i} + 3\hat{j})}{M + M + M}$
$\overrightarrow{r}_{\text{com}} = \frac{M(3\hat{i} + 3\hat{j})}{3M} = \frac{3\hat{i} + 3\hat{j}}{3} = \hat{i} + \hat{j}$
સ્થાન સદિશનું મૂલ્ય:
$|\overrightarrow{r}_{\text{com}}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
આપેલ છે કે મૂલ્ય $\sqrt{x}$ છે,તેથી $\sqrt{x} = \sqrt{2}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$.

(A) જ્યારે પાણી $25^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી ઠંડું થાય છે ત્યારે ગુમાવેલી ઉષ્મા $Q = mc\Delta T$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$m = 0.3\,kg$,$c = 4200\,J\,kg^{-1}K^{-1}$,અને $\Delta T = 25^{\circ}C$ છે.
$Q = 0.3 \times 4200 \times 25 = 31500\,J$.
આ ઉષ્માનો ઉપયોગ $0^{\circ}C$ તાપમાને રહેલા $x\,g$ (અથવા $m\,kg$) બરફને ઓગાળવા માટે થાય છે.
બરફને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = mL_f$ છે,જ્યાં $L_f = 3.5 \times 10^{5}\,J\,kg^{-1}$ છે.
$31500 = m \times 3.5 \times 10^{5}$.
$m = \frac{31500}{3.5 \times 10^{5}} = \frac{31500}{350000} = 0.09\,kg$.
ગ્રામમાં ફેરવતા,$m = 0.09 \times 1000 = 90\,g$.
તેથી,$x = 90$.

(C) સમાન કંપનવિસ્તાર $A_1 = A_2 = A$ અને કળા તફાવત $\phi$ ધરાવતા બે તરંગોના સંપાતીકરણથી મળતા પરિણામી કંપનવિસ્તાર $A_R$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$A_R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$
આપેલ છે કે $A_R = \sqrt{3}A$,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$\sqrt{3}A = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \phi}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$3A^2 = 2A^2 + 2A^2 \cos \phi$
$3A^2 - 2A^2 = 2A^2 \cos \phi$
$A^2 = 2A^2 \cos \phi$
$\cos \phi = \frac{1}{2}$
તેથી,$\phi = 60^{\circ}$.

(A) સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^{-1} T^{-1}]$ છે.
ધારો કે પારિમાણિક સૂત્ર $\eta = P^x A^y T^z$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે મૂળભૂત રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[P] = [M^1 L^1 T^{-1}]$
$[A] = [L^2]$
$[T] = [T^1]$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^1 L^{-1} T^{-1}] = [M^1 L^1 T^{-1}]^x [L^2]^y [T^1]^z$
$[M^1 L^{-1} T^{-1}] = M^x L^{x+2y} T^{-x+z}$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $x = 1$
$L$ માટે: $x + 2y = -1 \implies 1 + 2y = -1 \implies 2y = -2 \implies y = -1$
$T$ માટે: $-x + z = -1 \implies -1 + z = -1 \implies z = 0$
આમ,પારિમાણિક સૂત્ર $[P^1 A^{-1} T^0]$ મળે છે.

(B) વર્તુળાકાર પથ પર કાપેલું અંતર $s = R \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ રેડિયનમાં ખૂણો છે.
આપેલ છે $s = 60 \, m$ અને $\theta = 135^{\circ} = 135 \times \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4} \, \text{રેડિયન}$.
તેથી,$60 = R \left( \frac{3\pi}{4} \right) \implies R = \frac{60 \times 4}{3\pi} = \frac{80}{\pi} \, m$.
વર્તુળ પરના બે બિંદુઓ વચ્ચેના સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $\Delta r = \sqrt{R^2 + R^2 - 2R^2 \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta r = \sqrt{2R^2(1 - \cos 135^{\circ})}$.
આપેલ છે $\cos 135^{\circ} = -0.7$,તેથી $\Delta r = \sqrt{2R^2(1 - (-0.7))} = \sqrt{2R^2(1.7)} = \sqrt{3.4 R^2} = R \sqrt{3.4}$.
$R = \frac{80}{\pi} \approx \frac{80}{3.14} \approx 25.47 \, m$ મૂકતા:
$\Delta r \approx 25.47 \times \sqrt{3.4} \approx 25.47 \times 1.844 \approx 46.97 \, m$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $47 \, m$ મળે છે.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલું કુલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K = K_f - K_i$.
અહીં દળ $m = 0.5\, kg$ અને વેગ $v = (3x^2 + 4)\, m/s$ આપેલ છે.
પ્રારંભિક સ્થાન $x_i = 0\, m$ પર,વેગ $v_i = 3(0)^2 + 4 = 4\, m/s$ થાય.
અંતિમ સ્થાન $x_f = 2\, m$ પર,વેગ $v_f = 3(2)^2 + 4 = 3(4) + 4 = 16\, m/s$ થાય.
ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = \frac{1}{2} m (v_f^2 - v_i^2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (16^2 - 4^2)$.
$W = 0.25 \times (256 - 16) = 0.25 \times 240$.
$W = 60\, J$.

(D) $H$ ઊંચાઈ ધરાવતી ઢળતી સપાટી પર લપસ્યા વિના ગબડતા પદાર્થનો વેગ $V$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = \sqrt{\frac{2gH}{1 + k^2/R^2}}$,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે,તેથી $k^2/R^2 = 1/2$.
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે,તેથી $k^2/R^2 = 2/5$.
વેગનો ગુણોત્તર: $\frac{V_{\text{cylinder}}}{V_{\text{sphere}}} = \sqrt{\frac{1 + k_{\text{sphere}}^2/R^2}{1 + k_{\text{cylinder}}^2/R^2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_{\text{cylinder}}}{V_{\text{sphere}}} = \sqrt{\frac{1 + 2/5}{1 + 1/2}} = \sqrt{\frac{7/5}{3/2}} = \sqrt{\frac{7}{5} \times \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{14}{15}}$.

(B) ધારો કે દરેક કણનું દળ $M = 100 \, kg$ છે. અંતર $AB = BC = r = 13 \, m$ છે. કણ $P$ એ $AC$ ના લંબ દ્વિભાજક પર $B$ થી $r = 13 \, m$ અંતરે છે.
$P$ નું $B$ થી અંતર $r_B = 13 \, m$ છે.
$P$ નું $A$ અને $C$ થી અંતર $r_A = r_C = \sqrt{13^2 + 13^2} = 13\sqrt{2} \, m$ છે.
$B$ દ્વારા $P$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_B = \frac{GM^2}{r^2}$ છે જે $B$ તરફ લાગે છે.
$A$ અને $C$ દ્વારા $P$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_A = F_C = \frac{GM^2}{(13\sqrt{2})^2} = \frac{GM^2}{2r^2}$ છે.
$F_A$ અને $F_C$ ના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. ઉર્ધ્વ ઘટકોનો સરવાળો થાય છે:
$F_{net} = F_B + 2 \times F_A \cos(\theta)$,જ્યાં $\cos(\theta) = \frac{13}{13\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$F_{net} = \frac{GM^2}{r^2} + 2 \times \frac{GM^2}{2r^2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{GM^2}{r^2} (1 + \frac{1}{\sqrt{2}})$.
$M = 100 \, kg$ અને $r = 13 \, m$ મૂકતા:
$F_{net} = \frac{G \times 100^2}{13^2} (1 + 0.707) \approx 100 G$.

(B) પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_{1} = 2 \times 10^{7} \; Pa$,$V_{1} = V$,$T_{1} = 300 \; K$.
પગલું $1$: સમતાપી વિસ્તરણ.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P_{1}V_{1} = P_{2}V_{2}$.
આપેલ છે કે $V_{2} = 2V_{1} = 2V$.
તેથી,$P_{2} = P_{1} \times (V_{1} / V_{2}) = (2 \times 10^{7}) \times (V / 2V) = 1 \times 10^{7} \; Pa$.
પગલું $2$: એડિબેટિક વિસ્તરણ.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$P_{2}V_{2}^{\gamma} = P_{3}V_{3}^{\gamma}$.
આપેલ છે કે $V_{3} = 2V_{2} = 4V$ અને $\gamma = 1.5$.
તેથી,$P_{3} = P_{2} \times (V_{2} / V_{3})^{\gamma} = (1 \times 10^{7}) \times (V_{2} / 2V_{2})^{1.5} = (1 \times 10^{7}) \times (1/2)^{1.5}$.
$P_{3} = (1 \times 10^{7}) / 2^{1.5} = (1 \times 10^{7}) / 2.8284 = 3.536 \times 10^{6} \; Pa$.

(A) આદર્શ વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $KE_{\text{avg}} = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
વિધાન $(1)$ સાચું છે: $KE_{\text{avg}} \propto T$ હોવાથી,તાપમાન ઘટાડતા સરેરાશ ગતિઊર્જા ઘટે છે.
વિધાન $(2)$ ખોટું છે: અચળ તાપમાને,દબાણમાં ફેરફાર કરવા છતાં $KE_{\text{avg}}$ અચળ રહે છે.
વિધાન $(3)$ ખોટું છે: અચળ તાપમાને,કદમાં ફેરફાર કરવા છતાં $KE_{\text{avg}}$ અચળ રહે છે.
વિધાન $(4)$ સાચું છે: ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદે વાયુનું દબાણ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(P \propto T)$.
વિધાન $(5)$ ખોટું છે: ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે કદ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(V \propto T)$,તેથી તાપમાન વધતા કદ વધે છે.
તેથી,વિધાન $(1)$ અને $(4)$ સાચા છે.

