JEE Main 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) દીવાલ સાથે અથડાતા અને સ્થિર થતા પ્રવાહીના પ્રવાહ દ્વારા લાગતું બળ એ વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$F = \frac{dp}{dt} = \frac{d(mv)}{dt} = v \frac{dm}{dt}$.
દળના વહનનો દર $\frac{dm}{dt} = \rho A v$ હોવાથી,બળ $F = \rho A v^{2}$ થાય.
આપેલ છે:
ઘનતા $\rho = 1000 \, kg/m^{3}$
ક્ષેત્રફળ $A = 10 \, cm^{2} = 10 \times 10^{-4} \, m^{2} = 10^{-3} \, m^{2}$
વેગ $v = 20 \, m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$F = 1000 \times 10^{-3} \times (20)^{2}$
$F = 1 \times 400 = 400 \, N$.

(D) ધારો કે $\lambda$ એ સાંકળની રેખીય દળ ઘનતા છે,તેથી $\lambda = \frac{m}{L}$.
એક બાજુ સાંકળનું દળ $m_1 = \lambda l$ છે અને બીજી બાજુ $m_2 = \lambda (L - l)$ છે.
સાંકળ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = (m_2 - m_1)g = \lambda(L - l - l)g = \lambda(L - 2l)g$ છે.
સાંકળનું કુલ દળ $m = \lambda L$ છે.
સાંકળનો પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{\lambda(L - 2l)g}{\lambda L} = \frac{(L - 2l)g}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે જ્યારે $l = \frac{L}{x}$ હોય ત્યારે $a = \frac{g}{2}$,તેથી આપણે આ મૂલ્યો મૂકીએ:
$\frac{g}{2} = \frac{(L - 2(\frac{L}{x}))g}{L}$
$\frac{1}{2} = 1 - \frac{2}{x}$
$\frac{2}{x} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$x = 4$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 200\,g = 0.2\,kg$,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = 90\,J$,$t = 1\,s$ સમયે અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = 40\,J$.
સંબંધ $K = \frac{1}{2}mv^2$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે વેગ શોધીએ છીએ:
પ્રારંભિક વેગ $u = \sqrt{\frac{2K_i}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 90}{0.2}} = \sqrt{900} = 30\,m/s$.
અંતિમ વેગ $v = \sqrt{\frac{2K_f}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 40}{0.2}} = \sqrt{400} = 20\,m/s$.
અચળ પ્રતિપ્રવેગ ધારતા,પ્રવેગ $a$:
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{20 - 30}{1} = -10\,m/s^2$.
સ્થિર થવા માટે જરૂરી અંતર $s$ શોધવા માટે $(v_{final} = 0)$:
$v_{final}^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = (30)^2 + 2(-10)s$.
$20s = 900 \implies s = 45\,m$.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$.
$h$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = g \left( \frac{R_E}{R_E + h} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{\frac{g'}{g}} = \frac{R_E}{R_E + h}$.
આપેલ આવર્તકાળ $T_1 = 4\,s$ અને $T_2 = 6\,s$ માટે,આપણી પાસે ગુણોત્તર છે:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{g}{g'}} = \frac{R_E + h}{R_E}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{6}{4} = \frac{6400 + h}{6400}$.
$1.5 = 1 + \frac{h}{6400}$.
$0.5 = \frac{h}{6400}$.
$h = 0.5 \times 6400 = 3200\,km$.

(C) ધારો કે ઉપરની સપાટી પરનું દબાણ $P_{1}$ છે અને કાણા પાસેનું દબાણ $P_{2}$ છે.
પિસ્ટનનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^{2} = \pi(1)^{2} = \pi\,m^{2}$.
પિસ્ટન દ્વારા લાગતું દબાણ $P_{piston} = \frac{F}{A} = \frac{5 \times 10^{5}}{\pi}\,Pa$.
ઉપરની સપાટી પરનું કુલ દબાણ $P_{1} = P_{A} + P_{piston} = 1.01 \times 10^{5} + \frac{5 \times 10^{5}}{\pi}$.
બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$P_{1} + \rho g h_{1} = P_{2} + \rho g h_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{e}^{2}$
અહીં $P_{2} = P_{A}$,$h_{1} = 15\,m$,$h_{2} = 5\,m$,અને $\rho = 1000\,kg/m^{3}$.
$\frac{5 \times 10^{5}}{\pi} + \rho g (h_{1} - h_{2}) = \frac{1}{2} \rho v_{e}^{2}$
$\frac{5 \times 10^{5}}{\pi} + 1000 \times 10 \times (15 - 5) = \frac{1}{2} \times 1000 \times v_{e}^{2}$
આ સમીકરણ ઉકેલતા,$v_{e} = 17.8\,m/s$ મળે છે.

(C) રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
તેથી $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,જો ઝડપ બમણી કરવામાં આવે,તો તાપમાન $2^2 = 4$ ગણું વધવું જોઈએ.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = 27^{\circ}C = 300\,K$.
અંતિમ તાપમાન $T_f = 4 \times 300\,K = 1200\,K$.
નાઈટ્રોજન $(N_2)$ ના મોલની સંખ્યા $n = \frac{14\,g}{28\,g/mol} = 0.5\,mol$ છે.
નાઈટ્રોજન દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ હોવાથી,અચળ કદ પર તેની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{5}{2}R$ છે.
આપવી પડતી ઉષ્મા $Q = nC_v \Delta T$.
$Q = 0.5 \times \frac{5}{2} \times 8.32 \times (1200 - 300)$.
$Q = 0.5 \times 2.5 \times 8.32 \times 900$.
$Q = 1.25 \times 7488 = 9360\,J$.

(C) મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_a = \frac{u}{g} = \frac{19.6}{9.8} = 2 \, s$ છે.
પ્રક્ષેપણ બિંદુથી દડા દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2}{2g} = \frac{(19.6)^2}{2 \times 9.8} = \frac{19.6 \times 19.6}{19.6} = 19.6 \, m$ છે.
ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે. ટાવરની ટોચથી જમીન સુધીના કુલ સ્થાનાંતર માટે ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-h = (19.6)(6) + \frac{1}{2}(-9.8)(6)^2$
$-h = 117.6 - 4.9 \times 36$
$-h = 117.6 - 176.4 = -58.8 \, m$,તેથી $h = 58.8 \, m$.
જમીનથી મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{max} = h + H = 58.8 + 19.6 = 78.4 \, m$ છે.
આપેલ છે કે $H_{max} = \frac{k}{5} = 78.4$,તેથી $k = 78.4 \times 5 = 392$.

(C) અંતર $x$ પરના નાના ઘટક $dx$ નું દળ $dm = \rho \cdot dx = \rho_{0} \left(1 - \frac{x^{2}}{L^{2}}\right) dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $X_{cm}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$X_{cm} = \frac{\int x \, dm}{\int dm}$
પ્રથમ,કુલ દળ $M = \int_{0}^{L} \rho_{0} \left(1 - \frac{x^{2}}{L^{2}}\right) dx = \rho_{0} \left[ x - \frac{x^{3}}{3L^{2}} \right]_{0}^{L} = \rho_{0} \left( L - \frac{L}{3} \right) = \frac{2}{3} \rho_{0} L$ ગણો.
ત્યારબાદ,સંકલન $\int x \, dm = \int_{0}^{L} x \cdot \rho_{0} \left(1 - \frac{x^{2}}{L^{2}}\right) dx = \rho_{0} \int_{0}^{L} \left( x - \frac{x^{3}}{L^{2}} \right) dx = \rho_{0} \left[ \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{4L^{2}} \right]_{0}^{L} = \rho_{0} \left( \frac{L^{2}}{2} - \frac{L^{2}}{4} \right) = \frac{1}{4} \rho_{0} L^{2}$ ગણો.
હવે,$X_{cm} = \frac{\frac{1}{4} \rho_{0} L^{2}}{\frac{2}{3} \rho_{0} L} = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} L = \frac{3L}{8}$.
આને $\frac{3L}{\alpha}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 8$ મળે છે.

(C) શિરોલંબ વર્તુળાકાર માર્ગના તળિયે,દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને કેન્દ્રગામી બળના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$T = mg + \frac{mv^{2}}{R}$
આપેલ છે: $m = 2 \, kg$,$v = 5 \, m/s$,$R = 0.5 \, m$,$g = 10 \, m/s^{2}$,$A = 4 \times 10^{-6} \, m^{2}$,$Y = 10^{11} \, N/m^{2}$.
$T = (2 \times 10) + \frac{2 \times (5)^{2}}{0.5} = 20 + \frac{50}{0.5} = 20 + 100 = 120 \, N$.
હૂકના નિયમ મુજબ,પ્રતિબળ (Stress) $= Y \times \text{વિકૃતિ (Strain)}$,તેથી $\text{વિકૃતિ} = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{Y} = \frac{T}{AY}$.
$\text{વિકૃતિ} = \frac{120}{(4 \times 10^{-6}) \times 10^{11}} = \frac{120}{4 \times 10^{5}} = 30 \times 10^{-5}$.
આમ,વિકૃતિ $30 \times 10^{-5}$ છે.

(A) આપેલ છે,મુક્તિના અંશો $f = 8$.
અચળ દબાણે થતું કાર્ય $W = n R \Delta T = 150 \; J$ છે.
અચળ દબાણે શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_p = \left( \frac{f}{2} + 1 \right) R$.
આ કિંમત ઉષ્માના સમીકરણમાં મૂકતા: $Q = n \left( \frac{f}{2} + 1 \right) R \Delta T$.
કારણ કે $W = n R \Delta T = 150 \; J$,તેથી $Q = \left( \frac{f}{2} + 1 \right) W$.
$f = 8$ અને $W = 150 \; J$ મૂકતા:
$Q = \left( \frac{8}{2} + 1 \right) \times 150 = (4 + 1) \times 150 = 5 \times 150 = 750 \; J$.

(A) સ્થિતિઊર્જા $U = 4(1 - \cos 4x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંરક્ષી બળ માટે,$F = -\frac{dU}{dx}$.
$F = -\frac{d}{dx} [4(1 - \cos 4x)] = -4(0 - (-\sin 4x) \cdot 4) = -16 \sin 4x$.
નાના દોલનો માટે,$\sin \theta \approx \theta$,તેથી $\sin 4x \approx 4x$.
આમ,$F \approx -16(4x) = -64x$.
આને $SHM$ ના બળના સમીકરણ $F = -m\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m\omega^2 = 64$ મળે છે.
આપેલ દળ $m = 4 \, kg$ હોવાથી,$4 \cdot \omega^2 = 64$,જેનો અર્થ છે કે $\omega^2 = 16$,તેથી $\omega = 4 \, rad/s$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \, s$.
આને $\frac{\pi}{K}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 2$ મળે છે.

(B) સાદા લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને $g$ ને કર્તા બનાવતા,$g = 4 \pi^2 \frac{\ell}{T^2}$ મળે.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\ell = 10 \ cm = 100 \ mm$ અને $\Delta \ell = 1 \ mm$.
$100$ દોલનો માટેનો કુલ સમય $t = 100 \times 0.5 \ s = 50 \ s$ છે. ઘડિયાળનું રિઝોલ્યુશન $\Delta t = 1 \ s$ છે.
તેથી,આવર્તકાળ $T = 0.5 \ s$ અને આવર્તકાળમાં ત્રુટિ $\Delta T = \frac{\Delta t}{100} = \frac{1 \ s}{100} = 0.01 \ s$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{1 \ mm}{100 \ mm} + 2 \times \frac{0.01 \ s}{0.5 \ s} = 0.01 + 2 \times 0.02 = 0.01 + 0.04 = 0.05$.
તેથી,પ્રતિશત ત્રુટિ $0.05 \times 100 = 5 \%$ છે.
આમ,$x = 5$.

