JEE Main 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
મહત્તમ અવધિ માટે,$\theta = 45^{\circ}$,તેથી $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$.
બીજા પદાર્થ માટે,અવધિ $R' = \frac{R_{\max}}{2} = \frac{u^2}{2g}$ છે.
બીજા પદાર્થ માટે અવધિના સૂત્રને સરખાવતા: $\frac{u^2 \sin 2\theta'}{g} = \frac{u^2}{2g}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\sin 2\theta' = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$2\theta' = 30^{\circ}$ અથવા $2\theta' = 150^{\circ}$.
$\theta'$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\theta' = 15^{\circ}$ અથવા $\theta' = 75^{\circ}$ મળે છે.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_h = g(1 - \frac{2h}{R_e})$ છે,જ્યાં $h \ll R_e$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_d = g(1 - \frac{d}{R_e})$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$g_h = g_d$ હોવાથી:
$g(1 - \frac{2h}{R_e}) = g(1 - \frac{d}{R_e})$
બંને બાજુથી $g$ ને દૂર કરતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$1 - \frac{2h}{R_e} = 1 - \frac{d}{R_e}$
$\frac{2h}{R_e} = \frac{d}{R_e}$
$d = 2h$
આપેલ છે કે $d = \alpha h$,તેથી:
$\alpha h = 2h$
$\alpha = 2$.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને ઘનતા $d$ વચ્ચેનો સંબંધ $P \propto d^{\gamma}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{P_{2}}{P_{1}} = \left(\frac{d_{2}}{d_{1}}\right)^{\gamma}$.
આપેલ છે $\frac{d_{2}}{d_{1}} = 32$ અને $\gamma = \frac{7}{5}$,તેથી $\frac{P_{2}}{P_{1}} = (32)^{7/5} = (2^5)^{7/5} = 2^7 = 128$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $P = \frac{dRT}{M}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $T \propto \frac{P}{d}$.
તેથી,$\frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{P_{2}}{P_{1}} \times \frac{d_{1}}{d_{2}}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{T_{2}}{T_{1}} = 128 \times \frac{1}{32} = 4$.
આમ,તાપમાન તેના પ્રારંભિક તાપમાનના $4$ ગણું થાય છે.

(D) મિશ્રણ માટે અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનું સૂત્ર: $C_{V_{mix}} = \frac{n_1 C_{V_1} + n_2 C_{V_2}}{n_1 + n_2}$ છે.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_{V_1} = \frac{3}{2} R$ અને $n_1 = 1$ છે.
કંપન ગતિ વગરના દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_{V_2} = \frac{5}{2} R$ અને $n_2 = 3$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$C_{V_{mix}} = \frac{1 \cdot (\frac{3}{2} R) + 3 \cdot (\frac{5}{2} R)}{1 + 3} = \frac{\frac{3}{2} R + \frac{15}{2} R}{4} = \frac{\frac{18}{2} R}{4} = \frac{9 R}{4}$.
આપેલ છે કે $C_{V_{mix}} = \frac{\alpha^2}{4} R$,તેથી બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{9 R}{4} = \frac{\alpha^2}{4} R$.
આથી $\alpha^2 = 9$,એટલે કે $\alpha = 3$ (ધન મૂલ્ય લેતા).

(D) સંપૂર્ણ શોષણ માટે,સપાટી પર પ્રકાશ દ્વારા લાગતું બળ $F = \frac{I \cdot A}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ તીવ્રતા (ઉર્જા ફ્લક્સ) છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે,અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ $(3 \times 10^{8} \, m/s)$ છે.
આપેલ છે: $A = 36 \, cm^{2} = 36 \times 10^{-4} \, m^{2}$,$F = 7.2 \times 10^{-9} \, N$.
$I$ માટે સૂત્ર: $I = \frac{F \cdot c}{A}$.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{7.2 \times 10^{-9} \times 3 \times 10^{8}}{36 \times 10^{-4}}$.
$I = \frac{21.6 \times 10^{-1}}{36 \times 10^{-4}} = 0.6 \times 10^{3} \, W/m^{2} = 600 \, W/m^{2}$.
$W/cm^{2}$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $I = \frac{600 \, W}{10^{4} \, cm^{2}} = 0.06 \, W/cm^{2}$.

(B) માધ્યમમાં લેન્સના પાવર $P$ માટેનું લેન્સ મેકર સૂત્ર:
$P = \frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_1}{\mu_2} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
અહીં,$\mu_1 = 1.5$ (લેન્સનો વક્રીભવનાંક),$R_1 = 0.2\,m$,$R_2 = -0.4\,m$ (બાયકોન્વેક્સ લેન્સ માટે),અને $P = 1.25\,m^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$1.25 = \left( \frac{1.5}{\mu_2} - 1 \right) \left( \frac{1}{0.2} - \frac{1}{-0.4} \right)$
$1.25 = \left( \frac{1.5 - \mu_2}{\mu_2} \right) \left( 5 + 2.5 \right)$
$1.25 = \left( \frac{1.5 - \mu_2}{\mu_2} \right) (7.5)$
$\frac{1.25}{7.5} = \frac{1.5 - \mu_2}{\mu_2}$
$\frac{1}{6} = \frac{1.5 - \mu_2}{\mu_2}$
$\mu_2 = 9 - 6\mu_2$
$7\mu_2 = 9$
$\mu_2 = \frac{9}{7}$

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = E - \phi$ છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$E_1 = 5\phi$. તેથી,$K_{max,1} = 5\phi - \phi = 4\phi$.
$K_{max,1} = \frac{1}{2}mv_1^2$ હોવાથી,$\frac{1}{2}mv_1^2 = 4\phi$ મળે.
બીજા કિસ્સા માટે,$E_2 = 10\phi$. તેથી,$K_{max,2} = 10\phi - \phi = 9\phi$.
$K_{max,2} = \frac{1}{2}mv_2^2$ હોવાથી,$\frac{1}{2}mv_2^2 = 9\phi$ મળે.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{4\phi}{9\phi}$
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{4}{9}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{v_1}{v_2} = \frac{2}{3}$ મળે.
આમ,મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર $2:3$ છે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક જથ્થો $N_0$ છે.
આપેલ છે કે નમૂનો તેના મૂળ જથ્થાના $\frac{7}{8}$ ગણો ક્ષય પામે છે,તેથી બાકી રહેલો જથ્થો $N$:
$N = N_0 - \frac{7}{8}N_0 = \frac{1}{8}N_0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 (\frac{1}{2})^n$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
$\frac{1}{8}N_0 = N_0 (\frac{1}{2})^n$
$(\frac{1}{2})^3 = (\frac{1}{2})^n$
આમ,$n = 3$.
કારણ કે $n = \frac{t}{T_{1/2}}$,જ્યાં $t = 15$ મિનિટ અને $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય સમય છે:
$3 = \frac{15}{T_{1/2}}$
$T_{1/2} = \frac{15}{3} = 5$ મિનિટ.