(A) આકૃતિ $(A)$ માટે,કુલ દળ $M = m + 2m = 3m$ છે. '$k$' અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગ સમાંતરમાં છે,તેથી અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = k + k = 2k$ થાય.
આવર્તકાળ $T_{1} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{3m}{2k}}$ મળે.
આકૃતિ $(B)$ માટે,દળ $m$ છે. '$k$' અને '$2k$' અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગ સમાંતરમાં છે,તેથી અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = k + 2k = 3k$ થાય.
આવર્તકાળ $T_{2} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{3k}}$ મળે.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{3m}{2k}}}{2\pi \sqrt{\frac{m}{3k}}} = \sqrt{\frac{3m}{2k} \cdot \frac{3k}{m}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.

(D) સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ $d$ એ સૂત્ર $d = \frac{v^2}{2a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $a$ એ પ્રતિપ્રવેગનું મૂલ્ય છે.
બ્રેકિંગ પ્રવેગ $a$ અચળ રહેતો હોવાથી,સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ એ પ્રારંભિક વેગના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $d \propto v^2$.
ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ $v_1 = 150 \ km/h$ છે અને પ્રારંભિક સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ $d_1 = 27 \ m$ છે.
નવી ઝડપ $v_2 = \frac{1}{3} v_1$ છે.
તેથી,નવું સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ $d_2 = (\frac{1}{3})^2 \times d_1 = \frac{1}{9} \times 27 \ m = 3 \ m$ થશે.

(D) તંત્ર સંતુલનમાં હોવા માટે,સમક્ષિતિજ $(x)$ અને શિરોલંબ $(y)$ બંને દિશામાં પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે સમક્ષિતિજ દિશા $x$-અક્ષ છે અને શિરોલંબ દિશા $y$-અક્ષ છે.
બળોને ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
$1$. $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે $1 \text{ N}$ નું બળ: $x$-ઘટક $= 1 \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$y$-ઘટક $= 1 \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$2$. $x$-અક્ષ સાથે $135^{\circ}$ ના ખૂણે $2 \text{ N}$ નું બળ: $x$-ઘટક $= 2 \cos 135^{\circ} = -\sqrt{2}$,$y$-ઘટક $= 2 \sin 135^{\circ} = \sqrt{2}$.
$3$. ધન $x$-અક્ષની દિશામાં $F_{1}$ બળ: $x$-ઘટક $= F_{1}$,$y$-ઘટક $= 0$.
$4$. ઋણ $y$-અક્ષની દિશામાં $F_{2}$ બળ: $x$-ઘટક $= 0$,$y$-ઘટક $= -F_{2}$.
$x$-દિશામાં બળોનો સરવાળો: $F_{1} + \frac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{2} = 0 \implies F_{1} = \sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$y$-દિશામાં બળોનો સરવાળો: $\frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2} - F_{2} = 0 \implies F_{2} = \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
તેથી,ગુણોત્તર $F_{1} : F_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} : \frac{3}{\sqrt{2}} = 1 : 3$.
આમ,$x = 3$.

(D) તારની લંબાઈમાં થતા ફેરફાર $\Delta \ell$ નું સૂત્ર $\Delta \ell = \frac{F L}{A Y}$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ છે.
પ્રથમ તાર માટે: $\Delta \ell_1 = \frac{F L}{\pi r^2 Y} = 5\,cm$.
બીજા તાર માટે: $L_2 = 4L$,$r_2 = 4r$,અને $F_2 = 4F$.
નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi (4r)^2 = 16 \pi r^2$ થાય.
લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \ell_2 = \frac{F_2 L_2}{A_2 Y} = \frac{(4F)(4L)}{(16 \pi r^2) Y} = \frac{16 F L}{16 \pi r^2 Y} = \frac{F L}{\pi r^2 Y}$.
આમ,$\frac{F L}{\pi r^2 Y} = 5\,cm$ હોવાથી,બીજા તારની લંબાઈમાં થતો વધારો $5\,cm$ છે.

(C) ધારો કે પિત્તળની લંબાઈ $\ell_{B}$ છે અને લોખંડની લંબાઈ $\ell_{i}$ છે.
શરત એ છે કે તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T$ સાથે તેમની લંબાઈ વચ્ચેનો તફાવત અચળ રહે છે:
$\ell_{B}(1 + \alpha_{B} \Delta T) - \ell_{i}(1 + \alpha_{i} \Delta T) = \ell_{B} - \ell_{i}$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\ell_{B} + \ell_{B} \alpha_{B} \Delta T - \ell_{i} - \ell_{i} \alpha_{i} \Delta T = \ell_{B} - \ell_{i}$
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$\ell_{B} \alpha_{B} \Delta T = \ell_{i} \alpha_{i} \Delta T$
$\Delta T$ વડે ભાગતા:
$\ell_{B} \alpha_{B} = \ell_{i} \alpha_{i}$
આપેલ છે કે $\ell_{B} = 40\,cm$,$\alpha_{B} = 1.8 \times 10^{-5} K^{-1}$,અને $\alpha_{i} = 1.2 \times 10^{-5} K^{-1}$:
$40 \times 1.8 \times 10^{-5} = \ell_{i} \times 1.2 \times 10^{-5}$
$\ell_{i}$ માટે ઉકેલતા:
$\ell_{i} = \frac{40 \times 1.8}{1.2} = \frac{40 \times 3}{2} = 60\,cm$.

(C) અવલોકનકારનો વેગ $V_{o} = 18\,km/h = 18 \times \frac{5}{18} = 5\,m/s$ છે. સ્ત્રોત સ્થિર છે,તેથી $V_{s} = 0$.
સીધા અવાજ માટે,અવલોકનકાર સ્ત્રોતથી દૂર જઈ રહ્યો છે. આભાસી આવૃત્તિ નીચે મુજબ મળે છે:
$f_{\text{direct}} = f_{0} \left( \frac{v - V_{o}}{v} \right) = 640 \left( \frac{320 - 5}{320} \right) = 640 \left( \frac{315}{320} \right) = 2 \times 315 = 630\,Hz$.
પરાવર્તિત અવાજ માટે,ટેકરી $f_{0} = 640\,Hz$ આવૃત્તિના સ્થિર સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે. અવલોકનકાર ટેકરી તરફ (પરાવર્તિત સ્ત્રોત તરફ) ગતિ કરી રહ્યો છે. આભાસી આવૃત્તિ નીચે મુજબ મળે છે:
$f_{\text{reflected}} = f_{0} \left( \frac{v + V_{o}}{v} \right) = 640 \left( \frac{320 + 5}{320} \right) = 640 \left( \frac{325}{320} \right) = 2 \times 325 = 650\,Hz$.
બીટ આવૃત્તિ એ બંને આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$f_{\text{beat}} = f_{\text{reflected}} - f_{\text{direct}} = 650\,Hz - 630\,Hz = 20\,Hz$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$\theta$ એ પ્રક્ષેપણ કોણ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
અહીં બંને પદાર્થો માટે $u$ સમાન હોવાથી,તેમની અવધિનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\sin(2\theta_1)}{\sin(2\theta_2)}$ થશે.
$\theta_1 = 45^{\circ}$ માટે,$2\theta_1 = 90^{\circ}$,તેથી $\sin(90^{\circ}) = 1$.
$\theta_2 = 30^{\circ}$ માટે,$2\theta_2 = 60^{\circ}$,તેથી $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
આમ,ગુણોત્તર $2: \sqrt{3}$ છે.

(C) આપેલ છે: $1\,M.S.D. = 1\,mm = 0.1\,cm$.
$10\,V.S.D. = 9\,M.S.D. \implies 1\,V.S.D. = 0.9\,M.S.D. = 0.9\,mm$.
લીસ્ટ કાઉન્ટ $(L.C.) = 1\,M.S.D. - 1\,V.S.D. = 1\,mm - 0.9\,mm = 0.1\,mm = 0.01\,cm$.
શૂન્ય ત્રુટિ: વર્નિયર સ્કેલનું શૂન્ય મુખ્ય સ્કેલના શૂન્યની ડાબી બાજુએ છે,જે ઋણ શૂન્ય ત્રુટિ સૂચવે છે. $4^{\text{th}}$ વિભાગ સંપાત થાય છે,તેથી $Zero Error = -(10 - 4) \times L.C. = -6 \times 0.01\,cm = -0.06\,cm$.
અવલોકન કરેલ રીડિંગ: $M.S.R. = 30\,mm = 3.0\,cm$. $V.S.R. = 6 \times L.C. = 6 \times 0.01\,cm = 0.06\,cm$.
માપેલ વ્યાસ $= (M.S.R. + V.S.R.) - (Zero Error) = (3.0 + 0.06) - (-0.06) = 3.06 + 0.06 = 3.12\,cm$.

