यदि f: R rightarrow R एक फलन है जिसे f(x)=[x- | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $x = n$,जहाँ $n \in Z$ है।सबसे पहले,$x = n$ पर फलन का मान ज्ञात करें:$f(n) = [n-1] \cos \left(\frac{2n-1}{2}\right) \pi = (n-1) \cos \le

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प्रत्येक वास्तविक $x$ के लिए संतत

Vedclass · Answer

(C) मान लीजिए $x = n$,जहाँ $n \in Z$ है।सबसे पहले,$x = n$ पर फलन का मान ज्ञात करें:$f(n) = [n-1] \cos \left(\frac{2n-1}{2}\right) \pi = (n-1) \cos \left(n\pi - \frac{\pi}{2}\right) = (n-1) \cdot 0 = 0$.अब,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ की गणना करें:$LHL = \lim_{x \rightarrow n^-} [x-1] \cos \left(\frac{2x-1}{2}\right) \pi$.जैसे $x \rightarrow n^-$,$[x-1] = n-2$ होता है।$LHL = (n-2) \cos \left(n\pi - \frac{\pi}{2}\right) = (n-2) \cdot 0 = 0$.अब,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ की गणना करें:$RHL = \lim_{x \rightarrow n^+} [x-1] \cos \left(\frac{2x-1}{2}\right) \pi$.जैसे $x \rightarrow n^+$,$[x-1] = n-1$ होता है।$RHL = (n-1) \cos \left(n\pi - \frac{\pi}{2}\right) = (n-1) \cdot 0 = 0$.चूँकि सभी $n \in Z$ के लिए $LHL = RHL = f(n) = 0$ है,इसलिए फलन $x$ के सभी पूर्णांक मानों पर संतत है।$x$ के गैर-पूर्णांक मानों के लिए,फलन एक अचर (स्थानीय रूप से) और एक संतत त्रिकोणमितीय फलन का गुणनफल है,इसलिए यह संतत है।अतः,$f(x)$ प्रत्येक वास्तविक $x$ के लिए संतत है।

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फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & \text{यदि } x < 0 \\ x + 1, & \text{यदि } x \ge 0 \end{cases}$ के असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।

$f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos kx}{x^2}, & x \le 0 \\ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}, & x > 0 \end{cases}$ $x = 0$ पर सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए:

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