JEE Main 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ઘર્ષણરહિત ગરગડી પર દોરી વડે જોડાયેલા બે દળ $M_{1}$ અને $M_{2}$ ના તંત્રનો પ્રવેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{|M_{2} - M_{1}|}{M_{1} + M_{2}} g$
કિસ્સો $1$: આપેલ છે $M_{2} = 2M_{1}$.
$a_{1} = \frac{|2M_{1} - M_{1}|}{M_{1} + 2M_{1}} g = \frac{M_{1}}{3M_{1}} g = \frac{g}{3}$
કિસ્સો $2$: આપેલ છે $M_{2} = 3M_{1}$.
$a_{2} = \frac{|3M_{1} - M_{1}|}{M_{1} + 3M_{1}} g = \frac{2M_{1}}{4M_{1}} g = \frac{g}{2}$
હવે,ગુણોત્તર $\frac{a_{1}}{a_{2}}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{g/3}{g/2} = \frac{2}{3}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) પદાર્થનું બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ (તોડવા માટેનું પ્રતિબળ) અચળ રહે છે,કારણ કે તે પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ = $\frac{\text{મહત્તમ ભાર}}{\text{આડછેદનું ક્ષેત્રફળ}}$.
ધારો કે $A_1 = 2.5 \times 10^{-4} \, m^2$ એ $L_1 = 10$ મેટ્રિક ટન ભાર માટેનું પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ છે.
ધારો કે $A_2$ એ $L_2 = 25$ મેટ્રિક ટન ભાર માટે જરૂરી ક્ષેત્રફળ છે.
બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ અચળ હોવાથી: $\frac{L_1}{A_1} = \frac{L_2}{A_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10}{2.5 \times 10^{-4}} = \frac{25}{A_2}$.
$A_2 = \frac{25 \times 2.5 \times 10^{-4}}{10}$.
$A_2 = 6.25 \times 10^{-4} \, m^2$.

(A) આપેલ સદિશો $\overrightarrow{A} = (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) \; m$ અને $\overrightarrow{B} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) \; m$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{A}$ નો સદિશ $\overrightarrow{B}$ ની દિશામાં ઘટક શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ઘટક} = \overrightarrow{A} \cdot \hat{B} = \frac{\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{B}|}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}$ શોધો:
$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = (2)(1) + (3)(2) + (-1)(2) = 2 + 6 - 2 = 6$.
ત્યારબાદ,સદિશ $\overrightarrow{B}$ નું મૂલ્ય શોધો:
$|\overrightarrow{B}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
છેલ્લે,ઘટકનું મૂલ્ય શોધો:
$\text{ઘટક} = \frac{6}{3} = 2 \; m$.

(A) $m$ દળ અને $\ell$ લંબાઈ ધરાવતા સમાન સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{m \ell^{2}}{12}$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,જડત્વની ચાકમાત્રાને $I = mk^{2}$ તરીકે પણ દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $mk^{2} = \frac{m \ell^{2}}{12}$.
$k$ માટે ઉકેલતા: $k^{2} = \frac{\ell^{2}}{12} \Rightarrow k = \frac{\ell}{\sqrt{12}} = \frac{\ell}{2 \sqrt{3}}$.
અહીં $\ell = 10 \sqrt{3} \ m$ આપેલ છે,તેથી:
$k = \frac{10 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = 5 \ m$.
આમ,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $5 \ m$ છે.

(B) પોતાના વજનને કારણે $\ell$ લંબાઈ,$m$ દળ અને $A$ આડછેદના ક્ષેત્રફળ ધરાવતા સળિયામાં થતું વિસ્તરણ $\Delta \ell$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta \ell = \frac{mg\ell}{2AY}$
આપેલ કિંમતો:
$m = 20\,kg$
$A = 0.4\,m^{2}$
$\ell = 20\,m$
$Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^{2}$
$g = 10\,m/s^{2}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta \ell = \frac{20 \times 10 \times 20}{2 \times 0.4 \times 2 \times 10^{11}}$
$\Delta \ell = \frac{4000}{1.6 \times 10^{11}}$
$\Delta \ell = 2500 \times 10^{-11}\,m$
$\Delta \ell = 25 \times 10^{-9}\,m$
આને $x \times 10^{-9}\,m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 25$ મળે છે.

(D) આકૃતિ $(a)$ માટે,સ્પ્રિંગો શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$K_{eq} = \frac{K \times 2K}{K + 2K} = \frac{2K}{3}$
દોલનનો આવર્તકાળ $T$:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2K/3}} = 2\pi \sqrt{\frac{3m}{2K}} = 3 \text{ s}$
આકૃતિ $(b)$ માટે,સ્પ્રિંગો સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K'_{eq}$:
$K'_{eq} = K + 2K = 3K$
દોલનનો આવર્તકાળ $T'$:
$T' = 2\pi \sqrt{\frac{m}{3K}}$
$T'$ ને $T$ વડે ભાગતા:
$\frac{T'}{T} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{m}{3K}}}{2\pi \sqrt{\frac{3m}{2K}}} = \sqrt{\frac{m}{3K} \times \frac{2K}{3m}} = \sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$
આપેલ છે કે $T = 3 \text{ s}$,તેથી:
$T' = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2} \text{ s}$
$T' = \sqrt{x} \text{ s}$ ને $T' = \sqrt{2} \text{ s}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(C) ધારો કે $100 \, kg$ ના બ્લોકનો પ્રવેગ જમણી તરફ $a_{1}$ છે.
$m_{2} = 20 \, kg$ ના બ્લોક માટે,તે $100 \, kg$ ના બ્લોકની સાપેક્ષમાં $a_{y} = 2 \, m/s^{2}$ ના પ્રવેગથી ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે. દોરીમાં તણાવ $T$ ઉપરની તરફ લાગે છે અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $20g$ નીચેની તરફ લાગે છે. સ્યુડો બળ $20a_{1}$ સમક્ષિતિજ દિશામાં ડાબી તરફ લાગે છે.
$m_{2}$ માટે શિરોલંબ દિશામાં ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$T - m_{2}g = m_{2}a_{y}$
$T - 20(10) = 20(2)$
$T - 200 = 40 \Rightarrow T = 240 \, N$.
હવે,$100 \, kg$ ના બ્લોક પર રહેલા $m_{1} = 10 \, kg$ ના બ્લોકને ધ્યાનમાં લો. તે દોરી દ્વારા $20 \, kg$ ના બ્લોક સાથે જોડાયેલ છે. $100 \, kg$ ના બ્લોકની સાપેક્ષમાં $m_{1}$ નો સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $a_{x} = 2 \, m/s^{2}$ છે (કારણ કે દોરી અસ્થિતિસ્થાપક છે,તેથી $m_{1}$ નો સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $m_{2}$ ના શિરોલંબ પ્રવેગ જેટલો જ હોવો જોઈએ).
$m_{1}$ માટે સમક્ષિતિજ દિશામાં ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$T = m_{1}a_{1} \Rightarrow 240 = 10a_{1} \Rightarrow a_{1} = 24 \, m/s^{2}$.
છેલ્લે,સમગ્ર તંત્ર $(M + m_{1} + m_{2})$ ને $a_{1}$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરતું ધ્યાનમાં લેતા:
$F = (M + m_{1} + m_{2})a_{1}$
$F = (100 + 10 + 20) \times 24$
$F = 130 \times 24 = 3120 \, N$.

(B) $SHM$ માં રહેલા કણ માટે,તેનો વેગ $v$ એ સ્થાનાંતર $x$ પર નીચે મુજબ આધાર રાખે છે:
$v = \omega \sqrt{A^{2} - x^{2}}$
જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$v^{2} = \omega^{2} (A^{2} - x^{2})$
$v^{2} = \omega^{2} A^{2} - \omega^{2} x^{2}$
પદોને ગોઠવતા:
$v^{2} + \omega^{2} x^{2} = \omega^{2} A^{2}$
$\omega^{2} A^{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{v^{2}}{(\omega A)^{2}} + \frac{x^{2}}{A^{2}} = 1$
આ સમીકરણ $\frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે લંબગોળ (ellipse) દર્શાવે છે.
તેથી,વેગ $v$ અને સ્થાનાંતર $x$ વચ્ચેનો આલેખ લંબગોળાકાર છે.

(B) કોઈપણ આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ માત્ર તાપમાનના ફેરફાર $\Delta T$ પર આધાર રાખે છે અને તે નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta U = n C_V \Delta T$
મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુ માટે,અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{3}{2} R$ છે.
આપેલ કિંમતો:
$n = 7 \text{ mol}$
$\Delta T = 40 K$
$R = 8.3 J K^{-1} mol^{-1}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta U = 7 \times \left( \frac{3}{2} \times 8.3 \right) \times 40$
$\Delta U = 7 \times 3 \times 8.3 \times 20$
$\Delta U = 21 \times 166 = 3486 J$
આમ,આંતરિક ઊર્જામાં થતો વધારો $3486 J$ છે.

(C) અચળ એન્ટ્રોપી ધરાવતી પ્રક્રિયા એ એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
આપેલ છે કે,પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$ અને અંતિમ કદ $V_2 = \frac{V}{8}$ છે.
એડિબેટિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$.
કિંમતો મૂકતા: $P \cdot V^{5/3} = P_2 \cdot (\frac{V}{8})^{5/3}$.
$P_2 = P \cdot (\frac{V}{V/8})^{5/3} = P \cdot (8)^{5/3}$.
$P_2 = P \cdot (2^3)^{5/3} = P \cdot 2^5$.
$P_2 = 32P$.

(C) પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $R = 1\,cm = 10^{-2}\,m$. પૃષ્ઠતાણ $T = 75\,dyne/cm = 75 \times 10^{-3}\,N/m$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_i = 4\pi R^2 = 4\pi(10^{-2})^2 = 4\pi \times 10^{-4}\,m^2$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_i = T \times A_i = 75 \times 10^{-3} \times 4\pi \times 10^{-4} = 300\pi \times 10^{-7}\,J$.
ધારો કે $r$ એ દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા છે. કદના સંરક્ષણ મુજબ: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 729 \times \frac{4}{3}\pi r^3$.
$r^3 = \frac{R^3}{729} \implies r = \frac{R}{9} = \frac{1}{9}\,cm = \frac{1}{9} \times 10^{-2}\,m$.
અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_f = 729 \times 4\pi r^2 = 729 \times 4\pi \times (\frac{1}{9} \times 10^{-2})^2 = 729 \times 4\pi \times \frac{1}{81} \times 10^{-4} = 9 \times 4\pi \times 10^{-4} = 36\pi \times 10^{-4}\,m^2$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_f = T \times A_f = 75 \times 10^{-3} \times 36\pi \times 10^{-4} = 2700\pi \times 10^{-7}\,J$.
પૃષ્ઠ ઊર્જામાં વધારો $\Delta U = U_f - U_i = (2700\pi - 300\pi) \times 10^{-7} = 2400\pi \times 10^{-7}\,J$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$\Delta U = 2400 \times 3.14 \times 10^{-7} = 7536 \times 10^{-7} = 7.536 \times 10^{-4}\,J$.
દશાંશના પ્રથમ સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,વધારો $7.5 \times 10^{-4}\,J$ મળે છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g' = g(1 - \frac{2h}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $h << R$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta g = g - g' = g(\frac{2h}{R})$ છે.
વજનમાં થતો આંશિક ઘટાડો (જે $g$ માં થતા ફેરફારના પ્રમાણસર છે) $\frac{\Delta g}{g} = \frac{2h}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટકાવારી ઘટાડો શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$\text{ટકાવારી ઘટાડો} = \frac{\Delta g}{g} \times 100 = \frac{2h}{R} \times 100$.
આપેલ કિંમતો $h = 32 \ km$ અને $R = 6400 \ km$ મૂકતા:
$\text{ટકાવારી ઘટાડો} = 2 \times \frac{32}{6400} \times 100 = 2 \times \frac{1}{200} \times 100 = 1 \%$.

(B) ધારો કે દરેક બ્લોકનું દળ $m = 250\,g = 0.25\,kg$ છે અને સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 2\,N/m$ છે.
મહત્તમ વિસ્તરણ $x$ ના સમયે,બંને બ્લોક દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંદર્ભમાં ક્ષણિક સ્થિર થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા મહત્તમ વિસ્તરણ સમયે સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
કુલ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$ છે.
મહત્તમ વિસ્તરણ $x$ પર સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જા $U_f = \frac{1}{2}kx^2$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $mv^2 = \frac{1}{2}kx^2$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x^2 = \frac{2mv^2}{k} \implies x = v \sqrt{\frac{2m}{k}}$.
આપેલ કિંમતો $m = 0.25\,kg$ અને $k = 2\,N/m$ મૂકતા:
$x = V \sqrt{\frac{2 \times 0.25}{2}} = V \sqrt{0.25} = 0.5V = \frac{V}{2}$.