(B) દડાનું પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{P}_i = m \vec{v}_i = 0.15 \times 12 \hat{i} = 1.8 \hat{i} \; kg \cdot m/s$ છે.
દીવાલ સાથે અથડાયા બાદ દડાનું અંતિમ વેગમાન $\vec{P}_f = m \vec{v}_f = 0.15 \times (-12 \hat{i}) = -1.8 \hat{i} \; kg \cdot m/s$ છે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર (આઘાત) $\Delta \vec{P} = \vec{P}_f - \vec{P}_i = -1.8 \hat{i} - 1.8 \hat{i} = -3.6 \hat{i} \; kg \cdot m/s$ છે.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{P}| = 3.6 \; kg \cdot m/s$ છે.
આઘાત-વેગમાન પ્રમેય મુજબ,આઘાત એ બળ અને સમયગાળાના ગુણાકાર જેટલો હોય છે: $|\Delta \vec{P}| = F \Delta t$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $3.6 = 100 \times \Delta t$.
તેથી,$\Delta t = \frac{3.6}{100} = 0.036 \; s$.

(B) ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{P^2}{2m}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $P = \sqrt{2mK}$.
અહીં બંને પદાર્થોની ગતિઊર્જા સમાન છે $(K_1 = K_2 = K)$,તેથી તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{\sqrt{2m_1K}}{\sqrt{2m_2K}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$.
આપેલ દળ $m_1 = 8\,kg$ અને $m_2 = 2\,kg$ મૂકતા:
$\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ થશે.

(A) ધારો કે $v_e$ એ નિષ્ક્રમણ વેગ છે,જે $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પર: $E_i = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m v^2$,જ્યાં $v = \frac{v_e}{3}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર: $E_f = -\frac{GMm}{R+h}$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m \left(\frac{v_e}{3}\right)^2 = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m \left(\frac{2GM}{9R}\right) = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{GMm}{9R} = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{8GMm}{9R} = -\frac{GMm}{R+h}$
$\frac{8}{9R} = \frac{1}{R+h}$
$8(R+h) = 9R$
$8R + 8h = 9R$
$8h = R$
$h = \frac{R}{8} = \frac{6400 \ km}{8} = 800 \ km$.

(B) ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA\Delta T}{\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોક્સનું કુલ પૃષ્ઠફળ $A = 2(0.6 \times 0.5 + 0.5 \times 0.2 + 0.2 \times 0.6) = 2(0.3 + 0.1 + 0.12) = 2(0.52) = 1.04\,m^2$ થાય.
અહીં ઉષ્મા વાહકતા $K = 0.05\,W\,m^{-1\circ}C^{-1}$,જાડાઈ $\ell = 1\,cm = 0.01\,m$,અને તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 40^{\circ}C - 0^{\circ}C = 40^{\circ}C$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{0.05 \times 1.04 \times 40}{0.01} = 0.05 \times 1.04 \times 4000 = 208\,J/s$.
બરફના ઓગળવાનો દર $m$ એ $\frac{dQ}{dt} = m L_f$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $L_f = 3.4 \times 10^5\,J/kg$ છે.
$m = \frac{208}{3.4 \times 10^5} = \frac{208}{3.4} \times 10^{-5} \approx 61.17 \times 10^{-5}\,kg/s$.
આમ,બરફના ઓગળવાનો દર આશરે $61 \times 10^{-5}\,kg/s$ છે.

(A) અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{nR}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = C_v + R = \frac{nR}{2} + R = \frac{(n+2)R}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ કદ પરની વિશિષ્ટ ઉષ્મા અને અચળ દબાણ પરની વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{C_v}{C_p} = \frac{\frac{nR}{2}}{\frac{(n+2)R}{2}} = \frac{n}{n+2}$ થાય છે.

(A) આપેલ તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx)$ છે,જ્યાં કંપવિસ્તાર $A = 2 \ cm$ છે.
મહત્તમ કણનો વેગ $v_{p,max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગનો વેગ (ફેઝ વેલોસિટી) $v_w = \frac{\omega}{k}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તરંગનો વેગ મહત્તમ કણના વેગ જેટલો છે:
$v_w = v_{p,max}$
$\frac{\omega}{k} = A\omega$
બંને બાજુથી $\omega$ દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{k} = A$
કારણ કે $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$\frac{\lambda}{2\pi} = A$
$\lambda = 2\pi A$
અહીં $A = 2 \ cm$ આપેલ હોવાથી:
$\lambda = 2\pi(2) = 4\pi \ cm$.

(A) પરિપથ અવરોધોના શ્રેણી-સમાંતર જોડાણનો બનેલો છે,જેમાં દરેક અવરોધ $R = 1\,\Omega$ છે.
આપેલ પરિપથ માટે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{15}{8}\,\Omega$ મળે છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{3}{15/8} = \frac{24}{15} = \frac{8}{5}\,A$.
પ્રશ્ન મુજબ,$I = \frac{a}{5}\,A$ હોવાથી,$a = 8$ મળે છે.

(A) સ્વીચ બંધ કરતા પહેલા,કેપેસિટર $C_{1}$ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ નીચે મુજબ છે:
$Q = C_{1} V_{0} = 5\,\mu F \times 30\,V = 150\,\mu C$
સ્વીચ બંધ કર્યા પછી,વિદ્યુતભારનું પુનઃવિતરણ થાય છે જ્યાં સુધી બંને કેપેસિટર સમાન પોટેન્શિયલ $V$ પ્રાપ્ત ન કરે. કુલ વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી:
$V = \frac{Q}{C_{1} + C_{2}} = \frac{150\,\mu C}{5\,\mu F + 10\,\mu F} = \frac{150}{15}\,V = 10\,V$
હવે,સંતુલન સ્થિતિમાં કેપેસિટર $C_{2}$ પરનો વિદ્યુતભાર:
$Q_{2} = C_{2} V = 10\,\mu F \times 10\,V = 100\,\mu C$

(C) વિધાન-$I$ સાચું છે: જ્યારે કોઈ ધન બિંદુવત વિદ્યુતભારને અસ્તિત્વ ધરાવતા વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈપણ બિંદુએ કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ બાહ્ય ક્ષેત્ર અને બિંદુવત વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા ક્ષેત્રનો સદિશ સરવાળો છે. વિદ્યુતભારની સાપેક્ષ સ્થિતિના આધારે,ક્ષેત્ર વધી કે ઘટી શકે છે.
વિધાન-$II$ ખોટું છે: સામાન્ય રીતે એવું માનવામાં આવે છે કે અસમાન ક્ષેત્રમાં ડાયપોલ પર ચોખ્ખું બળ લાગે છે,પરંતુ તે હંમેશા સાચું નથી. જો ડાયપોલને એવા બિંદુએ મૂકવામાં આવે જ્યાં વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ હોય,તો ડાયપોલ પરનું કુલ બળ શૂન્ય હોઈ શકે છે. તેથી,આ વિધાન કે બળ 'શૂન્ય નહીં હોય' તે સાર્વત્રિક રીતે સાચું નથી.

(A) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. ખૂણા $A$ પરના વિદ્યુતભાર $(q/2)$ ને કારણે ખૂણા $D$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_A = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q/2}{a^2} = \frac{kq}{2a^2}$ ($AD$ ની દિશામાં) છે.
ખૂણા $C$ પરના વિદ્યુતભાર $(q/2)$ ને કારણે ખૂણા $D$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_C = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q/2}{a^2} = \frac{kq}{2a^2}$ ($CD$ ની દિશામાં) છે.
$E_A$ અને $E_C$ નું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{AC} = \sqrt{E_A^2 + E_C^2} = \sqrt{(\frac{kq}{2a^2})^2 + (\frac{kq}{2a^2})^2} = \frac{kq}{2a^2} \sqrt{2} = \frac{kq}{\sqrt{2}a^2}$ (વિકર્ણ $BD$ ની દિશામાં) છે.
ખૂણા $B$ પરના વિદ્યુતભાર $(q)$ ને કારણે ખૂણા $D$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_B = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{kq}{2a^2}$ (વિકર્ણ $BD$ ની દિશામાં) છે.
$E_{AC}$ અને $E_B$ બંને એક જ વિકર્ણ $BD$ ની દિશામાં હોવાથી,$D$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = E_{AC} + E_B = \frac{kq}{\sqrt{2}a^2} + \frac{kq}{2a^2} = \frac{kq}{a^2} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2})$ થશે.
$k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ મૂકતા,આપણને $E_{net} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 a^2} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2})$ મળે છે.