(A) કેરીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય મુક્ત પતન માટેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
આપેલ કિંમતો $h = 19.6\,m$ અને $g = 9.8\,m/s^2$ મૂકતા:
$t = \sqrt{\frac{2 \times 19.6}{9.8}} = \sqrt{4} = 2\,s$.
પરેડની ઝડપ $v = 9\,km/h$ છે. તેને $m/s$ માં ફેરવતા:
$v = 9 \times \frac{5}{18} = 2.5\,m/s$.
કેડેટ દ્વારા $t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $d = v \times t$ છે.
$d = 2.5 \times 2 = 5\,m$.
તેથી,કેરી પકડવા માટે કેરી પડે તે ક્ષણે કેડેટ ઝાડથી $5\,m$ દૂર હોવો જોઈએ.

(B) આઘાત $I$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર $\Delta P$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે: દળ $m = 5 \; kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 25 \; ms^{-1}$,અંતિમ વેગ $v = 0 \; ms^{-1}$.
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta P = m(v - u) = 5(0 - 25) = -125 \; kg \cdot ms^{-1}$.
બંને કિસ્સામાં વેગમાનમાં થતો ફેરફાર સમાન હોવાથી,આઘાત $I = |\Delta P| = 125 \; N \cdot s$ બંને કિસ્સામાં સમાન રહેશે.
સરેરાશ બળ $F_{\text{avg}} = \frac{\Delta P}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સા $(i)$ માટે,$\Delta t_1 = 3 \; s$,તેથી $F_{\text{avg}, 1} = \frac{125}{3} \approx 41.67 \; N$.
કિસ્સા $(ii)$ માટે,$\Delta t_2 = 5 \; s$,તેથી $F_{\text{avg}, 2} = \frac{125}{5} = 25 \; N$.
અહીં $\Delta t_1 \neq \Delta t_2$ હોવાથી,સરેરાશ બળ અલગ-અલગ મળે છે. આમ,આઘાત સમાન છે પરંતુ સરેરાશ બળ અલગ છે.

(B) બહાર નીકળતી હવાને કારણે ફુગ્ગા પર લાગતું સરેરાશ બળ $F$ એ વેગમાનના ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $F = v \cdot \frac{dm}{dt}$ છે.
અહીં,કુલ દળ $m = 10\,g$ એ $t = 5\,s$ સમયમાં બહાર નીકળે છે.
તેથી,દળ ઘટવાનો દર $\frac{dm}{dt} = \frac{10\,g}{5\,s} = 2\,g/s$ છે.
બહાર નીકળતી હવાનો વેગ $v = 4.5\,cm/s$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = 2\,g/s \times 4.5\,cm/s = 9\,g \cdot cm/s^2$.
કારણ કે $1\,dyne = 1\,g \cdot cm/s^2$,તેથી સરેરાશ બળ $9\,dyne$ થશે.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર: $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
દળ $M$ અચળ હોવાથી,$g \propto \frac{1}{R^2}$ થાય.
સાપેક્ષ ત્રુટિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\Delta g}{g} = -2 \frac{\Delta R}{R}$.
અહીં ત્રિજ્યા $2 \%$ ઘટે છે,તેથી $\frac{\Delta R}{R} = -0.02$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{\Delta g}{g} = -2 \times (-0.02) = 0.04$.
ટકાવારીમાં ફેરવવા માટે $100$ વડે ગુણતા: $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = 4 \%$.
પરિણામ ધન હોવાથી,ગુરુત્વપ્રવેગમાં $4 \%$ નો વધારો થશે.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta l$ એ લંબાઈમાં ફેરફાર છે અને $l$ એ મૂળ લંબાઈ છે.
બળ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $F = Y A \frac{\Delta l}{l}$.
આપેલ છે: $A = 1 \ cm^{2} = 10^{-4} \ m^{2}$,$Y = 2 \times 10^{11} \ N/m^{2}$,અને લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે છે,તેથી $\Delta l = 2l - l = l$.
આ કિંમતો મૂકતા: $F = (2 \times 10^{11} \ N/m^{2}) \times (10^{-4} \ m^{2}) \times (l/l)$.
$F = 2 \times 10^{7} \ N$.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $\eta_1 = 0.5$,તેથી $0.5 = 1 - \frac{T_L}{T_H} \implies \frac{T_L}{T_H} = 0.5 \implies T_L = 0.5 T_H$.
જ્યારે સિંકનું તાપમાન $40 \, K$ ઘટાડવામાં આવે,ત્યારે નવું સિંક તાપમાન $T_L' = T_L - 40$ થાય છે.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2$ મૂળ કાર્યક્ષમતા કરતા $30 \%$ વધે છે,તેથી $\eta_2 = 0.5 + 0.3 = 0.8$.
નવી કાર્યક્ષમતા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $0.8 = 1 - \frac{T_L - 40}{T_H}$.
$T_L = 0.5 T_H$ મૂકતા: $0.8 = 1 - \frac{0.5 T_H - 40}{T_H}$.
$0.8 = 1 - 0.5 + \frac{40}{T_H}$.
$0.3 = \frac{40}{T_H} \implies T_H = \frac{40}{0.15} = 266.67 \, K$.

(D) વિધાન $I$: આદર્શ વાયુમાં,અણુઓ યાદચ્છિક દિશાઓમાં ગતિ કરે છે. વેગમાન $\vec{p}$ ધરાવતા દરેક અણુ માટે,વેગમાન $-\vec{p}$ ધરાવતા અણુ મળવાની આંકડાકીય રીતે સમાન સંભાવના હોય છે. તેથી,સરેરાશ વેગમાન $\vec{p}_{avg} = 0$ થાય છે,જે તાપમાનથી સ્વતંત્ર છે.
વિધાન $II$: $rms$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
શરૂઆતમાં,$v = \sqrt{\frac{3RT}{M_{O_2}}}$.
જ્યારે તાપમાન બમણું થાય $(T' = 2T)$ અને $O_2$ નું $O$ પરમાણુઓમાં વિઘટન થાય,ત્યારે મોલર દળ $M' = \frac{M_{O_2}}{2}$ થાય છે.
નવી $rms$ ઝડપ $v' = \sqrt{\frac{3R(2T)}{M_{O_2}/2}} = \sqrt{4 \cdot \frac{3RT}{M_{O_2}}} = 2v$.
તેથી,વિધાન $I$ ખોટું છે અને વિધાન $II$ સાચું છે.

(C) પ્રગામી તરંગના સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = A \sin(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $y = 0.5 \sin \left( \frac{2 \pi}{\lambda} (400 t - x) \right) = 0.5 \sin \left( \frac{800 \pi}{\lambda} t - \frac{2 \pi}{\lambda} x \right)$.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને તરંગ સંખ્યા $k$ મળે છે:
$\omega = \frac{800 \pi}{\lambda}$
$k = \frac{2 \pi}{\lambda}$
તરંગનો વેગ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{800 \pi / \lambda}{2 \pi / \lambda} = \frac{800 \pi}{2 \pi} = 400 \, m/s$.
તેથી,તરંગનો વેગ $400 \, m/s$ છે.

(C) સદિશ $\vec{A}$ નો સદિશ $\vec{B}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રક્ષેપ શૂન્ય છે,તેથી $\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$.
ધારો કે $\vec{A} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 2 \hat{k}$ અને $\vec{B} = \hat{i} + 2 \hat{j} + \alpha \hat{k}$.
ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા: $(2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 2 \hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2 \hat{j} + \alpha \hat{k}) = 0$.
$(2)(1) + (4)(2) + (-2)(\alpha) = 0$.
$2 + 8 - 2\alpha = 0$.
$10 - 2\alpha = 0$.
$2\alpha = 10$.
$\alpha = 5$.

(B) ટેકરી ધ્વનિના ગૌણ સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે.
આપેલ છે:
સીટીની આવૃત્તિ,$f = 320\,Hz$
કારનો વેગ,$v_s = v_o = 36\,km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10\,m/s$
ધ્વનિનો વેગ,$v = 330\,m/s$
પગલું $1$: ટેકરી દ્વારા પ્રાપ્ત થતી આવૃત્તિ $(f_1)$ ની ગણતરી કરો.
કાર (સ્ત્રોત) સ્થિર અવલોકનકાર (ટેકરી) તરફ ગતિ કરી રહી હોવાથી,ટેકરી દ્વારા પ્રાપ્ત થતી આવૃત્તિ:
$f_1 = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 320 \left( \frac{330}{330 - 10} \right) = 320 \left( \frac{330}{320} \right) = 330\,Hz$
પગલું $2$: ડ્રાઈવર દ્વારા સંભળાતા પડઘાની આવૃત્તિ $(f_2)$ ની ગણતરી કરો.
ટેકરી આ આવૃત્તિ $f_1$ ને પરાવર્તિત કરે છે. હવે,ટેકરી સ્થિર સ્ત્રોત તરીકે અને કાર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે.
$f_2 = f_1 \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 330 \left( \frac{330 + 10}{330} \right) = 340\,Hz$

(B) જેમ કે પરપોટો સ્થિર ગતિથી ઉપર જઈ રહ્યો છે,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
પરપોટો ઉપર જઈ રહ્યો હોવાથી,ઉત્પ્લાવક બળ $(B)$ ઉપરની તરફ લાગે છે,જ્યારે સ્નિગ્ધતા બળ $(F)$ અને વજન $(mg)$ નીચેની તરફ લાગે છે. હવાની ઘનતા અવગણ્ય હોવાથી,$mg \approx 0$.
તેથી,$B = F$.
સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,$F = 6 \pi \eta R v$ અને ઉત્પ્લાવક બળ $B = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho g$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{4}{3} \pi R^3 \rho g = 6 \pi \eta R v$.
$\eta$ માટે સૂત્ર: $\eta = \frac{2 R^2 \rho g}{9 v}$.
આપેલ છે: $R = 1\,mm = 10^{-3}\,m$,$\rho = 1750\,kg\,m^{-3}$,$g = 10\,m\,s^{-2}$,$v = 0.35 \times 10^{-2}\,m\,s^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\eta = \frac{2 \times (10^{-3})^2 \times 1750 \times 10}{9 \times 0.35 \times 10^{-2}} = 1.11\,Pa\,s$.
$1\,Pa\,s = 10\,poise$ હોવાથી,$\eta = 1.11 \times 10 = 11.1\,poise$.
નજીકનો પૂર્ણાંક $11$ છે.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ બ્લોકની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{\text{net}} = K_f - K_i$
આપેલ છે કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = E = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
જ્યારે ઝડપ અડધી થાય છે,ત્યારે અંતિમ ઝડપ $v' = \frac{v}{2}$ થાય છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}m(\frac{v}{2})^2 = \frac{1}{4}(\frac{1}{2}mv^2) = \frac{E}{4}$ થાય છે.
સ્પ્રિંગને $x = 25\,cm = 0.25\,m = \frac{1}{4}\,m$ અંતર સુધી દબાવવા માટે સ્પ્રિંગ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = -\frac{1}{2}Kx^2$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય લાગુ પાડતા:
$-\frac{1}{2}Kx^2 = K_f - K_i$
$-\frac{1}{2}K(\frac{1}{4})^2 = \frac{E}{4} - E$
$-\frac{1}{2}K(\frac{1}{16}) = -\frac{3E}{4}$
$\frac{K}{32} = \frac{3E}{4}$
$K = \frac{3E \times 32}{4} = 24E$
આને $nE$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 24$ મળે છે.

(D) ધારો કે દરેક તક્તિની ત્રિજ્યા $R = \frac{a}{2}$ છે.
$OO'$ અક્ષ પર રહેલી બે તક્તિઓ માટે,અક્ષ તેમના વ્યાસમાંથી પસાર થાય છે. વ્યાસને અનુલક્ષીને તક્તિની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diam} = \frac{1}{4} MR^2$ છે.
તેથી,ઉપરની અને નીચેની તક્તિઓ માટે,$I_1 = I_3 = \frac{1}{4} MR^2$.
બાજુ પરની બે તક્તિઓ માટે,$OO'$ અક્ષ તેમને સ્પર્શક છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $I_{cm} = \frac{1}{4} MR^2$ (અક્ષ વ્યાસને સમાંતર છે) અને $d = R$.
તેથી,$I_2 = I_4 = \frac{1}{4} MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4} MR^2$.
તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 = 2 \times (\frac{1}{4} MR^2) + 2 \times (\frac{5}{4} MR^2) = \frac{1}{2} MR^2 + \frac{5}{2} MR^2 = 3 MR^2$.
$R = \frac{a}{2}$ મુકતા,$I = 3 M(\frac{a}{2})^2 = \frac{3}{4} Ma^2$.
આમ,$\frac{x}{4} Ma^2 = \frac{3}{4} Ma^2$ સરખાવતા,$x = 3$ મળે છે.

