JEE Main 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાકાર પદાર્થનો ટર્મિનલ વેગ $(v_{t})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{t} = \frac{2}{9} \frac{gr^{2}(\rho_{p} - \rho_{l})}{\eta}$
જ્યાં:
$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,
$r$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે,
$\rho_{p}$ એ કણની ઘનતા છે,
$\rho_{l}$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,
$\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v_{t} \propto r^{2}$.
તેથી,ટર્મિનલ વેગ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે.

(B) રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌથી સંભવિત ઝડપ $v_{p} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{v_{rms}}{v_{p}} = \frac{\sqrt{\frac{3RT}{M}}}{\sqrt{\frac{2RT}{M}}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
તેથી,$v_{rms} = \sqrt{\frac{3}{2}} v_{p}$.

(D) ધારો કે સાંકળની કુલ લંબાઈ $L = 6 \, m$ છે અને ટેબલની ધાર પર લટકતી સાંકળની લંબાઈ $x$ છે. ટેબલ પર રહેલી સાંકળની લંબાઈ $(L - x)$ થશે.
ધારો કે $\lambda$ એ સાંકળની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
ટેબલ પર રહેલી સાંકળનું દળ $M_{table} = \lambda(L - x)$ છે અને લટકતા ભાગનું દળ $M_{hanging} = \lambda x$ છે.
ટેબલ દ્વારા સાંકળ પર લાગતું લંબબળ $N = M_{table} g = \lambda(L - x)g$ છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s \lambda(L - x)g$ છે.
તંત્ર સ્થિર રહે તે માટે,લટકતા ભાગનું વજન મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ:
$f_{s,max} = M_{hanging} g$
$\mu_s \lambda(L - x)g = \lambda x g$
$\mu_s(L - x) = x$
અહીં $\mu_s = 0.5$ અને $L = 6 \, m$ આપેલ છે:
$0.5(6 - x) = x$
$3 - 0.5x = x$
$3 = 1.5x$
$x = \frac{3}{1.5} = 2 \, m$.
આમ,ટેબલ પરથી લટકતી સાંકળની મહત્તમ લંબાઈ $2 \, m$ છે.

(D) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક કુલ ઉર્જા એ અંતિમ કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે: $U_i + K_i = U_f + K_f$.
અહીં,$U_i = 0$ (સ્પ્રિંગની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા),$K_i = \frac{1}{2} m v_i^2$,$U_f = \frac{1}{2} k x^2$,અને $K_f = \frac{1}{2} m v_f^2$.
આપેલ છે: $m = 0.5 \, kg$,$v_i = 12 \, ms^{-1}$,$v_f = 6 \, ms^{-1}$,અને $x = 30 \, cm = 0.3 \, m$.
કિંમતો મૂકતા: $0 + \frac{1}{2} \times 0.5 \times (12)^2 = \frac{1}{2} \times k \times (0.3)^2 + \frac{1}{2} \times 0.5 \times (6)^2$.
$2$ વડે ગુણતા: $0.5 \times (144) = k \times (0.09) + 0.5 \times (36)$.
$72 = 0.09k + 18$.
$0.09k = 72 - 18 = 54$.
$k = \frac{54}{0.09} = 600 \, Nm^{-1}$.

(D) ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ મુજબ,શીયરિંગ સ્ટ્રેસ $\tau = \eta \frac{dv}{dy}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\tau = 10^{-3} \, N/m^2$,$\eta = 10^{-2} \, Pa \cdot s$,અને વેગ પ્રચલન $\frac{dv}{dy} = \frac{v}{h}$,જ્યાં $v$ એ ઉપરના સ્તરનો વેગ છે અને $h$ એ નદીની ઊંડાઈ છે.
પ્રથમ,વેગ $v$ ને $SI$ એકમોમાં રૂપાંતરિત કરો: $v = 36 \, km/h = 36 \times \frac{5}{18} \, m/s = 10 \, m/s$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $10^{-3} = 10^{-2} \times \frac{10}{h}$.
$h$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $h = \frac{10^{-2} \times 10}{10^{-3}} = \frac{10^{-1}}{10^{-3}} = 10^2 = 100 \, m$.
આમ,નદીની ઊંડાઈ $100 \, m$ છે.

(C) મુક્ત થતી ઉષ્મા બે ભાગમાં વહેંચાયેલી છે: ઘનીકરણ દરમિયાન મુક્ત થતી ઉષ્મા અને પાણી ઠંડુ થતી વખતે મુક્ત થતી ઉષ્મા.
$1$. ઘનીકરણ દરમિયાન મુક્ત થતી ઉષ્મા $(Q_1)$: $Q_1 = m \times L_v = 50 \, g \times 540 \, cal/g = 27000 \, cal$.
$2$. પાણીને $100^{\circ} C$ થી $20^{\circ} C$ સુધી ઠંડુ કરવા દરમિયાન મુક્ત થતી ઉષ્મા $(Q_2)$: $Q_2 = m \times s \times \Delta T = 50 \, g \times 1 \, cal/g^{\circ} C \times (100^{\circ} C - 20^{\circ} C) = 50 \times 80 = 4000 \, cal$.
કુલ મુક્ત થતી ઉષ્મા $(Q_{total})$ = $Q_1 + Q_2 = 27000 + 4000 = 31000 \, cal$.
$Q_{total} = 31 \times 10^{3} \, cal$.

(C) $L_1$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{v}{2L_1}$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન આવૃત્તિ $f_1 = 2 \times f_0 = \frac{2v}{2L_1} = \frac{v}{L_1}$ છે.
$L_2$ લંબાઈ ધરાવતી બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_2 = \frac{v}{4L_2}$ છે.
આપેલ છે કે ખુલ્લી પાઇપની પ્રથમ ઓવરટોન આવૃત્તિ એ બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ સમાન છે,તેથી $f_1 = f_2$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{v}{L_1} = \frac{v}{4L_2}$.
આથી $L_1 = 4L_2$ મળે છે.
$L_2 = 20 \, cm$ આપેલ હોવાથી,$L_1 = 4 \times 20 \, cm = 80 \, cm$ થાય.

(A) આપેલ છે: બળ $\vec{F} = (10 \hat{i} + 5 \hat{j})\ N$,દળ $m = 100\, g = 0.1\, kg$,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 0$,સમય $t = 2\ s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{10 \hat{i} + 5 \hat{j}}{0.1} = (100 \hat{i} + 50 \hat{j})\ m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $\vec{s} = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a} t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\vec{u} = 0$:
$\vec{s} = \frac{1}{2} (100 \hat{i} + 50 \hat{j}) (2)^2$
$\vec{s} = \frac{1}{2} (100 \hat{i} + 50 \hat{j}) (4) = 2 (100 \hat{i} + 50 \hat{j}) = (200 \hat{i} + 100 \hat{j})\ m$.
આને $(a \hat{i} + b \hat{j})\ m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 200$ અને $b = 100$ મળે છે.
તેથી,$\frac{a}{b} = \frac{200}{100} = 2$.

(A) પ્રવેગ વચ્ચેનો સંબંધ શોધવા માટે,આપણે બંધિત ગતિ માટે વર્ચ્યુઅલ કાર્યના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જે જણાવે છે કે તમામ દળ માટે તણાવ અને પ્રવેગના ડોટ પ્રોડક્ટનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે: $\sum \vec{T} \cdot \vec{a} = 0$.
ધારો કે સૌથી નીચેની દોરીમાં તણાવ $T$ છે. તો $m_{3}$ અને $m_{4}$ ને ટેકો આપતી દોરીમાં તણાવ $T$ છે. બીજા ગરગડીને ટેકો આપતી દોરીમાં તણાવ $2T$ છે,અને પ્રથમ ગરગડીને ટેકો આપતી દોરીમાં તણાવ $4T$ છે.
બધા પ્રવેગ નીચેની દિશામાં છે તેમ ધારતા,દરેક દળ પર તણાવ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય:
$m_{1}$ માટે: $-4T a_{1}$
$m_{2}$ માટે: $-2T a_{2}$
$m_{3}$ માટે: $-T a_{3}$
$m_{4}$ માટે: $-T a_{4}$
આનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે: $-4T a_{1} - 2T a_{2} - T a_{3} - T a_{4} = 0$.
$-T$ વડે ભાગતા,આપણને સંબંધ મળે છે: $4 a_{1} + 2 a_{2} + a_{3} + a_{4} = 0$.

(A) ચલ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $F-x$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$x$-અક્ષની ઉપરના ક્ષેત્રફળ ધન હોય છે અને $x$-અક્ષની નીચેના ક્ષેત્રફળ ઋણ હોય છે.
ચાલો દરેક આલેખ માટે ચોખ્ખું ક્ષેત્રફળ ગણીએ:
આકૃતિ-$a$: ક્ષેત્રફળમાં $0$ થી $x_{0}$ સુધીનો ઋણ ત્રિકોણ અને $x_{0}$ થી $x_{1}$ સુધીનો ધન ત્રિકોણ છે. ચોખ્ખું ક્ષેત્રફળ $W_{1}$ નાનું ધન છે.
આકૃતિ-$b$: ક્ષેત્રફળમાં $0$ થી $x_{0}$ સુધીનો ઋણ ત્રિકોણ અને $x_{0}$ થી $x_{2}$ સુધીનો ધન સમલંબ ચતુષ્કોણ છે. ચોખ્ખું ક્ષેત્રફળ $W_{2}$ નોંધપાત્ર રીતે ધન છે.
આકૃતિ-$c$: ક્ષેત્રફળમાં $0$ થી $x_{0}$ સુધીનો ઋણ ત્રિકોણ અને $x_{0}$ થી $x_{2}$ સુધીનો મોટો ધન સમલંબ ચતુષ્કોણ છે. ચોખ્ખું ક્ષેત્રફળ $W_{3}$ સૌથી મોટું ધન છે.
આકૃતિ-$d$: ક્ષેત્રફળમાં $0$ થી $x_{0}$ સુધીનો ધન ત્રિકોણ,$x_{0}$ થી $x_{2}$ સુધીનો મોટો ઋણ સમલંબ ચતુષ્કોણ અને $x_{2}$ થી $x_{3}$ સુધીનો નાનો ધન ત્રિકોણ છે. ચોખ્ખું ક્ષેત્રફળ $W_{4}$ ઋણ છે.
ચોખ્ખા ક્ષેત્રફળની સરખામણી કરતા,આપણને $W_{3} > W_{2} > W_{1} > W_{4}$ મળે છે.

(D) પરિભ્રમણ કરતી પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $(g')$ એ ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ $(g)$ અને કેન્દ્રત્યાગી પ્રવેગ $(rw^2)$ નો સદિશ સરવાળો છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગનું મૂલ્ય $g' = \sqrt{g^2 + (rw^2)^2 - 2g(rw^2)\cos\theta}$ છે,જ્યાં $\theta$ એ અક્ષાંશ છે.
જેમ આપણે ધ્રુવોથી વિષુવવૃત્ત તરફ જઈએ છીએ,તેમ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગનું મૂલ્ય બદલાય છે કારણ કે કેન્દ્રત્યાગી ઘટક અક્ષાંશ $\theta$ સાથે બદલાય છે.
વધુમાં,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગની દિશા હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ હોતી નથી,સિવાય કે ધ્રુવો અને વિષુવવૃત્ત પર.
તેથી,વિધાન $A$ ખોટું છે કારણ કે મૂલ્ય બદલાય છે અને દિશા હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ હોતી નથી.
કારણ $R$ જણાવે છે કે વિષુવવૃત્ત પર,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગની દિશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ હોય છે. આ સાચું છે કારણ કે વિષુવવૃત્ત પર,કેન્દ્રત્યાગી પ્રવેગ $(rw^2)$ ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ નિર્દેશિત હોય છે,અને ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ $(g)$ ત્રિજ્યાવર્તી અંદરની તરફ નિર્દેશિત હોય છે. તેમનું પરિણામી,અસરકારક પ્રવેગ $(g')$,પણ પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ ત્રિજ્યાવર્તી અંદરની તરફ નિર્દેશિત હોય છે.
આમ,$A$ ખોટું છે પરંતુ $R$ સાચું છે.