(B) કોમન એમિટર એમ્પ્લીફાયરનો વોલ્ટેજ ગેઈન $A_v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$A_v = \frac{v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}} = \beta \frac{R_{\text{out}}}{R_{\text{in}}}$
આપેલ છે:
$\beta = 100$
$R_{\text{in}} = 1 \text{ k}\Omega = 10^3 \, \Omega$
$R_{\text{out}} = 10 \text{ k}\Omega = 10^4 \, \Omega$
$v_{\text{in}} = 1 \text{ mV} = 10^{-3} \, \text{V}$
કિંમતો મૂકતા:
$v_{\text{out}} = v_{\text{in}} \times \beta \times \frac{R_{\text{out}}}{R_{\text{in}}}$
$v_{\text{out}} = 10^{-3} \times 100 \times \frac{10 \times 10^3}{1 \times 10^3}$
$v_{\text{out}} = 10^{-3} \times 100 \times 10$
$v_{\text{out}} = 1 \, \text{V}$

(D) આપેલ છે:
મોડ્યુલેટિંગ આવૃત્તિ $f_m = 20\,kHz$.
ડેવિએશન રેશિયો $\beta = 10$.
ડેવિએશન રેશિયોની વ્યાખ્યા $\beta = \frac{\Delta f}{f_m}$ છે,જ્યાં $\Delta f$ એ ફ્રીક્વન્સી ડેવિએશન છે.
તેથી,$\Delta f = \beta \times f_m = 10 \times 20\,kHz = 200\,kHz$.
કાર્સનના નિયમ મુજબ,$FM$ સિગ્નલ માટે જરૂરી બેન્ડવિડ્થ $BW$ નીચે મુજબ છે:
$BW = 2(\Delta f + f_m)$
$BW = 2(200\,kHz + 20\,kHz)$
$BW = 2(220\,kHz) = 440\,kHz$.

(A) સૌ પ્રથમ,$R = \frac{V^2}{P}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દરેક બલ્બનો અવરોધ શોધો.
$100\,W$ ના બલ્બ માટે: $R_1 = \frac{220^2}{100} = 484\,\Omega$.
$60\,W$ ના બલ્બ માટે: $R_2 = \frac{220^2}{60} = \frac{4840}{6} = 806.67\,\Omega$.
શ્રેણી જોડાણમાં,કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 = 484 + 806.67 = 1290.67\,\Omega$.
શ્રેણી જોડાણમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V_{total}}{R_{eq}} = \frac{220}{1290.67} \approx 0.17045\,A$.
$100\,W$ ના બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર $P_1 = I^2 R_1 = (0.17045)^2 \times 484 \approx 0.02905 \times 484 \approx 14.06\,W$.
આમ,વપરાતો પાવર આશરે $14\,W$ છે.

(D) સ્વિચ $S$ બંધ કર્યા પછી તરત જ $(t = 0)$,ઇન્ડક્ટર પ્રવાહમાં થતા કોઈપણ ફેરફારનો વિરોધ કરે છે,તેથી તે ઓપન સર્કિટ (અનંત અવરોધ) તરીકે વર્તે છે.
તેથી,ઇન્ડક્ટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
પરિપથ $6\,V$ ની બેટરી,$2\,\Omega$ ના અવરોધ અને $4\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં હોય તેવો સરળ બને છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 2\,\Omega + 4\,\Omega = 6\,\Omega$ છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6\,V}{6\,\Omega} = 1\,A$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: વસ્તુનું પ્રારંભિક અંતર $u_0 = -100\,cm$. વક્રતા ત્રિજ્યા $R = -200\,cm$. કેન્દ્રલંબાઈ $f = R/2 = -100\,cm$.
વસ્તુની ઝડપ $v_{obj} = 2\,cm/s$ અરીસા તરફ.
$t = 10\,s$ સમય પછી,વસ્તુ દ્વારા કાપેલું અંતર $d = v_{obj} \times t = 2\,cm/s \times 10\,s = 20\,cm$.
અરીસાથી વસ્તુનું નવું સ્થાન $u = u_0 + d = -100\,cm + 20\,cm = -80\,cm$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{v} + \frac{1}{-80} = \frac{1}{-100}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{80} - \frac{1}{100} = \frac{5 - 4}{400} = \frac{1}{400}$.
તેથી,$v = 400\,cm$.

(B) ન્યૂટનના લેન્સના સૂત્ર મુજબ,જ્યારે અંતરો મુખ્ય કેન્દ્રથી માપવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રતિબિંબ અંતર $(v')$ અને વસ્તુ અંતર $(u')$ વચ્ચેનો સંબંધ $v' u' = f^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
આપેલ વક્રનું સમીકરણ $v' u' = 225$ છે.
આને $v' u' = f^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f^2 = 225$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$f = \sqrt{225} = 15 \, cm$.
તેથી,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈનું મૂલ્ય $15 \, cm$ છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સાથે સંકળાયેલ ઉર્જા ઘનતા $u$ નું સૂત્ર $u = \frac{B^{2}}{2\mu_{0}}$ છે.
અહીં,$u$ એ એકમ કદ દીઠ ઉર્જા દર્શાવે છે.
ઉર્જાના પરિમાણો $[ML^{2}T^{-2}]$ છે અને કદના પરિમાણો $[L^{3}]$ છે.
તેથી,ઉર્જા ઘનતા $u$ ના પરિમાણો $\frac{[ML^{2}T^{-2}]}{[L^{3}]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ થાય.
આમ,$\frac{B^{2}}{\mu_{0}} = 2u$ હોવાથી,$\left(\frac{B^{2}}{\mu_{0}}\right)$ ના પરિમાણો $u$ ના પરિમાણો જેટલા જ એટલે કે $[ML^{-1}T^{-2}]$ થશે.