(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અનંત લંબાઈના પોલા વાહક નળાકાર માટે જેની સપાટી પર $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે:
$1$) નળાકારની અંદર $(r < R)$,આપણે $r < R$ ત્રિજ્યાનો વર્તુળાકાર એમ્પીરીયન લૂપ પસંદ કરીને એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. આ લૂપમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર થતો ન હોવાથી,બંધિત વિદ્યુતપ્રવાહ $I_{enc} = 0$ છે. તેથી,$\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enc} = 0$,જે સૂચવે છે કે $B = 0$ છે.
$2$) નળાકારની બહાર $(r \geq R)$,આપણે $r \geq R$ ત્રિજ્યાનો વર્તુળાકાર એમ્પીરીયન લૂપ પસંદ કરીએ છીએ. આ લૂપ દ્વારા બંધિત કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ છે. એમ્પીયરના નિયમ મુજબ,$\oint B \cdot dl = \mu_0 I$. નળાકાર સંમિતિને કારણે,$B(2\pi r) = \mu_0 I$,જે $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ આપે છે.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર નળાકારની અંદર શૂન્ય છે અને નળાકારની બહાર અંતર $r$ સાથે વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ઘટે છે. આ આલેખ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનો વેગ $v = \frac{E_{0}}{B_{0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{2.25}{1.5 \times 10^{-8}} = 1.5 \times 10^{8}\,m/s$.
સિગ્નલ દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર (લક્ષ્ય સુધી અને પાછા આવવા માટે) $d_{total} = 2 \times 3\,km = 6 \times 10^{3}\,m$ છે.
ઇકોને રડાર સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d_{total}}{v}$ છે.
$t = \frac{6 \times 10^{3}}{1.5 \times 10^{8}} = 4 \times 10^{-5}\,s$.
આમ,સમય $4 \times 10^{-5}\,s$ છે.

(C) ટેલિસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર $(R.P.)$ નું સૂત્ર $R.P. = \frac{D}{1.22 \lambda}$ છે,જ્યાં $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવનું એપર્ચર છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
આપેલ છે: $D = 24.4 \, cm = 24.4 \times 10^{-2} \, m$ અને $\lambda = 2440 \, \mathring{A} = 2440 \times 10^{-10} \, m$.
કિંમતો મૂકતા:
$R.P. = \frac{24.4 \times 10^{-2}}{1.22 \times 2440 \times 10^{-10}}$
$R.P. = \frac{24.4 \times 10^{-2}}{2976.8 \times 10^{-10}}$
$R.P. = \frac{24.4}{2976.8} \times 10^{8}$
$R.P. \approx 0.0082 \times 10^{8} = 8.2 \times 10^{5}$.

(D) ધારો કે એક ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા $x + p \rightarrow y + b$ છે,જ્યાં $x$ એ લક્ષ્ય ન્યુક્લિયસ છે,$p$ એ પ્રક્ષિપ્ત કણ છે,$y$ એ નીપજ ન્યુક્લિયસ છે અને $b$ એ ઉત્સર્જિત કણ છે.
ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયાનું $Q$-મૂલ્ય એ અંતિમ ગતિઊર્જા અને પ્રારંભિક ગતિઊર્જાના તફાવત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,અથવા દળ ક્ષતિને કારણે મુક્ત થતી ઊર્જા તરીકે: $Q = K_{f} + K_{b} - K_{p}$.
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $Q + K_{p} = K_{f} + K_{b}$ મળે છે.
કારણ કે નીપજ કણોની ગતિઊર્જા ($K_{f}$ અને $K_{b}$) ઋણ ન હોઈ શકે (એટલે કે $K_{f} \geq 0$ અને $K_{b} \geq 0$),તેથી તેમનો સરવાળો શૂન્ય અથવા શૂન્યથી વધુ હોવો જોઈએ.
તેથી,પ્રક્રિયા થવા માટે,ઉપલબ્ધ કુલ ઊર્જાએ $(K_{p} + Q) > 0$ શરતનું પાલન કરવું આવશ્યક છે.

(C) આ પરિપથમાં બે ડાયોડ $D_1$ અને $D_2$ છે જે ઇનપુટ $A$ અને $B$ સાથે જોડાયેલા છે,ત્યારબાદ એક $npn$ ટ્રાન્ઝિસ્ટર છે.
જો બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ લો પોટેન્શિયલ $(0)$ પર હોય,તો ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે અને બિંદુ $X$ પરનું પોટેન્શિયલ લો હોય છે. ટ્રાન્ઝિસ્ટર કટ-ઓફ સ્થિતિમાં રહે છે,તેથી આઉટપુટ $Y$ હાઈ પોટેન્શિયલ $(1)$ પર હોય છે.
જો $A$ અથવા $B$ માંથી કોઈ એક હાઈ પોટેન્શિયલ $(1)$ પર હોય,તો સંબંધિત ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં હોય છે,પરંતુ અન્ય ડાયોડ અથવા અવરોધનો માર્ગ $X$ પરના પોટેન્શિયલને એટલું લો રાખે છે કે ટ્રાન્ઝિસ્ટર બંધ રહે છે,પરિણામે $Y = 1$ મળે છે.
જો બંને $A$ અને $B$ હાઈ પોટેન્શિયલ $(1)$ પર હોય,તો $X$ પરનું પોટેન્શિયલ એટલું વધી જાય છે કે ટ્રાન્ઝિસ્ટર $ON$ થઈ જાય છે. જ્યારે ટ્રાન્ઝિસ્ટર $ON$ હોય,ત્યારે કલેક્ટર-એમિટર માર્ગ ગ્રાઉન્ડ સાથે શોર્ટ સર્કિટ તરીકે કામ કરે છે,જે આઉટપુટ $Y$ ને લો પોટેન્શિયલ $(0)$ પર ખેંચે છે.
આ વર્તણૂક $NAND$ ગેટ લોજિકને અનુરૂપ છે,જ્યાં $Y = \overline{AB}$.

(B) ડાયોડ એ બે ટર્મિનલ ધરાવતું સેમિકન્ડક્ટર ઉપકરણ છે: એનોડ અને કેથોડ.
જ્યારે ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે (એનોડનું પોટેન્શિયલ કેથોડ કરતા વધારે હોય છે),ત્યારે તે ઓછો અવરોધ આપે છે અને વિદ્યુત પ્રવાહનું વહન કરે છે.
જ્યારે ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં હોય છે (એનોડનું પોટેન્શિયલ કેથોડ કરતા ઓછું હોય છે),ત્યારે તે ખૂબ જ ઊંચો અવરોધ આપે છે અને વિદ્યુત પ્રવાહનું વહન કરતું નથી.
તેથી,ડાયોડ વિદ્યુત પ્રવાહ માટે એક-માર્ગી વાલ્વ તરીકે કામ કરે છે,જે ફક્ત એક જ દિશામાં વહન કરે છે.

(A) ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,પ્રવાહનું વહન ચાર્જ કેરિયર્સ દ્વારા થાય છે. $n-p-n$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ ઇલેક્ટ્રોન છે,જ્યારે $p-n-p$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ હોલ્સ છે.
ઇલેક્ટ્રોન હોલ્સની તુલનામાં વધુ ગતિશીલતા ધરાવે છે કારણ કે તેઓ હળવા હોય છે અને ક્રિસ્ટલ લેટીસ સાથે ઓછી ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે.
આ વધુ ગતિશીલતાને કારણે,ઇલેક્ટ્રોન બેઝ વિસ્તારમાંથી ઝડપથી પસાર થઈ શકે છે,જે $p-n-p$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરની તુલનામાં $n-p-n$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં ઉચ્ચ પ્રવાહ વહન માટે પરવાનગી આપે છે.
તેથી,વિધાન $A$ અને કારણ $R$ બંને સાચા છે,અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) વિવિધ સિગ્નલો માટેની આવૃત્તિ શ્રેણી નીચે મુજબ છે:
$1$. ટેલિવિઝન સિગ્નલના પ્રસારણ માટે આશરે $6\,MHz$ ની બેન્ડવિડ્થની જરૂર પડે છે.
$2$. રેડિયો સિગ્નલ (ખાસ કરીને $AM$ બ્રોડકાસ્ટ) સામાન્ય રીતે $02\,MHz$ ની બેન્ડવિડ્થનો ઉપયોગ કરે છે.
$3$. ઉચ્ચ ગુણવત્તાયુક્ત સંગીત માટે વ્યાપક આવૃત્તિ શ્રેણીની જરૂર હોય છે,જે સામાન્ય રીતે $20\,KHz$ સુધી હોય છે.
$4$. માનવ વાણી સામાન્ય રીતે $03\,KHz$ ની આવૃત્તિ શ્રેણીમાં પ્રસારિત થાય છે.
આમ,સાચી જોડી:
$A$ (ટેલિવિઝન સિગ્નલ) $\rightarrow$ $IV$ $(06\,MHz)$
$B$ (રેડિયો સિગ્નલ) $\rightarrow$ $III$ $(02\,MHz)$
$C$ (ઉચ્ચ ગુણવત્તાયુક્ત સંગીત) $\rightarrow$ $II$ $(20\,KHz)$
$D$ (માનવ વાણી) $\rightarrow$ $I$ $(03\,KHz)$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A-IV, B-III, C-II, D-I$ છે.

(A) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલિત સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{l_1 + \alpha}{l_2 + \beta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P = 15\,\Omega$,$Q = R$,$l_1 = 43\,cm$,$l_2 = (100 - 43) = 57\,cm$,$\alpha = 2\,cm$ (છેડા $A$ પર અંતિમ સુધારો),અને $\beta = 1\,cm$ (છેડા $B$ પર અંતિમ સુધારો).
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{15}{R} = \frac{43 + 2}{57 + 1}$
$\frac{15}{R} = \frac{45}{58}$
$R = \frac{15 \times 58}{45}$
$R = \frac{58}{3} \approx 19.33\,\Omega$.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,નજીકનું પૂર્ણાંક મૂલ્ય $19\,\Omega$ છે.