(C) રેનોલ્ડ્સ નંબર $(R_{e})$ એ એક પરિમાણરહિત રાશિ છે જેનો ઉપયોગ વિવિધ પ્રવાહી પ્રવાહની પરિસ્થિતિઓમાં પ્રવાહની પેટર્નનું અનુમાન કરવા માટે થાય છે.
તેને જડત્વના બળો અને સ્નિગ્ધતાના બળોના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
રેનોલ્ડ્સ નંબર માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$R_{e} = \frac{\rho v d}{\eta}$
જ્યાં:
$\rho$ = પ્રવાહીની ઘનતા
$v$ = પ્રવાહીનો વેગ
$d$ = પાઇપનો વ્યાસ
$\eta$ = પ્રવાહીનો સ્નિગ્ધતા ગુણાંક
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આદર્શ વાયુના અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K.E. = \frac{3}{2} k T$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
મિશ્રણ તાપીય સંતુલનમાં હોવાથી,આર્ગોન અને ઓક્સિજન બંને સમાન તાપમાન $T = 27^{\circ} C = 300 \ K$ પર છે.
અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે,વાયુના દળ કે તેના પ્રકાર પર નહીં.
તેથી,આર્ગોન અને ઓક્સિજન માટે અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{Ar}}{K_{O_2}} = \frac{\frac{3}{2} k T}{\frac{3}{2} k T} = 1: 1$ થશે.

(A) ધારો કે બંને દડા પ્રથમ દડાની ગતિ શરૂ થયાના $t$ સેકન્ડ પછી મળે છે.
પ્રથમ દડાનું $t$ સમયે સ્થાનાંતર $h_1 = 50t - \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજો દડો $t = 2 \; s$ સમયે ફેંકવામાં આવે છે,તેથી તેનો ગતિનો સમય $(t - 2) \; s$ છે. તેનું સ્થાનાંતર $h_2 = 50(t - 2) - \frac{1}{2}g(t - 2)^2$ છે.
બંને સમાન ઊંચાઈએ મળે છે,તેથી $h_1 = h_2$.
$50t - \frac{1}{2}gt^2 = 50(t - 2) - \frac{1}{2}g(t - 2)^2$
$50t - 5t^2 = 50t - 100 - 5(t^2 - 4t + 4)$
$50t - 5t^2 = 50t - 100 - 5t^2 + 20t - 20$
$0 = -120 + 20t$
$20t = 120$
$t = 6 \; s$.

(A) આઘાત (Impulse) એટલે વેગમાનમાં થતો ફેરફાર.
ધારો કે દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u = 15 \; ms^{-1}$ છે.
બેટ્સમેન દડાને વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન ઝડપથી પાછો ફટકારે છે,તેથી અંતિમ વેગ $v = -15 \; ms^{-1}$ થશે.
દડાનું દળ $m = 0.4 \; kg$ છે.
આઘાત $J = \Delta p = m(v - u)$.
$J = 0.4 \times (-15 - 15) = 0.4 \times (-30) = -12 \; Ns$.
દડાને આપવામાં આવેલ આઘાતનું મૂલ્ય $|J| = 12 \; Ns$ છે.

(A) જ્યારે $6^{th}$ દડો ટેબલ છોડે છે,ત્યારે $6$ દડા ઊભી રીતે લટકે છે અને $4$ દડા આડા ટેબલ પર છે.
સિસ્ટમનું કુલ દળ $M = 10m$ છે.
ચાલક બળ $6$ લટકતા દડાઓનું વજન છે,જે $F = 6mg$ છે.
સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} = \frac{6mg}{10m} = \frac{3g}{5}$ છે.
$7^{th}$ અને $8^{th}$ દડા વચ્ચેનું તણાવ $T$ શોધવા માટે,આપણે ટેબલ પર રહેલા $3$ દડાઓ $(8^{th}, 9^{th}, 10^{th})$ ની સિસ્ટમને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
આ સિસ્ટમ પર લાગતું એકમાત્ર આડું બળ તણાવ $T$ છે.
આ $3$ દડાઓ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $T = (3m)a$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા: $T = 3m \times \frac{3g}{5} = \frac{9mg}{5}$.
અહીં $m = 2 \; kg$ અને $g = 10 \; m/s^2$ લેતા:
$T = \frac{9 \times 2 \times 10}{5} = \frac{180}{5} = 36 \; N$.

(B) પાણીના પ્રવાહનો દર $m = 2.0 \; kg/min = 2000 \; g/min$ છે.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 70^{\circ} C - 30^{\circ} C = 40^{\circ} C$ છે.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $S = 4.2 \; J \cdot g^{-1} \cdot {}^{\circ} C^{-1}$ છે.
પ્રતિ મિનિટ જરૂરી ઉષ્મા $Q = m \cdot S \cdot \Delta T$ છે.
$Q = 2000 \times 4.2 \times 40 = 336000 \; J/min$.
ધારો કે બળતણના દહનનો દર $R$ ($g/min$ માં) છે અને દહન ઉષ્મા $L = 8 \times 10^{3} \; J/g$ છે.
બળતણ દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી ઉષ્મા $Q = R \times L$ છે.
$336000 = R \times 8 \times 10^{3}$.
$R = \frac{336000}{8000} = 42 \; g/min$.

(B) રિવર્સિબલ (કાર્નોટ) હીટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{Q_L}{Q_H} = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
ઠંડા રિઝર્વોયરનું તાપમાન,$T_L = 324 \; K$.
ગરમ રિઝર્વોયર પાસેથી લીધેલી ઉષ્મા,$Q_H = 300 \; J$.
ઠંડા રિઝર્વોયરને આપેલી ઉષ્મા,$Q_L = 180 \; J$.
રિવર્સિબલ એન્જિન માટેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{Q_L}{Q_H} = \frac{T_L}{T_H}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{180}{300} = \frac{324}{T_H}$.
$T_H = \frac{324 \times 300}{180}$.
$T_H = \frac{324 \times 5}{3} = 108 \times 5 = 540 \; K$.
આમ,ગરમ રિઝર્વોયરનું લઘુત્તમ તાપમાન $540 \; K$ છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f_1 = f$ છે.
દરેક ફોર્ક તેના અગાઉના ફોર્ક સાથે $4 \; Hz$ ના સ્પંદ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી આવૃત્તિઓ સમાંતર શ્રેણીમાં છે જેનો સામાન્ય તફાવત $d = 4 \; Hz$ છે.
$n$-મા ફોર્કની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f_n = f_1 + (n - 1)d$ છે.
$20$-મા ફોર્ક માટે $(n = 20)$:
$f_{20} = f + (20 - 1) \times 4 = f + 19 \times 4 = f + 76$.
પ્રશ્ન મુજબ,છેલ્લા ફોર્કની આવૃત્તિ પ્રથમ ફોર્કની આવૃત્તિ કરતા બમણી છે:
$f_{20} = 2f_1$.
કિંમતો મૂકતા:
$f + 76 = 2f$.
$f$ માટે ઉકેલતા:
$f = 76 \; Hz$.
છેલ્લા ફોર્કની આવૃત્તિ $f_{20} = 2f = 2 \times 76 = 152 \; Hz$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $50 \; VSD = 49 \; MSD$.
તેથી,$1 \; VSD = \frac{49}{50} \; MSD$.
ટ્રાવેલિંગ માઇક્રોસ્કોપનું લઘુત્તમ માપન $LC = 1 \; MSD - 1 \; VSD$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$LC = (1 - \frac{49}{50}) \; MSD = \frac{1}{50} \; MSD$.
મુખ્ય સ્કેલ પર $1 \; cm$ માં $40$ વિભાગો હોવાથી,$1 \; MSD = \frac{1}{40} \; cm$.
આ કિંમત મૂકતા,$LC = \frac{1}{50} \times \frac{1}{40} \; cm = \frac{1}{2000} \; cm$.
મીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $LC = \frac{1}{2000} \times 10^{-2} \; m = 0.5 \times 10^{-5} \; m$.
જરૂરી સ્વરૂપમાં દર્શાવતા: $LC = 5 \times 10^{-6} \; m$.
આમ,જવાબ $5$ છે.

(C) લઘુગણકીય વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ. તેથી,$\frac{kt}{\beta x} = 1$,જે સૂચવે છે કે $\beta = \frac{kt}{x}$.
કારણ કે $kt$ એ ઉર્જાના પરિમાણ $([ML^{2}T^{-2}])$ ધરાવે છે અને $x$ એ અંતર $([L])$ છે,તેથી $\beta$ ના પરિમાણ $[\beta] = \frac{[ML^{2}T^{-2}]}{[L]} = [MLT^{-2}]$ થશે.
આપેલ છે કે $P$ એ પરિમાણરહિત રાશિ છે,તેથી $P = \frac{\alpha}{\beta} \times (\text{પરિમાણરહિત પદ})$ સૂચવે છે કે $[P] = \frac{[\alpha]}{[\beta]}$.
કારણ કે $[P] = [M^{0}L^{0}T^{0}]$,તેથી $[\alpha] = [\beta] = [MLT^{-2}]$ થશે.

(B) ધારો કે વ્યક્તિનું દળ $m$ છે અને લિફ્ટનો પ્રવેગ $a$ છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ જેટલા પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે વ્યક્તિ માટે ગતિનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$mg - N = ma$
જ્યાં $N$ એ લંબબળ (આભાસી વજન) છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$N = m(g - a)$
અહીં $N < mg$ હોવાથી,જ્યારે લિફ્ટ નીચેની તરફ પ્રવેગિત થાય છે ત્યારે વ્યક્તિને વજનમાં ઘટાડો અનુભવાય છે.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ ને કારણે તેનો વેગ $v$ ઘટે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,પદાર્થ ક્ષણભર માટે સ્થિર થાય છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
વેગમાન $p$ એ દળ $m$ અને વેગ $v$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોવાથી $(p = mv)$,જ્યારે $v = 0$ હોય,ત્યારે વેગમાન $p$ પણ $0$ થઈ જાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ધારો કે $R$ એ અર્ધ-ગોળાકાર પાત્રની ત્રિજ્યા છે. જ્યારે દડો સમક્ષિતિજથી $\alpha$ ખૂણે બિંદુ $Q$ પર હોય,ત્યારે તેની ઝડપ $v$ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ પરથી મળે છે: $\frac{1}{2}mv^2 = mg(R \sin \alpha)$,જે $v^2 = 2gR \sin \alpha$ આપે છે.
કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{R} = 2mg \sin \alpha$ છે.
ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં દડા પર લાગતા બળો લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ અને ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \alpha$ છે. ગતિનું સમીકરણ $N - mg \sin \alpha = \frac{mv^2}{R} = 2mg \sin \alpha$ છે.
તેથી,$N = 3mg \sin \alpha$.
ગુણોત્તર $A$ એ કેન્દ્રગામી બળ અને લંબ પ્રતિક્રિયાનો ગુણોત્તર છે: $A = \frac{F_c}{N} = \frac{2mg \sin \alpha}{3mg \sin \alpha} = \frac{2}{3}$.
અહીં $A = \frac{2}{3}$ એ $\alpha$ થી સ્વતંત્ર અચળ મૂલ્ય હોવાથી,$A$ વિરુદ્ધ $\alpha$ નો આલેખ એક સમક્ષિતિજ સીધી રેખા મળશે.

