sum_{n=1}^{100} int_{n-1}^{n} e^{x-[x]} dx का | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = e^{x-[x]} = e^{\{x\}},$ जहाँ $\{x\}$ का $x$ का भिन्नात्मक भाग है।चूँकि फलन $f(x) = e^{\{x\}}$ का आवर्तकाल $1$ है,इसलिए किसी भी पूर्णा

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$100(e-1)$

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(A) माना $f(x) = e^{x-[x]} = e^{\{x\}},$ जहाँ $\{x\}$ का $x$ का भिन्नात्मक भाग है।चूँकि फलन $f(x) = e^{\{x\}}$ का आवर्तकाल $1$ है,इसलिए किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $\int_{n-1}^{n} e^{\{x\}} dx = \int_{0}^{1} e^{\{x\}} dx$ होगा।अंतराल $[0, 1]$ में,भिन्नात्मक भाग $\{x\} = x$ होता है।अतः,$\int_{0}^{1} e^{\{x\}} dx = \int_{0}^{1} e^x dx = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$ प्राप्त होता है।अब,योगफल $\sum_{n=1}^{100} \int_{n-1}^{n} e^{\{x\}} dx = \sum_{n=1}^{100} (e-1) = 100(e-1)$ होगा।

$\sum_{n=1}^{100} \int_{n-1}^{n} e^{x-[x]} dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[x]$ वह महत्तम पूर्णांक है जो $x$ से छोटा या उसके बराबर है।

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$\int_0^1 \tan^{-1}(1-x+x^2) dx$ का मान है

यदि $S_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$ और $n$ एक पूर्णांक है,तो $S_{n+1} - S_n =$

$\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{x}{{\tan }^{2015}}\left( {x - \frac{1}{x}} \right)dx} $ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} e^{\cos x}\sin x, & |x| \le 2 \\ 2, & \text{अन्यथा} \end{cases}$ है,तो $\int_{-2}^{3} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int_{-a}^{a} (|x| + |x-2|) dx = 22$,$(a > 2)$ और $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ को दर्शाता है,तो $\int_{a}^{-a} (x + [x]) dx$ का मान ........... है।

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