(A) ધારો કે દરેક કેપેસીટરનું પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C = 40\,\mu F$ છે.
જ્યારે એક કેપેસીટરમાં $K$ અચળાંક ધરાવતું ડાયઇલેક્ટ્રિક મૂકવામાં આવે,ત્યારે તેનું નવું કેપેસીટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
બંને કેપેસીટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$C_{eq} = \frac{C \cdot C'}{C + C'} = \frac{C \cdot (KC)}{C + KC} = \frac{KC}{K + 1}$
અહીં $C_{eq} = 24\,\mu F$ અને $C = 40\,\mu F$ આપેલ છે,તેથી:
$24 = \frac{K \cdot 40}{K + 1}$
$24(K + 1) = 40K$
$24K + 24 = 40K$
$16K = 24$
$K = \frac{24}{16} = 1.5$

(A) ધારો કે મૂળ લંબાઈ $L_{1}$ અને મૂળ ક્ષેત્રફળ $A_{1}$ છે. મૂળ અવરોધ $R_{1} = \rho \frac{L_{1}}{A_{1}}$ છે.
જ્યારે લંબાઈ મૂળ લંબાઈ કરતા બમણી વધારવામાં આવે,ત્યારે નવી લંબાઈ $L_{2} = L_{1} + 2L_{1} = 3L_{1}$ થાય.
તારનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$A_{1}L_{1} = A_{2}L_{2}$.
તેથી,$A_{2} = A_{1} \frac{L_{1}}{L_{2}} = A_{1} \frac{L_{1}}{3L_{1}} = \frac{A_{1}}{3}$.
નવો અવરોધ $R_{2} = \rho \frac{L_{2}}{A_{2}} = \rho \frac{3L_{1}}{A_{1}/3} = 9 \rho \frac{L_{1}}{A_{1}}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{9 \rho (L_{1}/A_{1})}{\rho (L_{1}/A_{1})} = 9:1$ મળે.

(D) ગેલ્વેનોમીટરની પ્રવાહ સંવેદનશીલતા $(I_s)$ એટલે એકમ પ્રવાહ દીઠ મળતું કોણાવર્તન,જેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I_s = \frac{\theta}{i} = \frac{NAB}{K}$
જ્યાં:
$N$ = ગૂંચળામાં આંટાઓની સંખ્યા
$A$ = ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ
$B$ = ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા
$K$ = સ્પ્રિંગનો ટોર્શનલ અચળાંક
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $I_s \propto N$,$I_s \propto A$,$I_s \propto B$,અને $I_s \propto \frac{1}{K}$.
પ્રવાહ સંવેદનશીલતા વધારવા માટે:
$1$. આંટાઓની સંખ્યા $(N)$ વધારવી જોઈએ.
$2$. ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ વધારવું જોઈએ.
$3$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ વધારવું જોઈએ.
$4$. સ્પ્રિંગનો ટોર્શનલ અચળાંક $(K)$ ઘટાડવો જોઈએ.
આ શરતો મુજબ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર વધારવાથી $(B)$ અને સ્પ્રિંગનો ટોર્શનલ અચળાંક ઘટાડવાથી $(D)$ પ્રવાહ સંવેદનશીલતા વધે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ માત્ર $(B)$ અને $(D)$ છે.

(A) સળિયા પર લાગતા બળો તેના વજન $(mg)$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે, લંબબળ $(N)$ જે ઢળતા સમતલને લંબ છે, અને ચુંબકીય બળ $(F_m = ILB)$ જે સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગે છે (કારણ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શિરોલંબ છે અને પ્રવાહ $I$ સમક્ષિતિજ છે)।
સળિયાને સ્થિર રાખવા માટે, ઢળતા સમતલની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક અને ચુંબકીય બળનો ઘટક સમાન હોવા જોઈએ।
ઢળતા સમતલની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \sin 45^{\circ}$ છે।
ચુંબકીય બળ $F_m = ILB$ સમક્ષિતિજ લાગે છે। ઢળતા સમતલની દિશામાં તેનો ઘટક $F_m \cos 45^{\circ} = ILB \cos 45^{\circ}$ છે।
સંતુલન માટે આ બંને ઘટકોને સરખાવતા:
$mg \sin 45^{\circ} = ILB \cos 45^{\circ}$
કારણ કે $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ}$, આપણે સમીકરણને સરળ બનાવી શકીએ:
$mg = ILB$
રેખીય ઘનતા $\lambda = \frac{m}{L} = 0.45\,kg/m$, $g = 10\,m/s^2$, અને $B = 0.15\,T$ આપેલ છે:
$I = \frac{mg}{LB} = \left(\frac{m}{L}\right) \frac{g}{B}$
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{0.45 \times 10}{0.15} = \frac{4.5}{0.15} = 30\,A$
તેથી, જરૂરી લઘુત્તમ પ્રવાહ $30\,A$ છે।

(D) આપેલ પ્રવાહનું સમીકરણ $i = i_0 \sin (\omega t - 30^{\circ})$ છે,જ્યાં $i_0 = 5 \, A$ અને $\omega = 49 \pi \, rad/s$ છે.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ છે.
આપેલ છે કે $L = 30 \, mH = 30 \times 10^{-3} \, H$.
$X_L = (49 \times \frac{22}{7}) \times 30 \times 10^{-3} = (7 \times 22) \times 30 \times 10^{-3} = 154 \times 30 \times 10^{-3} = 4.62 \, \Omega$.
પીક વોલ્ટેજ $v_0 = i_0 X_L = 5 \times 4.62 = 23.1 \, V$ છે.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $90^{\circ}$ આગળ હોય છે.
તેથી,વોલ્ટેજનો ફેઝ $(-30^{\circ} + 90^{\circ}) = +60^{\circ}$ થશે.
વોલ્ટેજનું સમીકરણ $v = v_0 \sin (\omega t + 60^{\circ}) = 23.1 \sin (49 \pi t + 60^{\circ})$ છે.

(A) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n = \sqrt{\mu_{r} \varepsilon_{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
માધ્યમ $2$ માટે,વક્રીભવનાંક $n_{2} = \sqrt{\mu_{r2} \varepsilon_{r2}} = \sqrt{1 \times 9} = 3$ છે.
માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ અને શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = \frac{c}{n}$ છે.
તેથી,માધ્યમ $2$ માં પ્રકાશની ઝડપ $v_{2} = \frac{c}{n_{2}} = \frac{3 \times 10^{8} \, ms^{-1}}{3} = 1 \times 10^{8} \, ms^{-1}$ થાય.
આમ,જવાબ $1.0 \times 10^{8} \, ms^{-1}$ છે.