(C) કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ ધરીને અનુલક્ષીને રીંગની પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M R^2$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega = 2 \; rad \; s^{-1}$ છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે: $L_i = L_f$.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I \omega = (M R^2) \times 2 = 2 M R^2$.
જ્યારે $m$ દળના બે પદાર્થોને વ્યાસના સામસામેના છેડાઓ પર જોડવામાં આવે,ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = M R^2 + m R^2 + m R^2 = (M + 2m) R^2$ થાય છે.
ધારો કે નવો કોણીય વેગ $\omega'$ છે. કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$I \omega = I' \omega'$
$2 M R^2 = (M + 2m) R^2 \omega'$
$\omega' = \frac{2 M}{M + 2m} \; rad \; s^{-1}$.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g_{\text{eff}}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(a)$ જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય $(a = 0)$,ત્યારે અસરકારક પ્રવેગ $g_{\text{eff}} = g$ થાય. તેથી,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$.
$(b)$ જ્યારે લિફ્ટ $a = \frac{g}{6}$ ના પ્રવેગથી ઉપરની તરફ ગતિ કરે,ત્યારે અસરકારક પ્રવેગ $g_{\text{eff}} = g + a = g + \frac{g}{6} = \frac{7g}{6}$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T^{\prime}$ નીચે મુજબ મળે:
$T^{\prime} = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g_{\text{eff}}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{7g/6}} = 2 \pi \sqrt{\frac{6\ell}{7g}}$.
આને મૂળ આવર્તકાળ $T$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે:
$T^{\prime} = \sqrt{\frac{6}{7}} \left( 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} \right) = \sqrt{\frac{6}{7}} T$.

(B) વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1 + \frac{2}{f} = 1.4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે.
$1 + \frac{2}{f} = 1.4 \Rightarrow \frac{2}{f} = 0.4 \Rightarrow f = 5$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વાયુની ગતિ ઉર્જા આંતરિક ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$\Delta U = K.E._{initial}$
$\frac{f}{2} nR \Delta T = \frac{1}{2} (nm) v^2$,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે અને $m$ એ એક અણુનું દળ છે.
$M = m \times N_A$ અને $R = k_B \times N_A$ હોવાથી,$m = \frac{M}{N_A}$ મળે.
$\frac{5}{2} nR \Delta T = \frac{1}{2} n M v^2$
$\Delta T = \frac{M v^2}{5R}$.

(C) ગોળી ફાઈટર જેટને અથડાય તે માટે,ગોળીના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક જેટના સમક્ષિતિજ વેગ જેટલો હોવો જોઈએ જેથી ગોળી તેની સમગ્ર ઉડાન દરમિયાન જેટની બરાબર નીચે રહે.
ધારો કે જેટની ઝડપ $v_j = 200 \; m/s$ છે અને ગોળીની ઝડપ $v_b = 400 \; m/s$ છે.
ગોળીના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_{bx} = v_b \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમક્ષિતિજ ઘટકોને સરખાવતા: $v_j = v_b \cos \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $200 = 400 \cos \theta$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{200}{400} = 0.5$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}(0.5) = 60^\circ$.

(C) ધારો કે દડાને $H = 10 \; m$ ની ઊંચાઈ પરથી પાડવામાં આવે છે. પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \; m/s$ છે.
ધારો કે દડો $s$ જેટલું અંતર કાપે છે જેથી તેનો વેગ $v$ એ $g = 10 \; m/s^2$ જેટલો થાય.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v^2 = 0^2 + 2(10)s$
અહીં આપણે $v = 10 \; m/s$ જોઈએ છે,તેથી:
$(10)^2 = 20s$
$100 = 20s$
$s = 5 \; m$.
આ $s$ એ ઉપરથી કાપેલું અંતર છે.
જમીનથી ઊંચાઈ $h = H - s = 10 \; m - 5 \; m = 5 \; m$ થશે.

(C) આલેખ પરથી,ઢાળ એ યંગ મોડ્યુલસના વ્યસ્તને દર્શાવે છે,$1/Y = \frac{\text{વિકૃતિ}}{\text{પ્રતિબળ}}$.
આપેલ ઉકેલ મુજબ,$Y = 2.0 \times 10^{10} \; N/m^2$ લેતા.
ઉર્જા ઘનતા $u = \frac{1}{2} \times \text{પ્રતિબળ} \times \text{વિકૃતિ} = \frac{1}{2} Y (\text{વિકૃતિ})^2$.
$u = \frac{1}{2} \times (2.0 \times 10^{10}) \times (5 \times 10^{-4})^2$.
$u = 1.0 \times 10^{10} \times 25 \times 10^{-8} = 2500 \; J/m^3 = 2.5 \; kJ/m^3$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $25$ છે.

(D) પોતાના વજન હેઠળ લટકતા તારનું વિસ્તરણ $\Delta \ell = \frac{MgL}{2AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
તાર અને તેના પરિમાણો સમાન રહેતા હોવાથી,$\Delta \ell \propto g$ થાય.
તેથી,$\frac{\Delta \ell_{\text{earth}}}{\Delta \ell_{\text{planet}}} = \frac{g_{\text{earth}}}{g_{\text{planet}}}$.
આપેલ છે કે $\Delta \ell_{\text{earth}} = 10^{-4} \; m$,$\Delta \ell_{\text{planet}} = 6 \times 10^{-5} \; m$,અને $g_{\text{earth}} = 10 \; m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10^{-4}}{6 \times 10^{-5}} = \frac{10}{g_{\text{planet}}}$.
$\frac{10}{6} = \frac{10}{g_{\text{planet}}}$.
આમ,$g_{\text{planet}} = 6 \; m/s^2$.

(B) આપેલ છે કે $20 \; MSD = 1 \; cm$.
તેથી,$1 \; MSD = \frac{1}{20} \; cm = 0.05 \; cm = 0.5 \; mm$.
આપણને આપેલ છે કે $10 \; VSD = 9 \; MSD$.
તેથી,$1 \; VSD = \frac{9}{10} \; MSD = 0.9 \times 0.5 \; mm = 0.45 \; mm$.
વર્નિયર અચળાંક $(VC)$ ની વ્યાખ્યા $VC = 1 \; MSD - 1 \; VSD$ છે.
$VC = 0.5 \; mm - 0.45 \; mm = 0.05 \; mm$.
આને $\dots \times 10^{-2} \; mm$ સ્વરૂપમાં દર્શાવતા,આપણને $VC = 5 \times 10^{-2} \; mm$ મળે છે.
આમ,મૂલ્ય $5$ છે.

(A) સાતત્ય સમીકરણ મુજબ,$A_1 v_1 = A_2 v_2$.
અહીં $A_1 = a$ અને $A_2 = \frac{a}{2}$ આપેલ છે,તેથી $a v_1 = \frac{a}{2} v_2$,જેનો અર્થ છે કે $v_2 = 2 v_1$.
બંને વિભાગો વચ્ચે બર્નુલીના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P_1 + \rho g h_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \rho g h_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$.
નીચલા વિભાગને સંદર્ભ સ્તર $(h_2 = 0)$ તરીકે લેતા,$h_1 = 1 \; m$ મળે.
$P_1 - P_2 = \rho g (h_2 - h_1) + \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $4100 = 800 \times [10 \times (0 - 1) + \frac{1}{2} ( (2v_1)^2 - v_1^2 )]$.
$4100 = 800 \times [-10 + \frac{3 v_1^2}{2}]$.
$\frac{4100}{800} = -10 + \frac{3 v_1^2}{2}$.
$5.125 = -10 + 1.5 v_1^2$.
$15.125 = 1.5 v_1^2$.
$v_1^2 = \frac{15.125}{1.5} = \frac{121}{12}$.
$v_1 = \sqrt{\frac{121}{12}} = \frac{11}{\sqrt{12}} = \frac{11 \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{121 \times 3}}{6} = \frac{\sqrt{363}}{6}$.
આને $\frac{\sqrt{x}}{6}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 363$ મળે છે.

(B) પ્રારંભિક વેગના ઘટકો $u_x = 20 \cos \alpha$ અને $u_y = 20 \sin \alpha$ છે.
સમક્ષિતિજ પ્રવેગ શૂન્ય હોવાથી,સમક્ષિતિજ વેગ અચળ રહે છે: $v_x = u_x = 20 \cos \alpha$.
$t = 10 \; s$ સમય પછી શિરોલંબ વેગ $v_y = u_y - gt = 20 \sin \alpha - 10 \times 10 = 20 \sin \alpha - 100$ દ્વારા મળે છે.
સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\beta$ એ $\tan \beta = \frac{v_y}{v_x}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \beta = \frac{20 \sin \alpha - 100}{20 \cos \alpha} = \frac{20 \sin \alpha}{20 \cos \alpha} - \frac{100}{20 \cos \alpha} = \tan \alpha - 5 \sec \alpha$.

(C) ધારો કે $\vec{V}_R$ એ જમીનની સાપેક્ષમાં વરસાદનો વેગ છે અને $\vec{V}_G$ એ જમીનની સાપેક્ષમાં છોકરીનો વેગ છે.
જ્યારે છોકરી ઉભી હોય છે,ત્યારે તે છત્રીને શિરોલંબ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે રાખે છે,જેનો અર્થ છે કે જમીનની સાપેક્ષમાં વરસાદની દિશા શિરોલંબ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
વેક્ટર ત્રિકોણ પરથી,$\tan 45^{\circ} = \frac{|\vec{V}_G|}{|\vec{V}_{R,G}|}$,જ્યાં $\vec{V}_{R,G}$ એ છોકરીની સાપેક્ષમાં વરસાદનો વેગ છે.
જ્યારે છોકરી $\vec{V}_G = 15 \sqrt{2} \; kmh^{-1}$ ના વેગથી દોડવાનું શરૂ કરે છે,ત્યારે વરસાદ તેના માથા પર શિરોલંબ અથડાય છે. આનો અર્થ એ છે કે છોકરીની સાપેક્ષમાં વરસાદનો સાપેક્ષ વેગ,$\vec{V}_{R,G} = \vec{V}_R - \vec{V}_G$,શિરોલંબ છે.
વેગ ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,$|\vec{V}_{R,G}| = \frac{|\vec{V}_G|}{\tan 45^{\circ}}$.
$\tan 45^{\circ} = 1$ હોવાથી,આપણને $|\vec{V}_{R,G}| = |\vec{V}_G| = 15 \sqrt{2} \; kmh^{-1}$ મળે છે.
વરસાદનો શિરોલંબ ઘટક $V_{R,G} = V_R \cos 45^{\circ} = 30 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{30}{\sqrt{2}} \; kmh^{-1}$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ઘનતા $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi r^2 l}$.
ઘનતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ મૂલ્યો:
$m = 0.6 \; g, \Delta m = 0.006 \; g$
$r = 0.5 \; mm, \Delta r = 0.005 \; mm$
$l = 4 \; cm, \Delta l = 0.04 \; cm$
પ્રતિશત ત્રુટિની ગણતરી:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \left( \frac{0.006}{0.6} + 2 \times \frac{0.005}{0.5} + \frac{0.04}{4} \right) \times 100$
$= (0.01 + 2 \times 0.01 + 0.01) \times 100$
$= (0.01 + 0.02 + 0.01) \times 100 = 0.04 \times 100 = 4 \%$.

(C) $m$ દળના બ્લોક માટે સરક્યા વગર પ્રાપ્ત કરી શકાય તેવો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max}$ એ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s, \max} = \mu_s N = \mu_s mg$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
$m$ દળના બ્લોક માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $f_{s, \max} = m a_{\max} \implies \mu_s mg = m a_{\max} \implies a_{\max} = \mu_s g$.
અહીં $\mu_s = 0.5$ અને $g = 9.8 \; m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $a_{\max} = 0.5 \times 9.8 = 4.9 \; m/s^2$.
બંને બ્લોક સાથે ગતિ કરે તે માટે,સમગ્ર સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a \le a_{\max}$ હોવો જોઈએ.
$(m + M)$ દળની સંયુક્ત સિસ્ટમ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$F = (m + M) a_{\max} = (2 + 8) \times 4.9 = 10 \times 4.9 = 49 \; N$.