(A) આ પરિપથ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. $10\,\Omega$ ના અવરોધ (ગેલ્વેનોમીટર આર્મ) માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોય તે માટેની શરત એ છે કે બ્રિજ સંતુલિત હોવો જોઈએ.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,સામસામેની બાજુઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{R}{3} = \frac{4}{6}$
$\Rightarrow R = 3 \times \frac{4}{6} = 2\,\Omega$
જ્યારે બ્રિજ સંતુલિત હોય,ત્યારે $10\,\Omega$ ના અવરોધને પરિપથમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
હવે,પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે:
શાખા $1$: $(R + 4)\,\Omega = (2 + 4)\,\Omega = 6\,\Omega$
શાખા $2$: $(3 + 6)\,\Omega = 9\,\Omega$
આ બે સમાંતર શાખાઓનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{eq}}$ નીચે મુજબ છે:
$R_{\text{eq}} = \frac{6 \times 9}{6 + 9} = \frac{54}{15} = 3.6\,\Omega$
એમીટર દ્વારા માપવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{\text{eq}}} = \frac{36}{3.6} = 10\,A$

(B) આપેલ છે: $L = 100\,mH = 0.1\,H$,$C = 100\,\mu F = 10^{-4}\,F$,$R = 120\,\Omega$,$V = 20\,V$,ઉષ્મીય ક્ષમતા $C_{th} = 2\,J/^{\circ}C$,$\Delta T = 16^{\circ}C$.
$1$. ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ: $X_L = \omega L = 100 \times 0.1 = 10\,\Omega$.
$2$. કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 10^{-4}} = 100\,\Omega$.
$3$. ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{120^2 + (10 - 100)^2} = \sqrt{14400 + 8100} = 150\,\Omega$.
$4$. પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V}{Z} = \frac{20}{150} = \frac{2}{15}\,A$.
$5$. ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = I_{rms}^2 R \Delta t = C_{th} \Delta T$.
$(\frac{2}{15})^2 \times 120 \times \Delta t = 2 \times 16$.
$\frac{4}{225} \times 120 \times \Delta t = 32$.
$\frac{480}{225} \times \Delta t = 32 \Rightarrow \Delta t = 15\,s$.

(D) આપેલ છે: મેગ્નેશિયમ આયનનું દળ $m = 24 \times 1.66 \times 10^{-27} \, kg \approx 3.984 \times 10^{-26} \, kg$. ગતિઊર્જા $K = 5 \, keV = 5000 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 8 \times 10^{-16} \, J$. વિદ્યુતભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.5 \, T$.
પથની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $R = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{\sqrt{2 \times 3.984 \times 10^{-26} \times 8 \times 10^{-16}}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.5}$.
$R = \frac{\sqrt{63.744 \times 10^{-42}}}{0.8 \times 10^{-19}} = \frac{7.984 \times 10^{-21}}{0.8 \times 10^{-19}} \approx 9.98 \times 10^{-2} \, m$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $R \approx 9.98 \times 10^{-2} \times 100 \, cm \approx 10 \, cm$.

(D) લાઇનની કુલ લંબાઈ $l = 100 \, km$ છે। એકમ લંબાઈ દીઠ કેપેસિટન્સ $C' = 0.01 \, \mu F/km$ છે।
લાઇનનું કુલ કેપેસિટન્સ $C = C' \times l = 0.01 \times 100 = 1 \, \mu F = 10^{-6} \, F$ છે।
આવૃત્તિ $f = 0.5 \, kHz = 500 \, Hz$ છે।
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \times \sqrt{10} \times 500 = 1000 \sqrt{10} \, rad/s$ છે।
$LCR$ સર્કિટમાં લઘુત્તમ ઈમ્પીડન્સ માટે, સર્કિટ રેઝોનન્સમાં હોવી જોઈએ, જે ત્યારે થાય છે જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સની બરાબર હોય:
$X_L = X_C$
$\omega L = \frac{1}{\omega C}$
$L = \frac{1}{\omega^2 C}$
કિંમતો મૂકતા:
$L = \frac{1}{(1000 \sqrt{10})^2 \times 10^{-6}}$
$L = \frac{1}{10^6 \times 10 \times 10^{-6}}$
$L = \frac{1}{10} \, H = 0.1 \, H = 100 \, mH$.

(D) ધારો કે બે વિદ્યુતભારો $Q$ ને $A$ અને $B$ બિંદુઓ પર $d$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યા છે. મધ્યબિંદુ $O$ છે. વિદ્યુતભાર $q$ એ લંબદ્વિભાજક પર બિંદુ $P$ પર $O$ થી $x$ અંતરે છે.
દરેક વિદ્યુતભાર $Q$ અને $q$ વચ્ચેનું અંતર $r = \sqrt{x^2 + (d/2)^2}$ છે.
દરેક વિદ્યુતભાર $Q$ દ્વારા $q$ પર લાગતું કુલંબ બળ $F = \frac{kQq}{x^2 + d^2/4}$ છે.
બળોના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,અને પરિણામી બળ $F_{\text{net}}$ લંબદ્વિભાજકની દિશામાં હોય છે:
$F_{\text{net}} = 2F \cos \theta = 2 \left( \frac{kQq}{x^2 + d^2/4} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + d^2/4}} \right) = \frac{2kQqx}{(x^2 + d^2/4)^{3/2}}$.
મહત્તમ બળ શોધવા માટે,આપણે $\frac{dF_{\text{net}}}{dx} = 0$ લઈએ છીએ:
$\frac{d}{dx} \left[ 2kQqx (x^2 + d^2/4)^{-3/2} \right] = 0$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $2kQq \left[ (x^2 + d^2/4)^{-3/2} + x(-3/2)(x^2 + d^2/4)^{-5/2}(2x) \right] = 0$.
$(x^2 + d^2/4)^{-3/2} - 3x^2(x^2 + d^2/4)^{-5/2} = 0$.
$(x^2 + d^2/4) - 3x^2 = 0 \implies d^2/4 = 2x^2 \implies x^2 = d^2/8$.
તેથી,$x = \frac{d}{2\sqrt{2}}$.

(D) માધ્યમ $B$ માં પ્રકાશની ઝડપ $(v_B)$ $1.5 \times 10^{10} \, cm/s$ છે અને માધ્યમ $A$ માં $(v_A)$ $2.0 \times 10^{10} \, cm/s$ છે.
અહીં $v_B < v_A$ હોવાથી,માધ્યમ $B$ એ માધ્યમ $A$ કરતા ઘટ્ટ છે.
ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જતા પ્રકાશ માટે ક્રાંતિકોણ $i_c$ નું સૂત્ર $\sin i_c = \frac{n_r}{n_d} = \frac{v_d}{v_r}$ છે.
અહીં,$v_d = v_B = 1.5 \times 10^{10} \, cm/s$ અને $v_r = v_A = 2.0 \times 10^{10} \, cm/s$ છે.
$\sin i_c = \frac{1.5 \times 10^{10}}{2.0 \times 10^{10}} = \frac{1.5}{2.0} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$i_c = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,આપાતકોણ $\theta$ એ ક્રાંતિકોણ $i_c$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
આમ,$\theta > \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(A) શરૂઆતનું ન્યુક્લિયસ $D$ નો દળ ક્રમાંક $A = 182$ અને પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 74$ છે।
$1$. આલ્ફા ક્ષય $(\alpha)$: દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે, પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે।
$2$. બીટા ક્ષય $(\beta^-)$: દળ ક્રમાંક બદલાતો નથી, પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો વધે છે।
$3$. ગામા ક્ષય $(\gamma)$: દળ ક્રમાંક અને પરમાણુ ક્રમાંક બદલાતા નથી।
દળ ક્રમાંક $(A)$ માટે ગણતરી:
$A_{final} = 182 - 4 (\text{પ્રથમ } \alpha) - 4 (\text{બીજો } \alpha) = 182 - 8 = 174$.
પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ માટે ગણતરી:
$Z_{final} = 74 - 2 (\text{પ્રથમ } \alpha) + 1 (\beta^-) - 2 (\text{બીજો } \alpha) = 74 - 4 + 1 = 71$.
આમ, દળ ક્રમાંક $174$ અને પરમાણુ ક્રમાંક $71$ છે।

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર બે તરંગોના સરવાળા તરીકે આપવામાં આવે છે જેની કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_1 = 6 \times 10^{15} \, rad/s$ અને $\omega_2 = 9 \times 10^{15} \, rad/s$ છે.
મહત્તમ ગતિઊર્જા શોધવા માટે,આપણે ઉચ્ચ આવૃત્તિ ધરાવતા ફોટોનને ધ્યાનમાં લઈશું,કારણ કે $K_{max} = hf - \phi$.
આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{\omega}{2\pi}$ દ્વારા મળે છે.
ઉચ્ચ આવૃત્તિ ઘટક માટે,$f = \frac{9 \times 10^{15}}{2\pi} \, Hz$.
ફોટોનની ઊર્જા $E_{photon} = hf = (4.14 \times 10^{-15} \, eVs) \times \left( \frac{9 \times 10^{15}}{2 \times 3.14159} \right) \, Hz$.
$E_{photon} = \frac{37.26}{6.283} \approx 5.93 \, eV$.
મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E_{photon} - \phi = 5.93 \, eV - 2.50 \, eV = 3.43 \, eV$.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $3.42 \, eV$ છે.