(A) સામાન્ય ગોઠવણમાં,ટેલિસ્કોપની લંબાઈ $L$ એ $L = f_o + f_e$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_o$ એ ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_e$ એ આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $L = 30\,cm$,તેથી $f_o + f_e = 30$ (સમીકરણ $1$).
સામાન્ય ગોઠવણમાં ટેલિસ્કોપ માટે કોણીય મોટવણી $m$ એ $m = \frac{f_o}{f_e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $m = 2$,તેથી $\frac{f_o}{f_e} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $f_o = 2f_e$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$2f_e + f_e = 30$
$3f_e = 30$
$f_e = 10\,cm$.
હવે,$f_e$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$f_o = 2 \times 10 = 20\,cm$.
આમ,ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ $20\,cm$ છે.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mK}$ મળે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને $V$ સ્થિતિમાન હેઠળ પ્રવેગિત કરવામાં આવે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $K = eV$ થાય,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે.
તેથી,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}$,ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}$,અને વીજભાર $e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.602 \times 10^{-19} \times V}} \text{ m}$.
આની ગણતરી કરતા $\lambda \approx \frac{1.227 \times 10^{-9}}{\sqrt{V}} \text{ m} = \frac{1.227}{\sqrt{V}} \text{ nm}$ મળે છે.
આ સમીકરણને $\lambda = \frac{1.227}{x} \text{ nm}$ સાથે સરખાવતા,$x = \sqrt{V}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 60 \ days$ છે.
જો મૂળ દળના $\frac{7}{8}$ ભાગનું વિઘટન થાય,તો બાકી રહેલું દળ $N = N_0 - \frac{7}{8}N_0 = \frac{1}{8}N_0$ થાય.
બાકી રહેલા દળ અને પ્રારંભિક દળ વચ્ચેનો સંબંધ $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{8}N_0 = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ મળે છે,તેથી $n = 3$.
કુલ લાગતો સમય $t = n \times T_{1/2} = 3 \times 60 \ days = 180 \ days$ થાય.

(B) સોલર સેલ એ $p-n$ જંકશન ડાયોડ છે જે પ્રકાશ ઉર્જાનું વિદ્યુત ઉર્જામાં રૂપાંતર કરે છે. તે $I-V$ લાક્ષણિકતા વક્રના ચોથા ચરણમાં કાર્ય કરે છે. આ ચરણમાં,વોલ્ટેજ ધન (ફોરવર્ડ બાયસ) હોય છે જ્યારે પ્રવાહ ઋણ હોય છે (કારણ કે ઉપકરણ એક સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે,જે બાહ્ય સર્કિટને પાવર આપે છે). તેથી,સોલર સેલની લાક્ષણિકતા વક્ર ચોથા ચરણમાં આલેખ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સને $\mu = \frac{A_m}{A_c}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $A_m$ એ મેસેજ સિગ્નલનો એમ્પ્લિટ્યુડ છે અને $A_c$ એ કેરિયર વેવનો એમ્પ્લિટ્યુડ છે.
એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ વેવમાં ડિસ્ટોર્શન ટાળવા માટે,મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu \leq 1$ ની શરતનું પાલન કરવું આવશ્યક છે.
જો $\mu > 1$ હોય,તો ઓવર-મોડ્યુલેશન થાય છે,જે સિગ્નલના ડિસ્ટોર્શન અને કેરિયર ફ્રીક્વન્સી તથા મેસેજ ફ્રીક્વન્સી વચ્ચે હસ્તક્ષેપ (interference) તરફ દોરી જાય છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $A = A_0 \times (1/2)^{t/T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ $t$ સમયે એક્ટિવિટી છે,$A_0$ એ પ્રારંભિક એક્ટિવિટી છે અને $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે કે,$A_0 = 64 \times A_{safe}$ અને આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $A = A_{safe}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા: $A_{safe} = 64 \times A_{safe} \times (1/2)^{t/T}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1/64 = (1/2)^{t/T}$ મળે છે.
કારણ કે $64 = 2^6$,તેથી $(1/2)^6 = (1/2)^{t/T}$.
તેથી,$t/T = 6$,જેનો અર્થ છે કે $t = 6 \times T$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T = 2$ કલાક $30$ મિનિટ = $2.5$ કલાક આપેલ છે.
આમ,$t = 6 \times 2.5 = 15$ કલાક.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
અહીં $D$ અને $d$ અચળ હોવાથી,$\beta \propto \lambda$ મળે.
તેથી,$\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$.
આપેલ છે કે $\beta_1 = 7.2\,mm$,$\lambda_1 = 560\,nm$,અને $\beta_2 = 8.1\,mm$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{8.1}{7.2} = \frac{\lambda_2}{560}$.
$\lambda_2 = \frac{8.1}{7.2} \times 560 = \frac{9}{8} \times 560$.
$\lambda_2 = 9 \times 70 = 630\,nm$.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,જે આવૃત્તિઓ પર પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર તેના મહત્તમ મૂલ્યના $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ગણો થાય છે,તેને હાફ-પાવર ફ્રીક્વન્સીઝ કહેવામાં આવે છે,જેને $\omega_1$ અને $\omega_2$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
પરિપથની બેન્ડવિડ્થ $\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\omega_1 = 212\,rad\,s^{-1}$ અને $\omega_2 = 232\,rad\,s^{-1}$,તેથી બેન્ડવિડ્થ $\Delta\omega = 232 - 212 = 20\,rad\,s^{-1}$ થાય.
$LCR$ શ્રેણી પરિપથ માટે બેન્ડવિડ્થનું સૂત્ર $\Delta\omega = \frac{R}{L}$ છે.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા: $20 = \frac{5}{L}$.
$L$ માટે ઉકેલતા: $L = \frac{5}{20} = 0.25\,H$.
મિલીહેનરી $(mH)$ માં રૂપાંતર કરતા: $L = 0.25 \times 1000 = 250\,mH$.