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $X_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન બદલાય નહીં તે માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta X_{CM} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\Delta X_{CM} = \frac{m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2}{m_1 + m_2} = 0$.
અહીં $m_1 = 10 \; kg$,$m_2 = 30 \; kg$ અને પ્રથમ બ્લોકનું સ્થાનાંતર $\Delta x_1 = +6 \; cm$ (બીજા બ્લોક તરફ) આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0 = \frac{10 \times 6 + 30 \times \Delta x_2}{10 + 30}$.
$0 = 60 + 30 \Delta x_2$.
$30 \Delta x_2 = -60$.
$\Delta x_2 = -2 \; cm$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે $30 \; kg$ ના બ્લોકે $10 \; kg$ ના બ્લોકના સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં ખસવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેણે $10 \; kg$ ના બ્લોક તરફ $2 \; cm$ ખસવું પડશે.

(A) વિધાન $I$ સાચું છે કારણ કે ન્યૂટનનો સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે બ્રહ્માંડનો દરેક કણ બીજા દરેક કણને એક બળ સાથે આકર્ષે છે જે તેમના દળના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં અને તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
વિધાન $II$ સાચું છે કારણ કે પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ શૂન્ય હોય છે. વજનની વ્યાખ્યા $W = mg$ હોવાથી,જો $g = 0$ હોય,તો પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર વ્યક્તિનું વજન $W$ પણ શૂન્ય થાય છે.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે.

(C) ધારો કે ગતિશીલ કણનું દળ $m_1 = m$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = u_0$ છે.
ધારો કે સ્થિર કણનું દળ $m_2 = 5m$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 0$ છે.
હેડ-ઓન સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,બીજા કણનો અંતિમ વેગ $V_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V_2 = \frac{2m_1 u_1}{m_1 + m_2} = \frac{2m u_0}{m + 5m} = \frac{2m u_0}{6m} = \frac{u_0}{3}$.
સ્થિર કણમાં સ્થાનાંતરિત થયેલી ગતિઊર્જા એ તેની અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2 = \frac{1}{2} m_2 V_2^2$ છે.
$K_2 = \frac{1}{2} (5m) \left(\frac{u_0}{3}\right)^2 = \frac{5}{2} m \frac{u_0^2}{9} = \frac{5}{18} m u_0^2$.
ગતિશીલ કણની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = \frac{1}{2} m u_0^2$ છે.
સ્થાનાંતરિત થયેલી ગતિઊર્જાની ટકાવારી $\frac{K_2}{K_1} \times 100$ છે.
$\frac{\frac{5}{18} m u_0^2}{\frac{1}{2} m u_0^2} \times 100 = \frac{5}{18} \times 2 \times 100 = \frac{5}{9} \times 100 = 55.55\% \approx 55.5\%$.

(A) જ્યારે દડો અચળ વેગ (ટર્મિનલ વેલોસિટી) થી ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
દડા પર લાગતા બળો:
$1$. દડાનું વજન $(W = m g)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. ઉત્પ્લાવક બળ $(F_{B})$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
$3$. સ્નિગ્ધતા બળ $(F_{V})$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
અચળ વેગ પર,બળો સંતુલિત થાય છે:
$F_{V} + F_{B} = m g$
$F_{V} = m g - F_{B}$
ઉત્પ્લાવક બળ એ સ્થાનાંતરિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે:
$F_{B} = V \times d_{2} \times g$,જ્યાં $V$ એ દડાનું કદ છે.
$V = \frac{m}{d_{1}}$ હોવાથી,$F_{B} = \frac{m}{d_{1}} \times d_{2} \times g$ મળે.
આ કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F_{V} = m g - (\frac{m}{d_{1}} \times d_{2} \times g)$
$F_{V} = m g (1 - \frac{d_{2}}{d_{1}})$

(D) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતા સરળ આવર્ત દોલક માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $X = A \sin(\omega t)$ છે.
આપેલ છે કે $t = 3 \; s$ સમયે,સ્થાનાંતર $X = \frac{A}{2}$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{A}{2} = A \sin(3\omega)$.
બંને બાજુ $A$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $\sin(3\omega) = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,તેથી $3\omega = \frac{\pi}{6}$.
આમ,$\omega = \frac{\pi}{18}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T}$,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
$\omega$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{2\pi}{T} = \frac{\pi}{18}$.
$T$ માટે ઉકેલતા: $T = 2 \times 18 = 36 \; s$.

(A) જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર ઉદગમ તરફ ગતિ કરે ત્યારે મળતી આવૃત્તિ $f_{0}$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $f_{0} = \left(\frac{v + v_{0}}{v}\right) f_{s}$,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે અને $v_{0}$ એ અવલોકનકારનો વેગ છે.
આપેલ છે કે $v_{0} = \frac{v}{5}$,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$f_{0} = \left(\frac{v + \frac{v}{5}}{v}\right) f_{s} = \left(\frac{\frac{6v}{5}}{v}\right) f_{s} = \frac{6}{5} f_{s} = 1.2 f_{s}$.
આવૃત્તિમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\% \text{ ફેરફાર} = \frac{f_{0} - f_{s}}{f_{s}} \times 100$.
$f_{0} = 1.2 f_{s}$ મૂકતા:
$\% \text{ ફેરફાર} = \frac{1.2 f_{s} - f_{s}}{f_{s}} \times 100 = 0.2 \times 100 = 20 \%$.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n$ એ કુલ મોલની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: $P = 100 \; kPa = 10^{5} \; Pa$,$V = 2000 \; cm^{3} = 2 \times 10^{-3} \; m^{3}$,$T = 300 \; K$,$R = 25/3 \; J/(mol \cdot K)$.
કુલ મોલ $n = \frac{PV}{RT} = \frac{10^{5} \times 2 \times 10^{-3}}{(25/3) \times 300} = 0.08 \; mol$.
ધારો કે $n_{1}$ એ $H_{2}$ ના મોલ છે અને $n_{2}$ એ $O_{2}$ ના મોલ છે.
$n_{1} + n_{2} = 0.08$ (સમીકરણ $1$).
કુલ દળ $m = n_{1}M_{1} + n_{2}M_{2} = 0.76 \; g$.
$2n_{1} + 32n_{2} = 0.76$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ પરથી,$n_{1} = 0.08 - n_{2}$.
સમીકરણ $2$ માં કિંમત મૂકતા: $2(0.08 - n_{2}) + 32n_{2} = 0.76$.
$0.16 - 2n_{2} + 32n_{2} = 0.76 \implies 30n_{2} = 0.60 \implies n_{2} = 0.02 \; mol$.
તેથી $n_{1} = 0.08 - 0.02 = 0.06 \; mol$.
ગુણોત્તર $n_{1}/n_{2} = 0.06/0.02 = 3/1$.

(A) આપેલ છે:
રિઝર્વોયરનું તાપમાન,$T_{1} = 527^{\circ} C = 527 + 273 = 800 \; K$.
સિંકનું તાપમાન,$T_{2} = 200 \; K$.
કાર્ય,$W = 12000 \; kJ = 12 \times 10^{6} \; J$.
કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વધુમાં,કાર્યક્ષમતાને $\eta = \frac{W}{Q_{1}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $Q_{1}$ એ રિઝર્વોયરથી શોષાયેલી ઉષ્મા છે.
કાર્યક્ષમતા માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$1 - \frac{200}{800} = \frac{12 \times 10^{6}}{Q_{1}}$
$1 - \frac{1}{4} = \frac{12 \times 10^{6}}{Q_{1}}$
$\frac{3}{4} = \frac{12 \times 10^{6}}{Q_{1}}$
$Q_{1} = \frac{12 \times 10^{6} \times 4}{3}$
$Q_{1} = 16 \times 10^{6} \; J$.
આમ,$x$ નું મૂલ્ય $16$ છે.

(C) ધારો કે $A = 0.5 \; m^{2}$ એ ટાંકીનું ક્ષેત્રફળ છે,$a = 1 \; cm^{2} = 10^{-4} \; m^{2}$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે,$M = 25 \; kg$ એ લાગુ પાડેલ દળ છે,અને $h = 40 \; cm = 0.4 \; m$ એ પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ છે.
ટોચની સપાટી અને છિદ્ર પર બર્નુલીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$P_{top} + \rho g h = P_{atm} + \frac{1}{2} \rho v^{2}$
અહીં,$P_{top} = P_{atm} + \frac{Mg}{A}$.
કિંમતો મૂકતા:
$P_{atm} + \frac{25 \times 10}{0.5} + 1000 \times 10 \times 0.4 = P_{atm} + \frac{1}{2} \times 1000 \times v^{2}$
$500 + 4000 = 500 v^{2}$
$4500 = 500 v^{2}$
$v^{2} = 9$
$v = 3 \; m \; s^{-1} = 300 \; cm \; s^{-1}$.

(C) ધારો કે ગોળાનું દળ $m_b = 50 \; g = 0.05 \; kg$ અને ગોળીનું દળ $m_u = 75 \; g = 0.075 \; kg$ છે. લોલકની લંબાઈ $R = 2 \; m$ છે.
ગોળો શિરોલંબ વર્તુળ પૂર્ણ કરે તે માટે,સૌથી નીચલા બિંદુએ લઘુત્તમ વેગ $u = \sqrt{5gR}$ હોવો જોઈએ.
કિંમતો મૂકતા: $u = \sqrt{5 \times 10 \times 2} = \sqrt{100} = 10 \; m/s$.
અથડામણ દરમિયાન સમક્ષિતિજ દિશામાં રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_u v = m_u (v/3) + m_b u$
$0.075 v = 0.075 (v/3) + 0.05 (10)$
$0.075 v - 0.025 v = 0.5$
$0.05 v = 0.5$
$v = 10 \; m/s$.

(A) આપેલ એકમ પાસ્કલ-સેકન્ડ $(Pa \cdot s)$ છે.
પાસ્કલ $(Pa)$ એ દબાણનો એકમ છે,જે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $Pa = \frac{N}{m^2} = \frac{kg \cdot m/s^2}{m^2} = kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}$.
તેથી,પાસ્કલ-સેકન્ડ એકમ $(kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}) \cdot s = kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-1}$ થાય છે.
દળ $(kg)$ માટે પારિમાણિક સૂત્ર $[M]$,લંબાઈ $(m)$ માટે $[L]$,અને સમય $(s)$ માટે $[T]$ છે.
આ કિંમતોને એકમના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $[M][L]^{-1}[T]^{-1} = [ML^{-1}T^{-1}]$ મળે છે.

(C) કોણીય વ્યાસ $\theta$ એ સૂત્ર $\theta = \frac{d}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ સૂર્યનો વ્યાસ છે અને $r$ એ પૃથ્વીથી અંતર છે.
પ્રથમ,કોણીય વ્યાસને સેકન્ડ $(s)$ માંથી રેડિયનમાં રૂપાંતરિત કરો:
$\theta = 2000 \,s = \frac{2000}{60 \times 60} \text{ ડિગ્રી} = \frac{2000}{3600} \times \frac{\pi}{180} \text{ રેડિયન}$.
આપેલ છે $r = 1.5 \times 10^{11} \,m$.
સૂત્ર $d = \theta \times r$ માં કિંમતો મૂકતા:
$d = \left( \frac{2000}{3600} \times \frac{\pi}{180} \right) \times (1.5 \times 10^{11})$
$d = \left( \frac{20}{36} \times \frac{\pi}{180} \right) \times 1.5 \times 10^{11}$
$d \approx (0.555 \times 0.01745) \times 1.5 \times 10^{11}$
$d \approx 0.00969 \times 1.5 \times 10^{11} \approx 1.45 \times 10^{9} \,m$.