(C) નીચે તરફ ગતિ કરતી વખતે વાંદરાની ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ ($F$.$B$.$D$):
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $mg - T = ma_1$
$500 - T = 50 \times 4 \Rightarrow T = 300\,N$.
ઉપર તરફ ગતિ કરતી વખતે વાંદરાની ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ ($F$.$B$.$D$):
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $T - mg = ma_2$
$T - 500 = 50 \times 5 \Rightarrow T = 750\,N$.
દોરડાની તોડવાની ક્ષમતા $350\,N$ છે.
કારણ કે $750\,N > 350\,N$,તેથી જ્યારે વાંદરો ઉપર ચઢતો હશે ત્યારે દોરડું તૂટી જશે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરવા માટે લાગતો સમય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$t = \frac{u \sin \theta}{g}$
આપેલ છે કે બંને પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થો સમાન સમયમાં મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે,તેથી:
$t_1 = t_2$
$\frac{u_1 \sin \theta_1}{g} = \frac{u_2 \sin \theta_2}{g}$
આપેલ ખૂણાઓ $\theta_1 = 30^{\circ}$ અને $\theta_2 = 45^{\circ}$ મૂકતા:
$u_1 \sin 30^{\circ} = u_2 \sin 45^{\circ}$
$u_1 \left( \frac{1}{2} \right) = u_2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
ગુણોત્તર $\frac{u_1}{u_2}$ શોધવા માટે:
$\frac{u_1}{u_2} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
તેથી,તેમના પ્રારંભિક વેગનો ગુણોત્તર $\sqrt{2}: 1$ છે.

(B) સ્ક્રૂ ગેજનું લઘુત્તમ માપ $(L.C.)$ આ મુજબ મળે છે: $L.C. = \frac{\text{Pitch}}{\text{Number of divisions}} = \frac{0.5\,mm}{50} = 0.01\,mm = 0.001\,cm$.
તારનો વ્યાસ $(D)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે: $D = \text{Main scale reading} + (\text{Circular scale reading} \times L.C.)$.
$D = 1.5\,mm + (7 \times 0.01\,mm) = 1.5\,mm + 0.07\,mm = 1.57\,mm = 0.157\,cm$.
તારની લંબાઈ $(l)$ $6.8\,cm$ છે.
તારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ $A = \pi D l$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$A = 3.14 \times 0.157\,cm \times 6.8\,cm \approx 3.353\,cm^2$.
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા (કારણ કે લંબાઈ $6.8$ માં બે સાર્થક અંકો છે),આપણને $A = 3.4\,cm^2$ મળે છે.

(C) પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $u_x = 1\,m/s$ આપેલ છે.
ગતિપથનું સમીકરણ $y = 5x - 5x^2$ છે.
સમીકરણનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને શિરોલંબ વેગનો ઘટક $v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ મળે છે.
પ્રથમ,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(5x - 5x^2) = 5 - 10x$ શોધો.
કારણ કે $v_x = \frac{dx}{dt} = u_x = 1$ (સમક્ષિતિજ વેગ અચળ ધારતા),આપણને $v_y = (5 - 10x) \cdot 1$ મળે છે.
પ્રારંભિક બિંદુએ,$x = 0$ હોય છે.
તેથી,પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $u_y = (5 - 10(0)) = 5\,m/s$.
આમ,પ્રારંભિક વેગનો $y$-ઘટક સદિશ $5\,\hat{j}$ છે.

(C) ધારો કે $m$ એ તકતી અને કણનું દળ છે. ધરીને અનુલક્ષીને તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{disc}} = \frac{1}{2} mR^2$ છે. $R$ અંતરે રહેલા કણની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{particle}} = mR^2$ છે. કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{\text{disc}} + I_{\text{particle}} = \frac{1}{2} mR^2 + mR^2 = \frac{3}{2} mR^2$ છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,કણની સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ તંત્રની ચાકગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે.
કણ સૌથી ઉચ્ચ બિંદુથી સૌથી નીચલા બિંદુ સુધી $2R$ જેટલું શિરોલંબ અંતર કાપે છે.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો $= mg(2R) = 2mgR$.
ચાકગતિ ઉર્જામાં વધારો $= \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} mR^2 \right) \omega^2 = \frac{3}{4} mR^2 \omega^2$.
બંનેને સરખાવતા: $2mgR = \frac{3}{4} mR^2 \omega^2$.
$\omega^2$ માટે ઉકેલતા: $\omega^2 = \frac{8g}{3R}$.
આપેલ છે કે $\omega = 4 \sqrt{\frac{x}{3R}}$,તેથી $\omega^2 = 16 \left( \frac{x}{3R} \right) = \frac{16x}{3R}$.
$\omega^2$ માટેના પદોને સરખાવતા: $\frac{16x}{3R} = \frac{8g}{3R} \implies 16x = 8g$.
$g = 10 \text{ m s}^{-2}$ મૂકતા: $16x = 8(10) = 80$.
$x = \frac{80}{16} = 5$.

(C) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{FL}{A\Delta L} = \frac{mgL}{(\pi d^2/4)\Delta L} = \frac{4mgL}{\pi d^2 \Delta L}$ છે.
આપેલ છે: $L = 1\;m$,$m = 1\;kg$,$g = 10\;m/s^2$,$\Delta L = 0.4 \times 10^{-3}\;m$,$d = 0.4 \times 10^{-3}\;m$.
$Y = \frac{4 \times 1 \times 10 \times 1}{\pi \times (0.4 \times 10^{-3})^2 \times 0.4 \times 10^{-3}} = \frac{40}{\pi \times 0.064 \times 10^{-9}} \approx 1.99 \times 10^{11}\;N/m^2$.
$Y$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta d}{d} + \frac{\Delta(\Delta L)}{\Delta L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $\Delta m = 0$ અને $\Delta L = 0$ (કારણ કે લંબાઈ ચોક્કસ છે),$\frac{\Delta Y}{Y} = 2\frac{\Delta d}{d} + \frac{\Delta(\Delta L)}{\Delta L} = 2 \times \frac{0.01}{0.4} + \frac{0.02}{0.4} = 0.05 + 0.05 = 0.1$.
$\Delta Y = 0.1 \times Y = 0.1 \times 1.99 \times 10^{11} = 1.99 \times 10^{10}\;N/m^2$.
$x \times 10^{10}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x \approx 2$ મળે છે.

(D) ધારો કે $f_0$ એ હોર્નની વાસ્તવિક આવૃત્તિ છે,$C$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $V_s$ એ કારની ઝડપ છે.
જ્યારે કાર અવલોકનકારની નજીક આવે છે: $f_1 = f_0 \left( \frac{C}{C - V_s} \right) = 100 \, Hz$.
જ્યારે કાર અવલોકનકારથી દૂર જાય છે: $f_2 = f_0 \left( \frac{C}{C + V_s} \right) = 50 \, Hz$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{f_1}{f_2} = \frac{100}{50} = 2 = \frac{C + V_s}{C - V_s}$.
$V_s$ માટે ઉકેલતા: $2(C - V_s) = C + V_s \implies 2C - 2V_s = C + V_s \implies C = 3V_s \implies V_s = \frac{C}{3}$.
$V_s$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $100 = f_0 \left( \frac{C}{C - C/3} \right) = f_0 \left( \frac{C}{2C/3} \right) = f_0 \left( \frac{3}{2} \right)$.
આમ,$f_0 = 100 \times \frac{2}{3} = \frac{200}{3} \, Hz$.
જો અવલોકનકાર કાર સાથે ગતિ કરે,તો સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય થાય છે,તેથી અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ વાસ્તવિક આવૃત્તિ $f_0$ જેટલી જ રહે છે.
તેથી,$f = f_0 = \frac{200}{3} \, Hz$.
આને $\frac{x}{3} \, Hz$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 200$ મળે છે.

(D) $\sin$ વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ,તેથી $[\frac{\alpha x}{kt}] = [M^{0}L^{0}T^{0}]$.
આપેલ છે કે $x = [L]$,$k = [ML^{2}T^{-2}\theta^{-1}]$,અને $t = [\theta]$.
તેથી,$[\alpha] = [\frac{kt}{x}] = \frac{[ML^{2}T^{-2}\theta^{-1}][\theta]}{[L]} = [MLT^{-2}]$.
ઉર્જા ઘનતા $u$ એ એકમ કદ દીઠ ઉર્જા છે,તેથી $[u] = [ML^{-1}T^{-2}]$.
સમીકરણ $u = \frac{\alpha}{\beta}$ પરથી,આપણને $[\beta] = \frac{[\alpha]}{[u]}$ મળે છે.
$[\beta] = \frac{[MLT^{-2}]}{[ML^{-1}T^{-2}]} = [L^{2}]$.
તેથી,$\beta$ ના પરિમાણો $[M^{0}L^{2}T^{0}]$ છે.

(D) ગતિપથનું સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
આપેલ છે કે $\theta = 45^{\circ}$,$x = 20$,$y = 10$,અને $g = 10 \ m/s^2$.
$10 = 20(1) - \frac{10(20)^2}{2u^2(1/2)} \Rightarrow 10 = 20 - \frac{4000}{u^2} \Rightarrow \frac{4000}{u^2} = 10 \Rightarrow u^2 = 400 \Rightarrow u = 20 \ m/s$.
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u \sin \theta}{g} = \frac{2(20)(1/\sqrt{2})}{10} = 2\sqrt{2} \ s$.
$t = \frac{T}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2 \ s$ સમયે.
વેગના ઘટકો $v_x = u \cos \theta = 20(1/\sqrt{2}) = 10\sqrt{2} \ m/s$ અને $v_y = u \sin \theta - gt = 20(1/\sqrt{2}) - 10(2) = 10\sqrt{2} - 20 \ m/s$ છે.
વેગમાન સદિશ $\vec{p} = m\vec{v} = 10(10\sqrt{2} \hat{i} + (10\sqrt{2} - 20) \hat{j}) = 100\sqrt{2} \hat{i} + (100\sqrt{2} - 200) \hat{j} \ kg \cdot m/s$.

(A) બ્લોક અચળ વેગથી નીચે સરકતો હોવાથી,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
બ્લોક પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(Mg)$,લંબબળ $(N)$ અને ગતિક ઘર્ષણ બળ $(f)$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટકો પાડતા:
$N = Mg \cos \theta$ (સમતલને લંબ)
$f = Mg \sin \theta$ (સમતલને સમાંતર)
સંપર્ક બળ $(R)$ એ લંબબળ $(N)$ અને ઘર્ષણ બળ $(f)$ નું પરિણામી બળ છે:
$R = \sqrt{N^2 + f^2}$
$N$ અને $f$ ની કિંમતો મૂકતા:
$R = \sqrt{(Mg \cos \theta)^2 + (Mg \sin \theta)^2}$
$R = \sqrt{M^2g^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$R = \sqrt{M^2g^2(1)}$
$R = Mg$

(C) લિફ્ટ સમાન વેગથી ગતિ કરતી હોવાથી,તેનો પ્રવેગ શૂન્ય છે. તેથી,બ્લોક પર લાગતો અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ '$g$' જ રહે છે.
ઘર્ષણરહિત ઢાળ પર નીચે સરકતા બ્લોક માટે,પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ અને $s = l$ છે:
$l = \frac{1}{2} (g \sin 30^{\circ}) (2)^2 = \frac{1}{2} g (0.5) (4) = g$.
હવે,$45^{\circ}$ ના ઢાળ માટે,ધારો કે લાગતો સમય '$t$' છે:
$l = \frac{1}{2} (g \sin 45^{\circ}) t^2$.
'$l$' અચળ હોવાથી,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$g = \frac{1}{2} g \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) t^2$.
$1 = \frac{1}{2\sqrt{2}} t^2 \Rightarrow t^2 = 2\sqrt{2} \approx 2.828$.
$t = \sqrt{2.828} \approx 1.68\,s$.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $V$ છે અને અચળ પ્રતિપ્રવેગ $a$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ $4 \ cm$ માટે,વેગ $V/3$ થાય છે:
$(V/3)^2 = V^2 - 2a(4) \Rightarrow V^2/9 = V^2 - 8a \Rightarrow 8a = 8V^2/9 \Rightarrow a = V^2/9$.
હવે,બુલેટ સંપૂર્ણપણે અટકી જાય તે માટે,અંતિમ વેગ $0$ થાય છે જ્યારે અંતર $s = 4+x$ હોય:
$0^2 = V^2 - 2a(4+x) \Rightarrow V^2 = 2(V^2/9)(4+x)$.
બંને બાજુ $V^2$ વડે ભાગતા:
$1 = (2/9)(4+x) \Rightarrow 9/2 = 4+x \Rightarrow 4.5 = 4+x \Rightarrow x = 0.5 \ cm$.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પરની કુલ ઉર્જા = $h$ ઊંચાઈ પરની કુલ ઉર્જા
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m(\lambda v_{e})^{2} = -\frac{GMm}{h} + 0$
નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ હોવાથી,$v_{e}^{2} = \frac{2GM}{R}$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m\lambda^{2}(\frac{2GM}{R}) = -\frac{GMm}{h}$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{\lambda^{2}GMm}{R} = -\frac{GMm}{h}$
બંને બાજુને $-GMm$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{R} - \frac{\lambda^{2}}{R} = \frac{1}{h}$
$\frac{1-\lambda^{2}}{R} = \frac{1}{h}$
$h = \frac{R}{1-\lambda^{2}}$