(A) પોટેન્શિયોમીટરના તાર $AB$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = I \times R_{AB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રાથમિક પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ છે.
પ્રવાહ $I = \frac{E}{R + R_{AB}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E = 4\,V$ અને $R_{AB} = 20\,\Omega$ છે.
તેથી,$V_{AB} = \left( \frac{4}{R + 20} \right) \times 20 = \frac{80}{R + 20}$.
તાર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V_{AB}}{L}$ છે,જ્યાં $L = 300\,cm$ છે.
ગૌણ કોષનું emf $E' = 20\,mV = 20 \times 10^{-3}\,V$ છે અને તટસ્થ બિંદુની લંબાઈ $l = 60\,cm$ છે.
તટસ્થ બિંદુએ,$E' = k \times l = \left( \frac{V_{AB}}{L} \right) \times l$.
કિંમતો મૂકતા: $20 \times 10^{-3} = \left( \frac{80}{R + 20} \right) \times \left( \frac{60}{300} \right)$.
$20 \times 10^{-3} = \left( \frac{80}{R + 20} \right) \times \left( \frac{1}{5} \right)$.
$20 \times 10^{-3} = \frac{16}{R + 20}$.
$R + 20 = \frac{16}{20 \times 10^{-3}} = \frac{16}{0.02} = 800$.
$R = 800 - 20 = 780\,\Omega$.

(A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલ દ્વારા અનુભવાતું મહત્તમ ટોર્ક $|\tau|_{\max} = PE$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
પ્રથમ ડાયપોલ માટે: $P_1 = 1.2 \times 10^{-30} \, C \cdot m$ અને $E_1 = 5 \times 10^{4} \, N \cdot C^{-1}$.
બીજા ડાયપોલ માટે: $P_2 = 2.4 \times 10^{-30} \, C \cdot m$ અને $E_2 = 15 \times 10^{4} \, N \cdot C^{-1}$.
મહત્તમ ટોર્કનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\tau_1}{\tau_2} = \frac{P_1 E_1}{P_2 E_2} = \frac{(1.2 \times 10^{-30}) \times (5 \times 10^{4})}{(2.4 \times 10^{-30}) \times (15 \times 10^{4})}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{\tau_1}{\tau_2} = \left(\frac{1.2}{2.4}\right) \times \left(\frac{5}{15}\right) = \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{6}$
આને $\frac{1}{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 6$ મળે છે.

(B) ધારો કે ગોળાઓ $A$ અને $B$ પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q_A = q_B = q$ છે. પ્રારંભિક બળ $F = \frac{Kq^2}{r^2}$ છે.
જ્યારે ગોળા $C$ (શરૂઆતમાં વિદ્યુતભાર રહિત) ને $A$ ના સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વહેંચાય છે: $q_A' = q_C' = \frac{q}{2}$.
હવે,ગોળા $C$ ને $B$ ના સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે. કુલ વિદ્યુતભાર $q + \frac{q}{2} = \frac{3q}{2}$ થાય છે. અલગ કર્યા પછી,દરેક પર $q_B' = q_C'' = \frac{3q/2}{2} = \frac{3q}{4}$ વિદ્યુતભાર આવે છે.
હવે,$A$ પર $\frac{q}{2}$ અને $B$ પર $\frac{3q}{4}$ વિદ્યુતભાર છે. ગોળા $C$ ને મધ્યબિંદુ પર (બંનેથી $r/2$ અંતરે) મૂકવામાં આવે છે.
$A$ ને કારણે $C$ પર લાગતું બળ $F_1 = \frac{K(q/2)(3q/4)}{(r/2)^2} = \frac{3Kq^2/8}{r^2/4} = \frac{3Kq^2}{2r^2} = \frac{3F}{2}$ ($A$ તરફ).
$B$ ને કારણે $C$ પર લાગતું બળ $F_2 = \frac{K(3q/4)(3q/4)}{(r/2)^2} = \frac{9Kq^2/16}{r^2/4} = \frac{9Kq^2}{4r^2} = \frac{9F}{4}$ ($A$ તરફ).
$C$ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F_2 - F_1 = \frac{9F}{4} - \frac{3F}{2} = \frac{9F - 6F}{4} = \frac{3F}{4}$.

(C) જ્યારે $q_{1}$ અને $q_{2}$ વિદ્યુતભાર ધરાવતી બે મોટી વાહક પ્લેટોને એકબીજાને સમાંતર મૂકવામાં આવે,ત્યારે અંદરની સપાટીઓ પરનો વિદ્યુતભાર $q_{inner} = \frac{q_{1}-q_{2}}{2}$ થાય છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ આ આંતરિક વિદ્યુતભારોને કારણે હોય છે: $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}} = \frac{q_{inner}}{A\varepsilon_{0}} = \frac{q_{1}-q_{2}}{2A\varepsilon_{0}}$.
પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E \cdot d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{A\varepsilon_{0}}{d}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $V = \frac{q_{1}-q_{2}}{2A\varepsilon_{0}} \cdot d = \frac{q_{1}-q_{2}}{2(A\varepsilon_{0}/d)}$.
$C$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V = \frac{q_{1}-q_{2}}{2C}$ મળે છે.