(B) પગલું $1$: જ્યારે દડો પાણીની સપાટીને અથડાય ત્યારે તેનો વેગ $v$ શોધો.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0 \, m/s$,$g = 9.8 \, m/s^2$,અને $h = 4.9 \, m$ છે:
$v^2 = 0 + 2 \times 9.8 \times 4.9 = 96.04$
$v = \sqrt{96.04} = 9.8 \, m/s$.
પગલું $2$: ઊંચાઈ $h$ પરથી નીચે પડવા માટે લાગતો સમય શોધો.
$v = u + gt$ નો ઉપયોગ કરતા:
$9.8 = 0 + 9.8 \times t_1$
$t_1 = 1.0 \, s$.
પગલું $3$: તળિયે પહોંચવા માટે લાગતો સમય શોધો.
કુલ સમય $4.0 \, s$ છે,તેથી પાણીમાં વિતાવેલો સમય $t_2 = 4.0 - 1.0 = 3.0 \, s$ છે.
પગલું $4$: તળાવની ઊંડાઈ શોધો.
દડો અચળ વેગ $v = 9.8 \, m/s$ થી નીચે જાય છે:
ઊંડાઈ $= v \times t_2 = 9.8 \times 3.0 = 29.4 \, m$.

(D) ગેલ્વેનોમીટરની ફિગર ઓફ મેરિટ $K$ ને એકમ વિચલન ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી પ્રવાહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $K = \frac{I_g}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_g$ એ ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે અને $n$ એ વિચલનની સંખ્યા છે.
તેથી,ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_g = Kn$ છે.
રૂપાંતરિત ગેલ્વેનોમીટર (એમીટર) માં,શંટ અવરોધ $S$ ને ગેલ્વેનોમીટર અવરોધ $G$ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે.
સમાંતર સર્કિટમાં પ્રવાહ વિભાજનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,કુલ પ્રવાહ $I$ એ $I = I_g \left( \frac{G + S}{S} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણમાં $I_g = Kn$ મૂકતા,આપણને $I = \frac{nK(G + S)}{S}$ મળે છે.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને દરેક નાના ટીપા પરનો વીજભાર $q$ છે.
દરેક નાના ટીપાનું પોટેન્શિયલ $V = \frac{kq}{r} = 22 \ V$ છે.
જ્યારે $n = 27$ ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વીજભાર ધરાવતું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) \Rightarrow R = n^{1/3} r = (27)^{1/3} r = 3r$.
મોટા ટીપા પરનો કુલ વીજભાર $Q = nq = 27q$ છે.
મોટા ટીપાનું પોટેન્શિયલ $V' = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} \left( \frac{kq}{r} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V' = (27)^{2/3} \times 22 = (3^3)^{2/3} \times 22 = 3^2 \times 22 = 9 \times 22 = 198 \ V$.

(B) તારને ખેંચતી વખતે તેનું કદ $V$ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણી પાસે $V = A \ell = A^{\prime} \ell^{\prime}$ છે.
આપેલ છે કે નવી લંબાઈ $\ell^{\prime} = 2\ell$ છે,તેથી કદના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $A \ell = A^{\prime} (2\ell)$,જે આપણને $A^{\prime} = \frac{A}{2}$ આપે છે.
પ્રારંભિક અવરોધ $R = \rho \frac{\ell}{A}$ છે.
નવો અવરોધ $R^{\prime} = \rho \frac{\ell^{\prime}}{A^{\prime}} = \rho \frac{2\ell}{A/2} = 4 \rho \frac{\ell}{A} = 4R$ છે.
અવરોધમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{R^{\prime} - R}{R} \times 100\%$ દ્વારા મળે છે.
$R^{\prime} = 4R$ મૂકતા,આપણને $\frac{4R - R}{R} \times 100\% = 3 \times 100\% = 300\%$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: $L = 100 \, mH = 0.1 \, H$,$C = 100 \, \mu F = 10^{-4} \, F$,$R = 10 \, \Omega$,$V = 220 \, V$,$f = 50 \, Hz$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 50 = 100 \pi \, rad/s$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 100 \pi \times 0.1 = 10 \pi \approx 31.4 \, \Omega$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \pi \times 10^{-4}} = \frac{100}{\pi} \approx 31.8 \, \Omega$.
ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{10^2 + (31.4 - 31.8)^2} = \sqrt{100 + (-0.4)^2} = \sqrt{100 + 0.16} \approx \sqrt{100} = 10 \, \Omega$.
પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{220}{10} = 22 \, A$.

(D) વોલ્ટેજ ગેઇન $A_v$ એ કરંટ ગેઇન $\beta$ અને રેઝિસ્ટન્સ ગેઇનનો ગુણાકાર છે.
$\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B} = \frac{(15 - 5) \times 10^{-3} \text{ A}}{(300 - 100) \times 10^{-6} \text{ A}} = \frac{10 \times 10^{-3}}{200 \times 10^{-6}} = 50$.
વોલ્ટેજ ગેઇન $A_v = \beta \times \frac{R_o}{R_i} = 50 \times \frac{60 \ \Omega}{200 \ \Omega} = 50 \times 0.3 = 15$.

(C) અનંત લંબાઈ ધરાવતી પાતળી,અવાહક સમતલ શીટ કે જેની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ છે,તેના કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન (uniform) છે,જેનો અર્થ છે કે તે શીટથી અંતર પર આધાર રાખતું નથી.
અહીં $P_{1}$ અને $P_{2}$ બંને આ મોટી શીટની નજીકના બિંદુઓ હોવાથી,તેમના અંતર $l$ અને $2l$ હોવા છતાં બંને બિંદુઓ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન રહેશે.
તેથી,$E_{1} = E_{2} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$.

(A) $1$. $AC$ જનરેટર વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે અને યાંત્રિક ઉર્જાનું વિદ્યુત ઉર્જામાં રૂપાંતર કરે છે. તેથી,$(A)-(II)$.
$2$. ગેલ્વેનોમીટર એ એક સાધન છે જેનો ઉપયોગ પરિપથમાં વિદ્યુતપ્રવાહની હાજરી શોધવા માટે થાય છે. તેથી,$(B)-(I)$.
$3$. ટ્રાન્સફોર્મર એ એક ઉપકરણ છે જે ઓલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજને નાના અથવા મોટા મૂલ્યમાં બદલે છે (સ્ટેપ-અપ અથવા સ્ટેપ-ડાઉન). તેથી,$(C)-(IV)$.
$4$. મેટલ ડિટેક્ટરમાં સામાન્ય રીતે ઇન્ડક્ટર કોઇલ હોય છે અને તે $AC$ પરિપથમાં વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ અને અનુનાદના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે. તેથી,$(D)-(III)$.
આમ,સાચી જોડ $(A)-(II), (B)-(I), (C)-(IV), (D)-(III)$ છે.

(B) એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,બંધ ગાળાની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નું રેખીય સંકલન એ ગાળા દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રવાહના $\mu_{0}$ ગણું હોય છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_{0} I_{\text{enclosed}}$.
કેન્દ્રથી $r < R$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,આપણે $r$ ત્રિજ્યાનો એમ્પેરિયન લૂપ વિચારીએ છીએ.
પ્રવાહ ઘનતા $J$ સમાન છે,તેથી $J = \frac{I}{\pi R^{2}}$.
$r$ ત્રિજ્યાના લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રવાહ $I_{\text{enclosed}} = J \cdot (\pi r^{2}) = \frac{I}{\pi R^{2}} \cdot \pi r^{2} = I \frac{r^{2}}{R^{2}}$ છે.
એમ્પિયરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $B(2\pi r) = \mu_{0} \left( I \frac{r^{2}}{R^{2}} \right)$.
$B$ માટે ઉકેલતા,આપણને $B = \frac{\mu_{0} I r}{2\pi R^{2}}$ મળે છે.
અહીં $\mu_{0}$,$I$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$B \propto r$ થાય છે.

(B) $AC$ સર્કિટમાં, વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\phi$ એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત (phase difference) છે.
વોટલેસ પ્રવાહ એવો પ્રવાહ છે જે સર્કિટમાં કોઈ પણ સરેરાશ પાવરનો વપરાશ કર્યા વિના વહે છે.
પાવર શૂન્ય થવા માટે, પાવર ફેક્ટર $\cos \phi$ શૂન્ય હોવો જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે $\phi = \frac{\pi}{2}$ (અથવા $90^{\circ}$).
આ સ્થિતિ શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટ અથવા શુદ્ધ કેપેસિટિવ સર્કિટમાં જોવા મળે છે, જ્યાં વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત બરાબર $\frac{\pi}{2}$ હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટ આ શરતનું પાલન કરે છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર: $I = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E_{0}^{2} c$ છે.
અહીં,મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{0} = 56.5 \; V/m$,$\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} \; C^{2} N^{-1} m^{-2}$,અને $c = 3 \times 10^{8} \; m/s$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (56.5)^{2} \times (3 \times 10^{8})$.
$I = 0.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 3192.25 \times 3 \times 10^{8}$.
$I = 4.24 \; W m^{-2}$.

(B) બે વ્યતિકરણ અનુભવતા કિરણો જેની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે અને કળા તફાવત $\phi$ હોય,તો પરિણામી તીવ્રતા $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $P$ આગળ,કળા તફાવત $\phi_P = \frac{\pi}{2}$ છે.
$I_P = I + 9I + 2\sqrt{I \times 9I} \cos \frac{\pi}{2} = 10I + 2(3I)(0) = 10I$.
બિંદુ $Q$ આગળ,કળા તફાવત $\phi_Q = \pi$ છે.
$I_Q = I + 9I + 2\sqrt{I \times 9I} \cos \pi = 10I + 2(3I)(-1) = 10I - 6I = 4I$.
$P$ અને $Q$ આગળ પરિણામી તીવ્રતાનો તફાવત:
$I_P - I_Q = 10I - 4I = 6I$.

(D) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $\theta_{C}$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{\mu_{r} \epsilon_{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ માધ્યમ માટે: $\mu_{D} = \sqrt{1 \times 4} = 2$.
હવા માટે: $\mu_{R} = 1$.
ક્રાંતિકોણ $\theta_{C}$ ની વ્યાખ્યા $\sin \theta_{C} = \frac{\mu_{R}}{\mu_{D}} = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,$\theta_{C} = 30^{\circ}$.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,$i > \theta_{C}$,જેનો અર્થ છે કે $i > 30^{\circ}$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$60^{\circ}$ એ એકમાત્ર મૂલ્ય છે જે $30^{\circ}$ કરતા વધારે છે અને પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની શરતનું પાલન કરે છે.