(D) કુલ લંબાઈમાં વધારો $\Delta \ell$ એ સ્ટીલના તાર $(\Delta \ell_{S})$ અને તાંબાના તાર $(\Delta \ell_{C})$ ના વ્યક્તિગત લંબાઈમાં વધારાનો સરવાળો છે:
$\Delta \ell = \Delta \ell_{S} + \Delta \ell_{C}$
લંબાઈમાં વધારાના સૂત્ર $\Delta \ell = \frac{F \ell}{AY}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta \ell = \frac{F \ell_{S}}{A Y_{S}} + \frac{F \ell_{C}}{A Y_{C}} = \frac{F}{A} \left( \frac{\ell_{S}}{Y_{S}} + \frac{\ell_{C}}{Y_{C}} \right)$
અહીં $r = 1.4 \, mm = 1.4 \times 10^{-3} \, m$ આપેલ છે,તેથી આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^{2} = \frac{22}{7} \times (1.4 \times 10^{-3})^{2} = 6.16 \times 10^{-6} \, m^{2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$1.4 \times 10^{-3} = \frac{F}{6.16 \times 10^{-6}} \left( \frac{3.2}{2.0 \times 10^{11}} + \frac{4.4}{1.1 \times 10^{11}} \right)$
$1.4 \times 10^{-3} = \frac{F}{6.16 \times 10^{-6}} \left( 1.6 \times 10^{-11} + 4.0 \times 10^{-11} \right)$
$1.4 \times 10^{-3} = \frac{F}{6.16 \times 10^{-6}} \times 5.6 \times 10^{-11}$
$F = \frac{1.4 \times 10^{-3} \times 6.16 \times 10^{-6}}{5.6 \times 10^{-11}} = 154 \, N$.

(A) પ્રથમ કિસ્સો: કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$\eta = 1 - \frac{100}{300} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
બીજો કિસ્સો: બે એન્જિન શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે એન્જિનની કુલ કાર્યક્ષમતા $\eta_{\text{net}} = \eta_1 + \eta_2 - \eta_1 \eta_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$300 \, K$ અને $200 \, K$ વચ્ચે કાર્ય કરતા પ્રથમ એન્જિન $(E_1)$ માટે,$\eta_1 = 1 - \frac{200}{300} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$200 \, K$ અને $100 \, K$ વચ્ચે કાર્ય કરતા બીજા એન્જિન $(E_2)$ માટે,$\eta_2 = 1 - \frac{100}{200} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
હવે,કુલ કાર્યક્ષમતાની ગણતરી કરતા: $\eta_{\text{net}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{2+3-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
આમ,બીજા કિસ્સામાં કાર્યક્ષમતા પ્રથમ કિસ્સા જેટલી જ છે.

(B) વિધાન $A$ ખોટું છે કારણ કે ઊર્જા દરેક સ્વતંત્રતાની માત્રામાં સ્વતંત્ર રીતે સંગ્રહિત થાય છે,$n^2$ તરીકે નહીં.
વિધાન $B$ સાચું છે,જે ઊર્જાના સમવિભાજનના નિયમ (Law of Equipartition of Energy) મુજબ છે,જે જણાવે છે કે દરેક સ્વતંત્રતાની માત્રા આંતરિક ઊર્જામાં પ્રતિ મોલ $\frac{1}{2} RT$ ફાળો આપે છે.
વિધાન $C$ ખોટું છે કારણ કે એક પરમાણ્વીય વાયુના અણુમાં $0$ ભ્રમણીય સ્વતંત્રતાની માત્રા હોય છે,જ્યારે દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુમાં $2$ ભ્રમણીય સ્વતંત્રતાની માત્રા હોય છે.
વિધાન $D$ સાચું છે. $CH_{4}$ એ અ-રેખીય બહુ-પરમાણ્વીય અણુ છે. $N$ પરમાણુઓ ધરાવતા અ-રેખીય અણુ માટે કુલ સ્વતંત્રતાની માત્રા $f = 3N$ હોય છે. $CH_{4}$ માટે,$N=5$,તેથી $f = 3 \times 5 = 15$. જો કે,જો આપણે મધ્યમ તાપમાને દ્રઢ અણુઓને ધ્યાનમાં લઈએ,તો સ્વતંત્રતાની માત્રા $3$ (સ્થાનાંતરીય) $+ 3$ (ભ્રમણીય) $= 6$ થાય છે. આમ,દ્રઢ પદાર્થ ગતિશાસ્ત્રના સંદર્ભમાં $D$ સાચું ગણાય છે.
તેથી,$B$ અને $D$ સાચા વિધાનો છે.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F/A}{\Delta l/L} = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta l}$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને વિસ્તરણ અને લોડનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta l}{F} = \frac{L}{YA}$ મળે છે.
અહીં,આલેખમાં $y$-અક્ષ પર $\frac{\Delta l}{F}$ અને $x$-અક્ષ પર $L$ લેવામાં આવ્યા છે.
આ આલેખનો ઢાળ $m = \frac{\Delta l/F}{L} = \frac{1}{YA}$ છે.
આલેખ પરથી,આપણે ઢાળ $m = \frac{0.25 \times 10^{-5}}{1} = 0.25 \times 10^{-5}\,m/N$ ગણી શકીએ છીએ.
આપેલ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 2\,mm^2 = 2 \times 10^{-6}\,m^2$ છે.
આ કિંમતોને ઢાળના સમીકરણમાં મૂકતા: $0.25 \times 10^{-5} = \frac{1}{Y \times 2 \times 10^{-6}}$.
$Y = \frac{1}{0.25 \times 10^{-5} \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.5 \times 10^{-11}} = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$.
આને $x \times 10^{11}\,N/m^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(D) $n^{\text{th}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{nv}{2L} = 400\,Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(n+1)^{\text{th}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_{n+1} = \frac{(n+1)v}{2L} = 450\,Hz$ છે.
ક્રમિક હાર્મોનિક્સ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta f = f_{n+1} - f_n = \frac{v}{2L} = 450 - 400 = 50\,Hz$ છે.
આપેલ લંબાઈ $L = 0.3\,m$ માટે,$\frac{v}{2(0.3)} = 50$,જેનો અર્થ છે કે $v = 50 \times 0.6 = 30\,m/s$.
તરંગની ઝડપ $v$ એ તણાવ $T$ અને રેખીય દળ ઘનતા $\mu$ સાથે $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
કિંમતો મૂકતા: $30 = \sqrt{\frac{2700}{\mu}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $900 = \frac{2700}{\mu}$.
તેથી,$\mu = \frac{2700}{900} = 3\,kg/m$.

(D) ધારો કે $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે,$P_2$ એ બે પરપોટા વચ્ચેના વિસ્તારમાં દબાણ છે,અને $P_1$ એ નાના પરપોટાની અંદરનું દબાણ છે.
$R_2 = 6\,cm$ ત્રિજ્યાના બહારના પરપોટા માટે,વધારાનું દબાણ $P_2 - P_0 = \frac{4T}{R_2} = \frac{4T}{6}$ છે.
$R_1 = 3\,cm$ ત્રિજ્યાના અંદરના પરપોટા માટે,વધારાનું દબાણ $P_1 - P_2 = \frac{4T}{R_1} = \frac{4T}{3}$ છે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને વાતાવરણની સાપેક્ષમાં નાના પરપોટાની અંદરનું કુલ વધારાનું દબાણ મળે છે:
$P_1 - P_0 = (P_1 - P_2) + (P_2 - P_0) = \frac{4T}{3} + \frac{4T}{6} = \frac{8T + 4T}{6} = \frac{12T}{6} = 2T$.
$r$ ત્રિજ્યાના એકલ સાબુના પરપોટા માટે,વધારાનું દબાણ $P_{excess} = \frac{4T}{r}$ છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $\frac{4T}{r} = 2T$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{4}{2} = 2\,cm$.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ ગતિ ઉર્જા (સ્થાનાંતરિત + ભ્રમણીય) માં થતા વધારા બરાબર હોય છે.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{1}{2}mR^2$ છે. દોરી સરક્યા વિના ઉકેલાતી હોવાથી,$v = R\omega$ શરતનું પાલન થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{v}{R}$.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2$
$mgh = \frac{3}{4}mv^2$
$gh = \frac{3}{4}v^2$
અહીં $g = 10\,ms^{-2}$ અને $v = 4\,ms^{-1}$ આપેલ છે:
$10h = \frac{3}{4}(4)^2$
$10h = \frac{3}{4} \times 16$
$10h = 12$
$h = 1.2\,m = 120\,cm$.

(C) $1$. $A$ થી $B$ સુધીની ગતિ: બ્લોકને $u$ વેગથી પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે જેથી તે બરાબર $B$ સુધી પહોંચે $(v=0)$. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $\frac{1}{2}mu^2 = mgh$. તેથી, $u = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = 10\sqrt{2} \ m/s$.
$2$. ઢળતા સમતલ $AB$ પર પ્રવેગ $a_1 = -g \sin 45^{\circ} = -\frac{10}{\sqrt{2}} \ m/s^2$ છે.
$3$. $v = u + a_1t_1$ નો ઉપયોગ કરતા, $0 = 10\sqrt{2} - \frac{10}{\sqrt{2}}t_1$, જે આપણને $t_1 = 2 \ s$ આપે છે.
$4$. $B$ થી $C$ સુધીની ગતિ: બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u=0)$ શરૂ થાય છે અને ઢળતા સમતલ $BC$ પર નીચે સરકે છે. $BC$ ની લંબાઈ $L = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = \frac{10}{0.5} = 20 \ m$ છે.
$5$. $BC$ પર પ્રવેગ $a_2 = g \sin 30^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5 \ m/s^2$ છે.
$6$. $s = ut_2 + \frac{1}{2}a_2t_2^2$ નો ઉપયોગ કરતા, $20 = 0 + \frac{1}{2}(5)t_2^2$, તેથી $t_2^2 = 8$, જેનો અર્થ છે કે $t_2 = 2\sqrt{2} \ s$.
$7$. કુલ સમય $T = t_1 + t_2 = 2 + 2\sqrt{2} = 2(\sqrt{2} + 1) \ s$.
$8$. $t(\sqrt{2}+1)$ સાથે સરખાવતા, આપણને $t = 2$ મળે છે.

(B) ટોર્ક $(\tau)$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[\tau] = [M^1 L^2 T^{-2}]$ છે.
ભૂલના પ્રસરણના સિદ્ધાંત મુજબ,જો કોઈ ભૌતિક રાશિ $X = M^a L^b T^c$ દ્વારા આપવામાં આવે,તો સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta X}{X} = a \frac{\Delta M}{M} + b \frac{\Delta L}{L} + c \frac{\Delta T}{T}$ થાય છે.
અહીં દળ,લંબાઈ અને સમયમાં પ્રતિશત ત્રુટિ દરેક $5 \%$ છે,એટલે કે $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 5 \%$,$\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 5 \%$ અને $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = 5 \%$.
ટોર્કમાં પ્રતિશત ત્રુટિ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\frac{\Delta \tau}{\tau} \times 100 = (1 \times \% M) + (2 \times \% L) + (2 \times \% T)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta \tau}{\tau} \times 100 = 1(5 \%) + 2(5 \%) + 2(5 \%)$
$\frac{\Delta \tau}{\tau} \times 100 = 5 \% + 10 \% + 10 \% = 25 \%$.

(A) બુલેટ નીચેની તરફ ગતિ કરી રહી છે. ધારો કે નીચેની દિશા ઋણ છે. પ્રારંભિક વેગ $u = -100\,m/s$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$ નીચેની તરફ છે,તેથી $a = -10\,m/s^2$ છે.
કોઈપણ સમયે $t$ ($0 \le t \le 10\,s$ માટે) વેગ $v = u + at = -100 - 10t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 0\,s$ પર,$v = -100\,m/s$ છે.
$t = 10\,s$ પર,$v = -100 - 10(10) = -200\,m/s$ છે.
$t = 10\,s$ પછી,બુલેટ જમીન સાથે અથડાય છે અને સ્થિર થઈ જાય છે,તેથી $10\,s < t \le 20\,s$ માટે $v = 0$ છે.
આલેખ $-100\,m/s$ થી શરૂ થાય છે,$t = 10\,s$ પર $-200\,m/s$ સુધી રેખીય રીતે ઘટે છે,અને પછી $t = 10\,s$ થી $t = 20\,s$ સુધી $0$ પર રહે છે. આ વિકલ્પ $A$ માં આપેલા આલેખને અનુરૂપ છે.