(B) $1$. ટોર્ક એ બળ અને પરિભ્રમણની ધરીથી લંબ અંતરનો ગુણાકાર છે. તેનો $SI$ એકમ $Nm$ છે.
$2$. સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. તેનો $SI$ એકમ $N/m^2$ અથવા $Nm^{-2}$ છે.
$3$. ગુપ્ત ઉષ્મા એ પદાર્થના એકમ દળની અવસ્થા બદલવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે. તેનો $SI$ એકમ $J/kg$ અથવા $Jkg^{-1}$ છે.
$4$. પાવર એ કાર્ય કરવાનો દર છે. કાર્ય = બળ $\times$ સ્થાનાંતર હોવાથી,પાવર = બળ $\times$ વેગ. તેનો $SI$ એકમ $N \times (m/s) = Nms^{-1}$ છે.
તેથી,સાચી જોડ $(A)-(III), (B)-(IV), (C)-(II), (D)-(I)$ છે.

(D) ધારો કે દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે.
દડાને મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{u}{g}$ છે.
જાદુગર પ્રતિ સેકન્ડ $n$ દડા ફેંકે છે,તેથી બે ક્રમિક ફેંક વચ્ચેનો સમયગાળો $T = \frac{1}{n}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જ્યારે પહેલો દડો તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે છે ત્યારે બીજો દડો ફેંકવામાં આવે છે. તેથી,ફેંક વચ્ચેનો સમયગાળો એ મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટે લાગતા સમય જેટલો જ હોવો જોઈએ:
$T = t \implies \frac{1}{n} = \frac{u}{g}$.
$u$ માટે ઉકેલતા,આપણને $u = \frac{g}{n}$ મળે છે.
દડાઓ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{\max}$ નું સૂત્ર $H_{\max} = \frac{u^{2}}{2g}$ છે.
$u$ ની કિંમત મૂકતા:
$H_{\max} = \frac{(\frac{g}{n})^{2}}{2g} = \frac{g^{2} / n^{2}}{2g} = \frac{g}{2n^{2}}$.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_i = -\frac{GMm}{R}$ છે.
વસ્તુને $h = 3R$ ઊંચાઈએ લઈ જવામાં આવે છે. પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતિમ અંતર $r = R + h = R + 3R = 4R$ થાય.
આ ઊંચાઈએ ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_f = -\frac{GMm}{4R}$ છે.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{4R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{4R} = \frac{3GMm}{4R}$ છે.
$g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી,$GM = gR^2$ મળે. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta U = \frac{3(gR^2)m}{4R} = \frac{3}{4} mgR$.
અહીં $m = 1 \, kg$,$g = 10 \, m/s^2$,અને $R = 6400 \, km = 6.4 \times 10^6 \, m$ છે:
$\Delta U = \frac{3}{4} \times 1 \times 10 \times 6.4 \times 10^6 = 3 \times 2.5 \times 6.4 \times 10^6 = 48 \times 10^6 \, J = 48 \, MJ$.

(D) પ્રથમ અડધા અંતર $\frac{h}{2}$ માટે,લાગતો સમય $t_{1}$ છે:
$\frac{h}{2} = \frac{1}{2} g t_{1}^{2} \implies h = g t_{1}^{2}$ (સમીકરણ $1$)
કુલ અંતર $h$ માટે,કુલ લાગતો સમય $(t_{1} + t_{2})$ છે:
$h = \frac{1}{2} g (t_{1} + t_{2})^{2}$ (સમીકરણ $2$)
$h$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$g t_{1}^{2} = \frac{1}{2} g (t_{1} + t_{2})^{2}$
$2 t_{1}^{2} = (t_{1} + t_{2})^{2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{2} t_{1} = t_{1} + t_{2}$
$t_{2} = \sqrt{2} t_{1} - t_{1}$
$t_{2} = (\sqrt{2} - 1) t_{1}$

(B) તંત્ર સ્થિર (સંતુલન) અવસ્થામાં હોવાથી,દોરીમાં રહેલું તણાવબળ $T$ એ $m_{2}$ ના વજનબળ અને $m_{1}$ ના ઢળતા સમતલની દિશાના ઘટકને સંતુલિત કરે છે.
$T = m_{2}g$
$T = m_{1}g \sin \theta$
બંનેને સરખાવતા,$m_{2}g = m_{1}g \sin \theta$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = \frac{m_{2}}{m_{1}} = \frac{3}{5}$.
$\sin \theta = \frac{3}{5}$ હોવાથી,$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$ થાય.
ઢળતા સમતલ દ્વારા $m_{1}$ દળના પદાર્થ પર લાગતું બળ એ લંબબળ $N$ છે,જે ઢળતા સમતલને લંબ દિશામાં વજનબળના ઘટકને સંતુલિત કરે છે:
$N = m_{1}g \cos \theta$
કિંમતો મૂકતા: $N = 5 \times 10 \times \frac{4}{5} = 40\,N$.

(C) ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{P^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગમાન $P$ છે અને પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{P^2}{2m}$ છે.
નવું વેગમાન $P'$ એ $20\%$ વધે છે,તેથી $P' = P + 0.20P = 1.2P$ થાય.
નવી ગતિઊર્જા $K'$ એ $K' = \frac{(P')^2}{2m} = \frac{(1.2P)^2}{2m} = 1.44 \times \frac{P^2}{2m} = 1.44K$ થાય.
ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{K' - K}{K} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{1.44K - K}{K} \times 100 = 0.44 \times 100 = 44\%$ મળે છે.

(C) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
સદિશ ગુણાકાર માટે નિશ્ચાયક (determinant) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & -7 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{\tau} = \hat{i} [(2)(-7) - (1)(3)] - \hat{j} [(2)(-7) - (1)(5)] + \hat{k} [(2)(3) - (2)(5)]$
$\vec{\tau} = \hat{i} [-14 - 3] - \hat{j} [-14 - 5] + \hat{k} [6 - 10]$
$\vec{\tau} = -17 \hat{i} + 19 \hat{j} - 4 \hat{k}$

(B) $P-V$ આલેખમાં કરવામાં આવેલ કાર્ય વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$D \rightarrow E$ પ્રક્રિયા માટે,કરવામાં આવેલ કાર્ય $W_{DE}$ એ રેખા $DE$ ની નીચેના સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ છે:
$W_{DE} = \text{સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (P_D + P_E) \times (V_E - V_D)$
$W_{DE} = \frac{1}{2} \times (600 + 300) \times (5.0 - 2.0) = \frac{1}{2} \times 900 \times 3 = 1350 \, J$
$E \rightarrow F$ પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $300 \, N/m^2$ પર અચળ છે (સમદાબી પ્રક્રિયા),અને કદ $5.0 \, m^3$ થી ઘટીને $2.0 \, m^3$ થાય છે:
$W_{EF} = P \times \Delta V = 300 \times (2.0 - 5.0) = 300 \times (-3.0) = -900 \, J$
કુલ કાર્ય $W_{DEF} = W_{DE} + W_{EF} = 1350 - 900 = 450 \, J$.

(C) કણની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(V_{\text{rms}})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$.
આપેલ છે:
કણનું દળ $(m)$ = $5 \times 10^{-17} \, kg$
બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(k)$ = $1.38 \times 10^{-23} \, J \, K^{-1}$
$NTP$ પર તાપમાન $(T)$ = $293 \, K$
કિંમતો મૂકતા:
$V_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 293}{5 \times 10^{-17}}}$
$V_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1213.02 \times 10^{-23}}{5 \times 10^{-17}}}$
$V_{\text{rms}} = \sqrt{242.604 \times 10^{-6}}$
$V_{\text{rms}} \approx 15.57 \times 10^{-3} \, m/s$
$mm/s$ માં રૂપાંતર કરતા $(1 \, m/s = 1000 \, mm/s)$:
$V_{\text{rms}} \approx 15.57 \, mm/s \approx 15 \, mm/s$.

(D) ભ્રમણની ધરીથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો પ્રવાહીનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો. આ ઘટકનું દળ $dm = (m/L) dx$ છે.
આ ઘટક પર લાગતું કેન્દ્રત્યાગી બળ $dF = (dm) \omega^2 x = (m/L) \omega^2 x dx$ છે.
બીજા છેડે લાગતું કુલ બળ $F$ શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ થી $x = L$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$F = \int_{0}^{L} \frac{m}{L} \omega^2 x dx = \frac{m \omega^2}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{m \omega^2 L}{2}$.
અહીં $m = 250\,g = 0.25\,kg$ અને $L = 50\,cm = 0.5\,m$ આપેલ છે,તેથી:
$F = \frac{0.25 \times \omega^2 \times 0.5}{2} = \frac{0.125}{2} \omega^2 = 0.0625 \omega^2$.
આમ,$\omega^2 = F / 0.0625 = 16F$,જે આપણને $\omega = 4 \sqrt{F}$ આપે છે.
આને $\omega = x \sqrt{F}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 4$ મળે છે.

(D) બલ્બ દ્વારા ઉત્સર્જિત દ્રશ્યમાન વિકિરણનો પાવર $P' = 110\,W$ ના $10\% = 0.10 \times 110\,W = 11\,W$ છે.
બિંદુવત ઉદગમથી $r$ અંતરે તીવ્રતા $I = \frac{P'}{4\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_1 = 1\,m$ અંતરે તીવ્રતા $I_1 = \frac{11}{4\pi(1)^2} = \frac{11}{4\pi}$ છે.
$r_2 = 5\,m$ અંતરે તીવ્રતા $I_2 = \frac{11}{4\pi(5)^2} = \frac{11}{100\pi}$ છે.
તીવ્રતામાં થતો ફેરફાર $\Delta I = I_1 - I_2 = \frac{11}{4\pi} - \frac{11}{100\pi} = \frac{11}{\pi} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{100} \right)$ છે.
$\Delta I = \frac{11}{\pi} \left( \frac{25 - 1}{100} \right) = \frac{11}{\pi} \times \frac{24}{100} = \frac{264}{100\pi} = \frac{2.64}{\pi} \approx 0.84\,W/m^2$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\Delta I = a \times 10^{-2}\,W/m^2$,તેથી $0.84 = a \times 10^{-2}$,જેનો અર્થ છે કે $a = 84$.

(D) તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ $T$ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $T = \frac{mv^{2}}{\ell}$.
અહીં $m = 10\; kg$ અને $\ell = 0.5\; m$ આપેલ છે,તેથી $T = \frac{10 \times v^{2}}{0.5} = 20v^{2}$.
તાર સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ તણાવ બળ બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ દ્વારા નક્કી થાય છે: $T_{\max} = \text{બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ} \times \text{ક્ષેત્રફળ}$.
$T_{\max} = (5 \times 10^{8}\; N/m^{2}) \times (10^{-4}\; m^{2}) = 5 \times 10^{4}\; N$.
તણાવ બળને મહત્તમ બ્રેકિંગ બળ સાથે સરખાવતા: $20v^{2} = 5 \times 10^{4}$.
$v^{2} = \frac{5 \times 10^{4}}{20} = 0.25 \times 10^{4} = 2500$.
$v = \sqrt{2500} = 50\; m/s$.

