दो अंकों की ऐसी कुल कितनी संख्याएँ n हैं कि 3 | vedclass

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Question

(A) हमें $3^{n} + 7^{n} \equiv 0 \pmod{10}$ चाहिए।चूँकि $7 \equiv -3 \pmod{10}$,इसलिए $7^{n} \equiv (-3)^{n} \pmod{10}$।अतः,$3^{n} + 7^{n} \equiv 3^{n

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$45$

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(A) हमें $3^{n} + 7^{n} \equiv 0 \pmod{10}$ चाहिए।चूँकि $7 \equiv -3 \pmod{10}$,इसलिए $7^{n} \equiv (-3)^{n} \pmod{10}$।अतः,$3^{n} + 7^{n} \equiv 3^{n} + (-1)^{n} 3^{n} \pmod{10}$।यदि $n$ सम है,तो $3^{n} + 3^{n} = 2 \cdot 3^{n}$,जो $10$ से विभाज्य नहीं है।यदि $n$ विषम है,तो $3^{n} - 3^{n} = 0$,जो $10$ से विभाज्य है।इसलिए,$n$ एक विषम संख्या होनी चाहिए।दो अंकों की कुल $90$ संख्याएँ होती हैं ($10$ से $99$ तक)।इनमें से आधी संख्याएँ विषम हैं,अतः कुल $45$ संख्याएँ हैं।

दो अंकों की ऐसी कुल कितनी संख्याएँ $n$ हैं कि $3^{n} + 7^{n}$,$10$ का गुणज हो? ..... .

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$\sum\limits_{r = 0}^{15} {\left( {{}^{15}{C_r} \cdot {}^{40}{C_{15}} \cdot {}^{20}{C_r} - {}^{35}{C_{15}} \cdot {}^{15}{C_r} \cdot {}^{25}{C_r}} \right)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

${2^n} \{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 3) \cdot (2n - 1) \}$ का मान है

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