(D) આપેલ છે: દળના વહનનો દર $\frac{dm}{dt} = 0.5 \, kg s^{-1}$,બેલ્ટનો વેગ $v = 5 \, m s^{-1}$.
જ્યારે રેતી બેલ્ટ પર પડે છે,ત્યારે બેલ્ટે રેતીને બેલ્ટના વેગ જેટલી ગતિ આપવા માટે બળ લગાડવું પડે છે.
અચળ વેગ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી બળ એ થ્રસ્ટ ફોર્સ જેટલું હોય છે: $F = \frac{dm}{dt} \times v$.
$F = 0.5 \, kg s^{-1} \times 5 \, m s^{-1} = 2.5 \, N$.
બેલ્ટને અચળ વેગથી ગતિશીલ રાખવા માટે જરૂરી પાવર $P = F \times v$ છે.
$P = 2.5 \, N \times 5 \, m s^{-1} = 12.5 \, W$.

(B) જ્યારે બેગને બેલ્ટ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu N = \mu mg$ અનુભવે છે.
આ બળ બેગને બેલ્ટની ગતિની દિશામાં $a = f_k / m = \mu g$ જેટલો પ્રવેગ આપે છે.
અહીં $\mu = 0.4$ અને $g = 10\,m/s^2$ આપેલ છે,તેથી પ્રવેગ $a = 0.4 \times 10 = 4\,m/s^2$ થશે.
બેલ્ટના સંદર્ભમાં,બેગનો પ્રારંભિક વેગ $u = 2\,m/s$ (બેલ્ટની સાપેક્ષમાં) છે અને અંતિમ વેગ $v = 0$ (જ્યારે તે લપસવાનું બંધ કરે છે) છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા (જ્યાં $s$ એ બેલ્ટની સાપેક્ષ અંતર છે):
$0^2 = 2^2 - 2(4)s$
$0 = 4 - 8s$
$8s = 4$
$s = 0.5\,m$.

(B) પ્રારંભિક ઊંચાઈઓ $h_{1} = 1.0\,m$ અને $h_{2} = 1.5\,m$ છે. આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 16\,cm^{2} = 16 \times 10^{-4}\,m^{2}$ છે.
જ્યારે તેમને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંને પાત્રોમાં અંતિમ ઊંચાઈ $h$ એ પ્રારંભિક ઊંચાઈઓની સરેરાશ હશે: $h = \frac{h_{1} + h_{2}}{2} = \frac{1.0 + 1.5}{2} = 1.25\,m$.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ઘટાડા જેટલું હોય છે: $W = U_{i} - U_{f}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $U_{i} = (m_{1}g \frac{h_{1}}{2}) + (m_{2}g \frac{h_{2}}{2}) = \rho A h_{1} g \frac{h_{1}}{2} + \rho A h_{2} g \frac{h_{2}}{2} = \frac{\rho A g}{2} (h_{1}^{2} + h_{2}^{2})$.
અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_{f} = (m_{1}+m_{2})g \frac{h}{2} = (2 \rho A h) g \frac{h}{2} = \rho A g h^{2} = \rho A g (\frac{h_{1}+h_{2}}{2})^{2}$.
$W = \frac{\rho A g}{2} [h_{1}^{2} + h_{2}^{2} - 2(\frac{h_{1}+h_{2}}{2})^{2}] = \frac{\rho A g}{4} [2h_{1}^{2} + 2h_{2}^{2} - (h_{1}+h_{2})^{2}] = \frac{\rho A g}{4} (h_{1}-h_{2})^{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{10^{3} \times 16 \times 10^{-4} \times 10}{4} (1.5 - 1.0)^{2} = \frac{16}{4} (0.5)^{2} = 4 \times 0.25 = 1\,J$.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E = -\frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે $E \propto \frac{m}{r}$.
અહીં દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_A}{m_B} = \frac{4}{3}$ અને ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_A}{r_B} = \frac{3r}{4r} = \frac{3}{4}$ આપેલ છે.
તેથી,$A$ અને $B$ ની કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_A}{E_B} = \frac{m_A}{m_B} \times \frac{r_B}{r_A}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_A}{E_B} = \frac{4}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{16}{9}$.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,સ્ટીલના સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર એ કોપરના સળિયામાંથી પસાર થતા ઉષ્માના દર જેટલો હોવો જોઈએ.
$\frac{dQ}{dt} = \frac{K_{1} A_{1} (T_{1} - T)}{L_{1}} = \frac{K_{2} A_{2} (T - T_{2})}{L_{2}}$
આપેલ છે: $T_{1} = 450^{\circ}C$,$T_{2} = 0^{\circ}C$,$\frac{K_{2}}{K_{1}} = 9$,$\frac{A_{1}}{A_{2}} = 2$,$\frac{L_{1}}{L_{2}} = 2$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{450 - T}{T - 0} = \frac{K_{2}}{K_{1}} \times \frac{A_{2}}{A_{1}} \times \frac{L_{1}}{L_{2}}$
$\frac{450 - T}{T} = 9 \times \frac{1}{2} \times 2 = 9$
$450 - T = 9T$
$10T = 450$
$T = 45^{\circ}C$

(A) $A.$ ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt} \propto \Delta T$ છે. જો $\Delta T$ બમણું થાય,તો ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર બમણો થાય છે. તેથી,$A$ સાચું છે.
$B.$ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma e A T^4$ છે. ઉત્સર્જિત વિકિરણનો ગુણોત્તર $\frac{H_P}{H_Q} = \left(\frac{T_P}{T_Q}\right)^4$ છે. તાપમાનને કેલ્વિનમાં ફેરવતા: $T_P = 10 + 273 = 283 K$ અને $T_Q = 20 + 273 = 293 K$. આમ,$\frac{H_P}{H_Q} = \left(\frac{283}{293}\right)^4 \approx 0.87$. જોકે,$1.035^4 \approx 1.15$ નો ઉપયોગ કરતા,$1:1.15$ સાચું છે. તેથી,$B$ સાચું છે.
$C.$ કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H} = 1 - \frac{100}{400} = 0.75$ એટલે કે $75\%$. તેથી,$C$ સાચું છે.
$D.$ કારણ કે $\frac{dQ}{dt} \propto \Delta T$,જો $\Delta T$ ચાર ગણું થાય,તો ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર ચાર ગણો થાય,બમણો નહીં. તેથી,$D$ ખોટું છે.
આમ,વિધાનો $A, B$ અને $C$ સાચા છે.

(C) વાયુના ગતિવાદ $(KTG)$ મુજબ:
$1$. વાયુના અણુઓનો $r.m.s.$ વેગ $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે તાપમાન $T$ અને મોલર દળ $M_m$ બંને પાત્રો માટે સમાન છે,તેથી $r.m.s.$ વેગ સમાન રહેશે. આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
$2$. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = NkT$ પરથી,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે અને $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,આપણને $P = \frac{NkT}{V}$ મળે છે. કારણ કે $V$,$T$ અને $k$ અચળ છે,તેથી $P \propto N$. તેથી,દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{N_1}{N_2} = 1:4$ થશે. આમ,વિધાન $B$ સાચું છે.
વિધાન $A$ અને $B$ સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ છે: $1\,MSD = 1\,mm = 0.1\,cm$.
$10\,VSD = 9\,MSD$,તેથી $1\,VSD = 0.9\,MSD = 0.9\,mm = 0.09\,cm$.
લીસ્ટ કાઉન્ટ $(L.C.) = 1\,MSD - 1\,VSD = 1\,mm - 0.9\,mm = 0.1\,mm = 0.01\,cm$.
ધન શૂન્ય ત્રુટિ $= + (4 \times L.C.) = + (4 \times 0.01\,cm) = +0.04\,cm$.
અવલોકન કરેલ રીડિંગ $= \text{મુખ્ય સ્કેલ રીડિંગ} + (\text{વર્નિયર સુસંગતતા} \times L.C.) = 4.1\,cm + (6 \times 0.01\,cm) = 4.16\,cm$.
સાચો વ્યાસ $= \text{અવલોકન કરેલ રીડિંગ} - \text{શૂન્ય ત્રુટિ} = 4.16\,cm - 0.04\,cm = 4.12\,cm$.
$4.12\,cm = 412 \times 10^{-2\,cm}$.

(C) $SHM$ ની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મધ્યમાન સ્થાન પર સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે,તેથી કુલ ઉર્જા સંપૂર્ણપણે ગતિ ઉર્જા હોય છે: $E = \frac{p^2}{2m}$,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
જ્યારે મધ્યમાન સ્થાન પર દળ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે વેગ $v$ બદલાય છે,પરંતુ દળના ત્વરિત મૂકવા દરમિયાન વેગમાન $p$ સંરક્ષિત રહે છે.
પ્રારંભિક દળ $m_1 = 0.9 \, kg = 900 \, g$. અંતિમ દળ $m_2 = 900 \, g + 124 \, g = 1024 \, g$.
કારણ કે $E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{p^2}{2m}$,અચળ વેગમાન $p$ માટે $A \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ થાય.
તેથી,$\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} = \sqrt{\frac{1024}{900}} = \frac{32}{30} = \frac{16}{15}$.
આપેલ છે કે $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\alpha}{\alpha-1} = \frac{16}{16-1}$.
પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $\alpha = 16$ મળે છે.

(C) શીયર મોડ્યુલસ $\eta$ નું સૂત્ર: $\eta = \frac{F/A}{x/L}$,જ્યાં $F$ એ શીયરિંગ બળ છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે જેના પર બળ લાગે છે,$x$ એ સ્થાનાંતર છે અને $L$ એ સ્લેબની બાજુની લંબાઈ છે.
સ્થાનાંતર $x$ માટે સૂત્ર: $x = \frac{F \cdot L}{A \cdot \eta}$.
આપેલ છે: $F = 18.0 \times 10^{4} \, N$,$L = 60 \, cm = 0.6 \, m$,જાડાઈ $t = 15 \, cm = 0.15 \, m$,અને $\eta = 25 \times 10^{9} \, N m^{-2}$.
સાંકડી સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = L \times t = 0.6 \, m \times 0.15 \, m = 0.09 \, m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{18.0 \times 10^{4} \times 0.6}{0.09 \times 25 \times 10^{9}}$.
$x = \frac{10.8 \times 10^{4}}{2.25 \times 10^{9}} = 4.8 \times 10^{-5} \, m = 48 \times 10^{-6} \, m = 48 \, \mu m$.

(A) લાગતું ટોર્ક $\tau = F \cdot r = (12t - 3t^2) \cdot 1.5 = 18t - 4.5t^2$ છે.
$\tau = I\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,$18t - 4.5t^2 = 4.5\alpha$,તેથી $\alpha = 4t - t^2$ મળે.
$\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ હોવાથી,કોણીય વેગ શોધવા માટે સંકલન કરતા: $\omega = \int (4t - t^2) dt = 2t^2 - \frac{t^3}{3}$.
જ્યારે $\omega = 0$ થાય ત્યારે ગતિની દિશા ઉલટાય છે,તેથી $t^2(2 - \frac{t}{3}) = 0$,જેનો ઉકેલ $t = 6\,s$ મળે છે.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = \int_{0}^{6} (2t^2 - \frac{t^3}{3}) dt = [\frac{2t^3}{3} - \frac{t^4}{12}]_{0}^{6} = \frac{2(216)}{3} - \frac{1296}{12} = 144 - 108 = 36\,rad$.
પરિભ્રમણોની સંખ્યા $N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{36}{2\pi} = \frac{18}{\pi}$ છે.
$\frac{K}{\pi}$ સાથે સરખાવતા,$K = 18$ મળે છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u_1$ છે અને બીજા દડાનો $u_2$ છે.
શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા પ્રથમ દડા માટે,ઉડ્ડયન સમય $T_1 = \frac{2u_1}{g}$ છે.
શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા બીજા દડા માટે,વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_{2y} = u_2 \cos \theta$ છે. ઉડ્ડયન સમય $T_2 = \frac{2u_2 \cos \theta}{g}$ છે.
આપેલ છે કે $T_1 = T_2$,તેથી $u_1 = u_2 \cos \theta$.
પ્રથમ દડા દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_1 = \frac{u_1^2}{2g}$ છે.
બીજા દડા દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_2 = \frac{(u_2 \cos \theta)^2}{2g} = \frac{u_2^2 \cos^2 \theta}{2g}$ છે.
જેમ કે $u_1 = u_2 \cos \theta$,તેથી $H_1 = H_2$ થાય છે.
ઊંચાઈનો ગુણોત્તર $\frac{H_1}{H_2} = 1 = \frac{1}{x}$ છે.
તેથી,$x = 1$.