(C) જ્યારે દડાનો વેગ અચળ બને છે,ત્યારે તેને ટર્મિનલ વેગ કહેવામાં આવે છે. આ સ્થિતિમાં,દડા પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોય છે.
$F_V + F_B = mg$
જ્યાં $F_V$ એ સ્નિગ્ધ બળ છે,$F_B$ એ ઉત્પ્લાવક બળ છે,અને $mg$ એ દડાનું વજન છે.
$F_V = mg - F_B = V \rho_B g - V \rho_L g = V g (\rho_B - \rho_L)$
આપેલ છે: દળ $m = 0.3 \, g = 0.3 \times 10^{-3} \, kg$,દડાની ઘનતા $\rho_B = 8 \, g/cc = 8000 \, kg/m^3$,ગ્લિસરીનની ઘનતા $\rho_L = 1.3 \, g/cc = 1300 \, kg/m^3$.
કદ $V = \frac{m}{\rho_B} = \frac{0.3 \times 10^{-3} \, kg}{8000 \, kg/m^3} = \frac{0.3}{8} \times 10^{-6} \, m^3$.
$F_V = (8000 - 1300) \times (\frac{0.3}{8} \times 10^{-6}) \times 10$
$F_V = 6700 \times \frac{0.3}{8} \times 10^{-5} = 67 \times \frac{0.3}{8} \times 10^{-3} = \frac{20.1}{8} \times 10^{-3} = 2.5125 \times 10^{-3} = 25.125 \times 10^{-4} \, N$.
આમ,$x = 25.125$.

(B) તારમાં લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{L} = \frac{10 \times 10^{-3} \; kg}{0.5 \; m} = 0.02 \; kg/m$.
આપેલ છે $v = 60 \; ms^{-1}$,તેથી $60 = \sqrt{\frac{T}{0.02}}$,જેનો અર્થ છે કે $T = 3600 \times 0.02 = 72 \; N$.
લંબાઈમાં વધારો $\Delta L$ હૂકના નિયમ દ્વારા મળે છે: $\Delta L = \frac{TL}{AY}$.
કિંમતો મૂકતા: $A = 2.0 \; mm^2 = 2.0 \times 10^{-6} \; m^2$,$L = 0.5 \; m$,$Y = 1.2 \times 10^{11} \; Nm^{-2}$.
$\Delta L = \frac{72 \times 0.5}{2.0 \times 10^{-6} \times 1.2 \times 10^{11}} = \frac{36}{2.4 \times 10^5} = 15 \times 10^{-5} \; m$.
આને $x \times 10^{-5} \; m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 15$ મળે છે.

(B) જ્યારે ગોળાને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$g' = g - \frac{F_B}{m} = g - \frac{\rho_w V g}{\rho_b V} = g \left(1 - \frac{\rho_w}{\rho_b}\right)$
ગોળાની સાપેક્ષ ઘનતા $\rho_b / \rho_w = 5$ આપેલ છે,તેથી $\rho_w / \rho_b = 1/5$.
$g' = g \left(1 - \frac{1}{5}\right) = g \left(\frac{4}{5}\right) = 0.8g$
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ છે.
તેથી,નવો આવર્તકાળ $T'$ નીચે મુજબ થશે:
$T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{0.8g}} = T \sqrt{\frac{1}{0.8}} = T \sqrt{\frac{5}{4}}$
$T = 10 \, s$ આપેલ હોવાથી:
$T' = 10 \sqrt{\frac{5}{4}} = 10 \frac{\sqrt{5}}{2} = 5 \sqrt{5} \, s$
આને $5 \sqrt{x} \, s$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 5$ મળે છે.

(C) સમયગાળા $T$ નું પરિમાણ $[T^1]$ છે.
આપેલ સૂત્ર $T = k \sqrt{\frac{\rho r^3}{S}}$ છે.
ઘનતા $\rho$ નું પરિમાણ $[M L^{-3}]$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ નું પરિમાણ $[L]$ છે.
પૃષ્ઠતાણ $S$ નું પરિમાણ $[M T^{-2}]$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $[RHS] = [M L^{-3} L^3]^{1/2} / [M T^{-2}]^{1/2} = [M^{1/2}] / [M^{1/2} T^{-1}] = [T^1]$.
આમ,$LHS$ અને $RHS$ ના પરિમાણો સમાન હોવાથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે અને $(R)$ ખોટું છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈ $h = \frac{u^2}{2g}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $u = \sqrt{2gh}$.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,ઊંચાઈ $y = \frac{h}{3}$ માટે:
$\frac{h}{3} = ut - \frac{1}{2}gt^2$
$u = \sqrt{2gh}$ મૂકતા:
$\frac{1}{2}gt^2 - \sqrt{2gh}t + \frac{h}{3} = 0$
આ $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. ધારો કે ઉકેલો $t_1$ (ઉપર જતી વખતે) અને $t_2$ (નીચે આવતી વખતે) છે.
$t = \frac{\sqrt{2gh} \pm \sqrt{2gh - 4(\frac{g}{2})(\frac{h}{3})}}{g} = \frac{\sqrt{2gh} \pm \sqrt{\frac{4gh}{3}}}{g}$
સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{4/3}}{\sqrt{2} + \sqrt{4/3}} = \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}$.

(B) આપેલ સંબંધ $t = \sqrt{x} + 4$ છે.
પ્રથમ,$\sqrt{x}$ ને અલગ કરો:
$\sqrt{x} = t - 4$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x = (t - 4)^2$
$x = t^2 - 8t + 16$
હવે,$x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 8t + 16)$
$\frac{dx}{dt} = 2t - 8$
અંતે,$t = 4$ આગળ વિકલિતનું મૂલ્ય શોધતા:
$\left(\frac{dx}{dt}\right)_{t=4} = 2(4) - 8$
$\left(\frac{dx}{dt}\right)_{t=4} = 8 - 8 = 0$

(A) $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા $m$ દળના બ્લોક માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ઉભી દીવાલ દ્વારા લાગતા લંબબળ $(N)$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
કેન્દ્રગામી બળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$F_c = \frac{m v^2}{r}$
અહીં લંબબળ $(N)$ આ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે,તેથી:
$N = \frac{m v^2}{r}$
અહીં,$m$ અને $r$ અચળ છે. તેથી,$N$ અને $v$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$N \propto v^2$
આ સમીકરણ $Y = kX^2$ પ્રકારના પેરાબોલા (પરવલય) ને રજૂ કરે છે,જ્યાં $Y = N$,$X = v$,અને $k = \frac{m}{r}$ છે.
આમ,$N$ વિરુદ્ધ $v$ નો આલેખ ઉપરની તરફ ખુલતો પેરાબોલા છે,જે વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ વક્રને અનુરૂપ છે.

(C) દડાની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2} mu^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે。
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના મહત્તમ બિંદુએ, વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે અને દડા પાસે ફક્ત વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક જ બાકી રહે છે。
મહત્તમ બિંદુએ વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos 60^{\circ} = u \times \frac{1}{2} = \frac{u}{2}$ છે。
તેથી, મહત્તમ બિંદુએ ગતિઊર્જા $E' = \frac{1}{2} m v_x^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{u}{2}\right)^2$ થશે。
$E' = \frac{1}{2} m \frac{u^2}{4} = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2} mu^2\right) = \frac{E}{4}$.

(D) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_{com} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\vec{r}_{com} = \frac{1(\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + 3(-3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})}{1 + 3}$.
$\vec{r}_{com} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} - 9\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}}{4} = \frac{-8\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}}{4} = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાન સદિશનું મૂલ્ય $|\vec{r}_{com}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
હવે,વિકલ્પ $D$ માં આપેલ સદિશનું મૂલ્ય તપાસતા: $|-2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{6}$.
આમ,બંનેના મૂલ્યો સમાન છે.

(A) વિધાન $(A)$ સાચું છે: તેલ અથવા ગ્રીસના ડાઘાવાળા કપડાં પાણીથી ભીના થતા નથી કારણ કે પાણી તેલ/ગ્રીસની સપાટી પર ફેલાતું નથી. તેથી,તેમને ફક્ત પાણીથી સાફ કરી શકાતા નથી.
કારણ $(R)$ સાચું છે: પાણી અને તેલ/ગ્રીસ વચ્ચેનો સંપર્કકોણ $(\theta_c)$ ગુરુકોણ $(\theta_c > 90^{\circ})$ હોય છે. આ દર્શાવે છે કે પાણી સપાટીને ભીની કરતું નથી,તેથી જ સપાટીતાણ ઘટાડવા અને સંપર્કકોણને લઘુકોણ બનાવવા માટે ડિટર્જન્ટની જરૂર પડે છે,જેથી પાણી ડાઘ દૂર કરી શકે.
કારણ કે સંપર્કકોણ ગુરુકોણ હોવો એ ભૌતિક કારણ છે કે શા માટે પાણી તેલ/ગ્રીસને ભીનું કરવામાં નિષ્ફળ જાય છે,તેથી $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ તારના દ્રવ્યનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
તે માત્ર દ્રવ્યની પ્રકૃતિ અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તે તારના પરિમાણો જેવા કે તેની લંબાઈ $(L)$ અથવા ત્રિજ્યા $(r)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,તારની લંબાઈ અથવા ત્રિજ્યા બદલવાથી દ્રવ્યના યંગ મોડ્યુલસ પર કોઈ અસર થશે નહીં.
આમ,યંગ મોડ્યુલસ સમાન રહેશે.

(C) મુખ્ય સ્કેલ પર $cm$ દીઠ $20$ કાપા છે,તેથી $1$ મુખ્ય સ્કેલના કાપા $(MSD)$ નું મૂલ્ય $1\,MSD = \frac{1}{20}\,cm = 0.05\,cm$ છે.
આપેલ છે કે $25$ વર્નિયર સ્કેલના કાપા $(VSD)$ એ $24$ મુખ્ય સ્કેલના કાપા $(MSD)$ બરાબર છે,તેથી $25\,VSD = 24\,MSD$.
તેથી,$1\,VSD = \frac{24}{25}\,MSD = \frac{24}{25} \times 0.05\,cm = 0.048\,cm$.
ટ્રાવેલિંગ માઇક્રોસ્કોપનું લઘુત્તમ માપન $(LC)$ એ $LC = 1\,MSD - 1\,VSD$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$LC = 0.05\,cm - 0.048\,cm = 0.002\,cm$.

(C) $1$. લઘુત્તમ માપશક્તિ $(LC)$ ની ગણતરી કરો:
$LC = \frac{\text{પિચ}}{\text{વર્તુળાકાર સ્કેલના કુલ વિભાગો}} = \frac{0.5\,mm}{50} = 0.01\,mm$.
$2$. વર્તુળાકાર સ્કેલનું વાંચન $(CSR)$ ની ગણતરી કરો:
$CSR = \text{પિચ લાઇન પરનો વિભાગ} \times LC = 45 \times 0.01\,mm = 0.45\,mm$.
$3$. અવલોકિત વ્યાસ $(D_{\text{obs}})$ ની ગણતરી કરો:
$D_{\text{obs}} = \text{મુખ્ય સ્કેલનું વાંચન} (MSR) + CSR = 2.5\,mm + 0.45\,mm = 2.95\,mm$.
$4$. શૂન્ય ત્રુટિ સુધારણા લાગુ કરો:
$\text{સુધારેલ વ્યાસ} = D_{\text{obs}} - (\text{શૂન્ય ત્રુટિ})$.
ત્રુટિ ઋણ હોવાથી,$\text{શૂન્ય ત્રુટિ} = -0.03\,mm$.
$\text{સુધારેલ વ્યાસ} = 2.95\,mm - (-0.03\,mm) = 2.95\,mm + 0.03\,mm = 2.98\,mm$.

(B) આપેલ છે:
તરંગલંબાઈ $\lambda = 900 \times 10^{-9} \, m$
તીવ્રતા $I = 100 \, W/m^2$
ક્ષેત્રફળ $A = 1 \, cm^2 = 10^{-4} \, m^2$
સમય $t = 1 \, s$
દર સેકન્ડે ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતી ઉર્જા $P = I \times A = 100 \times 10^{-4} = 10^{-2} \, J/s$ છે.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
દર સેકન્ડે ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતા ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{P}{E} = \frac{P \lambda}{hc}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{10^{-2} \times 900 \times 10^{-9}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$
$n = \frac{9 \times 10^{-9}}{19.89 \times 10^{-26}} \approx 0.452 \times 10^{17} = 4.52 \times 10^{16}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $4.5 \times 10^{16}$ મળે છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે આખી ગોઠવણીને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ બદલાઈને $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે.
પરિણામે,નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ થાય છે.
અહીં $\beta = 12 \ mm$ અને $\mu = \frac{4}{3}$ આપેલ છે,તેથી નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta' = \frac{12}{4/3} = 12 \times \frac{3}{4} = 9 \ mm$ થશે.