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t_{1}$ સમયમાં,ઉર્જા અડધી થઈ જાય છે,તેથી $U(t_{1}) = \frac{U_{0}}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{q(t_{1})^2}{2C} = \frac{1}{2} \frac{Q_{0}^2}{2C}$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $q(t_{1}) = \frac{Q_{0}}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
ડિસ્ચાર્જિંગ સમીકરણ $q(t) = Q_{0} e^{-t/RC}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{Q_{0}}{\sqrt{2}} = Q_{0} e^{-t_{1}/RC}$ મળે,તેથી $e^{-t_{1}/RC} = 2^{-1/2}$.
પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\frac{t_{1}}{RC} = \frac{1}{2} \ln(2)$.
$t_{2}$ સમયમાં,વિદ્યુતભાર આઠમા ભાગનો થઈ જાય છે,તેથી $q(t_{2}) = \frac{Q_{0}}{8}$.
ડિસ્ચાર્જિંગ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{Q_{0}}{8} = Q_{0} e^{-t_{2}/RC}$,તેથી $e^{-t_{2}/RC} = 2^{-3}$.
પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\frac{t_{2}}{RC} = 3 \ln(2)$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{t_{1}}{t_{2}} = \frac{\frac{1}{2} \ln(2)}{3 \ln(2)} = \frac{1}{6}$.

(B) લાંબા સીધા તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યબિંદુ $O$ પર,દરેક તારથી અંતર $r = 4 \, cm = 4 \times 10^{-2} \, m$ છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $300 \, \mu T = 3 \times 10^{-4} \, T$ છે,અને પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ),મધ્યબિંદુ પર બંને તારને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હોય છે.
તેથી,$B_{total} = B_1 + B_2 = 2 \times \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$.
કિંમતો મૂકતા: $3 \times 10^{-4} = 2 \times \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times I}{2 \pi \times 4 \times 10^{-2}}$.
$3 \times 10^{-4} = \frac{2 \times 10^{-7} \times I}{2 \times 10^{-2}} = 10^{-5} \times I$.
$I = \frac{3 \times 10^{-4}}{10^{-5}} = 30 \, A$.
મધ્યબિંદુ પર ક્ષેત્રોનો સરવાળો શૂન્યતર હોવાથી,પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ.

(C) $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા $TV$ ટ્રાન્સમિશન ટાવરની રેન્જ $d$ નું સૂત્ર $d = \sqrt{2Rh}$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h_1 = 125\, m$ છે અને પ્રારંભિક રેન્જ $d_1 = \sqrt{2Rh_1}$ છે.
આપણે રેન્જને બમણી કરવા માંગીએ છીએ,તેથી નવી રેન્જ $d_2 = 2d_1$ થશે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sqrt{2Rh_2} = 2\sqrt{2Rh_1}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$2Rh_2 = 4(2Rh_1)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $h_2 = 4h_1$ થાય છે.
$h_1$ ની કિંમત મૂકતા,$h_2 = 4 \times 125\, m = 500\, m$ મળે છે.
ટાવરની ઊંચાઈમાં જરૂરી વધારો $\Delta h = h_2 - h_1 = 500\, m - 125\, m = 375\, m$ છે.

(C) વિધાન $I$ સાચું છે: વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E}$ વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગે છે,જે તેની ઝડપ અને ગતિઊર્જા બદલી શકે છે. ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ હંમેશા વેગ $\vec{v}$ ને લંબ હોય છે,તેથી ચુંબકીય બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = \int \vec{F}_m \cdot d\vec{r} = \int (\vec{F}_m \cdot \vec{v}) dt = 0$ થાય છે. આમ,તે ગતિઊર્જા બદલતું નથી.
વિધાન $II$ ખોટું છે: વિદ્યુત બળ ધન વિદ્યુતભારિત કણને વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં પ્રવેગિત કરે છે,તેને લંબ નહીં. ચુંબકીય બળ વિદ્યુતભારિત કણના વેગને લંબ રૂપે લાગે છે,ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં નહીં.
તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે અને વિધાન $II$ ખોટું છે.

(D) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$ છે.
આપેલ છે કે $V = 3x^2$,તેથી આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$
$\frac{\partial V}{\partial y} = 0$
$\frac{\partial V}{\partial z} = 0$
આમ,$\vec{E} = -(6x) \hat{i} = -6x \hat{i}$.
બિંદુ $(1, 0, 3)$ પર,$x$-યામ $1$ છે. આ કિંમત $\vec{E}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{E} = -6(1) \hat{i} = -6 \hat{i} \, Vm^{-1}$.
તેનું મૂલ્ય $6 \, Vm^{-1}$ છે અને ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે તે ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં છે.

(A) ધારો કે દરેક કોષનું $EMF$ $E$ છે અને આંતરિક અવરોધ $r$ છે. બાહ્ય અવરોધ $R = 2 \,\Omega$ છે.
શ્રેણી સંયોજન માટે,કુલ $EMF$ $2E$ છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $2r$ છે. પ્રવાહ $I_1$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I_1 = \frac{2E}{2r + R} = \frac{2E}{2r + 2} = \frac{E}{r + 1}$
સમાંતર સંયોજન માટે,કુલ $EMF$ $E$ છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $r/2$ છે. પ્રવાહ $I_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I_2 = \frac{E}{r/2 + R} = \frac{E}{r/2 + 2} = \frac{2E}{r + 4}$
આપેલ છે કે $I_1 = I_2$,તેથી:
$\frac{E}{r + 1} = \frac{2E}{r + 4}$
બંને બાજુથી $E$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{r + 1} = \frac{2}{r + 4}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$r + 4 = 2(r + 1)$
$r + 4 = 2r + 2$
$r = 2 \,\Omega$.

(A) જ્યારે $R_v = 2000 \,\Omega$ અવરોધ ધરાવતું વોલ્ટમીટર $500 \,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ મળે:
$R_p = \frac{500 \times 2000}{500 + 2000} = \frac{1000000}{2500} = 400 \,\Omega$
હવે,પરિપથમાં $R_p = 400 \,\Omega$ અને $R_2 = 600 \,\Omega$ શ્રેણીમાં $20 \,V$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલા છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 400 + 600 = 1000 \,\Omega$ છે.
પરિપથમાં વહેતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{20}{1000} = 0.02 \,A$ છે.
વોલ્ટમીટરનું અવલોકન એ સમાંતર જોડાણ $R_p$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે:
$V_{reading} = I \times R_p = 0.02 \times 400 = 8 \,V$.

(C) પોટેન્શિયલ બેરિયર $n$-બાજુથી $p$-બાજુ તરફ જતા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિનો વિરોધ કરે છે. ઇલેક્ટ્રોન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય ઋણ હોય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$W = \Delta K = K_f - K_i$
$-e V = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2$
અહીં,$V = 0.4 \,V$,$u = 6.0 \times 10^5 \,ms^{-1}$,$m = 9 \times 10^{-31} \,kg$,અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
$- (1.6 \times 10^{-19}) \times 0.4 = \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{-31}) \times (v^2 - (6.0 \times 10^5)^2)$
$-0.64 \times 10^{-19} = 4.5 \times 10^{-31} \times (v^2 - 36 \times 10^{10})$
$v^2 - 36 \times 10^{10} = \frac{-0.64 \times 10^{-19}}{4.5 \times 10^{-31}}$
$v^2 - 36 \times 10^{10} = -0.1422 \times 10^{12} \approx -14.22 \times 10^{10}$
$v^2 = (36 - 14.22) \times 10^{10} = 21.78 \times 10^{10}$
$v = \sqrt{21.78} \times 10^5 \approx 4.66 \times 10^5 \,ms^{-1}$.
આપેલ છે કે $v = \frac{x}{3} \times 10^5$,તેથી $\frac{x}{3} \approx 4.66 \implies x \approx 14$.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_{d}$ માટેનું સૂત્ર: $I_{d} = \varepsilon_{0} A \frac{dE}{dt} = \varepsilon_{0} A \frac{d}{dt} (\frac{V}{d}) = \frac{\varepsilon_{0} A}{d} \frac{dV}{dt}$.
આપેલ કિંમતો:
$I_{d} = 4.425 \times 10^{-6} \,A$
$\frac{dV}{dt} = 10^{6} \,V s^{-1}$
$A = 40 \,cm^{2} = 40 \times 10^{-4} \,m^{2} = 4 \times 10^{-3} \,m^{2}$
$\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} \,C^{2} N^{-1} m^{-2}$
$d$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$d = \frac{\varepsilon_{0} A}{I_{d}} \frac{dV}{dt}$
કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 4 \times 10^{-3} \times 10^{6}}{4.425 \times 10^{-6}}$
$d = \frac{8.85 \times 4 \times 10^{-9}}{4.425 \times 10^{-6}}$
$d = 2 \times 4 \times 10^{-3} \,m = 8 \times 10^{-3} \,m$
આને $x \times 10^{-3} \,m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 8$ મળે છે.