(D) કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ પરિમાણરહિત રાશિ છે. તેથી,$[\eta] = [M^0 L^0 T^0]$.
સમીકરણ $\eta = \frac{\alpha \beta}{\sin \theta} \log_{e} \frac{\beta x}{k T}$ માં,લોગેરિધમનો આર્ગ્યુમેન્ટ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ. તેથી,$[\frac{\beta x}{k T}] = [M^0 L^0 T^0]$.
કારણ કે $[k T] = \text{ઉર્જા} = [M L^2 T^{-2}]$ અને $[x] = [L]$,તેથી $[\beta] = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[L]} = [M L T^{-2}]$,જે બળનું પરિમાણ છે.
હવે,$\eta$ અને $\sin \theta$ બંને પરિમાણરહિત હોવાથી,પદ $\frac{\alpha \beta}{\sin \theta}$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ. તેથી,$[\alpha \beta] = [M^0 L^0 T^0]$.
જેથી $[\alpha] = [M^{-1} L^{-1} T^2]$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$: $[\beta] = [M L T^{-2}]$ (બળ),જે સાચું છે.
$B$: $[\alpha^{-1} x] = [M L T^{-2} \cdot L] = [M L^2 T^{-2}]$ (ઉર્જા),જે સાચું છે.
$C$: $[\eta^{-1} \sin \theta] = [1] = [\alpha \beta]$,જે સાચું છે.
$D$: $[\alpha] = [M^{-1} L^{-1} T^2]$ અને $[\beta] = [M L T^{-2}]$. આ બંને સમાન નથી. તેથી,આ ખોટો વિકલ્પ છે.

(B) કોઈપણ સમયે $t$ પર કણનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}(t) = x(t) \hat{i} + y(t) \hat{j} + z(t) \hat{k}$ છે.
આપેલ છે કે $x = 3t$,$y = 5t^3$,અને $z = 7$ (અચળ).
તેથી,$\vec{r}(t) = 3t \hat{i} + 5t^3 \hat{j} + 7 \hat{k}$.
વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ સ્થાનનું સમયની સાપેક્ષે પ્રથમ વિકલન છે: $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(3t) \hat{i} + \frac{d}{dt}(5t^3) \hat{j} + \frac{d}{dt}(7) \hat{k} = 3 \hat{i} + 15t^2 \hat{j}$.
પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(3) \hat{i} + \frac{d}{dt}(15t^2) \hat{j} = 0 \hat{i} + 30t \hat{j}$.
$t = 1 \, \text{s}$ પર,પ્રવેગ $\vec{a} = 30(1) \hat{j} = 30 \hat{j} \, \text{cm/s}^2$ થશે.

(B) $N$ આંટા અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર $i$ વિદ્યુતપ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{N \mu_{0} i}{2 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કોઈલ માટે: $B_{1} = \frac{N_{1} \mu_{0} i}{2 R_{1}}$,જ્યાં $N_{1} = 2$.
જ્યારે તારને ખોલીને ફરીથી વીંટાળવામાં આવે છે,ત્યારે તારની કુલ લંબાઈ $L = N_{1} (2 \pi R_{1}) = N_{2} (2 \pi R_{2})$ અચળ રહે છે.
તેથી,$R_{2} = R_{1} \frac{N_{1}}{N_{2}} = R_{1} \frac{2}{5}$.
બીજી કોઈલ માટે: $B_{2} = \frac{N_{2} \mu_{0} i}{2 R_{2}}$,જ્યાં $N_{2} = 5$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{B_{2}}{B_{1}} = \frac{N_{2}}{N_{1}} \times \frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{N_{2}}{N_{1}} \times \frac{N_{2}}{N_{1}} = \left( \frac{N_{2}}{N_{1}} \right)^{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{B_{2}}{B_{1}} = \left( \frac{5}{2} \right)^{2} = \frac{25}{4}$.

(A) $R_{1}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અલગ વાહક ગોળાનું કેપેસિટન્સ $C_{1} = 4 \pi \varepsilon_{0} R_{1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે આ ગોળાને પૃથ્વી સાથે જોડાયેલા $R_{2}$ ત્રિજ્યાના સમકેન્દ્રી વાહક ગોળા દ્વારા આવરી લેવામાં આવે છે,ત્યારે આ તંત્ર એક ગોળીય કેપેસિટર બનાવે છે. નવું કેપેસિટન્સ $C_{2} = \frac{4 \pi \varepsilon_{0} R_{1} R_{2}}{R_{2} - R_{1}}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવું કેપેસિટન્સ મૂળ કેપેસિટન્સ કરતાં $n$ ગણું છે: $C_{2} = n C_{1}$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{4 \pi \varepsilon_{0} R_{1} R_{2}}{R_{2} - R_{1}} = n (4 \pi \varepsilon_{0} R_{1})$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{R_{2}}{R_{2} - R_{1}} = n$.
ડાબી બાજુના અંશ અને છેદને $R_{1}$ વડે ભાગતા: $\frac{R_{2}/R_{1}}{(R_{2}/R_{1}) - 1} = n$.
ધારો કે $x = \frac{R_{2}}{R_{1}}$. તો $\frac{x}{x - 1} = n$.
$x = n(x - 1) \Rightarrow x = nx - n \Rightarrow n = nx - x \Rightarrow n = x(n - 1)$.
તેથી,$x = \frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{n}{n - 1}$.

(D) $V$ સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત વીજભારિત કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{d}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ આપેલ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{d}} = \sqrt{\frac{m_{d} q_{d} V_{d}}{m_{p} q_{p} V_{p}}}$ મળે.
પ્રોટોન માટે,$m_{p} = m$ અને $q_{p} = e$. ડ્યુટેરોન માટે,$m_{d} = 2m$ અને $q_{d} = e$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{(2m)(e)V_{d}}{(m)(e)V_{p}}} = \sqrt{\frac{2V_{d}}{V_{p}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{2} = \frac{2V_{d}}{V_{p}}$.
તેથી,$\frac{V_{p}}{V_{d}} = 4$,એટલે કે $4 : 1$.

(B) $1$. પ્રારંભિક સ્થિતિ માટે લેન્સનું સૂત્ર લાગુ પાડતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
અહીં $v = 12\,cm = 0.12\,m$ અને $u = -2.4\,m$ છે:
$\frac{1}{0.12} - \frac{1}{-2.4} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{100}{12} + \frac{1}{2.4} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{25}{3} + \frac{1}{2.4} = \frac{20+1}{2.4} = \frac{21}{2.4} = \frac{1}{f} \Rightarrow f = \frac{2.4}{21} = \frac{0.8}{7}\,m$.
$2$. જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી કાચની સ્લેબ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રતિબિંબ $\Delta x = t(1 - \frac{1}{\mu})$ જેટલું ખસે છે.
$\Delta x = 1\,cm \times (1 - \frac{1}{1.5}) = 1\,cm \times (1 - \frac{2}{3}) = \frac{1}{3}\,cm$.
$3$. પડદા પર પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે નવું પ્રતિબિંબ અંતર $v' = 12\,cm - \frac{1}{3}\,cm = \frac{35}{3}\,cm = \frac{35}{300}\,m = \frac{7}{60}\,m$ થશે.
$4$. નવા વસ્તુ અંતર $u'$ માટે ફરીથી લેન્સનું સૂત્ર લાગુ પાડતા:
$\frac{1}{v'} - \frac{1}{u'} = \frac{1}{f}$
$\frac{60}{7} - \frac{1}{u'} = \frac{210}{24} = \frac{35}{4}$
$\frac{1}{u'} = \frac{60}{7} - \frac{35}{4} = \frac{240 - 245}{28} = -\frac{5}{28}$
$u' = -\frac{28}{5} = -5.6\,m$.
$5$. વસ્તુના સ્થાનમાં ફેરફાર $|u' - u| = |-5.6 - (-2.4)| = |-3.2| = 3.2\,m$ છે.

(A) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્રનું સમીકરણ $E_{y} = 540 \sin \pi \times 10^{4}(x - ct) \text{ Vm}^{-1}$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $E = E_{0} \sin(kx - \omega t)$ સાથે સરખાવતા,વિદ્યુતક્ષેત્રનું મહત્તમ મૂલ્ય $E_{0} = 540 \text{ Vm}^{-1}$ મળે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રના મહત્તમ મૂલ્ય $E_{0}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના મહત્તમ મૂલ્ય $B_{0}$ વચ્ચેનો સંબંધ $B_{0} = \frac{E_{0}}{c}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$B_{0} = \frac{540}{3 \times 10^{8}} \text{ T}$.
$B_{0} = 180 \times 10^{-8} \text{ T} = 18 \times 10^{-7} \text{ T}$.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મહત્તમ મૂલ્ય $18 \times 10^{-7} \text{ T}$ છે.

(B) મેટલ ડિટેક્ટરમાં એક $LC$ સર્કિટ હોય છે જે ચોક્કસ રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી પર ટ્યુન કરેલી હોય છે. જ્યારે કોઈ ધાતુની વસ્તુ કોઈલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે સર્કિટના ઇન્ડક્ટન્સમાં ફેરફાર કરે છે,જેનાથી રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી બદલાય છે. આ ફેરફાર સર્કિટ દ્વારા ઓળખવામાં આવે છે,જે એલાર્મ ટ્રિગર કરે છે. આમ,આ ઉપકરણ $AC$ સર્કિટમાં રેઝોનન્સના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની પરિભ્રમણ આવૃત્તિ $f$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{eB}{2 \pi m}$
આપેલ કિંમતો:
ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 1 \times 10^{-4} \, Wb/m^2$
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 9.0 \times 10^{-31} \, kg$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$f = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}}{2 \times 3.14159 \times 9.0 \times 10^{-31}}$
$f = \frac{1.6 \times 10^{-23}}{56.548 \times 10^{-31}}$
$f \approx 0.2829 \times 10^8 \, Hz = 2.8 \times 10^6 \, Hz$
આમ,પરિભ્રમણ આવૃત્તિ $2.8 \times 10^6 \, Hz$ છે.

(D) પરિપથમાં $5\,k\Omega$ નો અવરોધ,$10\,k\Omega$ અને $5\,k\Omega$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે,અને ત્યારબાદ બીજો $10\,k\Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં છે.
પ્રથમ,સમાંતર ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $(R_p)$ ગણો:
$R_p = \frac{10\,k\Omega \times 5\,k\Omega}{10\,k\Omega + 5\,k\Omega} = \frac{50}{15}\,k\Omega = \frac{10}{3}\,k\Omega$.
કુલ પ્રવાહ $I = 15\,mA$ એ $5\,k\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે,પછી સમાંતર શાખાઓમાં વહેંચાય છે,અને અંતે $10\,k\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે.
બિંદુ $A$ થી $B$ સુધીના માર્ગમાં દરેક ઘટક પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના ઘટાડાનો સરવાળો એ $V_{AB}$ છે:
$V_{AB} = I \times R_{5k} + I \times R_p + I \times R_{10k}$
$V_{AB} = (15\,mA \times 5\,k\Omega) + (15\,mA \times \frac{10}{3}\,k\Omega) + (15\,mA \times 10\,k\Omega)$
$V_{AB} = 75\,V + 50\,V + 150\,V = 275\,V$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{Rch}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા એ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(E_n)$ અને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(E_1)$ ની ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$E_{\text{photon}} = E_n - E_1 = \frac{hc}{\lambda}$
ઉર્જાના મૂલ્યો મૂકતા:
$-\frac{Rch}{n^2} - (-\frac{Rch}{1^2}) = \frac{hc}{\lambda}$
બંને બાજુ $hc$ વડે ભાગતા:
$-\frac{R}{n^2} + R = \frac{1}{\lambda}$
પદોને ગોઠવતા:
$R - \frac{1}{\lambda} = \frac{R}{n^2}$
$\frac{\lambda R - 1}{\lambda} = \frac{R}{n^2}$
$n^2 = \frac{\lambda R}{\lambda R - 1}$
તેથી,$n = \sqrt{\frac{\lambda R}{\lambda R - 1}}$.