(A) ડેવિસન-ગર્મર પ્રયોગે નિકલ સ્ફટિકમાંથી ઇલેક્ટ્રોન વિવર્તનની ભાતનું અવલોકન કરીને ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિ માટેનો પ્રથમ પ્રાયોગિક પુરાવો પૂરો પાડ્યો હતો.
ઇલેક્ટ્રોન તરંગ જેવી લાક્ષણિકતાઓ ધરાવતા હોવાથી,તેઓએ તરંગ મિકેનિક્સના સિદ્ધાંતોનું પાલન કરવું જોઈએ,જેમાં વ્યતિકરણ અને વિવર્તનનો સમાવેશ થાય છે.
તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે કારણ કે પ્રયોગ ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિની પુષ્ટિ કરે છે.
વિધાન $II$ પણ સાચું છે કારણ કે વિવર્તન અને વ્યતિકરણ એ તરંગોના લાક્ષણિક ગુણધર્મો છે,અને ઇલેક્ટ્રોન તેમની તરંગ પ્રકૃતિને કારણે આ વર્તણૂક દર્શાવે છે.
આમ,બંને વિધાનો સાચા છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપનું સૂત્ર $v_n = v_0 \frac{Z}{n}$ છે,જ્યાં $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે અને $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
અહીં બંને કિસ્સામાં મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ સમાન $(n=3)$ હોવાથી,ઝડપ એ પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(v \propto Z)$.
$He^{+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z_{He^+} = 2$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(H)$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z_H = 1$ છે.
તેથી,ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_{He^+}}{v_H} = \frac{Z_{He^+}}{Z_H} = \frac{2}{1} = 2:1$ થશે.

(D) ફોટોડાયોડ એ એક $p-n$ જંકશન ડાયોડ છે જે પારદર્શક વિન્ડો સાથે બનાવવામાં આવે છે જેથી પ્રકાશ ડાયોડ પર પડી શકે. જ્યારે ફોટોડાયોડ પર પ્રકાશ ($h
u > E_g$ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોન) આપાત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ફોટોનના શોષણને કારણે ઇલેક્ટ્રોન-હોલ જોડીઓ ઉત્પન્ન થાય છે. આ ચાર્જ કેરિયર્સ ડિપ્લેશન રિજનમાં માઇનોરિટી કેરિયર્સ હોય છે. રિવર્સ બાયસ હેઠળ,વિદ્યુત ક્ષેત્ર આ માઇનોરિટી કેરિયર્સને જંકશનની આરપાર ખેંચે છે,જેનાથી કરંટ ઉત્પન્ન થાય છે. રિવર્સ સેચ્યુરેશન કરંટ માઇનોરિટી કેરિયર્સના ઉત્પાદન પ્રત્યે અત્યંત સંવેદનશીલ હોવાથી,આપાત પ્રકાશની તીવ્રતામાં થતો નાનો આંશિક ફેરફાર રિવર્સ બાયસ કરંટમાં નોંધપાત્ર અને સરળતાથી શોધી શકાય તેવો ફેરફાર ઉત્પન્ન કરે છે.

(B) ઓપ્ટિકલ ફાઈબર કોમ્યુનિકેશનની આવૃત્તિ શ્રેણી આશરે $1 \,THz$ થી $1000 \,THz$ સુધીની હોય છે. $100 \,THz$ આ શ્રેણીમાં આવતું હોવાથી,આવા ઉચ્ચ આવૃત્તિવાળા સિગ્નલોના પ્રસારણ માટે ઓપ્ટિકલ ફાઈબર સૌથી કાર્યક્ષમ માધ્યમ છે. અન્ય વિકલ્પો જેવા કે કોએક્સિયલ કેબલ અને ટ્વિસ્ટેડ પેર ઘણી ઓછી આવૃત્તિઓ (સામાન્ય રીતે $MHz$ થી $GHz$ શ્રેણીમાં) સુધી મર્યાદિત છે.

(C) માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{c}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $\mu$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
પ્રથમ,માધ્યમ $B$ માં પ્રકાશની ઝડપ $(v_{B})$ શોધો:
$v_{B} = \frac{3 \times 10^{8}}{1.47} \approx 2.04 \times 10^{8} \, m/s = 20.4 \times 10^{7} \, m/s$.
ઝડપનો તફાવત $v_{A} - v_{B} = 2.6 \times 10^{7} \, m/s$ આપેલ હોવાથી,આપણે $v_{A}$ શોધી શકીએ છીએ:
$v_{A} = v_{B} + 2.6 \times 10^{7} = (20.4 + 2.6) \times 10^{7} = 23 \times 10^{7} \, m/s$.
કારણ કે $v = \frac{c}{\mu}$,તેથી $\mu = \frac{c}{v}$. તેથી,વક્રીભવનાંકનો ગુણોત્તર:
$\frac{\mu_{B}}{\mu_{A}} = \frac{c/v_{B}}{c/v_{A}} = \frac{v_{A}}{v_{B}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\mu_{B}}{\mu_{A}} = \frac{23 \times 10^{7}}{20.4 \times 10^{7}} \approx 1.127 \approx 1.13$.

(B) અડધા-કોણાવર્તન અથવા આંશિક-કોણાવર્તન પદ્ધતિમાં,ગેલ્વેનોમીટરને શંટ અવરોધ $S$ સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે.
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ સમાંતરમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$(I - I_g) S = I_g G$
જ્યાં $I$ એ કુલ પ્રવાહ છે,$I_g$ એ ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે,અને $G$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને પ્રવાહનો ગુણોત્તર મળે છે:
$\frac{I_g}{I} = \frac{S}{S + G}$
આપેલ છે કે કોણાવર્તન પ્રારંભિક મૂલ્યના $\frac{1}{3}$ છે,તેથી ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_g = \frac{1}{3} I$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{I_g}{I} = \frac{1}{3}$.
આને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{3} = \frac{S}{S + G}$
$S + G = 3S$
$G = 2S$
આમ,ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ એ વપરાયેલ શંટ અવરોધના મૂલ્ય કરતા બમણો હોય છે.

(C) પરિપથનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પ્રથમ ત્રણ કેપેસિટર્સ ઇનપુટ અને બિંદુ $P$ ની વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $8 \mu F$ છે.
તેથી,આ ત્રણ સમાંતર કેપેસિટર્સનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 8 \mu F + 8 \mu F + 8 \mu F = 24 \mu F$ થાય.
આ સંયોજન ત્યારબાદ બિંદુ $B$ સાથે જોડાયેલા છેલ્લા $8 \mu F$ ના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે.
આમ,કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C_{eq} = \frac{C_p \times 8 \mu F}{C_p + 8 \mu F} = \frac{24 \mu F \times 8 \mu F}{24 \mu F + 8 \mu F} = \frac{192}{32} \mu F = 6 \mu F$.

(B) અવરોધકમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મીય ઊર્જા $H$ નું સૂત્ર $H = i^2 Rt$ છે,જ્યાં $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$R$ એ અવરોધ છે અને $t$ એ સમય છે.
પ્રથમ,આપણે આપેલ કિંમતોનો ઉપયોગ કરીને અવરોધ $R$ શોધીએ: $H = 300 \,J$,$i = 2 \,A$ અને $t = 15 \,s$.
$300 = 2^2 \times R \times 15$
$300 = 4 \times R \times 15$
$300 = 60R$
$R = \frac{300}{60} = 5 \,\Omega$
હવે,જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 3 \,A$ અને સમય $t = 10 \,s$ હોય ત્યારે સમાન અવરોધ $R = 5 \,\Omega$ માટે ઉત્પન્ન થતી ઊર્જાની ગણતરી કરીએ:
$H = i^2 Rt$
$H = 3^2 \times 5 \times 10$
$H = 9 \times 5 \times 10$
$H = 450 \,J$

(B) $1$. સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરો: સર્કિટમાં $5 \, V$ ની બેટરી અવરોધકોના નેટવર્ક સાથે જોડાયેલ છે.
$2$. સર્કિટને સરળ બનાવો: આપેલ આકૃતિ અને ઉકેલ મુજબ,સર્કિટ $5 \, V$ ની બેટરી સાથે સમાંતર રીતે જોડાયેલ $2.5 \, \Omega$ ના સમતુલ્ય અવરોધમાં પરિણમે છે.
$3$. ઓહ્મના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R}$ થાય.
$4$. અહીં $V = 5 \, V$ અને $R = 2.5 \, \Omega$ છે.
$5$. તેથી,$I = \frac{5 \, V}{2.5 \, \Omega} = 2 \, A$.

(A) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E = \int L I \, dI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $L = 2.0 \, H$ અને $I = 2 \sin(t^2) \, A$.
પ્રથમ,સમયગાળો શોધો. જ્યારે $I = 0$,ત્યારે $2 \sin(t^2) = 0 \Rightarrow t = 0$.
જ્યારે $I = 2 \, A$,ત્યારે $2 \sin(t^2) = 2 \Rightarrow \sin(t^2) = 1 \Rightarrow t^2 = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$.
વપરાતી ઉર્જા $E = \int_{0}^{2} L I \, dI = \int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} L I \left( \frac{dI}{dt} \right) dt$ છે.
$I = 2 \sin(t^2)$ હોવાથી,$\frac{dI}{dt} = 2 \cos(t^2) \cdot 2t = 4t \cos(t^2)$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$E = \int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} 2 \cdot (2 \sin(t^2)) \cdot (4t \cos(t^2)) \, dt$
$E = 16 \int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} t \sin(t^2) \cos(t^2) \, dt$
નિત્યસમ $2 \sin \theta \cos \theta = \sin(2 \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 8 \int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} t \sin(2t^2) \, dt$
ધારો કે $u = 2t^2$,તો $du = 4t \, dt$,તેથી $t \, dt = \frac{du}{4}$.
જ્યારે $t = 0, u = 0$. જ્યારે $t = \sqrt{\pi/2}, u = \pi$.
$E = 8 \int_{0}^{\pi} \sin(u) \frac{du}{4} = 2 \int_{0}^{\pi} \sin(u) \, du$
$E = 2 [-\cos(u)]_{0}^{\pi} = 2 [-\cos(\pi) - (-\cos(0))] = 2 [1 + 1] = 4 \, J$.

(C) ગૌણ ગૂંચળામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $(e_{2})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e_{2} = -M \frac{di_{1}}{dt}$.
અહીં,$M$ એ મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ છે અને $i_{1}$ એ પ્રાથમિક ગૂંચળામાં વહેતો પ્રવાહ છે.
$M$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $M = -\frac{e_{2}}{di_{1}/dt}$.
પ્રેરિત emf $(e_{2})$ નું પારિમાણિક સૂત્ર સ્થિતિમાનના તફાવત જેવું જ હોય છે,જે $[ML^{2}T^{-3}A^{-1}]$ છે.
પ્રવાહમાં થતા ફેરફારનો દર $(di_{1}/dt)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[AT^{-1}]$ છે.
તેથી,$M$ નું પરિમાણ: $[M] = \frac{[ML^{2}T^{-3}A^{-1}]}{[AT^{-1}]} = [ML^{2}T^{-2}A^{-2}]$ થાય છે.

(A) $C_1 = 10 \; \mu F$,$C_2 = 15 \; \mu F$ અને $C_3 = 20 \; \mu F$ ના કેપેસિટરો $V = 13 \; V$ ના વોલ્ટેજ સ્ત્રોત સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
શ્રેણી જોડાણ માટે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{6 + 4 + 3}{60} = \frac{13}{60} \; \mu F^{-1}$
તેથી,$C_{eq} = \frac{60}{13} \; \mu F$.
સ્ત્રોત દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$:
$Q = C_{eq} \times V = \left( \frac{60}{13} \; \mu F \right) \times 13 \; V = 60 \; \mu C$.
કેપેસિટરો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે અને તે કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ જેટલો જ હોય છે.
આમ,$15 \; \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $60 \; \mu C$ છે.

(C) મૂળ કેપેસિટન્સ $C = \frac{A \varepsilon_0}{d} = 4 \, \mu F$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે જગ્યા આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ભરવામાં આવે છે,ત્યારે સિસ્ટમ શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર તરીકે કાર્ય કરે છે,જેમાં દરેકનું પ્લેટ અંતર $d/2$ છે.
પ્રથમ કેપેસિટર (હવા ભરેલું) નું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{A \varepsilon_0}{d/2} = 2 \left( \frac{A \varepsilon_0}{d} \right) = 2C$ છે.
બીજા કેપેસિટર (ડાયઇલેક્ટ્રિક ભરેલું) નું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{K A \varepsilon_0}{d/2} = 2K \left( \frac{A \varepsilon_0}{d} \right) = 2KC = 2(3)C = 6C$ છે.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{\text{new}}$ છે:
$C_{\text{new}} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{(2C)(6C)}{2C + 6C} = \frac{12C^2}{8C} = 1.5C$.
$C = 4 \, \mu F$ મૂકતા:
$C_{\text{new}} = 1.5 \times 4 \, \mu F = 6 \, \mu F$.