$(A)$ પ્રમાણભૂત અવરોધ કોઇલ માટે એવા અવરોધની જરૂર હોય છે જે આસપાસના તાપમાનમાં ફેરફાર છતાં સ્થિર રહે.
અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક $(\alpha)$ નક્કી કરે છે કે તાપમાન સાથે અવરોધ કેટલો બદલાય છે, જેનું સૂત્ર $R_t = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ છે.
કોન્સ્ટન્ટન અને મેંગેનિન જેવી મિશ્ર ધાતુઓ ખાસ પસંદ કરવામાં આવે છે કારણ કે તેમનો અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક ખૂબ જ ઓછો હોય છે.
આ ગુણધર્મ એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે જો તાપમાનમાં વધઘટ થાય તો પણ કોઇલનો અવરોધ લગભગ અચળ રહે છે.
તેથી, વિધાન $A$ સાચું છે, કારણ $R$ સાચું છે, અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) ધારો કે તારની કુલ લંબાઈ $L = 1\,m$ છે. ભાગ $X$ ની લંબાઈ $\ell_X$ અને ભાગ $Y$ ની લંબાઈ $\ell_Y$ છે. તેથી,$\ell_X + \ell_Y = 1$.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{\ell}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભાગ $X$ માટે,$R_X = \rho \frac{\ell_X}{A_X}$. ભાગ $Y$ માટે,$R_Y = \rho \frac{\ell_Y}{A_Y}$.
જ્યારે તાર $X$ ને $\ell_W = 2\ell_X$ લંબાઈ સુધી ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કદ અચળ રહે છે $(A_X \ell_X = A_W \ell_W)$.
કારણ કે $\ell_W = 2\ell_X$,આપણને $A_W = \frac{A_X}{2}$ મળે છે.
તાર $W$ નો અવરોધ $R_W = \rho \frac{\ell_W}{A_W} = \rho \frac{2\ell_X}{A_X/2} = 4 \left( \rho \frac{\ell_X}{A_X} \right) = 4R_X$ છે.
આપેલ છે કે $R_W = 2R_Y$,તેથી $4R_X = 2R_Y$,જેનો અર્થ છે કે $R_Y = 2R_X$.
બંને ભાગો $X$ અને $Y$ એક જ મૂળ તારમાંથી કાપવામાં આવ્યા હોવાથી,તેમની આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને અવરોધકતા $\rho$ સમાન છે. તેથી,$R \propto \ell$.
તેથી,$\frac{R_X}{R_Y} = \frac{\ell_X}{\ell_Y}$.
$R_Y = 2R_X$ મૂકતા,આપણને $\frac{R_X}{2R_X} = \frac{\ell_X}{\ell_Y} = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(A) બે સમાંતર તાર કે જેમાંથી $I_1$ અને $I_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $r$ હોય,ત્યારે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$I_1 = 2 \; A$,$I_2 = 3 \; A$,$r = 5 \; cm = 0.05 \; m$,અને તાર $X$ ની લંબાઈ $\ell = 50 \; cm = 0.5 \; m$ છે.
તાર $X$ પર લાગતું કુલ બળ $F = f \times \ell = \frac{\mu_0 I_1 I_2 \ell}{2 \pi r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{(4 \pi \times 10^{-7} \; T \cdot m/A) \times (2 \; A) \times (3 \; A) \times (0.5 \; m)}{2 \pi \times (0.05 \; m)}$
$F = \frac{2 \times 10^{-7} \times 6 \times 0.5}{0.05} = \frac{6 \times 10^{-7}}{0.05} = 120 \times 10^{-7} = 1.2 \times 10^{-5} \; N$.
વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન દિશામાં હોવાથી,બળ આકર્ષી પ્રકારનું હશે,એટલે કે તાર $X$ તાર $Y$ તરફ ખેંચાશે.

(D) ઘટક $X$ માટે,કરંટ વોલ્ટેજ સાથે સમાન કળામાં છે,તેથી $X$ એક અવરોધક (resistor) છે.
અવરોધ $R = \frac{V_0}{I_0} = \frac{100}{5} = 20\,\Omega$.
ઘટક $Y$ માટે,કરંટ વોલ્ટેજ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો પાછળ રહે છે,તેથી $Y$ એક ઇન્ડક્ટર (inductor) છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \frac{V_0}{I_0} = \frac{100}{5} = 20\,\Omega$.
જ્યારે $X$ અને $Y$ ને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = 20\sqrt{2}\,\Omega$.
શ્રેણી સર્કિટમાં પીક કરંટ $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{100}{20\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}\,A$.
rms કરંટ $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{5/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5}{2}\,A$ થાય.

(C) જ્યારે $I_{in}$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે બહાર આવતા ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_{1} = \frac{1}{2} I_{in}$ થાય છે.
અહીં $I_{in} = 2 I_{0}$ આપેલ છે, તેથી પોલેરોઇડ $P$ માંથી પસાર થયા પછી તીવ્રતા $I_{1} = \frac{1}{2} (2 I_{0}) = I_{0}$ થશે.
મેલસના નિયમ મુજબ, જ્યારે $I_{1}$ તીવ્રતા ધરાવતો ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બીજા પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે જેની ટ્રાન્સમિશન ધરી આપાત પ્રકાશની ધ્રુવીભવન દિશા સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે, ત્યારે બહાર આવતી તીવ્રતા $I_{2} = I_{1} \cos^{2} \theta$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\theta = 30^{\circ}$ છે, તેથી $I_{2} = I_{0} \cos^{2} 30^{\circ}$.
કારણ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, તેથી $\cos^{2} 30^{\circ} = \frac{3}{4}$ થાય.
તેથી, $I_{2} = I_{0} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3 I_{0}}{4}$.

(B) $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણની ગતિઊર્જા $K = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેખીય વેગમાન $p$ એ ગતિઊર્જા સાથે $p = \sqrt{2mK} = \sqrt{2mqV}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$\alpha$ કણ માટે,દળ $m_{\alpha} = 4m_p$ અને વિદ્યુતભાર $q_{\alpha} = 2e$ છે,જ્યાં $m_p$ એ પ્રોટોનનું દળ છે અને $e$ એ મૂળભૂત વિદ્યુતભાર છે.
પ્રોટોન માટે,દળ $m_p$ છે અને વિદ્યુતભાર $q_p = e$ છે.
તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{p_{\alpha}}{p_p} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}} = \sqrt{\frac{4m_p \cdot 2e}{m_p \cdot e}} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $2\sqrt{2} : 1$ છે.

(B) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V$ એ $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\frac{4}{3} \pi R_0^3$ એક અચળાંક છે,તેથી કદ $V$ એ દળ ક્રમાંક $A$ ના સમપ્રમાણમાં છે. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
ન્યુક્લિયસની ઘનતા $\rho$ એ $\rho = \frac{\text{દળ}}{\text{કદ}} = \frac{m A}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ન્યુક્લિયોનનું સરેરાશ દળ છે.
$V \propto A$ મૂકતા,આપણને $\rho = \frac{m A}{k A} = \frac{m}{k}$ મળે છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
કારણ કે $\rho$ એક અચળાંક છે,ન્યુક્લિયસની ઘનતા દળ ક્રમાંક $A$ થી સ્વતંત્ર છે. આમ,વિધાન $(E)$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $(A)$ અને $(E)$ સાચા છે.