(A) અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_{1/2} = 5$ વર્ષ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે નમૂનો તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $6.25 \%$ સુધી ઘટી જાય છે,તેથી $\frac{N}{N_0} = \frac{6.25}{100} = \frac{1}{16}$.
કારણ કે $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$,તેથી $n = 4$ મળે છે.
કુલ સમય $x = n \times T_{1/2} = 4 \times 5 = 20$ વર્ષ થાય છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ પડદાનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે પડદાને $\Delta D$ જેટલું ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \beta = \frac{\lambda}{d} \Delta D$ થાય છે.
આપેલ છે: $\Delta D = 5 \times 10^{-2} \,m$,$\Delta \beta = 3 \times 10^{-3} \,cm = 3 \times 10^{-5} \,m$,અને $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$.
$\lambda$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\lambda = \frac{\Delta \beta \cdot d}{\Delta D}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{3 \times 10^{-5} \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-2}} = \frac{3 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-2}} = 0.6 \times 10^{-6} \,m$.
નેનોમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $\lambda = 600 \times 10^{-9} \,m = 600 \,nm$.

(B) જ્યારે $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહ emf સાથે સમાન કળામાં હોય,ત્યારે પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોય છે. અનુનાદ આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર: $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$.
આપેલ છે: $L = 0.5 \,mH = 0.5 \times 10^{-3} \,H$,$C = 200 \,\mu F = 200 \times 10^{-6} \,F = 2 \times 10^{-4} \,F$.
કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{0.5 \times 10^{-3} \times 2 \times 10^{-4}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{1.0 \times 10^{-7}}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10 \times 10^{-8}}}$
$f = \frac{10^4}{2 \pi \sqrt{10}} \approx 503.29 \,Hz$.
વિકલ્પો મુજબ નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત લેતા,$f \approx 500 \,Hz = 5 \times 10^{2} \,Hz$.

(B) કોઈપણ સમયે એક્ટિવિટી $A$ એ પ્રારંભિક એક્ટિવિટી $A_0$ સાથે $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે, જ્યાં $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે。
આપેલ છે કે $A_0 = 2.56 \times 10^{-3} \, Ci$, $A = 2 \times 10^{-5} \, Ci$, અને $T_{1/2} = 5 \, \text{દિવસ}$。
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2 \times 10^{-5}}{2.56 \times 10^{-3}} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
$\frac{2}{256} = \left( \frac{1}{2} \right)^n \Rightarrow \frac{1}{128} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
કારણ કે $128 = 2^7$, તેથી $\left( \frac{1}{2} \right)^7 = \left( \frac{1}{2} \right)^n$, જેનો અર્થ છે કે $n = 7$.
$n = \frac{t}{T_{1/2}}$ હોવાથી, $t = n \times T_{1/2} = 7 \times 5 = 35 \, \text{દિવસ}$。

(B) ધાતુની સપાટી પરથી ઈલેક્ટ્રોનને મુક્ત કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જાને તે ધાતુનું વર્ક ફંક્શન $(W_0)$ કહેવામાં આવે છે.
જો આપાત વિકિરણની ઉર્જા $(h\nu)$ વર્ક ફંક્શન $(W_0)$ કરતા ઓછી હોય,તો ફોટોન પાસે સપાટીનો અવરોધ દૂર કરવા માટે પૂરતી ઉર્જા હોતી નથી,તેથી ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર થતી નથી. આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $h\nu = W_0 + K.E._{\max}$.
જો આપાત ઉર્જા $h\nu = W_0$ હોય,તો $K.E._{\max} = h\nu - W_0 = 0$. આમ,કારણ $R$ સાચું છે.
જો કે,કારણ $R$ એ શૂન્ય ગતિ ઉર્જા માટેની સ્થિતિ સમજાવે છે,પરંતુ તે એ સમજાવતું નથી કે જ્યારે $h\nu < W_0$ હોય ત્યારે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર કેમ થતી નથી. તેથી,$R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વીજભારિત કણની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mK}$ થાય.
ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં $p = mv$ મૂકતા,આપણને $r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે ત્રિજ્યા એ ગતિઊર્જાના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે: $r \propto \sqrt{K}$.
અહીં નવી ગતિઊર્જા $K_n = 4K_0$ છે,જ્યાં $K_0$ એ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા છે.
નવી ત્રિજ્યા $r_n$ અને મૂળ ત્રિજ્યા $r_0$ નો ગુણોત્તર $\frac{r_n}{r_0} = \sqrt{\frac{K_n}{K_0}} = \sqrt{\frac{4K_0}{K_0}} = \sqrt{4} = 2$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(C) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સી $\omega_{r}$ એ $X_{C} = X_{L}$ ની શરત દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $X_{C} = \frac{1}{\omega C}$ અને $X_{L} = \omega L$ છે.
$1$. $\omega < \omega_{r}$ માટે,આપણી પાસે $\frac{1}{\omega C} > \omega L$ છે,જેનો અર્થ છે કે $X_{C} > X_{L}$. આમ,સર્કિટ મુખ્યત્વે કેપેસિટીવ છે. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$2$. $\omega > \omega_{r}$ માટે,$X_{L} > X_{C}$ હોય છે,તેથી સર્કિટ મુખ્યત્વે ઇન્ડક્ટિવ છે.
$3$. રેઝોનન્સ પર $\omega = \omega_{r}$,ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$ છે. કારણ કે $X_{L} = X_{C}$,તેથી $Z = \sqrt{R^{2} + 0} = R$. આમ,ઇમ્પિડન્સ એ અવરોધ જેટલો છે. વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$4$. વિધાન $(D)$ ખોટું છે કારણ કે રેઝોનન્સ પર,ઇમ્પિડન્સ ન્યૂનતમ હોય છે અને તે $R$ જેટલો હોય છે,$0$ નહીં.
તેથી,વિધાનો $(A)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(A) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $B_H = B \cos \delta$,જ્યાં $B$ એ કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $\delta$ એ ડીપનો ખૂણો છે.
આપેલ છે: $B_H = 0.5 \ G$ અને $\delta = 30^{\circ}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $0.5 = B \cos 30^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $0.5 = B \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$B$ માટે ઉકેલતા: $B = \frac{0.5 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \ G$.

(A) બેટરી સાથે જોડાયેલા કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C V^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ છે.
બેટરી જોડાયેલી હોવાથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રહે છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા $U_1 = \frac{1}{2} (K_1 C_0) V^2$,જ્યાં $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
અંતિમ ઉર્જા $U_2 = \frac{1}{2} (K_2 C_0) V^2$ છે.
ઉર્જામાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{U_2 - U_1}{U_1} \times 100 \%$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\frac{1}{2} K_2 C_0 V^2 - \frac{1}{2} K_1 C_0 V^2}{\frac{1}{2} K_1 C_0 V^2} \times 100 \% = \frac{K_2 - K_1}{K_1} \times 100 \%$.
અહીં $K_1 = 10$ અને $K_2 = 15$ આપેલ છે,તેથી ફેરફાર $\frac{15 - 10}{10} \times 100 \% = \frac{5}{10} \times 100 \% = 50 \%$ છે.
આમ,ઉર્જામાં $50 \%$ નો વધારો થશે.

(D) આપેલ છે:
દળ $m = 100 \,mg = 100 \times 10^{-6} \,kg = 10^{-4} \,kg$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 1 \times 10^{5} \,NC^{-1}$
વિદ્યુતભાર $q = 40 \,\mu C = 40 \times 10^{-6} \,C$
પ્રારંભિક વેગ $u = 200 \,ms^{-1}$
અંતિમ વેગ $v = 0 \,ms^{-1}$
કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ છે,જે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં લાગે છે. કણને વિરુદ્ધ દિશામાં ફેંકવામાં આવતો હોવાથી,પ્રવેગ $a$ ઋણ થશે:
$a = -\frac{F}{m} = -\frac{qE}{m}$
ગતિના સમીકરણ $v^{2} = u^{2} + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v = 0$:
$0 = u^{2} - 2 \left( \frac{qE}{m} \right) s$
$s = \frac{u^{2}m}{2qE}$
કિંમતો મૂકતા:
$s = \frac{(200)^{2} \times 10^{-4}}{2 \times 40 \times 10^{-6} \times 10^{5}}$
$s = \frac{40000 \times 10^{-4}}{80 \times 10^{-1}}$
$s = \frac{4}{8} = 0.5 \,m$

(D) ફ્રિન્જ પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ છે,જ્યાં $D$ એ પડદા અને સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે,$\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે આપેલ છે:
$\lambda_1 = 5000 \,\mathring A$,$d_1 = d$,$\beta_1 = 0.5 \,mm$.
તેથી,$\beta_1 = \frac{D \lambda_1}{d} = 0.5 \,mm$ ... $(I)$
બીજા કિસ્સા માટે:
$\lambda_2 = 6000 \,\mathring A$,$d_2 = 2d$,$\beta_2 = ?$
તેથી,$\beta_2 = \frac{D \lambda_2}{d_2} = \frac{D \times 6000 \,\mathring A}{2d}$ ... $(II)$
$(II)$ ને $(I)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{D \times 6000 \,\mathring A / 2d}{D \times 5000 \,\mathring A / d} = \frac{6000}{2 \times 5000} = \frac{6}{10} = 0.6$
તેથી,$\beta_2 = 0.6 \times \beta_1 = 0.6 \times 0.5 \,mm = 0.3 \,mm$.