(C) વિદ્યુત ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $(E_0)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $(B_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = cB_0$ છે, જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે $(c = 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1})$.
અહીં $B_0 = 2 \times 10^{-8} \text{ T}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $E_0 = (3 \times 10^8) \times (2 \times 10^{-8}) = 6 \text{ Vm}^{-1}$.
તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે (જે $+kx$ પદ દ્વારા સૂચિત થાય છે). ચુંબકીય ક્ષેત્ર $y$-અક્ષની દિશામાં $(\hat{j})$ છે. પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ હોવાથી, વિદ્યુત ક્ષેત્ર $z$-અક્ષની દિશામાં $(\hat{k})$ હોવું જોઈએ કારણ કે $(-\hat{k}) \times \hat{j} = -\hat{i}$ (ઋણ $x$-દિશા). તેથી, વિદ્યુત ક્ષેત્ર $6 \text{ Vm}^{-1}$ એ $z$-અક્ષની દિશામાં હશે.

(B) $LR$ સર્કિટમાં,ઈમ્પીડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{X_{L}^{2} + R^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $X_{L} = R$,તેથી $Z = \sqrt{R^{2} + R^{2}} = \sqrt{2}R$.
પાવર ફેક્ટર $P_{1} = \cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{2}R} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
જ્યારે કેપેસિટર એવી રીતે ઉમેરવામાં આવે છે કે $X_{L} = X_{C}$ થાય,ત્યારે સર્કિટ રેઝોનન્સ સ્થિતિમાં $LCR$ શ્રેણી સર્કિટ બને છે.
રેઝોનન્સમાં,ઈમ્પીડન્સ $Z = R$ થાય છે.
પાવર ફેક્ટર $P_{2} = \cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{R} = 1$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{1/\sqrt{2}}{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{F} = m\vec{a}$ હોવાથી,પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{q}{m}(\vec{v} \times \vec{B})$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ હંમેશા ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ ને લંબ હોય છે.
બે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય ત્યારે તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{B} = 0$.
અહીં $\vec{a} = (\alpha \hat{i} - 4 \hat{j})$ અને $\vec{B} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j})$ આપેલ છે,તેથી:
$(\alpha \hat{i} - 4 \hat{j}) \cdot (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) = 0$
$2\alpha - 12 = 0$
$2\alpha = 12$
$\alpha = 6$.

(B) $N$ આંટા,$R$ ત્રિજ્યા અને $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર: $B = N \left( \frac{\mu_{0} i}{2R} \right)$ છે.
ગૂંચળા $X$ માટે: $N_{X} = 200$,$R_{X} = 20 \ cm$,વિદ્યુતપ્રવાહ $= i$. તેથી,$B_{X} = 200 \left( \frac{\mu_{0} i}{2 \times 20 \ cm} \right)$.
ગૂંચળા $Y$ માટે: $N_{Y} = 400$,$R_{Y} = 20 \ cm$,વિદ્યુતપ્રવાહ $= i$. તેથી,$B_{Y} = 400 \left( \frac{\mu_{0} i}{2 \times 20 \ cm} \right)$.
$B_{X}$ અને $B_{Y}$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{B_{X}}{B_{Y}} = \frac{200 \left( \frac{\mu_{0} i}{2 \times 20 \ cm} \right)}{400 \left( \frac{\mu_{0} i}{2 \times 20 \ cm} \right)} = \frac{200}{400} = \frac{1}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 2$ છે.

(A) આપેલ પરિપથને વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની રચના ઓળખીને સરળ બનાવી શકાય છે.
પરિપથને જોતા,અવરોધો એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ બનાવે છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,મધ્યના અવરોધ $(2 \, \Omega)$ ની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોય છે,તેથી તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આમ,$2 \, \Omega$ ના અવરોધને અવગણી શકાય છે.
હવે,પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે.
ઉપરની શાખામાં શ્રેણીમાં બે $4 \, \Omega$ ના અવરોધો છે,જેનો કુલ અવરોધ $4 \, \Omega + 4 \, \Omega = 8 \, \Omega$ થાય છે.
નીચેની શાખામાં પણ શ્રેણીમાં બે $4 \, \Omega$ ના અવરોધો છે,જેનો કુલ અવરોધ $4 \, \Omega + 4 \, \Omega = 8 \, \Omega$ થાય છે.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં છે,તેથી સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{net}}$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{R_{\text{net}}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \implies R_{\text{net}} = 4 \, \Omega$.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,કુલ પ્રવાહ $I$ છે:
$I = \frac{V}{R_{\text{net}}} = \frac{40 \, \text{V}}{4 \, \Omega} = 10 \, \text{A}$.

(A) જ્યારે કેપેસિટરોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન હોય છે.
આપેલ છે: $V = 20\,V$,$C_{1} = 1\,\mu F$,$C_{2} = 2\,\mu F$,$C_{3} = 4\,\mu F$,$C_{4} = 3\,\mu F$.
સમાંતર જોડાણમાં સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_{1} + C_{2} + C_{3} + C_{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C_{eq} = 1 + 2 + 4 + 3 = 10\,\mu F$.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} \times V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Q = 10\,\mu F \times 20\,V = 200\,\mu C$.

(D) સંયુક્ત કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર $C_{1}$ અને $C_{2}$ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$C_{1} = \frac{K_{1} \epsilon_{0} A}{t_{1}} = \frac{3 \epsilon_{0} A}{0.5 \times 10^{-3}} = 6000 \epsilon_{0} A$
$C_{2} = \frac{K_{2} \epsilon_{0} A}{t_{2}} = \frac{4 \epsilon_{0} A}{1 \times 10^{-3}} = 4000 \epsilon_{0} A$
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ સમાન હોય છે.
દરેક કેપેસિટર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ તેના કેપેસિટન્સના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $V_{1} + V_{2} = 100 \text{ V}$.
વળી,$\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{C_{2}}{C_{1}} = \frac{4000 \epsilon_{0} A}{6000 \epsilon_{0} A} = \frac{2}{3}$.
$V_{1} = \frac{2}{5} \times 100 = 40 \text{ V}$ અને $V_{2} = \frac{3}{5} \times 100 = 60 \text{ V}$.
જો નીચેની પ્લેટ $0 \text{ V}$ પર હોય,તો ફોઇલ $F$ નો પોટેન્શિયલ એ $C_{2}$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ છે,જે $60 \text{ V}$ છે.

(D) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$P = 4\,\Omega$ અને $l_1 = 40\,cm$ છે. તેથી,$100 - l_1 = 60\,cm$.
$\frac{P}{Q} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \implies \frac{4}{Q} = \frac{2}{3} \implies Q = 6\,\Omega$.
જ્યારે અજ્ઞાત અવરોધ $x$ ને $P$ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવો અવરોધ $P' = P + x = 4 + x$ થાય છે.
નવી સંતુલન લંબાઈ $l_2 = 80\,cm$ છે. તેથી,$100 - l_2 = 20\,cm$.
ફરીથી સંતુલન સ્થિતિનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{P + x}{Q} = \frac{80}{20} = 4$.
$Q = 6\,\Omega$ મૂકતા:
$\frac{4 + x}{6} = 4$
$4 + x = 24$
$x = 20\,\Omega$.

(B) ખૂબ જ ઊંચી આવૃત્તિઓ પર,કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} \approx 0 \, \Omega$ (શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે) અને ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L \approx \infty \, \Omega$ (ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે).
આપેલ આકૃતિમાં કેપેસિટરને શોર્ટ સર્કિટ અને ઇન્ડક્ટરને ઓપન સર્કિટ દ્વારા બદલતા,સર્કિટ અવરોધોના શ્રેણી જોડાણમાં સરળ બને છે.
અસરકારક અવરોધ $R_{eq}$ એ માર્ગમાં રહેલા અવરોધોનો સરવાળો છે: $R_{eq} = 1 \, \Omega + 4 \, \Omega + 2 \, \Omega = 7 \, \Omega$.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અસરકારક પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{220 \, V}{7 \, \Omega} \approx 31.43 \, A$.
જોકે,ઉકેલની આકૃતિમાં આપેલ સરળ સર્કિટ મુજબ,જો કુલ અવરોધ $5 \, \Omega$ ગણવામાં આવે,તો $I = \frac{220}{5} = 44 \, A$ મળે છે.

(B) લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આલેખ પરથી,બિંદુ $A$ પર,$\frac{1}{u} = 0$ અને $\frac{1}{v} = 0.10 \, cm^{-1}$. આ કિંમતોને લેન્સના સૂત્રમાં મૂકતા: $0.10 - 0 = \frac{1}{f} \Rightarrow f = 10 \, cm$.
બિંદુ $B$ પર,$\frac{1}{u} = -0.10 \, cm^{-1}$ અને $\frac{1}{v} = 0$. આ કિંમતોને લેન્સના સૂત્રમાં મૂકતા: $0 - (-0.10) = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{f} = 0.10 \Rightarrow f = 10 \, cm$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
સમાન વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતા બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = -R$.
તેથી,$\frac{1}{10} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = 0.5 \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}$.
આમ,$R = 10 \, cm$.

(A) લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે $(n_1=1, n_2=2)$:
$\frac{1}{\lambda} = R \left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}\right) = R \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda = \frac{4}{3R} \quad \dots(1)$
પાશ્ચન શ્રેણીની $3^{\text{rd}}$ રેખા માટે $(n_1=3, n_2=6)$:
$\frac{1}{\lambda_3} = R \left(\frac{1}{3^2} - \frac{1}{6^2}\right) = R \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{36}\right) = R \left(\frac{4-1}{36}\right) = \frac{3R}{36} = \frac{R}{12} \implies \lambda_3 = \frac{12}{R} \quad \dots(2)$
બામર શ્રેણીની $2^{\text{nd}}$ રેખા માટે $(n_1=2, n_2=4)$:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2}\right) = R \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{16}\right) = R \left(\frac{4-1}{16}\right) = \frac{3R}{16} \implies \lambda_2 = \frac{16}{3R} \quad \dots(3)$
તરંગલંબાઇનો તફાવત $\lambda_3 - \lambda_2 = a\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a\lambda = \frac{12}{R} - \frac{16}{3R} = \frac{36 - 16}{3R} = \frac{20}{3R}$
$\lambda = \frac{4}{3R}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$a \left(\frac{4}{3R}\right) = \frac{20}{3R} \implies a = \frac{20}{4} = 5$

(A) ઝેનર ડાયોડ પ્રવાહ $I_Z$ એ $I_Z = I - I_L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ સ્ત્રોતમાંથી કુલ પ્રવાહ છે અને $I_L$ એ લોડ પ્રવાહ છે.
$I_Z$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે કુલ પ્રવાહ $I$ ને મહત્તમ કરવો જોઈએ. કારણ કે $I = \frac{V_{in} - V_Z}{R}$,તેથી જ્યારે $V_{in}$ મહત્તમ હોય $(V_{in} = 120 \text{ V})$ ત્યારે $I$ મહત્તમ હોય છે.
$I_{max} = \frac{120 \text{ V} - 60 \text{ V}}{4000 \ \Omega} = \frac{60 \text{ V}}{4000 \ \Omega} = 0.015 \text{ A} = 15 \text{ mA}$.
લોડ પ્રવાહ $I_L$ અચળ છે કારણ કે લોડ અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_Z = 60 \text{ V}$ પર નિશ્ચિત છે.
$I_L = \frac{V_Z}{R_L} = \frac{60 \text{ V}}{10000 \ \Omega} = 0.006 \text{ A} = 6 \text{ mA}$.
તેથી,મહત્તમ ઝેનર ડાયોડ પ્રવાહ $I_{Z,max} = I_{max} - I_L = 15 \text{ mA} - 6 \text{ mA} = 9 \text{ mA}$ છે.