(D) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક $(B_V)$,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ અને ડીપના ખૂણા $(\delta)$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$B_V = B \sin \delta$
અહીં $B_V = 6 \times 10^{-5} \text{ T}$ અને $\delta = 37^{\circ}$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 37^{\circ} = \frac{3}{4}$,તેથી કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણોત્તર મુજબ $\sin 37^{\circ} = \frac{3}{5}$ થાય.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$6 \times 10^{-5} = B \times \frac{3}{5}$
$B = \frac{6 \times 10^{-5} \times 5}{3}$
$B = 2 \times 10^{-5} \times 5$
$B = 10 \times 10^{-5} \text{ T} = 10^{-4} \text{ T}$

(C) આપેલ મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલની આવૃત્તિ $\omega_{m} = 6.28 \times 10^{6} \text{ rad/s}$ છે.
આવૃત્તિ $f_{m} = \frac{\omega_{m}}{2\pi} = \frac{6.28 \times 10^{6}}{2 \times 3.14} = 1 \times 10^{6} \text{ Hz} = 1 \text{ MHz}$.
કેરિયર સિગ્નલની આવૃત્તિ $\omega_{c} = 12.56 \times 10^{9} \text{ rad/s}$ છે.
આવૃત્તિ $f_{c} = \frac{\omega_{c}}{2\pi} = \frac{12.56 \times 10^{9}}{2 \times 3.14} = 2 \times 10^{9} \text{ Hz} = 2000 \text{ MHz}$.
સ્ક્વેર લો ડિવાઇસ નીચે મુજબની આવૃત્તિઓ ઉત્પન્ન કરે છે: $2f_{c}, f_{c}+f_{m}, f_{c}, f_{c}-f_{m}, 2f_{m}, f_{m}$.
$f_{c}$ પર કેન્દ્રિત બેન્ડ પાસ ફિલ્ટર $f_{c}-f_{m}, f_{c}, f_{c}+f_{m}$ આવૃત્તિઓને પસાર થવા દે છે.
આઉટપુટ સિગ્નલની બેન્ડવિડ્થ $(f_{c}+f_{m}) - (f_{c}-f_{m}) = 2f_{m}$ છે.
બેન્ડવિડ્થ $= 2 \times 1 \text{ MHz} = 2 \text{ MHz}$.

(A) શ્રેણી અવરોધ $R$ પરનો વોલ્ટેજ એ સપ્લાય વોલ્ટેજ $V_{S}$ અને ઝેનર બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V_{Z}$ વચ્ચેનો તફાવત છે.
$V_{R} = V_{S} - V_{Z} = 20\,V - 8\,V = 12\,V$.
શ્રેણી અવરોધ $R$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે મહત્તમ ઝેનર પ્રવાહ $I_{Z,max} = 25\,mA = 25 \times 10^{-3}\,A$ નો ઉપયોગ કરવો જોઈએ.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$V_{R} = I_{Z,max} \times R$.
$12\,V = (25 \times 10^{-3}\,A) \times R$.
$R = \frac{12}{25 \times 10^{-3}}\,\Omega = \frac{12000}{25}\,\Omega = 480\,\Omega$.

(A) $t$ સમયે બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે શરૂઆતમાં બંને પાસે ન્યુક્લિયસની સંખ્યા સમાન છે,$N_{0A} = N_{0B} = N_0$.
$t$ સમયે $A$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_A = N_0 e^{-25 \lambda t}$ છે.
$t$ સમયે $B$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_B = N_0 e^{-16 \lambda t}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $t = \frac{1}{a \lambda}$ સમયે ગુણોત્તર $\frac{N_B}{N_A} = e$ છે.
$\frac{N_B}{N_A} = \frac{N_0 e^{-16 \lambda t}}{N_0 e^{-25 \lambda t}} = e^{(-16 \lambda + 25 \lambda) t} = e^{9 \lambda t}$.
આને $e^1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $9 \lambda t = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t = \frac{1}{9 \lambda}$.
આને $t = \frac{1}{a \lambda}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 9$ મળે છે.

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા,$U = \frac{1}{2} \times (500 \times 10^{-6} \, F) \times (100 \, V)^2 = \frac{1}{2} \times 500 \times 10^{-6} \times 10^4 = 2.5 \, J$.
$LC$ સર્કિટમાં,કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. જ્યારે કેપેસિટરની સંપૂર્ણ ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાં સ્થાનાંતરિત થાય ત્યારે મહત્તમ પ્રવાહ $I_{max}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{1}{2} LI_{max}^2 = U_{total}$.
$\frac{1}{2} \times (50 \times 10^{-3} \, H) \times I_{max}^2 = 2.5 \, J$.
$I_{max}^2 = \frac{2.5 \times 2}{50 \times 10^{-3}} = \frac{5}{0.05} = 100$.
$I_{max} = \sqrt{100} = 10 \, A$.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,ગોસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_{0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યા $(r < R)$ ધરાવતી ગોલીય ગોસિયન સપાટી માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સમાન છે અને ત્રિજ્યાવર્તી બહારની દિશામાં છે,તેથી $\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = E(4\pi r^2)$.
અંદર રહેલો વિદ્યુતભાર $Q_{\text{in}}$ એ $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાના કદ પર વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho(r)$ નું સંકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$Q_{\text{in}} = \int_{0}^{r} \rho(r') 4\pi r'^2 dr' = \int_{0}^{r} \rho_{0} \left(\frac{3}{4} - \frac{r'}{R}\right) 4\pi r'^2 dr'$
$Q_{\text{in}} = 4\pi \rho_{0} \int_{0}^{r} \left(\frac{3}{4}r'^2 - \frac{r'^3}{R}\right) dr' = 4\pi \rho_{0} \left[ \frac{3}{4} \cdot \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4R} \right] = 4\pi \rho_{0} \left( \frac{r^3}{4} - \frac{r^4}{4R} \right) = \pi \rho_{0} r^3 \left( 1 - \frac{r}{R} \right)$.
ગોસનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$E(4\pi r^2) = \frac{\pi \rho_{0} r^3}{\varepsilon_{0}} \left( 1 - \frac{r}{R} \right)$
$E = \frac{\rho_{0} r}{4\varepsilon_{0}} \left( 1 - \frac{r}{R} \right)$.