(B) ધારો કે નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાનું કદ એ $64$ નાના ટીપાના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 64 r^3 \implies R = 4r$.
ધારો કે દરેક નાના ટીપા પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે અને મોટા ટીપા પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ છે.
વિદ્યુતભાર સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$Q = 64q$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ને $\sigma = \frac{\text{Charge}}{\text{Area}} = \frac{q}{4\pi r^2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
નાના ટીપા માટે,$\sigma_s = \frac{q}{4\pi r^2}$.
મોટા ટીપા માટે,$\sigma_B = \frac{Q}{4\pi R^2} = \frac{64q}{4\pi (4r)^2} = \frac{64q}{4\pi (16r^2)} = 4 \times \frac{q}{4\pi r^2}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\sigma_B}{\sigma_s} = \frac{4 \times \sigma_s}{\sigma_s} = 4:1$.

(C) બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે પરિપથને સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સરળ બનાવીએ છીએ.
$1$. ઉપરની ડાબી બાજુની શાખામાં રહેલા બે $5 \, \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનો સરવાળો $5 \, \Omega + 5 \, \Omega = 10 \, \Omega$ થાય.
$2$. આ $10 \, \Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ,બિંદુ $A$ સાથે જોડાયેલા $10 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \, \Omega$ થાય.
$3$. હવે,આ $5 \, \Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ પછીના $5 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી $5 \, \Omega + 5 \, \Omega = 10 \, \Omega$ મળે.
$4$. આ $10 \, \Omega$ પછીના $10 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી $\frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \, \Omega$ મળે.
$5$. અંતે,આ $5 \, \Omega$ છેલ્લા $5 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી $5 \, \Omega + 5 \, \Omega = 10 \, \Omega$ મળે.
$6$. આ $10 \, \Omega$ એ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે સીધા જોડાયેલા $10 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી અંતિમ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB} = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \, \Omega$ થાય.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = MB(\cos \theta_{1} - \cos \theta_{2})$
આપેલ છે:
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 2.0 \times 10^{5} \; J T^{-1}$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 14 \times 10^{-5} \; T$
પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_{1} = 0^{\circ}$ (ક્ષેત્રની દિશામાં)
અંતિમ ખૂણો $\theta_{2} = 60^{\circ}$
કિંમતો મૂકતા:
$W = (2.0 \times 10^{5}) \times (14 \times 10^{-5}) \times (\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ})$
$W = 2.0 \times 14 \times (1 - 0.5)$
$W = 28 \times 0.5$
$W = 14 \; J$

(D) જ્યારે બે ગૂંચળા શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે કુલ પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ એ સ્વ-પ્રેરિત $EMF$ અને અન્યોન્ય પ્રેરિત $EMF$ નો સરવાળો હોય છે.
કુલ $EMF$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V = V_{L1} + V_{L2} + V_{M1} + V_{M2}$
$V = L_{1} \frac{dI}{dt} + L_{2} \frac{dI}{dt} + M \frac{dI}{dt} + M \frac{dI}{dt}$
આપેલ આકૃતિને જોતા,વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ પ્રથમ ગૂંચળામાં પ્રવેશે છે અને બહાર નીકળે છે,ત્યારબાદ બીજા ગૂંચળામાં એવી રીતે પ્રવેશે છે કે બીજા ગૂંચળામાં વિદ્યુતપ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ પ્રથમ ગૂંચળા દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ફ્લક્સનો વિરોધ કરે છે.
ગૂંચળાના વાઈન્ડિંગની સાપેક્ષમાં બંને ગૂંચળામાં વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,અન્યોન્ય પ્રેરકત્વની અસર બાદબાકી સ્વરૂપે મળે છે.
તેથી,સમતુલ્ય આત્મ-પ્રેરકત્વ $L_{eq}$:
$L_{eq} = L_{1} + L_{2} - 2M$

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં કોણીય ઝડપ $\omega$ સાથે એક છેડાની આસપાસ ફરતા $l$ લંબાઈના વાહકમાં પ્રેરિત emf $(e)$ નું સૂત્ર: $e = \frac{1}{2} B \omega l^2$ છે.
આપેલ છે:
લંબાઈ $l = 1 \; m$
કોણીય ઝડપ $\omega = 5 \; rad/s$
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = 0.2 \times 10^{-4} \; T$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$e = \frac{0.2 \times 10^{-4} \times 5 \times (1)^2}{2}$
$e = \frac{1.0 \times 10^{-4}}{2}$
$e = 0.5 \times 10^{-4} \; V$
$e = 50 \times 10^{-6} \; V = 50 \; \mu V$
આમ,પ્રેરિત emf $50 \; \mu V$ છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટ મુજબ, તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ નીચે મુજબના ક્રમમાં વધે છે:

$\gamma$-કિરણો

$X$-કિરણો

અલ્ટ્રાવાયોલેટ

દ્રશ્ય પ્રકાશ

ઇન્ફ્રારેડ

માઇક્રોવેવ

રેડિયો તરંગો

તેથી, તરંગલંબાઈનો સાચો ચડતો ક્રમ: $\lambda_{\text{gamma-ray}} < \lambda_{\text{X-ray}} < \lambda_{\text{visible}} < \lambda_{\text{microwave}}$ છે.

(C) આપેલ છે:
$\lambda_{\text{emitted}} = 670 \; nm$
$\lambda_{\text{obs}} = 670.7 \; nm$
$c = 3 \times 10^{8} \; m/s$
જ્યારે $v << c$ હોય ત્યારે પ્રકાશ માટે ડોપ્લર શિફ્ટનું સૂત્ર:
$\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$
જ્યાં $\Delta \lambda = \lambda_{\text{obs}} - \lambda_{\text{emitted}} = 670.7 - 670 = 0.7 \; nm$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{0.7}{670} = \frac{v}{3 \times 10^{8}}$
$v = \frac{0.7 \times 3 \times 10^{8}}{670}$
$v = \frac{2.1 \times 10^{8}}{670} \approx 0.003134 \times 10^{8} \; m/s$
$v \approx 3.13 \times 10^{5} \; m/s$.

(A) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12400 \; eV \cdot \mathring A}{4500 \; \mathring A} \approx 2.76 \; eV$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ છે,જ્યાં $K$ એ ગતિ ઉર્જા છે.
$K$ માટે સૂત્ર: $K = \frac{(qBR)^2}{2m}$.
અહીં $q = 1.6 \times 10^{-19} \; C$,$B = 2 \times 10^{-3} \; T$,$R = 2 \times 10^{-3} \; m$,અને $m = 9.1 \times 10^{-31} \; kg$ આપેલ છે:
$K = \frac{(1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-3} \times 2 \times 10^{-3})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31}} = \frac{(6.4 \times 10^{-25})^2}{18.2 \times 10^{-31}} \approx 2.25 \times 10^{-19} \; J$.
$eV$ માં રૂપાંતર કરતા: $K = \frac{2.25 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 1.40 \; eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\phi = E - K = 2.76 \; eV - 1.40 \; eV = 1.36 \; eV$.

(D) કુલ ક્ષય અચળાંક $\lambda_{\text{eq}}$ એ બે પ્રક્રિયાઓ માટેના વ્યક્તિગત ક્ષય અચળાંકોનો સરવાળો છે: $\lambda_{\text{eq}} = \lambda_1 + \lambda_2$.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ સાથે $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{\ln 2}{(T_{1/2})_{\text{eq}}} = \frac{\ln 2}{(T_{1/2})_1} + \frac{\ln 2}{(T_{1/2})_2}$.
બંને બાજુ $\ln 2$ વડે ભાગતા,આપણને અસરકારક અર્ધ-આયુષ્ય માટેનું સૂત્ર મળે છે:
$(T_{1/2})_{\text{eq}} = \frac{(T_{1/2})_1 \times (T_{1/2})_2}{(T_{1/2})_1 + (T_{1/2})_2}$.
આપેલ કિંમતો $(T_{1/2})_1 = 3.0 \, hours$ અને $(T_{1/2})_2 = 4.5 \, hours$ મૂકતા:
$(T_{1/2})_{\text{eq}} = \frac{3.0 \times 4.5}{3.0 + 4.5} = \frac{13.5}{7.5} = 1.8 \, hours$.

(B) ઓસિલેટર એ એક એવું સર્કિટ છે જે કોઈપણ બાહ્ય ઇનપુટ સિગ્નલ વિના સતત સામયિક તરંગ ઉત્પન્ન કરે છે.
એમ્પ્લીફાયરને ઓસિલેટર તરીકે કાર્ય કરવા માટે,તેને પોઝિટિવ ફીડબેકની જરૂર હોય છે.
પોઝિટિવ ફીડબેકનો અર્થ એ છે કે આઉટપુટ સિગ્નલ (વોલ્ટેજ અથવા પાવર) નો એક ભાગ મૂળ ઇનપુટ સિગ્નલ સાથે સમાન કળામાં ઇનપુટમાં પાછો આપવામાં આવે છે.
આ ફીડબેક ઇનપુટને મજબૂત બનાવે છે,જેનાથી સર્કિટ સ્વતંત્ર રીતે ઓસિલેશન જાળવી શકે છે.

(D) આપેલ કેરિયર તરંગ: $y(t) = 40 \sin(10^7 \pi t)$,તેથી $A_c = 40$ અને $\omega_c = 10^7 \pi$.
આપેલ મોડ્યુલેટિંગ તરંગ: $x(t) = 20 \sin(1000 \pi t)$,તેથી $A_m = 20$ અને $\omega_m = 10^3 \pi$.
મોડ્યુલેટેડ તરંગનું સમીકરણ $E = A_c(1 + \mu \sin \omega_m t) \sin \omega_c t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = \frac{A_m}{A_c} = \frac{20}{40} = 0.5$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $E = A_c \sin \omega_c t + \frac{\mu A_c}{2} \cos(\omega_c - \omega_m)t - \frac{\mu A_c}{2} \cos(\omega_c + \omega_m)t$.
આવૃત્તિ ઘટકો $\omega_c$,$(\omega_c - \omega_m)$,અને $(\omega_c + \omega_m)$ છે.
ન્યૂનતમ આવૃત્તિ ઘટક $(\omega_c - \omega_m)$ છે.
આ ઘટકનો કંપવિસ્તાર $\frac{\mu A_c}{2} = \frac{A_m}{2} = \frac{20}{2} = 10$ છે.

(C) $I_1$ અને $I_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અને $d$ અંતરે રહેલા બે લાંબા સમાંતર તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $F/L = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
તારની લંબાઈ $L = 10 \; cm = 0.1 \; m$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I_1 = I_2 = 5 \; A$
બળ $F = 10^{-5} \; N$
$L$ લંબાઈના તાર પર લાગતું કુલ બળ $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2 \pi d}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$10^{-5} = \frac{(2 \times 10^{-7}) \times 5 \times 5 \times 0.1}{d}$
$d = \frac{2 \times 10^{-7} \times 25 \times 0.1}{10^{-5}}$
$d = \frac{50 \times 10^{-8}}{10^{-5}} = 50 \times 10^{-3} \; m$
$d = 0.05 \; m = 5 \; cm$.