(B) ધારો કે કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 4\,\mu C$ ને બે ભાગ $q$ અને $(Q - q)$ માં વહેંચવામાં આવે છે.
$d$ અંતરે રહેલા આ બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F$ કુલંબના નિયમ મુજબ:
$F = \frac{K q (Q - q)}{d^2}$
મહત્તમ બળ માટેની શરત મેળવવા,આપણે $F$ નું $q$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય લઈએ છીએ:
$\frac{dF}{dq} = \frac{K}{d^2} \frac{d}{dq} (Qq - q^2) = 0$
$\frac{K}{d^2} (Q - 2q) = 0$
અહીં $K$ અને $d$ અચળ હોવાથી:
$Q - 2q = 0 \implies q = \frac{Q}{2}$
$Q = 4\,\mu C$ આપેલ હોવાથી,$q = \frac{4\,\mu C}{2} = 2\,\mu C$ મળે.
આમ,બે વિદ્યુતભારો $2\,\mu C$ અને $2\,\mu C$ હશે.

(B) ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ નું સૂત્ર: $v_d = \frac{e \tau E}{m} = \frac{e \tau}{m} \left( \frac{\Delta V}{\ell} \right)$ છે.
$1$. તાપમાનની અસર: જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ઇલેક્ટ્રોનની અથડામણની આવૃત્તિ વધે છે,જેના કારણે રિલેક્સેશન સમય $\tau$ ઘટે છે. $v_d \propto \tau$ હોવાથી,ડ્રિફ્ટ વેગ ઘટે છે. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે અને $E$ ખોટું છે.
$2$. લંબાઈની અસર: સૂત્ર $v_d = \frac{e \tau \Delta V}{m \ell}$ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $v_d \propto \frac{1}{\ell}$. તેથી,વિધાન $D$ સાચું છે.
$3$. ક્ષેત્રફળની અસર: ડ્રિફ્ટ વેગ અને વિદ્યુતપ્રવાહ વચ્ચેનો સંબંધ $I = n e A v_d$ છે. જો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અચળ હોય,તો $v_d = \frac{I}{n e A}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $v_d \propto \frac{1}{A}$. જોકે,સામાન્ય વાહકમાં જ્યાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V$ નિશ્ચિત હોય,ત્યારે $v_d = \frac{e \tau \Delta V}{m \ell}$ થાય,જે આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ પર આધારિત નથી. તેથી,વિધાન $B$ ખોટું છે.
$4$. વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતની અસર: $v_d = \frac{e \tau \Delta V}{m \ell}$ હોવાથી,ડ્રિફ્ટ વેગ લાગુ પાડેલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $\Delta V$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,વિધાન $C$ ખોટું છે.
આમ,વિધાન $A$ અને $D$ સાચા છે.

(A) ઓસિલેશન મેગ્નેટોમીટરનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M B_H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B_H = B \cos \delta$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે અને $\delta$ એ ડીપ એંગલ છે.
આવૃત્તિ $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{M B \cos \delta}{I}}$. તેથી,$f \propto \sqrt{B \cos \delta}$.
સ્થળ $P$ પર: $f_P = 20 \text{ દોલનો/મિનિટ}$,$\delta_P = 30^{\circ}$.
સ્થળ $Q$ પર: $f_Q = 10 \text{ દોલનો/મિનિટ}$,$\delta_Q = 60^{\circ}$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{f_P}{f_Q} = \sqrt{\frac{B_P \cos 30^{\circ}}{B_Q \cos 60^{\circ}}}$
$\frac{20}{10} = \sqrt{\frac{B_P (\sqrt{3}/2)}{B_Q (1/2)}}$
$2 = \sqrt{\frac{B_P \sqrt{3}}{B_Q}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = \frac{B_P \sqrt{3}}{B_Q}$
તેથી,$\frac{B_Q}{B_P} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

(B) સાયક્લોટ્રોનમાં $q$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતા કણની ગતિઊર્જા $K$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અને ત્રિજ્યા $r$ સાથે નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$K = \frac{q^2 B^2 r^2}{2m}$
આપેલ છે:
$q = 1.6 \times 10^{-19}\,C$
$B = 1.0\,T$
$r = 60\,cm = 0.6\,m$
$m = 1.6 \times 10^{-27}\,kg$
કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2 \times (1.0)^2 \times (0.6)^2}{2 \times 1.6 \times 10^{-27}}$
$K = \frac{2.56 \times 10^{-38} \times 0.36}{3.2 \times 10^{-27}}$
$K = 0.8 \times 10^{-11} \times 0.36 = 0.288 \times 10^{-11}\,J$
જૂલને $MeV$ માં ફેરવવા માટે $1.6 \times 10^{-13}$ વડે ભાગતા:
$K = \frac{0.288 \times 10^{-11}}{1.6 \times 10^{-13}} = 0.18 \times 10^2 = 18\,MeV$

(C) અનુનાદિત કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{0.01 \times 10^{-6}}} = 10^4 \, \text{rad/s}$ છે.
આપેલ છે કે કાર્યકારી આવૃત્તિ $\omega'$ એ અનુનાદિત આવૃત્તિ કરતા $60\%$ ઓછી છે,તેથી $\omega' = \omega_0 - 0.60\omega_0 = 0.4\omega_0 = 4000 \, \text{rad/s}$.
આ આવૃત્તિએ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L' = \omega' L = 4000 \times 0.01 = 40 \, \Omega$ છે.
આ આવૃત્તિએ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C' = \frac{1}{\omega' C} = \frac{1}{4000 \times 10^{-6}} = 250 \, \Omega$ છે.
સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_C' - X_L')^2} = \sqrt{10^2 + (250 - 40)^2} = \sqrt{100 + 44100} = \sqrt{44200} \approx 210.24 \, \Omega$ છે.
પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_m = \frac{V_m}{Z} = \frac{50}{210.24} \approx 0.2378 \, A = 237.8 \, mA \approx 238 \, mA$ થાય.

(B) વિધાન $A$ ખોટું છે કારણ કે તરંગના પ્રસરણની દિશા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો બંનેને લંબ હોય છે,તેમની દિશામાં નહીં.
વિધાન $B$ સાચું છે; વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં ઉર્જા ઘનતા વિદ્યુતક્ષેત્ર $(u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(u_B = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0})$ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોય છે,જેથી $u_E = u_B$.
વિધાન $C$ ખોટું છે કારણ કે વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજાને લંબ હોય છે.
વિધાન $D$ સાચું છે; વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો પ્રકૃતિમાં લંબગત હોય છે,એટલે કે $\vec{E}$,$\vec{B}$ અને પ્રસરણની દિશા $\vec{k}$ પરસ્પર લંબ હોય છે.
વિધાન $E$ ખોટું છે કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર પ્રકાશની ઝડપ $(E_0/B_0 = c)$ જેટલો હોય છે,તેથી $B_0/E_0 = 1/c$ થાય.
તેથી,માત્ર વિધાન $B$ અને $D$ સાચા છે.

(B) આપેલ છે કે બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{4}$ છે,તેથી $I_2 = 4I_1$ થાય.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} = I_1 + 4I_1 + 2\sqrt{I_1(4I_1)} = 5I_1 + 4I_1 = 9I_1$ મળે.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2} = I_1 + 4I_1 - 2\sqrt{I_1(4I_1)} = 5I_1 - 4I_1 = I_1$ મળે.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{I_{\max} + I_{\min}}{I_{\max} - I_{\min}} = \frac{9I_1 + I_1}{9I_1 - I_1} = \frac{10I_1}{8I_1} = \frac{5}{4}$ ગણી શકાય.
આપેલ સમીકરણ $\frac{2\alpha + 1}{\beta + 3} = \frac{5}{4}$ સાથે સરખાવતા,$2\alpha + 1 = 5 \implies 2\alpha = 4 \implies \alpha = 2$ અને $\beta + 3 = 4 \implies \beta = 1$ મળે છે.
તેથી,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{2}{1} = 2$ થાય.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\frac{1}{2}mv_{\max}^2 = hf - \phi$. કારણ કે $\frac{1}{2}mv_{\max}^2 = K_{\max}$,તેથી $K_{\max} = hf - \phi$. આમ,$v_{\max}^2$ એ આવૃત્તિ $f$ સાથે રેખીય રીતે બદલાય છે. વિધાન $A$ સાચું છે.
સેચ્યુરેશન પ્રવાહ પ્રકાશની તીવ્રતા પર આધાર રાખે છે. સ્ત્રોતને દૂર લઈ જવાથી તીવ્રતા ઘટે છે,તેથી સેચ્યુરેશન પ્રવાહ ઘટે છે. વિધાન $B$ ખોટું છે.
મહત્તમ ગતિઊર્જા આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે,પાવર (તીવ્રતા) પર નહીં. વિધાન $C$ ખોટું છે.
ત્વરિત ઉત્સર્જન પ્રકાશના કણ સ્વરૂપ (ફોટોન આંતરક્રિયા) દ્વારા સમજાવી શકાય છે,તરંગ સ્વરૂપ દ્વારા નહીં. વિધાન $D$ ખોટું છે.
તરંગ સિદ્ધાંત આગાહી કરે છે કે જો તીવ્રતા પૂરતી હોય તો કોઈપણ આવૃત્તિ માટે ઉત્સર્જન થવું જોઈએ,જે થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈના અસ્તિત્વ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે. વિધાન $E$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $A$ અને $E$ સાચા છે.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક એક્ટિવિટી $A_0 = 6.4 \times 10^{-4} \text{ Ci}$,અંતિમ એક્ટિવિટી $A = 5 \times 10^{-6} \text{ Ci}$,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 5 \text{ days}$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $A = A_0 e^{-\lambda t}$.
કિંમતો મૂકતા: $5 \times 10^{-6} = 6.4 \times 10^{-4} e^{-\lambda t}$.
ગોઠવણી કરતા: $\frac{5 \times 10^{-6}}{6.4 \times 10^{-4}} = e^{-\lambda t} \implies \frac{5}{640} = e^{-\lambda t} \implies \frac{1}{128} = e^{-\lambda t}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(1/128) = -\lambda t \implies -\ln(2^7) = -\lambda t \implies 7 \ln 2 = \lambda t$.
કારણ કે $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$,તેથી $7 \ln 2 = \left(\frac{\ln 2}{5}\right) t$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $7 = \frac{t}{5} \implies t = 35 \text{ days}$.

(B) સ્મોલ સિગ્નલ કરંટ ગેઇન (કરંટ એમ્પ્લીફિકેશન ફેક્ટર) $\beta_{ac}$ એ અચળ કલેક્ટર-એમિટર વોલ્ટેજ $(V_{CE})$ પર કલેક્ટર પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર અને બેઝ પ્રવાહમાં થતા ફેરફારના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે:
કલેક્ટર પ્રવાહમાં ફેરફાર,$\Delta I_C = 6\,mA - 4\,mA = 2\,mA = 2 \times 10^{-3}\,A$
બેઝ પ્રવાહમાં ફેરફાર,$\Delta I_B = 25\,\mu A - 20\,\mu A = 5\,\mu A = 5 \times 10^{-6}\,A$
કરંટ ગેઇન માટેનું સૂત્ર:
$\beta_{ac} = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}$
કિંમતો મૂકતા:
$\beta_{ac} = \frac{2 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-6}}$
$\beta_{ac} = \frac{2}{5} \times 10^3$
$\beta_{ac} = 0.4 \times 1000 = 400$
આમ,કરંટ એમ્પ્લીફિકેશન ફેક્ટર $400$ છે.

(A) આપેલ આકૃતિ પરથી,મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલનો કંપવિસ્તાર $A_m$ એ સ્ક્વેર વેવનું મહત્તમ મૂલ્ય છે,જે $1 \text{ V}$ છે.
કેરિયર વેવ $C(t) = 5 \sin(8\pi t) \text{ V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આને પ્રમાણિત કેરિયર વેવ સમીકરણ $C(t) = A_C \sin(\omega_c t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કેરિયર વેવનો કંપવિસ્તાર $A_C = 5 \text{ V}$ મળે છે.
મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ ને મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલના કંપવિસ્તાર અને કેરિયર વેવના કંપવિસ્તારના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$\mu = \frac{A_m}{A_C}$
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{1}{5} = 0.2$
આમ,મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $0.2$ છે.