(B) $n_2$ થી $n_1$ સ્તર પરના સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંક્રમણ $(i)$ માટે $n=3$ થી $n=2$: $E_1 = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \left( \frac{5}{36} \right)$.
સંક્રમણ $(ii)$ માટે $n=\infty$ થી $n=2$: $E_2 = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} \right)$.
ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{13.6(5/36)}{13.6(1/4)} = \frac{5/36}{1/4} = \frac{5}{9}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{x}{x+4}$ હોવાથી,$\frac{x}{x+4} = \frac{5}{9}$ મળે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $9x = 5x + 20$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $4x = 20$ થાય,તેથી $x = 5$.

(B) ધારો કે પોટેન્શિયોમીટર તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ છે.
પ્રથમ કોષ માટે,$E_1 = 1.20\, V$ emf માટે સંતુલન બિંદુ $l_1 = 36\, cm$ પર છે.
$E_1 = k \cdot l_1 \implies 1.20 = k \times 36 \implies k = \frac{1.20}{36} = \frac{1}{30}\, V/cm$.
બીજા કોષ માટે,$E_2 = 1.80\, V$ emf માટે સંતુલન બિંદુ $l_2$ છે.
$E_2 = k \cdot l_2 \implies 1.80 = \frac{1}{30} \times l_2$.
$l_2 = 1.80 \times 30 = 54\, cm$.
સંતુલન લંબાઈમાં તફાવત $\Delta l = l_2 - l_1 = 54 - 36 = 18\, cm$ છે.

(D) જ્યારે $A$ અને $B$ વચ્ચે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એવી રીતે લાગુ કરવામાં આવે કે જેથી $A$ ઉચ્ચ સ્થિતિમાન $(+)$ પર હોય અને $B$ નીચા સ્થિતિમાન $(-)$ પર હોય,ત્યારે ઉપરનો ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસ થાય છે અને શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ) તરીકે વર્તે છે.
નીચેનો ડાયોડ રિવર્સ બાયસ થાય છે અને ઓપન સર્કિટ (અનંત અવરોધ) તરીકે વર્તે છે.
આ સ્થિતિમાં,સર્કિટ $20\,\Omega$ ના અવરોધ અને $15\,\Omega$ ના અવરોધના શ્રેણી જોડાણમાં સરળ બને છે.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 20\,\Omega + 15\,\Omega = 35\,\Omega$ થાય છે.

(C) $1$. પ્રારંભિક સ્થિતિ: $C$ અને $3C$ કેપેસિટર સમાંતર છે અને $18V$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલા છે. સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total}$ છે:
$Q_{total} = (C + 3C) \times 18V = 4C \times 18V = 72CV$.
$2$. બેટરી દૂર કર્યા પછી: કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = 72CV$ અચળ રહે છે કારણ કે સિસ્ટમ અલગ થયેલી છે.
$3$. ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કરવું: $K=9$ અચળાંક ધરાવતું ડાયઇલેક્ટ્રિક $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા કેપેસિટરમાં દાખલ કરવામાં આવે છે. તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C^{\prime} = K \times C = 9C$ થાય છે. બીજું કેપેસિટર $3C$ જ રહે છે.
$4$. અંતિમ સ્થિતિ: કેપેસિટર હજુ પણ સમાંતરમાં છે. ધારો કે નવો સામાન્ય વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V^{\prime}$ છે. સંયોજનનું કુલ કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C^{\prime} + 3C = 9C + 3C = 12C$ છે.
$5$. વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ: $Q_{total} = C_{eq} \times V^{\prime}$
$72CV = 12C \times V^{\prime}$
$V^{\prime} = \frac{72CV}{12C} = 6V$.

(D) લેન્સ માટે,લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
અહીં $u = -60\,cm$ અને $f = +20\,cm$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{v} - \frac{1}{-60} = \frac{1}{20}$.
$\frac{1}{v} + \frac{1}{60} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{60} = \frac{3-1}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$.
તેથી,$v = 30\,cm$. આ પ્રતિબિંબ લેન્સની પાછળ $30\,cm$ અંતરે રચાય છે.
અંતિમ પ્રતિબિંબ વસ્તુ પર જ સંપાત થાય તે માટે,કિરણો અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થવા જોઈએ. આ ત્યારે જ શક્ય છે જો કિરણો અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર $(C)$ તરફ નિર્દેશિત હોય.
અરીસાથી પ્રતિબિંબનું અંતર $30\,cm - 10\,cm = 20\,cm$ છે. આમ,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 20\,cm$.
અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f_m = \frac{R}{2} = \frac{20}{2} = 10\,cm$ થાય.

(D) આપેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 8t^2 - 9t + 5$ છે.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\varepsilon = -\frac{d}{dt}(8t^2 - 9t + 5) = -(16t - 9) = 9 - 16t$.
$t = 0.25\,s$ સમયે,પ્રેરિત $emf$ $\varepsilon = 9 - 16(0.25) = 9 - 4 = 5\,V$ થાય.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I$ નું મૂલ્ય $I = \frac{|\varepsilon|}{R}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ અવરોધ $R = 20\,\Omega$ હોવાથી,$I = \frac{5\,V}{20\,\Omega} = 0.25\,A$.
મિલીએમ્પિયર $(mA)$ માં ફેરવતા,$I = 0.25 \times 1000\,mA = 250\,mA$.

(A) ઇલેક્ટ્રિક ડિસ્પ્લેસમેન્ટ વેક્ટર $\overrightarrow{D} = \epsilon_{0} \overrightarrow{E}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
ઇલેક્ટ્રિક ડિસ્પ્લેસમેન્ટનું પરિમાણીય વિશ્લેષણ: $[D] = [\epsilon_{0}][E]$.
કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ સાથે $E = \frac{\sigma}{\epsilon_{0}}$ દ્વારા સંબંધિત છે,તેથી આપણને $\epsilon_{0} E = \sigma$ મળે છે.
આથી,ઇલેક્ટ્રિક ડિસ્પ્લેસમેન્ટ $[D]$ ના પરિમાણો એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $[\sigma]$ ના પરિમાણો જેટલા જ છે.
બંનેના પરિમાણો $[Q L^{-2}]$ છે,જ્યાં $Q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $L$ એ લંબાઈ છે.

(A) કેપેસીટર માટે વિદ્યુતભાર $(Q)$,કેપેસીટન્સ $(C)$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $(V)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Q = CV$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત માટે આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $V = \frac{1}{C} Q$.
આ સમીકરણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા દર્શાવે છે,જ્યાં રેખાનો ઢાળ $\frac{1}{C}$ છે.
અહીં $C = 2\,\mu F = 2 \times 10^{-6}\,F$ અને મહત્તમ વિદ્યુતભાર $Q = 5\,C$ આપેલ છે,તેથી મહત્તમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V = \frac{Q}{C} = \frac{5}{2 \times 10^{-6}} = 2.5 \times 10^{6}\,V$.
આમ,આલેખ $(0,0)$ થી શરૂ થઈને $(5, 2.5 \times 10^{6})$ પર પૂરી થતી એક સીધી રેખા હોવી જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આલેખ $A$ આ રેખીય સંબંધને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારીત કણ માટે વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB}$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$mv = \sqrt{2mK}$ મળે.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા,$R = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ મળે.
વિદ્યુતભાર $q$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$q = \frac{\sqrt{2mK}}{RB}$ મળે.
અહીં $K$ અને $B$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,વિદ્યુતભારોનો ગુણોત્તર $\frac{q_1}{q_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} \times \frac{R_2}{R_1}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{R_1}{R_2} = \frac{6}{5}$ અને $\frac{m_1}{m_2} = \frac{9}{4}$,તેથી $\frac{q_1}{q_2} = \sqrt{\frac{9}{4}} \times \frac{5}{6} = \frac{3}{2} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.

(C) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટની અનુનાદિત આવૃત્તિ $f_r$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
અનુનાદિત આવૃત્તિ $f_r$ વધારવા માટે,$LC$ નો ગુણાકાર ઘટવો જોઈએ.
જ્યારે કેપેસિટરને અસ્તિત્વમાં રહેલા કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ એ $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આના પરિણામે કુલ કેપેસિટન્સમાં ઘટાડો થાય છે $(C_{eq} < C_1)$.
કારણ કે $f_r \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$,તેથી કુલ કેપેસિટન્સમાં ઘટાડો થવાથી અનુનાદિત આવૃત્તિમાં વધારો થાય છે.

(C) ધારો કે $L$ બાજુવાળી બહારની ચોરસ લૂપમાંથી $I$ પ્રવાહ વહે છે. તેના કેન્દ્ર $O$ પર આ લૂપ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ તેની ચાર બાજુઓને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = 4 \times \left( \frac{\mu_{0} I}{4 \pi (L/2)} \times (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) \right) = 4 \times \left( \frac{\mu_{0} I}{2 \pi L} \times 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{2 \sqrt{2} \mu_{0} I}{\pi L}$.
$L \gg l$ હોવાથી,આપણે ધારી શકીએ છીએ કે આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર નાની આંતરિક લૂપના ક્ષેત્રફળ પર સમાન છે.
$l$ બાજુવાળી આંતરિક લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ છે:
$\phi = B \times \text{Area} = \left( \frac{2 \sqrt{2} \mu_{0} I}{\pi L} \right) \times l^{2}$.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ને $M = \frac{\phi}{I}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,$M = \frac{2 \sqrt{2} \mu_{0} l^{2}}{\pi L}$.

(B) કેપેસિટરમાં પ્રવાહનું સૂત્ર $I = \frac{V}{X_C}$ છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ છે.
$X_C$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $I = V \omega C$ મળે છે.
કેપેસિટન્સ $C$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$C = \frac{I}{V \omega}$ મળે.
આપેલ કિંમતો $I = 6.9 \times 10^{-6}\,A$,$V = 230\,V$ અને $\omega = 600\,rad/s$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{6.9 \times 10^{-6}}{230 \times 600}$.
$C = \frac{6.9 \times 10^{-6}}{138000} = 0.05 \times 10^{-9}\,F$.
$C = 50 \times 10^{-12}\,F = 50\,pF$.

(A) પ્રાથમિક મેઘધનુષમાં,લાલ રંગ ઉપરના ભાગે અને જાંબલી રંગ નીચેના ભાગે હોય છે કારણ કે લાલ રંગ માટે વિચલન ન્યૂનતમ અને જાંબલી માટે મહત્તમ હોય છે.
પ્રાથમિક મેઘધનુષમાં પ્રકાશનું એક વાર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય છે,જ્યારે ગૌણ મેઘધનુષમાં બે વાર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય છે.
ગૌણ મેઘધનુષમાં બે વાર આંતરિક પરાવર્તનને કારણે વધુ પ્રકાશ ગુમાવાય છે,જેનાથી ગૌણ મેઘધનુષ પ્રાથમિક મેઘધનુષ કરતા ઓછું તેજસ્વી બને છે. તેથી,પ્રાથમિક મેઘધનુષ ગૌણ મેઘધનુષ કરતા વધુ તેજસ્વી હોય છે.

(A) વક્રીભવનાંક $\mu = c/v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $v$ એ માધ્યમમાં ઝડપ છે.
આપેલ છે કે $\mu_{A}/\mu_{B} = 1/2$,તેથી $(c/v_{A}) / (c/v_{B}) = v_{B}/v_{A} = 1/2$,જેનો અર્થ છે કે $v_{A} = 2v_{B}$.
ધારો કે બંને પદાર્થોની જાડાઈ $d$ છે.
પદાર્થમાંથી પસાર થવા માટે લાગતો સમય $t = d/v$ છે.
આપેલ છે કે $t_{2} - t_{1} = 5 \times 10^{-10} \text{ s}$,જ્યાં $t_{1} = d/v_{A}$ અને $t_{2} = d/v_{B}$.
કિંમતો મૂકતા: $d/v_{B} - d/v_{A} = 5 \times 10^{-10}$.
$d(1/v_{B} - 1/v_{A}) = 5 \times 10^{-10}$.
$d((v_{A} - v_{B}) / (v_{A}v_{B})) = 5 \times 10^{-10}$.
$v_{A} = 2v_{B}$ હોવાથી,$d((2v_{B} - v_{B}) / (2v_{B} \cdot v_{B})) = 5 \times 10^{-10}$.
$d(v_{B} / 2v_{B}^{2}) = 5 \times 10^{-10}$.
$d / (2v_{B}) = 5 \times 10^{-10}$.
$d = 10 \times 10^{-10} v_{B} = 10^{-9} v_{B} \text{ m}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$v_{B} = v_{A}/2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $d / (2(v_{A}/2)) = 5 \times 10^{-10} \Rightarrow d/v_{A} = 5 \times 10^{-10} \Rightarrow d = 5 \times 10^{-10} v_{A} \text{ m}$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
$\lambda_1 = 800 \, nm$ માટે,$K_1 = \frac{1230}{800} - \phi = 1.5375 - \phi$ --- $(1)$
$\lambda_2 = 500 \, nm$ માટે,$K_2 = \frac{1230}{500} - \phi = 2.46 - \phi$ --- $(2)$
આપેલ છે કે $K_2 = 2K_1$,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$2.46 - \phi = 2(1.5375 - \phi)$
$2.46 - \phi = 3.075 - 2\phi$
$2\phi - \phi = 3.075 - 2.46$
$\phi = 0.615 \, eV$.