(B) ઓપ્ટિકલ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^{8} \,m/s}{1000 \times 10^{-9} \,m} = 3 \times 10^{14} \,Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપલબ્ધ ચેનલ બેન્ડવિડ્થ આ આવૃત્તિના $2 \%$ છે: $\text{Bandwidth} = \frac{2}{100} \times 3 \times 10^{14} \,Hz = 6 \times 10^{12} \,Hz$.
એક ઓડિયો સિગ્નલ ચેનલ માટે જરૂરી બેન્ડવિડ્થ $8 \,kHz = 8 \times 10^{3} \,Hz$ છે.
સમાવી શકાય તેવી ચેનલોની સંખ્યા કુલ ઉપલબ્ધ બેન્ડવિડ્થ અને પ્રતિ ચેનલ બેન્ડવિડ્થના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$\text{Number of channels} = \frac{6 \times 10^{12} \,Hz}{8 \times 10^{3} \,Hz} = 0.75 \times 10^{9} = 75 \times 10^{7}$.

(B) ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા ઉર્જા $H = \frac{V^2}{R} t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H$ અને વોલ્ટેજ $V$ બંને કિસ્સાઓ માટે સમાન છે,તેથી આપણી પાસે $H = \frac{V^2}{R_1} t_1 = \frac{V^2}{R_2} t_2$ છે.
આપેલ છે કે $t_1 = 20 \ min$ અને $t_2 = 60 \ min$,તેથી $\frac{20}{R_1} = \frac{60}{R_2}$,જે સૂચવે છે કે $R_2 = 3R_1$.
જ્યારે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{3R_1} = \frac{4}{3R_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$R_{eq} = \frac{3R_1}{4}$.
સમાંતર જોડાણ દ્વારા $t$ સમયમાં સમાન ઉષ્મા $H$ ઉત્પન્ન કરવા માટે,આપણી પાસે $H = \frac{V^2}{R_{eq}} t$ છે.
આને પ્રથમ કોઈલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા સાથે સરખાવતા: $\frac{V^2}{R_1} \times 20 = \frac{V^2}{(3R_1/4)} \times t$.
$20 = \frac{4}{3} t \Rightarrow t = \frac{20 \times 3}{4} = 15 \ min$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ અને વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_0$ વચ્ચેનો સંબંધ: $I = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 c$ છે.
$E_0$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $E_0 = \sqrt{\frac{2I}{\epsilon_0 c}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $E_0 = \sqrt{\frac{2 \times 0.22}{8.85 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8}} = \sqrt{\frac{0.44}{26.55 \times 10^{-4}}} = \sqrt{165.72} \approx 12.873 \, V/m$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0 = \frac{E_0}{c}$ દ્વારા મળે છે.
$B_0 = \frac{12.873}{3 \times 10^8} = 4.291 \times 10^{-8} \, T$.
આને $10^{-9} \, T$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા: $B_0 = 42.91 \times 10^{-9} \, T \approx 43 \times 10^{-9} \, T$.

(D) આપેલ $V-I$ આલેખ પરથી,ઢાળ એ તારનો અવરોધ $R$ દર્શાવે છે.
$R = \tan(45^{\circ}) = 1 \, \Omega$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અવરોધ $R = \rho \frac{\ell}{A}$,જ્યાં $\ell$ લંબાઈ છે અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.
અહીં $\ell = 31.4 \, cm$ અને $d = 2.4 \, cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1 = \rho \frac{31.4}{\frac{\pi \times (2.4)^2}{4}}$.
$\pi = 3.14$ લેતા: $1 = \rho \frac{31.4 \times 4}{3.14 \times 5.76}$.
$1 = \rho \frac{10 \times 4}{5.76} = \rho \frac{40}{5.76}$.
$\rho = \frac{5.76}{40} = 0.144 \, \Omega \cdot cm$.
આને $x \times 10^{-3} \, \Omega \cdot cm$ તરીકે દર્શાવતા,આપણને $\rho = 144 \times 10^{-3} \, \Omega \cdot cm$ મળે છે.
તેથી,$x = 144$.

(A) ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $b$ એ પ્રકીર્ણન કોણ $\theta$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $b = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Ze^2 \cot(\theta/2)}{K}$,જ્યાં $K$ એ ગતિ ઊર્જા છે.
આનો અર્થ એ છે કે $b \propto \cot(\theta/2)$.
અહીં $\sqrt{d_1}$ અને $\sqrt{d_2}$ એ અનુક્રમે $\theta_1 = 60^{\circ}$ અને $\theta_2 = 90^{\circ}$ ખૂણા માટેના ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર છે,તેથી:
$\sqrt{d_1} \propto \cot(60^{\circ}/2) = \cot(30^{\circ}) = \sqrt{3}$.
$\sqrt{d_2} \propto \cot(90^{\circ}/2) = \cot(45^{\circ}) = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $d_1 \propto 3$ અને $d_2 \propto 1$ મળે છે.
આમ,$d_1 = 3 d_2$.
$d_1 = x d_2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: બેઝ કરંટમાં ફેરફાર $\Delta i_{B} = 100 \,\mu A = 100 \times 10^{-6} \,A = 0.1 \,mA$.
કલેક્ટર કરંટમાં ફેરફાર $\Delta i_{C} = 10 \,mA$.
લોડ અવરોધ $R_{L} = 2 \,k \Omega = 2000 \,\Omega$.
ઇનપુટ અવરોધ $R_{in} = 1 \,k \Omega = 1000 \,\Omega$.
પ્રથમ, કરંટ ગેઇન $\beta$ ની ગણતરી કરો:
$\beta = \frac{\Delta i_{C}}{\Delta i_{B}} = \frac{10 \,mA}{0.1 \,mA} = 100$.
પાવર ગેઇન $A_{P}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$A_{P} = \beta^{2} \times \frac{R_{L}}{R_{in}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$A_{P} = (100)^{2} \times \frac{2000 \,\Omega}{1000 \,\Omega} = 10000 \times 2 = 20000$.
$A_{P} = 2 \times 10^{4}$.
આને $x \times 10^{4}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = 2$ મળે છે.

(C) ગોળાની સપાટી પર પ્રથમ વક્રીભવન માટે:
સૂત્ર $\frac{\mu_2}{v_1} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\mu_1 = 1$,$\mu_2 = 1.5 = \frac{3}{2}$,$u = -\infty$,અને $R = +15 \,cm$ છે:
$\frac{1.5}{v_1} - \frac{1}{-\infty} = \frac{1.5 - 1}{15}$
$\frac{1.5}{v_1} = \frac{0.5}{15} = \frac{1}{30}$
$v_1 = 1.5 \times 30 = 45 \,cm$.
આ પ્રતિબિંબ બીજી સપાટી માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે વર્તે છે.
ગોળાની બીજી સપાટી પર વક્રીભવન માટે:
અહીં,વસ્તુ અંતર $u_2 = v_1 - 2R = 45 - 30 = 15 \,cm$ (બીજી સપાટીથી માપતા).
$\frac{\mu_1}{v_2} - \frac{\mu_2}{u_2} = \frac{\mu_1 - \mu_2}{-R}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1.5}{15} = \frac{1 - 1.5}{-15}$
$\frac{1}{v_2} - 0.1 = \frac{-0.5}{-15} = \frac{1}{30}$
$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{30} + \frac{1}{10} = \frac{1+3}{30} = \frac{4}{30}$
$v_2 = \frac{30}{4} = 7.5 \,cm$ બીજી સપાટીથી.
ગોળાના કેન્દ્રથી અંતર $d = R + v_2 = 15 + 7.5 = 22.5 \,cm = 225 \,mm$ છે.

(C) આ સર્કિટમાં $15 \, V$ ની બેટરી, $1 \, \Omega$ નો અવરોધ અને $2 \, \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
કુલ અવરોધ $R_{eq} = 1 \, \Omega + 2 \, \Omega = 3 \, \Omega$ થાય.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ સર્કિટમાં વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{15 \, V}{3 \, \Omega} = 5 \, A$ મળે.
$V_{B} - V_{A}$ શોધવા માટે, આપણે ઉપરની શાખા દ્વારા $A$ થી $B$ સુધીનો માર્ગ લઈએ.
$A$ થી શરૂ કરીને, આપણે બેટરીમાંથી પસાર થઈએ છીએ (સ્થિતિમાનમાં $15 \, V$ નો વધારો થાય છે) અને પછી $1 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થઈએ છીએ (સ્થિતિમાનમાં $i \times R = 5 \, A \times 1 \, \Omega = 5 \, V$ નો ઘટાડો થાય છે).
આમ, $V_{B} = V_{A} + 15 \, V - 5 \, V = V_{A} + 10 \, V$ મળે.
તેથી, $V_{B} - V_{A} = 10 \, V$ થાય.

(D) મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ ને મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કંપનવિસ્તારના તફાવત અને તેમના સરવાળાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\mu = \frac{V_{\max} - V_{\min}}{V_{\max} + V_{\min}}$
અહીં $V_{\max} = 6\,V$ અને $V_{\min} = 2\,V$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{6 - 2}{6 + 2} = \frac{4}{8} = 0.5$
આને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે:
$\text{મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ} = 0.5 \times 100\% = 50\%$.