(B) મીટર બ્રિજ પ્રયોગમાં,શૂન્ય વિચલન માટેની શરત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંત દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_{AC}}{R_{CB}}$.
અહીં,$R_{AC}$ એ તારના ભાગ $AC$ નો અવરોધ છે અને $R_{CB}$ એ તારના ભાગ $CB$ નો અવરોધ છે.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આને સંતુલન શરતમાં મૂકતા: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho (l_{AC} / A)}{\rho (l_{CB} / A)} = \frac{l_{AC}}{l_{CB}}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ઉડી જતું હોવાથી,અવરોધનો ગુણોત્તર માત્ર ભાગોની લંબાઈ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,સંતુલન લંબાઈ તારની ત્રિજ્યા (અથવા આડછેદના ક્ષેત્રફળ) થી સ્વતંત્ર છે,જો તાર સમાન રહે.
આમ,જો ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે,તો પણ સંતુલન લંબાઈ $40 \, cm$ જ રહેશે.

(B) પાતળા પ્રિઝમ માટે,સરેરાશ વિચલન $\delta = A(n_{Y} - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે પ્રિઝમને એવી રીતે જોડવામાં આવે છે કે જેથી કોઈ વિભાજન ન થાય,તેથી તેઓ એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગોઠવાયેલા છે.
સંયોજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચોખ્ખું સરેરાશ વિચલન $\delta$ એ બે પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિચલનોના તફાવત જેટલું હોય છે:
$\delta = A_{1}(n_{Y1} - 1) - A_{2}(n_{Y2} - 1)$
અહીં $A_{1} = 6^{\circ}$,$n_{Y1} = 1.5$ અને $A_{2} = 5^{\circ}$,$n_{Y2} = 1.55$ આપેલ છે.
$\delta = 6(1.5 - 1) - 5(1.55 - 1)$
$\delta = 6(0.5) - 5(0.55)$
$\delta = 3.0 - 2.75 = 0.25^{\circ}$
આપણને $\delta = (\frac{1}{x})^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{x} = 0.25 = \frac{1}{4}$.
તેથી,$x = 4$.

(A) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ નો ડોટ ગુણાકાર છે.
લૂપ $X-Y$ સમતલમાં હોવાથી,તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A} = A \hat{k} = \pi(1)^2 \hat{k} = \pi \hat{k} \ m^2$ થશે.
$\phi = \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{A} = (3t^3 \hat{j} + 3t^2 \hat{k}) \cdot (\pi \hat{k}) = 3t^2 \pi \ Wb$.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $\varepsilon = |\frac{d\phi}{dt}|$ છે.
$\varepsilon = |\frac{d}{dt}(3t^2 \pi)| = 6t\pi \ V$.
$t = 2 \ s$ સમયે,પ્રેરિત emf $\varepsilon = 6(2)\pi = 12\pi \ V$ થાય.
આને $n\pi \ V$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 12$ મળે છે.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
પરિપથમાં બેટરી $E = 10 \, V$ અને તેનો આંતરિક અવરોધ $r = 10 \, \Omega$ એ અવરોધ $R = 100 \, \Omega$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R + r} = \frac{10}{100 + 10} = \frac{10}{110} = \frac{1}{11} \, A$ છે.
અવરોધ $R = 100 \, \Omega$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_R = I \times R = \frac{1}{11} \times 100 = \frac{100}{11} \, V$ છે.
કેપેસિટર એ અવરોધ $R$ સાથે સમાંતરમાં હોવાથી,કેપેસિટરના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ અવરોધ $R$ ના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો જ હોય છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $q = C \times V_R = (1.1 \times 10^{-6} \, F) \times \left(\frac{100}{11} \, V\right)$ છે.
$q = (1.1 \times 10^{-6}) \times \left(\frac{100}{11}\right) = 0.1 \times 10^{-6} \times 100 = 10 \times 10^{-6} \, C$.
તેથી,સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $10 \times 10^{-6} \, C$ છે.

(A) કેપેસિટરને સમાંતરમાં બે કેપેસિટર તરીકે ગણી શકાય: એક હવા સાથે અને બીજું ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ સાથે.
હવાના ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = (7\,cm \times 4\,cm) = 28\,cm^2 = 28 \times 10^{-4}\,m^2$.
ડાયલેક્ટ્રિક ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = (1\,cm \times 4\,cm) = 4\,cm^2 = 4 \times 10^{-4}\,m^2$.
અંતર $d = 4\,mm = 4 \times 10^{-3}\,m$.
હવાના ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{\epsilon_0 A_1}{d} = \frac{\epsilon_0 (28 \times 10^{-4})}{4 \times 10^{-3}} = 0.7 \epsilon_0\,F$.
ડાયલેક્ટ્રિક ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{K \epsilon_0 A_2}{d} = \frac{5 \epsilon_0 (4 \times 10^{-4})}{4 \times 10^{-3}} = 0.5 \epsilon_0\,F$.
કુલ અસરકારક કેપેસિટન્સ $C_{\text{eff}} = C_1 + C_2 = 0.7 \epsilon_0 + 0.5 \epsilon_0 = 1.2 \epsilon_0\,F$.
સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C_{\text{eff}} V^2 = \frac{1}{2} (1.2 \epsilon_0) (20)^2 = 0.6 \epsilon_0 \times 400 = 240 \epsilon_0\,J$.

(A) ધારો કે વિદ્યુતભાર $q_0$ ને મધ્યબિંદુથી એક $Q$ વિદ્યુતભાર તરફ $x$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે.
$q_0$ પર લાગતું પરિણામી બળ $F = F_1 - F_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq_0}{(a-x)^2} - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq_0}{(a+x)^2}$ છે.
$F = \frac{Qq_0}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{(a+x)^2 - (a-x)^2}{(a^2-x^2)^2} \right] = \frac{Qq_0}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{4ax}{(a^2-x^2)^2} \right]$.
નાના $x$ માટે,$x^2 \approx 0$,તેથી $F \approx \frac{Qq_0}{4\pi\varepsilon_0} \frac{4ax}{a^4} = \frac{Qq_0 x}{\pi\varepsilon_0 a^3}$.
$F = -ma$ (પુનઃસ્થાપક બળ) હોવાથી,$a = -\left( \frac{Qq_0}{\pi\varepsilon_0 m a^3} \right) x$.
$a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{Qq_0}{\pi\varepsilon_0 m a^3}$ મળે છે,તેથી $\omega = \sqrt{\frac{Qq_0}{\pi\varepsilon_0 m a^3}}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{\pi\varepsilon_0 m a^3}{Qq_0}} = \sqrt{\frac{4\pi^3\varepsilon_0 m a^3}{Qq_0}}$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ગજિયા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $T_1 = 3\,s$,$T_2 = 4\,s$ અને જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{3}{2}$ છે.
આવર્તકાળનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2} \cdot \frac{M_2}{M_1}} = \frac{3}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{I_1}{I_2} \cdot \frac{M_2}{M_1} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$.
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{3}{2}$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{3}{2} \cdot \frac{M_2}{M_1} = \frac{9}{16}$.
$\frac{M_2}{M_1} = \frac{9}{16} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{8}$.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટનો ગુણોત્તર $\frac{M_1}{M_2} = \frac{8}{3}$ થાય.

(A) ચુંબકીય મેરિડિયન સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવતા સમતલમાં દેખીતો નમનકોણ $\theta^{\prime}$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tan \theta^{\prime} = \frac{\tan \theta}{\cos \alpha}$,જ્યાં $\theta$ એ વાસ્તવિક નમનકોણ છે.
આપેલ છે કે,$\theta^{\prime} = 60^{\circ}$ અને $\alpha = 45^{\circ}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan 60^{\circ} = \frac{\tan \theta}{\cos 45^{\circ}}$
$\sqrt{3} = \frac{\tan \theta}{1/\sqrt{2}}$
$\tan \theta = \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$
તેથી,વાસ્તવિક નમનકોણ $\theta = \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)$ છે.

(B) ડાયરેક્ટ કરંટ $(DC)$ માટે,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H_1 = I^2 R_1 t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I = 4\,A$ અને $R_1 = 3\,\Omega$ આપેલ છે,તેથી:
$H_1 = (4)^2 \times 3 \times t = 16 \times 3 \times t = 48t$.
અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(AC)$ માટે,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H_2 = I_{rms}^2 R_2 t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.
અહીં પીક મૂલ્ય $I_0 = 4\,A$ અને $R_2 = 2\,\Omega$ આપેલ છે,તેથી:
$I_{rms} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\,A$.
$H_2 = (2\sqrt{2})^2 \times 2 \times t = 8 \times 2 \times t = 16t$.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{H_1}{H_2} = \frac{48t}{16t} = \frac{3}{1}$ થશે.
આમ,ગુણોત્તર $3: 1$ છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{y} = 900 \sin \omega(t - x/c)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $E_{0} = 900 \, V/m$ છે.
વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું વિદ્યુત બળ $F_{E} = qE_{0}$ છે.
$v$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_{B} = qvB_{0}$ છે,જ્યાં $B_{0}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સંબંધ $E_{0} = cB_{0}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $B_{0} = E_{0}/c$.
ચુંબકીય બળના સમીકરણમાં $B_{0}$ ની કિંમત મૂકતા: $F_{B} = qv(E_{0}/c)$.
વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળનો ગુણોત્તર:
$\frac{F_{E}}{F_{B}} = \frac{qE_{0}}{qv(E_{0}/c)} = \frac{c}{v}$.
અહીં $c = 3 \times 10^{8} \, m/s$ અને $v = 3 \times 10^{7} \, m/s$ આપેલ છે,તેથી ગુણોત્તર:
$\frac{F_{E}}{F_{B}} = \frac{3 \times 10^{8}}{3 \times 10^{7}} = 10$.
આમ,ગુણોત્તર $10: 1$ છે.

(B) માઇક્રોસ્કોપની વિભેદન શક્તિ $(R.P.)$ નું સૂત્ર: $R.P. = \frac{2 \mu \sin \theta}{1.22 \lambda}$ છે,જ્યાં $\mu$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે,$\theta$ એ અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો છે અને $\lambda$ એ શૂન્યાવકાશ/હવામાં પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
શરૂઆતમાં,હવામાં $(\mu_1 = 1)$: $(R.P.)_{\text{air}} = \frac{2 \times 1 \times \sin \theta}{1.22 \lambda} = \frac{2 \sin \theta}{1.22 \lambda}$.
જ્યારે તેલમાં ડુબાડવામાં આવે $(\mu_2 = 2)$: માધ્યમમાં તરંગલંબાઇ $\lambda_{\text{oil}} = \frac{\lambda}{\mu_2} = \frac{\lambda}{2}$ થાય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $(R.P.)_{\text{oil}} = \frac{2 \sin \theta}{1.22 \lambda_{\text{oil}}} = \frac{2 \sin \theta}{1.22 (\lambda / 2)} = \frac{2 \times 2 \sin \theta}{1.22 \lambda} = 2 \times (R.P.)_{\text{air}}$.
તેથી,તેલમાં વિભેદન શક્તિ હવાની સરખામણીમાં બમણી થાય છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A = A_0 (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે એક્ટિવિટી તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $1/16$ ભાગ સુધી ઘટી જાય છે,તેથી $A/A_0 = 1/16$.
કારણ કે $1/16 = (1/2)^4$,આપણે ઘાતને સરખાવી શકીએ: $n = 4$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ એ કુલ સમય $t$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ સાથે $n = t / T_{1/2}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
અહીં $t = 30$ વર્ષ અને $n = 4$ આપેલ છે,તેથી $4 = 30 / T_{1/2}$.
તેથી,$T_{1/2} = 30 / 4 = 7.5$ વર્ષ.