(A) બોહરના અધિતર્ક મુજબ,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L$ નીચે મુજબ ક્વોન્ટાઈઝ્ડ છે:
$L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$
જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,$v$ તેનો વેગ છે,$r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
રેખીય વેગમાન $p = mv$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીએ:
$mv = \frac{nh}{2\pi r}$
તેથી,ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન $\frac{nh}{2\pi r}$ છે.

(B) પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{\mu} = I \vec{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં $v$ ઝડપથી ભ્રમણ કરતા $-e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,સમતુલ્ય પ્રવાહ $I = \frac{-e}{T} = \frac{-ev}{2\pi r}$ છે.
કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
તેથી,$\vec{\mu} = I \vec{A} = \left( \frac{-ev}{2\pi r} \right) (\pi r^2) = \frac{-evr}{2}$.
કક્ષીય કોણીય વેગમાન $\vec{L} = mvr$ છે.
$vr = \frac{L}{m}$ મૂકતા,આપણને $\vec{\mu} = -\frac{e}{2m} \vec{L}$ મળે છે.

(A) આપેલ પરિપથમાં,જો ઇનપુટ $A$ અથવા $B$ માંથી કોઈ પણ $0 \, V$ (તાર્કિક $0$) પર હોય,તો સંબંધિત ડાયોડ ($D_1$ અથવા $D_2$) ફોરવર્ડ બાયસ થાય છે. આ આઉટપુટ સ્થિતિમાન $Y$ ને લગભગ $0 \, V$ (તાર્કિક $0$) પર ખેંચે છે.
જો બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ $5 \, V$ (તાર્કિક $1$) પર હોય,તો બંને ડાયોડ રિવર્સ બાયસ થાય છે. ડાયોડમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,અને આઉટપુટ $Y$ અવરોધ $R$ દ્વારા $5 \, V$ (તાર્કિક $1$) પર ખેંચાય છે.
આ વર્તણૂક $AND$ ગેટને અનુરૂપ છે,જ્યાં આઉટપુટ $1$ ત્યારે જ મળે છે જો બંને ઇનપુટ $1$ હોય. સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

(C) એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા એ તે સપાટી પરના વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ જેટલી હોય છે.
$R$ ત્રિજ્યા અને કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળા માટે,સપાટી પર $(r = R)$ વિદ્યુત ક્ષેત્ર ગૌસના નિયમ મુજબ $E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $q = \rho \times \text{કદ} = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^{3}$,આ કિંમત $E$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = \frac{\rho \times \frac{4}{3} \pi R^{3}}{4 \pi \epsilon_{0} R^{2}} = \frac{\rho R}{3 \epsilon_{0}}$.
અહીં $\rho = 2 \, \mu C \, m^{-3} = 2 \times 10^{-6} \, C \, m^{-3}$,$R = 6 \, m$,અને $\epsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} \, C^{2} N^{-1} m^{-2}$ છે.
$E = \frac{2 \times 10^{-6} \times 6}{3 \times 8.85 \times 10^{-12}} = \frac{12 \times 10^{-6}}{26.55 \times 10^{-12}} \approx 0.4519 \times 10^{12} \, N C^{-1}$.
વિકલ્પો મુજબ નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $45 \times 10^{10} \, N C^{-1}$ મળે છે.

(B) $V_{0}$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે તે નોડ પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ નો ઉપયોગ કરીશું જ્યાં $V_{0}$ વ્યાખ્યાયિત છે.
ધારો કે નોડ વોલ્ટેજ $V_{0}$ છે. ત્રણ સમાંતર શાખાઓમાંથી નોડની બહાર જતા પ્રવાહોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ.
નોડલ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{V_{0}-2}{1 \text{ k}\Omega} + \frac{V_{0}-4}{1 \text{ k}\Omega} + \frac{V_{0}-6}{1 \text{ k}\Omega} = 0$
અવરોધો સમાન હોવાથી,આપણે આખા સમીકરણને $1 \text{ k}\Omega$ વડે ગુણી શકીએ છીએ:
$(V_{0}-2) + (V_{0}-4) + (V_{0}-6) = 0$
$3V_{0} - 12 = 0$
$3V_{0} = 12$
$V_{0} = 4 \text{ V}$

(B) $l$ લંબાઈ અને $d$ વ્યાસ ધરાવતા એક તારનો અવરોધ $r = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi (d/2)^2} = \rho \frac{4l}{\pi d^2}$ છે.
જ્યારે આવા $8$ તાર સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R = \frac{r}{8} = \frac{1}{8} \left( \rho \frac{4l}{\pi d^2} \right) = \frac{\rho l}{2 \pi d^2}$ થાય છે.
$2l$ લંબાઈ અને $d_1$ વ્યાસ ધરાવતા એક તારનો અવરોધ $R$ હોય,તો $R = \rho \frac{2l}{\pi (d_1/2)^2} = \rho \frac{8l}{\pi d_1^2}$ થાય.
$R$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{\rho l}{2 \pi d^2} = \frac{8 \rho l}{\pi d_1^2}$.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{1}{2 d^2} = \frac{8}{d_1^2}$,જેનો અર્થ છે કે $d_1^2 = 16 d^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $d_1 = 4d$ મળે છે.

(A) $LED$ દ્વારા ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે,તરંગલંબાઈ $\lambda = 4000 \, \mathring{A} = 400 \, \text{nm}$.
સંબંધ $E \approx \frac{1240}{\lambda (\text{nm માં})} \, \text{eV}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1240}{400} \, \text{eV} = 3.1 \, \text{eV}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $3 \, \text{eV}$ મળે છે.

(A) $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા ટીવી ટાવરનું કવરેજ અંતર $d = \sqrt{2Rh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R = 6400 \, km$ આપેલ છે.
ટાવર દ્વારા આવરી લેવાયેલ વિસ્તાર $A = \pi d^2 = \pi (2Rh)$ છે.
વસ્તી $P = 6.03 \times 10^5$ અને વસ્તી ગીચતા $\rho = 100 \, \text{people/km}^2$ આપેલ છે.
વિસ્તાર $A = \frac{P}{\rho} = \frac{6.03 \times 10^5}{100} = 6030 \, \text{km}^2$ થાય.
વિસ્તાર માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $6030 = \pi \times 2 \times 6400 \times h$ (જ્યાં $h$ એ $km$ માં છે).
$h = \frac{6030}{2 \times \pi \times 6400} \, km$.
$h = \frac{6030}{40212} \approx 0.150 \, km$.
મીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $h = 0.150 \times 1000 = 150 \, m$.

(B) જ્યારે બે વાહકોને વાહક તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે જ્યાં સુધી તેમના સ્થિતિમાન સમાન ન થાય ત્યાં સુધી વીજભાર વહે છે,એટલે કે $V_A = V_B$.
ગોળાકાર વાહકનું સ્થિતિમાન $V = \frac{KQ}{R}$ હોવાથી,આપણી પાસે $\frac{KQ_A}{R_A} = \frac{KQ_B}{R_B}$ છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{Q_A}{Q_B} = \frac{R_A}{R_B} = \frac{5 \ mm}{10 \ mm} = \frac{1}{2}$.
ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = \frac{KQ}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,વિદ્યુત ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{E_A}{E_B} = \frac{KQ_A / R_A^2}{KQ_B / R_B^2} = \frac{Q_A}{Q_B} \times \left(\frac{R_B}{R_A}\right)^2$ છે.
વીજભારના ગુણોત્તરને મૂકતા: $\frac{E_A}{E_B} = \left(\frac{R_A}{R_B}\right) \times \left(\frac{R_B}{R_A}\right)^2 = \frac{R_B}{R_A}$.
અહીં $R_A = 5 \ mm$ અને $R_B = 10 \ mm$ આપેલ હોવાથી,આપણને $\frac{E_A}{E_B} = \frac{10}{5} = \frac{2}{1}$ મળે છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટેનું આપેલ સમીકરણ $B_{y} = B_{0} \sin(kx - \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $B_{y} = 5 \times 10^{-6} \sin(5000\pi x - 4 \times 10^{11}\pi t)$ સાથે સરખાવતા,ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_{0} = 5 \times 10^{-6} \text{ T}$ મળે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ $c$ અને વિદ્યુત ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_{0}$ તથા ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $B_{0}$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_{0} = c B_{0}$ છે.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^{8} \text{ m/s}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E_{0} = (3 \times 10^{8} \text{ m/s}) \times (5 \times 10^{-6} \text{ T})$
$E_{0} = 15 \times 10^{2} \text{ V/m} = 1500 \text{ V/m}$.

(A) માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $V = \frac{c}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $n$ એ વક્રીભવનાંક છે.
$n = \frac{c}{V}$ હોવાથી,વક્રીભવનાંક એ પ્રકાશની ઝડપના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમ $(M_{1})$ માંથી પાતળા માધ્યમ $(M_{2})$ માં જવો જોઈએ.
ક્રાંતિકોણ $i_{c}$ માટેની શરત $n_{1} \sin i_{c} = n_{2} \sin 90^{\circ}$ છે.
આમ,$\sin i_{c} = \frac{n_{2}}{n_{1}} = \frac{V_{1}}{V_{2}}$.
અહીં $V_{1} = 1.5 \times 10^{8} \text{ m/s}$ અને $V_{2} = 2.0 \times 10^{8} \text{ m/s}$ આપેલ છે.
$\sin i_{c} = \frac{1.5 \times 10^{8}}{2.0 \times 10^{8}} = \frac{1.5}{2.0} = \frac{3}{4}$.
જો $\sin i_{c} = \frac{3}{4}$ હોય,તો સામેની બાજુ $3$ અને કર્ણ $4$ થાય.
પાસેની બાજુ $\sqrt{4^{2} - 3^{2}} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$ થાય.
તેથી,$\tan i_{c} = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
આમ,$i_{c} = \tan^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)$.

(B) આપેલ છે:
$V_{\max} = 60\,V$
$V_{\min} = 20\,V$
મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\mu = \frac{V_{\max} - V_{\min}}{V_{\max} + V_{\min}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{60 - 20}{60 + 20} = \frac{40}{80} = 0.5$
ટકાવારી મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu \times 100\% = 0.5 \times 100\% = 50\%$ છે.

(C) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,શરૂઆતમાં ન્યુક્લિયસ સ્થિર હોવાથી,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે.
તેથી,બંને ભાગોના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ:
$|\vec{P}_1| = |\vec{P}_2| = P$
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{P}$
અહીં બંને ભાગોના વેગમાનનું મૂલ્ય $P$ સમાન હોવાથી,તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ પણ સમાન હશે.
તેથી,તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\lambda_1 : \lambda_2 = 1 : 1$ થશે.

(A) આ સર્કિટમાં વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવી રચના છે. ચાલો ભુજાઓમાં રહેલા અવરોધોનો ગુણોત્તર તપાસીએ: $\frac{3\,\Omega}{6\,\Omega} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{3\,\Omega}{6\,\Omega} = \frac{1}{2}$.
ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે.
તેથી,વચ્ચેના $5\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,અને તેને સર્કિટમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
હવે,ઉપરની શાખામાં બે $3\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_1 = 3 + 3 = 6\,\Omega$.
નીચેની શાખામાં બે $6\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_2 = 6 + 6 = 12\,\Omega$.
આ બંને શાખાઓ સમાંતર છે,તેથી બ્રિજ ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4\,\Omega$ થાય.
આ સમતુલ્ય અવરોધ બેટરી સાથે જોડાયેલ $2\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
કુલ અવરોધ $R_{eq} = 4 + 2 = 6\,\Omega$.
બેટરીમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6\,V}{6\,\Omega} = 1\,A$ છે.