(A) વિધાન $I$ સાચું છે: સ્થિત વિદ્યુત સંતુલનમાં,વાહકની અંદર કોઈ ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર હોતું નથી $(E = 0)$. કારણ કે $E = -dV/dr$,જો $E = 0$ હોય,તો વાહકના કદમાં અને તેની સપાટી પર સ્થિતિમાન $V$ અચળ હોવું જોઈએ.
વિધાન $II$ સાચું છે: વાહક એક સમસ્થિતિમાન સપાટી હોવાથી,સપાટીને સમાંતર વિદ્યુતક્ષેત્રનો કોઈપણ ઘટક વિદ્યુતભારોને સપાટી પર ગતિ કરવા માટે પ્રેરે. સંતુલન જાળવવા માટે,વિદ્યુતક્ષેત્રનો કોઈ સ્પર્શકીય ઘટક હોવો જોઈએ નહીં,જેનો અર્થ છે કે તે દરેક બિંદુએ સપાટીને લંબ હોવું જોઈએ.

(C) આપેલ છે: $E = 440 \sin(100 \pi t)$ અને $L = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \text{ H}$.
$E = E_0 \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,$E_0 = 440 \text{ V}$ અને $\omega = 100 \pi \text{ rad/s}$ મળે છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = (100 \pi) \times \left( \frac{\sqrt{2}}{\pi} \right) = 100 \sqrt{2} \, \Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{E_0}{X_L} = \frac{440}{100 \sqrt{2}} = \frac{4.4}{\sqrt{2}} \text{ A}$.
$AC$ એમીટર પ્રવાહનું $RMS$ મૂલ્ય માપે છે.
$I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{4.4 / \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4.4}{2} = 2.2 \text{ A}$.
આમ,એમીટરનું અવલોકન $2.2 \text{ A}$ થશે.

(C) $LR$ સર્કિટમાં પ્રવાહ $i = \frac{E}{R}(1 - e^{-t/\tau})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\tau = \frac{L}{R} = \frac{1}{100} = 0.01\,s = 10\,ms$ છે.
$(a)$ પ્રવાહ તેના સ્થાયી-સ્થિતિ મૂલ્યના અડધા સુધી પહોંચે $(i = \frac{E}{2R})$ તે માટે:
$\frac{E}{2R} = \frac{E}{R}(1 - e^{-t/\tau})$
$0.5 = 1 - e^{-t/\tau} \implies e^{-t/\tau} = 0.5$
$t = \tau \ln 2 = 10\,ms \times 0.693 = 6.93\,ms \approx 7\,ms$.
$(b)$ $t = 15\,ms$ સમયે,$t/\tau = 15/10 = 1.5$:
$i = \frac{6}{100}(1 - e^{-1.5}) = 0.06(1 - 0.25) = 0.06 \times 0.75 = 0.045\,A$.
સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2}Li^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (0.045)^2 = 0.5 \times 0.002025 \approx 0.001\,J = 1\,mJ$.

(A) $UV$ કિરણોનો ઉપયોગ પાણીના શુદ્ધિકરણ માટે થાય છે કારણ કે તે બેક્ટેરિયાનો નાશ કરે છે.
$X-$કિરણોનો ઉપયોગ તબીબી ક્ષેત્રે હાડકાના ફ્રેક્ચરના નિદાન માટે થાય છે.
માઇક્રોવેવનો ઉપયોગ સંદેશાવ્યવહાર અને રડાર સિસ્ટમમાં થાય છે.
ઇન્ફ્રારેડ તરંગોની તરંગલંબાઈ વધુ હોય છે અને તેનું પ્રકીર્ણન ઓછું થાય છે,તેથી તેનો ઉપયોગ ધુમ્મસવાળા વાતાવરણમાં દ્રશ્યતા સુધારવા માટે થાય છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ગતિઊર્જા $E$ નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ --- $(i)$
જ્યારે ગતિઊર્જા બમણી થઈને $2E$ થાય,ત્યારે નવી તરંગલંબાઈ $\lambda^{\prime}$ ધારો:
$2E = \frac{hc}{\lambda^{\prime}} - \phi$ --- (ii)
સમીકરણ (ii) માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(2E - E) = (\frac{hc}{\lambda^{\prime}} - \phi) - (\frac{hc}{\lambda} - \phi)$
$E = \frac{hc}{\lambda^{\prime}} - \frac{hc}{\lambda}$
$\lambda^{\prime}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$E + \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda^{\prime}}$
$\frac{E\lambda + hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda^{\prime}}$
$\lambda^{\prime} = \frac{hc\lambda}{E\lambda + hc}$

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજા ઉર્જા સ્તર $(n=2)$ થી પ્રથમ ઉર્જા સ્તર $(n=1)$ પરના સંક્રમણ માટે,ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા:
$\Delta E_1 = E_2 - E_1 = -\frac{13.6}{2^2} - (-\frac{13.6}{1^2}) = 13.6(1 - \frac{1}{4}) = 13.6 \times \frac{3}{4} \text{ eV}$.
સૌથી ઉચ્ચ અનુમતિપાત્ર ઉર્જા સ્તર $(n=\infty)$ થી પ્રથમ અનુમતિપાત્ર ઉર્જા સ્તર $(n=1)$ પરના સંક્રમણ માટે,ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા:
$\Delta E_2 = E_{\infty} - E_1 = 0 - (-\frac{13.6}{1^2}) = 13.6 \text{ eV}$.
ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{\Delta E_1}{\Delta E_2} = \frac{13.6 \times \frac{3}{4}}{13.6} = \frac{3}{4}$.

(A) મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $m$ ને $m = \frac{A_m}{A_c}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $A_m$ એ મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલનો કંપવિસ્તાર છે અને $A_c$ એ કેરિયર તરંગનો કંપવિસ્તાર છે.
કંપવિસ્તારમાં ફેરફાર $2A_m = 8\,V$ આપેલ છે,તેથી $A_m = 4\,V$ મળે છે.
$AM$ તરંગનો મહત્તમ કંપવિસ્તાર $A_{max} = A_c + A_m = 9\,V$ છે.
$A_m = 4\,V$ મૂકતા,આપણને $A_c + 4 = 9$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $A_c = 5\,V$.
તેથી,મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $m = \frac{4}{5} = 0.8$ છે.

(D) પરિપથનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $9\,\Omega$ ના ત્રણેય અવરોધો $6\,V$ ની બેટરી સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
ધારો કે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ છે.
અવરોધો સમાંતર હોવાથી,$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$R_{eq} = 3\,\Omega$.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6\,V}{3\,\Omega} = 2\,A$.
આમ,પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $2\,A$ છે.