(A) આપેલ વોલ્ટેજ વેવફોર્મનું વિશ્લેષણ કરીને,આપણે ઇનપુટ $A, B$ અને આઉટપુટ $Y$ માટે ટ્રુથ ટેબલ બનાવી શકીએ છીએ:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

આ ટ્રુથ ટેબલની સરખામણી પ્રમાણભૂત લોજિક ગેટ સાથે કરતા:
- $AND$ ગેટ માટે,આઉટપુટ ત્યારે જ $1$ હોય છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $1$ હોય.
- અવલોકન કરેલ ટ્રુથ ટેબલ $AND$ ગેટના વર્તન સાથે બરાબર મેળ ખાય છે.
તેથી,લોજિક ગેટ $AND$ ગેટ છે.

(D) ધારો કે $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા ટાવરની કવરેજ રેન્જ $d$ છે.
રેન્જ $d$ એ સૂત્ર $d = \sqrt{2Rh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આમ,$d \propto \sqrt{h}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h_1 = 100\,m$ છે અને પ્રારંભિક રેન્જ $d_1$ છે.
ધારો કે નવી ઊંચાઈ $h_2$ છે અને નવી રેન્જ $d_2 = 3d_1$ છે.
$d \propto \sqrt{h}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{d_2}{d_1} = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}}$
કિંમતો મૂકતા:
$3 = \sqrt{\frac{h_2}{100}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$9 = \frac{h_2}{100}$
$h_2 = 900\,m$.
તેથી,ટાવરની ઊંચાઈ વધારીને $900\,m$ કરવી જોઈએ.

(D) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ માટેનું સૂત્ર: $\frac{S}{l} = \frac{R}{100 - l}$ છે.
અહીં,$l = 30 \ cm$,તેથી $100 - l = 70 \ cm$.
જ્ઞાત અવરોધ $R = 5.6 \ k\Omega = 5600 \ \Omega$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{S}{30} = \frac{5600}{70}$.
$S = \frac{5600 \times 30}{70}$.
$S = 80 \times 30 = 2400 \ \Omega$.

(D) $I_1$ અને $I_2$ તીવ્રતા ધરાવતા અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા કિરણો માટે પરિણામી તીવ્રતા $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\phi)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે.
બિંદુ $A$ માટે,$\phi_A = \pi/2$. તેથી,$I_A = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi/2) = 5I + 4I(0) = 5I$.
બિંદુ $B$ માટે,$\phi_B = \pi/3$. તેથી,$I_B = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi/3) = 5I + 4I(1/2) = 5I + 2I = 7I$.
પરિણામી તીવ્રતાનો તફાવત $I_B - I_A = 7I - 5I = 2I$ થાય.
આને $xI$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(B) લેમ્પનો અવરોધ $R = \frac{V_L^2}{P} = \frac{100^2}{50} = 200\,\Omega$ છે.
$RC$ શ્રેણી પરિપથમાં,કુલ વોલ્ટેજ $V$ એ $V^2 = V_R^2 + V_C^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_R = 100\,V$ એ લેમ્પ પરનો વોલ્ટેજ છે.
$200^2 = 100^2 + V_C^2 \Rightarrow V_C^2 = 40000 - 10000 = 30000 \Rightarrow V_C = 100\sqrt{3}\,V$.
પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V_R}{R} = \frac{100}{200} = 0.5\,A$ છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{V_C}{I} = \frac{100\sqrt{3}}{0.5} = 200\sqrt{3}\,\Omega$ છે.
$X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ હોવાથી,$200\sqrt{3} = \frac{1}{2 \times \pi \times 50 \times C} \Rightarrow C = \frac{1}{200\sqrt{3} \times 100\pi} = \frac{1}{20000\pi\sqrt{3}}\,F$ મળે.
$\mu F$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $C = \frac{10^6}{20000\pi\sqrt{3}} = \frac{50}{\pi\sqrt{3}}\,\mu F$.
આને $C = \frac{50}{\pi\sqrt{x}}\,\mu F$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 1\,m$,પ્રવાહ $i = 1\,A$,ક્ષેત્રફળ $A = 2.0 \times 10^{-6}\,m^{2}$,અવરોધકતા $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,m$,વિદ્યુતભાર $e = 1.6 \times 10^{-19}\,C$.
પ્રથમ,તારનો અવરોધ $R$ શોધો:
$R = \frac{\rho l}{A} = \frac{1.7 \times 10^{-8} \times 1}{2.0 \times 10^{-6}} = 0.85 \times 10^{-2}\,\Omega$.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$:
$V = iR = 1 \times 0.85 \times 10^{-2} = 0.85 \times 10^{-2}\,V$.
તારમાં ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$:
$E = \frac{V}{l} = \frac{0.85 \times 10^{-2}}{1} = 0.85 \times 10^{-2}\,V/m$.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F$:
$F = eE = 1.6 \times 10^{-19} \times 0.85 \times 10^{-2} = 1.36 \times 10^{-21}\,N$.
આને $10^{-23}$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$F = 136 \times 10^{-23}\,N$.
તેથી,$x = 136$.

(B) નળાકાર કદની અંદર $x$ ત્રિજ્યા અને $h$ લંબાઈ ધરાવતી નળાકાર ગૌસિયન સપાટી માટે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_{0}}$
વિદ્યુતક્ષેત્ર ત્રિજ્યાવર્તી અને વક્ર સપાટી પર સમાન હોવાથી,વક્ર સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $E(2\pi x h)$ છે. સપાટ છેડાઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શૂન્ય છે.
અંદર રહેલો વિદ્યુતભાર $q_{enclosed} = \rho \times V = \rho \times (\pi x^2 h)$ છે.
ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$E(2\pi x h) = \frac{\rho \pi x^2 h}{\varepsilon_{0}}$
$E = \frac{\rho x}{2\varepsilon_{0}}$
આપેલ છે કે $x = \frac{2\varepsilon_{0}}{\rho}$,આ કિંમત $E$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = \frac{\rho}{2\varepsilon_{0}} \times \left( \frac{2\varepsilon_{0}}{\rho} \right) = 1 \; V m^{-1}$.

(A) પ્લેટો વચ્ચેનું કુલ અંતર $d$ છે. ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબની જાડાઈ $t = \frac{3d}{4}$ છે.
બાકી રહેલી હવાની જગ્યા $d - t = d - \frac{3d}{4} = \frac{d}{4}$ છે.
$t$ જાડાઈ અને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબવાળા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$C = \frac{\epsilon_{0}A}{d - t + \frac{t}{K}}$
આપેલ કિંમતો $t = \frac{3d}{4}$ અને $C_{0} = \frac{\epsilon_{0}A}{d}$ મૂકતા:
$C = \frac{\epsilon_{0}A}{d - \frac{3d}{4} + \frac{3d}{4K}}$
$C = \frac{\epsilon_{0}A}{\frac{d}{4} + \frac{3d}{4K}}$
$C = \frac{\epsilon_{0}A}{\frac{d}{4} \left(1 + \frac{3}{K}\right)} = \frac{4\epsilon_{0}A}{d \left(\frac{K+3}{K}\right)}$
$C = \frac{4\epsilon_{0}A}{d} \cdot \frac{K}{K+3}$
કારણ કે $C_{0} = \frac{\epsilon_{0}A}{d}$,તેથી આપણને મળે છે:
$C = \frac{4KC_{0}}{K+3}$

(B) ઇલેક્ટ્રોનનો શિરોલંબ દિશામાં પ્રવેગ નીચે મુજબ મળે છે:
$a_y = \frac{F_y}{m} = \frac{eE}{m} = \frac{e(8m/e)}{m} = 8 \text{ m/s}^2$
$L = 1 \text{ m}$ લંબાઈની પ્લેટોને $u_x = 2 \text{ m/s}$ ના અચળ સમક્ષિતિજ વેગથી પસાર કરવા માટે લાગતો સમય:
$t = \frac{L}{u_x} = \frac{1}{2} \text{ s}$
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ક્ષેત્રમાંથી બહાર આવે ત્યારે વેગનો શિરોલંબ ઘટક:
$v_y = u_y + a_y t = 0 + (8 \text{ m/s}^2)(0.5 \text{ s}) = 4 \text{ m/s}$
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે:
$v_x = 2 \text{ m/s}$
વિચલનનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{4}{2} = 2$
$\theta = \tan^{-1}(2)$

(C) વિધાન $I$ નું વિશ્લેષણ:
જ્યારે $R = 80\,\Omega$ અવરોધ ધરાવતા તારને $4$ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો અવરોધ $r = R/4 = 80/4 = 20\,\Omega$ થાય છે.
જ્યારે આ $4$ અવરોધોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$1/R_{eq} = 1/r + 1/r + 1/r + 1/r = 4/r = 4/20 = 1/5$.
આમ,$R_{eq} = 5\,\Omega$. વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ નું વિશ્લેષણ:
જ્યારે અવરોધો સમાંતરમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે દરેકની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન હોય છે.
$t$ સમયમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મીય ઉર્જા (ગરમી) $H = (V^2/R)t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$H \propto 1/R$.
$3\,R$ અને $2\,R$ માં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મીય ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$H_{3R} / H_{2R} = (V^2 / 3R) / (V^2 / 2R) = 2R / 3R = 2/3$.
ગુણોત્તર $2:3$ છે,$3:2$ નથી. વિધાન $II$ ખોટું છે.
નિષ્કર્ષ: વિધાન $I$ સાચું છે પરંતુ વિધાન $II$ ખોટું છે.

(C) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહક પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = I(\vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{L}$ એ વિભાગની સદિશ લંબાઈ છે.
વિભાગ $CD$ માટે,લંબાઈ $L = 5 cm = 0.05 m$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન છે અને આડી દિશામાં છે. વિભાગ $CD$ સમક્ષિતિજ સાથે $60^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે (કારણ કે $\triangle BCD$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે).
ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ લંબાઈનો ઘટક $L_{\perp} = L \sin(60^\circ)$ છે.
$L_{\perp} = 0.05 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.05 \times 0.866 = 0.0433 m$.
ચુંબકીય બળ $F = B I L_{\perp} = 0.5 \times 10 \times 0.0433 = 0.2165 N$ છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,બળ $0.216 N$ છે.

(C) $I$ પ્રવાહ ધરાવતી $R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે મુજબ છે:
$B_{1} = \frac{\mu_{0} I}{2 R}$
લૂપની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર:
$B = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + x^{2})^{3/2}}$
અહીં $x = \sqrt{3}R$ આપેલ છે,તેથી $B_{2}$ માટે:
$B_{2} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + (\sqrt{3}R)^{2})^{3/2}}$
$B_{2} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + 3R^{2})^{3/2}}$
$B_{2} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(4R^{2})^{3/2}}$
$B_{2} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(8R^{3})} = \frac{\mu_{0} I}{16R}$
હવે,ગુણોત્તર $B_{1} / B_{2}$ શોધતા:
$\frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{\frac{\mu_{0} I}{2 R}}{\frac{\mu_{0} I}{16 R}} = \frac{16}{2} = \frac{8}{1}$
આમ,$B_{1} / B_{2}$ નો ગુણોત્તર $8: 1$ છે.

(C) આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે,લોડને આપવામાં આવતો પાવર એ સ્ત્રોતમાંથી લેવામાં આવતા પાવર જેટલો જ હોય છે.
આપેલ છે: પ્રાઈમરી વોલ્ટેજ $V_p = 8\,kV = 8000\,V$,સેકન્ડરી વોલ્ટેજ $V_s = 160\,V$,પાવર $P = 80\,kW = 80000\,W$.
પ્રાઈમરી સર્કિટમાં અવરોધ $R_p$ માટેનું સૂત્ર $P = \frac{V_p^2}{R_p}$ છે.
$R_p = \frac{V_p^2}{P} = \frac{(8000)^2}{80000} = \frac{64 \times 10^6}{8 \times 10^4} = 8 \times 10^2 = 800\,\Omega$.
સેકન્ડરી સર્કિટમાં અવરોધ $R_s$ માટેનું સૂત્ર $P = \frac{V_s^2}{R_s}$ છે.
$R_s = \frac{V_s^2}{P} = \frac{(160)^2}{80000} = \frac{25600}{80000} = 0.32\,\Omega$.
આમ,અવરોધો $800\,\Omega$ અને $0.32\,\Omega$ છે.