(C) કિસ્સો $I$: સ્વીચ $K$ બંધ છે.
બંને કેપેસિટરો સ્ત્રોત $V$ સાથે સમાંતર જોડાયેલા છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + C = 2C$.
કુલ ઉર્જા $E_{1} = \frac{1}{2} C_{eq} V^{2} = \frac{1}{2} (2C) V^{2} = CV^{2}$.
કિસ્સો $II$: સ્વીચ $K$ ખોલવામાં આવે છે.
ડાબી બાજુનો કેપેસિટર સ્ત્રોત $V$ સાથે જોડાયેલ રહે છે,તેથી તેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ રહે છે અને તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = K_{d}C = 5C$ થાય છે. તેની ઉર્જા $E_{L} = \frac{1}{2} (5C) V^{2} = \frac{5}{2} CV^{2}$ છે.
જમણી બાજુનો કેપેસિટર અલગ થઈ જાય છે,તેથી તેનો વિદ્યુતભાર $Q = CV$ અચળ રહે છે. તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = K_{d}C = 5C$ થાય છે. તેની ઉર્જા $E_{R} = \frac{Q^{2}}{2C'} = \frac{(CV)^{2}}{2(5C)} = \frac{CV^{2}}{10}$ છે.
કુલ ઉર્જા $E_{2} = E_{L} + E_{R} = \frac{5}{2} CV^{2} + \frac{1}{10} CV^{2} = \frac{25+1}{10} CV^{2} = \frac{26}{10} CV^{2} = \frac{13}{5} CV^{2}$.
ગુણોત્તર $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{CV^{2}}{\frac{13}{5} CV^{2}} = \frac{5}{13}$.

(B) વિદ્યુતપ્રવાહધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M} = I \vec{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{A}$ એ જમણા હાથના નિયમ મુજબ નિર્દેશિત ક્ષેત્રફળ સદિશ છે.
અંદરના લૂપ માટે (ત્રિજ્યા $r_{1} = 0.3 \, m$),પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે,તેથી $\vec{M}_{1} = I \pi r_{1}^{2} \hat{k} = 7 \times \pi \times (0.3)^{2} \hat{k} = 0.63 \pi \hat{k} \, A \cdot m^{2}$.
બહારના લૂપ માટે (ત્રિજ્યા $r_{2} = 0.5 \, m$),પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં વહે છે,તેથી $\vec{M}_{2} = -I \pi r_{2}^{2} \hat{k} = -7 \times \pi \times (0.5)^{2} \hat{k} = -1.75 \pi \hat{k} \, A \cdot m^{2}$.
કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}_{net} = \vec{M}_{1} + \vec{M}_{2} = (0.63 \pi - 1.75 \pi) \hat{k} = -1.12 \pi \hat{k} \, A \cdot m^{2}$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા,$\vec{M}_{net} = -1.12 \times \frac{22}{7} \hat{k} = -0.16 \times 22 \hat{k} = -3.52 \hat{k} \, A \cdot m^{2}$.
આ કિંમત આશરે $-\frac{7}{2} \hat{k} \, A \cdot m^{2}$ જેટલી થાય છે.

(A) વેલોસિટી સિલેક્ટરમાં કણ વિચલિત થયા વગર પસાર થાય તે માટે,વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ સમાન હોવા જોઈએ: $qE = qvB$,જેનો અર્થ છે $E = vB$.
પ્રથમ,ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા $K = 728 \, eV$ નો ઉપયોગ કરીને તેનો વેગ $v$ શોધો:
$K = \frac{1}{2} mv^2$
$728 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = \frac{1}{2} \times 9.1 \times 10^{-31} \, kg \times v^2$
$v^2 = \frac{2 \times 728 \times 1.6 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}$
$v^2 = 256 \times 10^{12} \, m^2/s^2$
$v = 16 \times 10^6 \, m/s$
હવે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ની ગણતરી કરો:
$E = vB = (16 \times 10^6 \, m/s) \times (12 \times 10^{-3} \, T)$
$E = 192 \times 10^3 \, V/m = 192 \, kV/m$.

(C) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_{0} A^{\frac{1}{3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દળ-ક્રમાંક છે અને $R_{0}$ એ અચળાંક છે.
ન્યુક્લિયસની ઘનતા $\rho$ એ ન્યુક્લિયસના દળ અને તેના કદના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\rho = \frac{\text{ન્યુક્લિયસનું દળ}}{\text{ન્યુક્લિયસનું કદ}} = \frac{m \times A}{\frac{4}{3} \pi R^{3}}$,જ્યાં $m$ એ ન્યુક્લિયોન (પ્રોટોન અથવા ન્યુટ્રોન) નું સરેરાશ દળ છે.
$R$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા:
$\rho = \frac{m \times A}{\frac{4}{3} \pi (R_{0} A^{\frac{1}{3}})^{3}} = \frac{m \times A}{\frac{4}{3} \pi R_{0}^{3} A}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,$A$ પદ ઉડી જાય છે:
$\rho = \frac{m}{\frac{4}{3} \pi R_{0}^{3}}$.
આમ,$\rho$ એ દળ-ક્રમાંક $A$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી ન્યુક્લિયર ઘનતા તમામ ન્યુક્લિયસ માટે અચળ રહે છે.
તેથી,બે ન્યુક્લિયસની ન્યુક્લિયર ઘનતાનો ગુણોત્તર $1: 1$ છે.

(A) સપાટી $AC$ પર કાચના પ્રિઝમ અને પ્રવાહી વચ્ચેના આંતરપૃષ્ઠ માટે સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\mu_{glass} \sin(i) = n \sin(r)$
અહીં આપાતકોણ $i = 60^{\circ}$ છે અને વક્રીભૂત કિરણ સપાટી $AC$ ને સમાંતર પસાર થાય છે,તેથી વક્રીભૂતકોણ $r = 90^{\circ}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા:
$1.5 \times \sin(60^{\circ}) = n \times \sin(90^{\circ})$
$1.5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = n \times 1$
$n = \frac{1.5 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$
આપણને $n = \frac{\sqrt{x}}{4}$ આપેલ છે.
$n$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{\sqrt{x}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$
$\sqrt{x} = 3 \sqrt{3} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{27}$
તેથી,$x = 27$.

(B) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા એ નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેના તફાવત જેટલી હોય છે.
નીપજ $({ }_{2}^{4} Y)$ ની કુલ બંધન ઉર્જા: $4 \times 7.6 \, MeV = 30.4 \, MeV$.
પ્રક્રિયકો $(2 \times { }_{1}^{2} X)$ ની કુલ બંધન ઉર્જા: $2 \times (2 \times 1.1 \, MeV) = 4.4 \, MeV$.
મુક્ત થતી ઉર્જા = (નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા) - (પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા)
મુક્ત થતી ઉર્જા = $30.4 \, MeV - 4.4 \, MeV = 26 \, MeV$.

(B) $CE$ કોન્ફિગરેશનમાં કરંટ ગેઇન $\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આલેખ પરથી,કલેક્ટર કરંટમાં ફેરફાર $\Delta I_C$ અને બેઝ કરંટમાં ફેરફાર $\Delta I_B$ શોધવા માટે આપણે બે બિંદુઓ પસંદ કરી શકીએ છીએ.
ચાલો બિંદુઓ $(I_B = 100\,\mu A, I_C = 5\,mA)$ અને $(I_B = 200\,\mu A, I_C = 10\,mA)$ લઈએ.
$\Delta I_C = (10 - 5)\,mA = 5\,mA = 5 \times 10^{-3}\,A$.
$\Delta I_B = (200 - 100)\,\mu A = 100\,\mu A = 100 \times 10^{-6}\,A$.
તેથી,$\beta = \frac{5 \times 10^{-3}}{100 \times 10^{-6}} = \frac{5000}{100} = 50$.
વોલ્ટેજ ગેઇન $A_V = \beta \times \frac{R_C}{R_{in}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $R_C = 2\,k\Omega$ અને $R_{in} = 0.50\,k\Omega$ આપેલ છે.
$A_V = 50 \times \frac{2\,k\Omega}{0.50\,k\Omega} = 50 \times 4 = 200$.

(C) આપેલ વિદ્યુતભારો: $q_A = 5 \, \mu C$,$q_B = 0.16 \, \mu C$,$q_C = 0.3 \, \mu C$.
અંતર: $r_{AB} = 3 \, cm = 3 \times 10^{-2} \, m$,$r_{AC} = 3 \, cm = 3 \times 10^{-2} \, m$.
કુલંબનો નિયમ: $F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$.
$C$ ને કારણે $A$ પર લાગતું બળ $(F_1)$: $F_1 = \frac{9 \times 10^9 \times (5 \times 10^{-6}) \times (0.3 \times 10^{-6})}{(3 \times 10^{-2})^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 1.5 \times 10^{-12}}{9 \times 10^{-4}} = 1.5 \times 10 = 15 \, N$.
$B$ ને કારણે $A$ પર લાગતું બળ $(F_2)$: $F_2 = \frac{9 \times 10^9 \times (5 \times 10^{-6}) \times (0.16 \times 10^{-6})}{(3 \times 10^{-2})^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 0.8 \times 10^{-12}}{9 \times 10^{-4}} = 0.8 \times 10 = 8 \, N$.
બિંદુ $A$ એ કાટખૂણો હોવાથી,$F_1$ અને $F_2$ પરસ્પર લંબ છે.
પરિણામી બળ $F_{net} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \, N$.

(C) આપેલ છે કે,$\phi = \frac{2}{3}(9 - t^2)$.
જ્યારે $\phi = 0$ થાય ત્યારે ફ્લક્સ શૂન્ય થાય છે,તેથી $\frac{2}{3}(9 - t^2) = 0$,જે $t^2 = 9$ અથવા $t = 3 \, \text{s}$ આપે છે.
પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા મળે છે: $e = -\frac{d\phi}{dt}$.
$e = -\frac{d}{dt} [\frac{2}{3}(9 - t^2)] = -\frac{2}{3}(0 - 2t) = \frac{4t}{3}$.
કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H$ નું સૂત્ર $H = \int_{0}^{t} \frac{e^2}{R} dt$ છે.
$e = \frac{4t}{3}$ અને $R = 8 \, \Omega$ કિંમતો મૂકતા:
$H = \int_{0}^{3} \frac{(\frac{4t}{3})^2}{8} dt = \int_{0}^{3} \frac{16t^2}{9 \times 8} dt = \int_{0}^{3} \frac{2t^2}{9} dt$.
$H = \frac{2}{9} [\frac{t^3}{3}]_{0}^{3} = \frac{2}{9} \times \frac{27}{3} = \frac{2}{9} \times 9 = 2 \, \text{J}$.

(D) ધારો કે પોટેન્શિયોમીટરના તારનો અવરોધ $R$ છે.
પોટેન્શિયોમીટરના તારમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i = \frac{4}{R + 780}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આખા પોટેન્શિયોમીટર તાર $AB$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = iR = \frac{4R}{R + 780}$ છે.
તાર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V_{AB}}{L} = \frac{4R}{(R + 780) \times 300}$ છે.
$20\,mV = 20 \times 10^{-3}\,V$ ના emf ધરાવતા કોષ માટે તટસ્થ બિંદુ $l = 60\,cm$ લંબાઈ પર મળે છે.
તટસ્થ બિંદુએ,$l$ લંબાઈ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત કોષના emf જેટલો હોય છે:
$E = k \times l$
$20 \times 10^{-3} = \left( \frac{4R}{(R + 780) \times 300} \right) \times 60$
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા:
$20 \times 10^{-3} = \frac{4R \times 60}{(R + 780) \times 300}$
$0.02 = \frac{4R}{5(R + 780)}$
$0.1(R + 780) = 4R$
$0.1R + 78 = 4R$
$3.9R = 78$
$R = \frac{78}{3.9} = 20\,\Omega$.

(B) આપેલ છે: આવૃત્તિ $f_{1} = 6\,MHz = 6 \times 10^{6}\,Hz$ અને $f_{2} = 10\,MHz = 10 \times 10^{6}\,Hz$.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^{8}\,m/s$.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{c}{f}$ છે.
$f_{1} = 6 \times 10^{6}\,Hz$ માટે,$\lambda_{1} = \frac{3 \times 10^{8}}{6 \times 10^{6}} = 50\,m$.
$f_{2} = 10 \times 10^{6}\,Hz$ માટે,$\lambda_{2} = \frac{3 \times 10^{8}}{10 \times 10^{6}} = 30\,m$.
તરંગલંબાઇ બેન્ડવિડ્થ એ બે તરંગલંબાઇઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $\Delta\lambda = \lambda_{1} - \lambda_{2} = 50\,m - 30\,m = 20\,m$.

(C) વિઘટન દર $A$ એ $A = A_0 e^{-\lambda t}$ ના નિયમનું પાલન કરે છે.
$t = 0$ સમયે,$A_0 = 4250 \, \text{dpm}$.
$t = 10 \, \text{min}$ સમયે,$A = 2250 \, \text{dpm}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2250 = 4250 e^{-\lambda (10)}$
$e^{-10\lambda} = \frac{2250}{4250} = \frac{45}{85} = \frac{9}{17}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$-10\lambda = \ln\left(\frac{9}{17}\right)$
$10\lambda = \ln\left(\frac{17}{9}\right) \approx \ln(1.888)$
$10\lambda \approx 0.6356$
$\lambda \approx 0.06356 \, \min^{-1}$.
આમ,અંદાજિત ક્ષય અચળાંક $0.063 \, \min^{-1}$ છે.