(C) ધારો કે $C$ એ ક્રાંતિકોણ (critical angle) છે.
સમસ્યાની ભૂમિતિ પરથી,પાણીની સપાટી પરના વર્તુળાકાર ક્ષેત્રફળની ત્રિજ્યા $r$ એ $\tan C = \frac{r}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h = \sqrt{7} \; m$ છે.
તેથી,$r = h \tan C$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin C = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan C = \frac{\sin C}{\sqrt{1 - \sin^2 C}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\tan C = \frac{3/4}{\sqrt{1 - (3/4)^2}} = \frac{3/4}{\sqrt{1 - 9/16}} = \frac{3/4}{\sqrt{7/16}} = \frac{3/4}{\sqrt{7}/4} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
કિંમતો મૂકતા,$r = \sqrt{7} \times \frac{3}{\sqrt{7}} = 3 \; m$.
સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (3)^2 = 9 \pi \; m^2$ છે.
આને $x \pi \; m^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 9$ મળે છે.

(D) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{6630 \times 10^{-10}} = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{6.63 \times 10^{-7}} = 3 \times 10^{-19} \; J$.
ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટમાં રૂપાંતર કરતા: $E = \frac{3 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 1.875 \; eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $E = \phi + eV_{0}$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $V_{0}$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે.
આપેલ છે $V_{0} = 0.42 \; V$,તેથી $eV_{0} = 0.42 \; eV$.
આમ,$\phi = E - eV_{0} = 1.875 \; eV - 0.42 \; eV = 1.455 \; eV$.
વર્ક ફંક્શનને જુલમાં રૂપાંતર કરતા: $\phi = 1.455 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J = 2.328 \times 10^{-19} \; J$.
થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_{0}$ એ $\phi = h\nu_{0}$ દ્વારા મળે છે.
$\nu_{0} = \frac{\phi}{h} = \frac{2.328 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}} \approx 0.351 \times 10^{15} \; s^{-1} = 35.1 \times 10^{13} \; s^{-1}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$x = 35$.

(A) શરૂઆતમાં,પરિપથમાં કુલ વિદ્યુતભાર કેપેસિટર $C_{1}$ માં સંગ્રહિત થાય છે.
$Q_{\text{total}} = C_{1} V$
જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર $C_{1}$ અને $C_{2}$ વચ્ચે સમાન સ્થિતિમાન $V'$ પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી પુનઃવિતરિત થાય છે.
કેપેસિટર સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,સામાન્ય સ્થિતિમાન નીચે મુજબ મળે છે:
$V' = \frac{Q_{\text{total}}}{C_{\text{eq}}} = \frac{C_{1} V}{C_{1} + C_{2}}$
સંતુલન સ્થિતિમાં કેપેસિટર $C_{2}$ પરનો વિદ્યુતભાર:
$Q_{2} = C_{2} V' = C_{2} \left( \frac{C_{1} V}{C_{1} + C_{2}} \right) = \frac{C_{1} C_{2} V}{C_{1} + C_{2}}$

(C) $Step \; 1$: અધ્રુવીય અણુઓમાં,બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં ધન વિદ્યુતભારનું કેન્દ્ર ઋણ વિદ્યુતભારના કેન્દ્ર સાથે સંપાત થાય છે. તેથી,ચોખ્ખી કાયમી ડાયપોલ મોમેન્ટ શૂન્ય હોય છે. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$Step \; 2$: કારણ $(R)$ જણાવે છે કે જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે ત્યારે કેન્દ્રો સંપાત થાય છે. આ ખોટું છે. જ્યારે અધ્રુવીય પદાર્થને બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારોના કેન્દ્રો વિરુદ્ધ દિશામાં સ્થાનાંતરિત થાય છે,જે ડાયપોલ મોમેન્ટ ઉત્પન્ન કરે છે. તેથી,કારણ $(R)$ ખોટું છે.
નિષ્કર્ષ: $(A)$ સાચું છે પરંતુ $(R)$ ખોટું છે.

(A) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 5t^3 + 4t^2 + 2t - 5$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ નું મૂલ્ય $|e| = |\frac{d\phi}{dt}|$ દ્વારા મળે છે.
$\phi$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$|e| = \frac{d}{dt}(5t^3 + 4t^2 + 2t - 5) = 15t^2 + 8t + 2$.
$t = 2 \; s$ સમયે,પ્રેરિત $EMF$:
$|e| = 15(2)^2 + 8(2) + 2 = 15(4) + 16 + 2 = 60 + 16 + 2 = 78 \; V$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{|e|}{R}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $R = 5 \; \Omega$.
$I = \frac{78}{5} = 15.6 \; A$.

(C) તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho \ell}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારને ખેંચતી વખતે કદ $V = \ell A$ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણી પાસે $A = \frac{V}{\ell}$ છે.
આ કિંમતને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $R = \frac{\rho \ell^2}{V}$ મળે છે.
નાના ફેરફારો માટે,અવરોધમાં સાપેક્ષ ફેરફાર $\frac{\Delta R}{R} = 2 \frac{\Delta \ell}{\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે લંબાઈમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta \ell}{\ell} \times 100 = 0.4 \%$ છે.
તેથી,અવરોધમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 2 \times 0.4 \% = 0.8 \%$ છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ,$K$ એ ગતિઊર્જા,$q$ એ વિદ્યુતભાર અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
જો કણો સમાન વેગથી ગતિ કરતા હોય,તો $R = \frac{mv}{qB}$ મુજબ,$\frac{R_{\alpha}}{R_{p}} = \frac{m_{\alpha}}{m_{p}} \times \frac{q_{p}}{q_{\alpha}}$.
આલ્ફા કણનું દળ $m_{\alpha} = 4m_{p}$ અને વિદ્યુતભાર $q_{\alpha} = 2q_{p}$ છે.
તેથી,$\frac{R_{\alpha}}{R_{p}} = \frac{4}{1} \times \frac{1}{2} = 2:1$.

(C) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E} = -301.6 \sin (kz - \omega t) \hat{a}_{x} + 452.4 \sin (kz - \omega t) \hat{a}_{y}$ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સંબંધ $B_{0} = E_{0} / c$ અને $H_{0} = B_{0} / \mu_{0} = E_{0} / (c \mu_{0})$ છે.
અહીં $c = 3 \times 10^{8} \text{ m/s}$ અને $\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ આપેલ છે,તેથી મુક્ત અવકાશનો અવરોધ $Z_{0} = \mu_{0} c = 4\pi \times 10^{-7} \times 3 \times 10^{8} \approx 377 \text{ } \Omega$ થાય.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઘટકો $H_{x} = -E_{y} / Z_{0}$ અને $H_{y} = E_{x} / Z_{0}$ છે.
ગુણાંકની ગણતરી કરતા: $301.6 / 377 = 0.8$ અને $452.4 / 377 = 1.2$ મળે છે.
દિશાના ગુણધર્મ $\hat{k} = \hat{E} \times \hat{H}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\vec{E} = E_{x} \hat{i} + E_{y} \hat{j}$ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{H} = \frac{1}{Z_{0}} (E_{y} \hat{i} - E_{x} \hat{j})$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{H} = \frac{1}{377} [452.4 \sin (kz - \omega t) \hat{i} - (-301.6 \sin (kz - \omega t)) \hat{j}] = 1.2 \sin (kz - \omega t) \hat{i} + 0.8 \sin (kz - \omega t) \hat{j}$.
તરંગ પ્રસરણની દિશા $+z$ હોવાથી,સાચો જવાબ $\vec{H} = -0.8 \sin (kz - \omega t) \hat{a}_{y} - 1.2 \sin (kz - \omega t) \hat{a}_{x}$ મળે છે.

(D) અવરોધનું માપ $a$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ નો ગુણોત્તર $\frac{a}{\lambda} = \frac{1}{100}$ છે.
પરાવર્તન થવા માટે,અવરોધનું માપ તરંગલંબાઈ કરતા ઘણું મોટું હોવું જોઈએ $(a \gg \lambda)$.
વિવર્તન થવા માટે,અવરોધનું માપ તરંગલંબાઈના ક્રમનું હોવું જોઈએ $(a \approx \lambda)$.
અહીં વસ્તુનું માપ $\frac{\lambda}{100}$ હોવાથી,જે તરંગલંબાઈ કરતા ઘણું નાનું છે $(a \ll \lambda)$,તેથી વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું પ્રકીર્ણન થશે.

(B) આપેલ છે કે $de-Broglie$ તરંગલંબાઇ સમાન છે: $\lambda_{e} = \lambda_{ph}$.
$\lambda = \frac{h}{p}$ હોવાથી,$p_{e} = p_{ph}$ થાય.
ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન $p_{e} = mv$ છે અને ફોટોનનું વેગમાન $p_{ph} = \frac{E_{ph}}{c}$ છે.
$p_{e} = p_{ph}$ હોવાથી,$mv = \frac{E_{ph}}{c}$,જેનો અર્થ છે કે $E_{ph} = mvc$.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E_{e} = \frac{1}{2}mv^{2}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E_{e}}{E_{ph}} = \frac{\frac{1}{2}mv^{2}}{mvc} = \frac{v}{2c}$.

(A) ધારો કે $n$ એ આલ્ફા કણોની સંખ્યા છે અને $m$ એ ઉત્સર્જિત બીટા કણોની સંખ્યા છે.
ક્ષય પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: ${}_{92}U^{238} \rightarrow {}_{82}Pb^{206} + n({}_{2}He^{4}) + m({}_{-1}e^{0})$.
દળ સંખ્યાને સરખાવતા: $238 = 206 + 4n \implies 4n = 32 \implies n = 8$.
પરમાણુ ક્રમાંકને સરખાવતા: $92 = 82 + 2n - m$.
$n = 8$ મૂકતા: $92 = 82 + 2(8) - m \implies 92 = 82 + 16 - m \implies 92 = 98 - m \implies m = 6$.
આમ,$8$ આલ્ફા કણો અને $6$ બીટા કણો ઉત્સર્જિત થાય છે.

(B) ડાયનેમિક અવરોધને $r_d = \frac{\Delta V}{\Delta I}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વોલ્ટેજ $V_1 = 2 \; V$ માટે,આપણે આલેખમાંથી $2 \; V$ ની આસપાસ એક નાનો અંતરાલ લઈએ છીએ. ધારો કે અંતરાલ $2 \; V$ થી $2.1 \; V$ છે.
$\Delta V_1 = 2.1 - 2.0 = 0.1 \; V$
$\Delta I_1 = 10 \; mA - 5 \; mA = 5 \; mA = 5 \times 10^{-3} \; A$
$r_{d1} = \frac{0.1}{5 \times 10^{-3}} = \frac{100}{5} = 20 \; \Omega$
વોલ્ટેજ $V_2 = 4 \; V$ માટે,આપણે આલેખમાંથી $4 \; V$ ની આસપાસ એક નાનો અંતરાલ લઈએ છીએ. ધારો કે અંતરાલ $4 \; V$ થી $4.2 \; V$ છે.
$\Delta V_2 = 4.2 - 4.0 = 0.2 \; V$
$\Delta I_2 = 250 \; mA - 200 \; mA = 50 \; mA = 50 \times 10^{-3} \; A$
$r_{d2} = \frac{0.2}{50 \times 10^{-3}} = \frac{200}{50} = 4 \; \Omega$
ડાયનેમિક અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{r_{d1}}{r_{d2}} = \frac{20}{4} = 5: 1$ છે.

(C) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશનમાં,ઉચ્ચ આવૃત્તિ ધરાવતા કેરિયર તરંગનું એમ્પ્લિટ્યુડ મેસેજ સિગ્નલ (જેને માહિતી સિગ્નલ પણ કહેવાય છે) ના તત્કાલિન એમ્પ્લિટ્યુડ અનુસાર બદલવામાં આવે છે.