मान लीजिए कि A पूर्णांक प्रविष्टियों वाला 2 क | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a & b \ b & c \end{bmatrix}$,जहाँ $a, b, c \in \mathbb{Z}$.तब $A^{2} = \begin{bmatrix} a & b \ b & c \end{bmatrix

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$4$

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(A) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a & b \ b & c \end{bmatrix}$,जहाँ $a, b, c \in \mathbb{Z}$.तब $A^{2} = \begin{bmatrix} a & b \ b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \ b & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^{2} + b^{2} & ab + bc \ ab + bc & b^{2} + c^{2} \end{bmatrix}$.$A^{2}$ के विकर्ण तत्वों का योग $	ext{tr}(A^{2}) = a^{2} + b^{2} + b^{2} + c^{2} = a^{2} + 2b^{2} + c^{2}$ है।हमें दिया गया है कि $a^{2} + 2b^{2} + c^{2} = 1$,जहाँ $a, b, c \in \mathbb{Z}$.चूंकि $a^{2}, b^{2}, c^{2} \ge 0$,योग $1$ होने के लिए,हमें $b^{2} = 0$ लेना होगा,जिसका अर्थ है $b = 0$.तब समीकरण $a^{2} + c^{2} = 1$ में बदल जाता है।चूंकि $a, c \in \mathbb{Z}$,$(a, c)$ के लिए संभावित पूर्णांक समाधान इस प्रकार हैं:$1$. यदि $a = 0$,तो $c^{2} = 1 \Rightarrow c = \pm 1$. यह दो आव्यूह देता है: $\begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $\begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix}$.$2$. यदि $c = 0$,तो $a^{2} = 1 \Rightarrow a = \pm 1$. यह दो आव्यूह देता है: $\begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $\begin{bmatrix} -1 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$.अतः,ऐसे आव्यूहों की कुल संख्या $2 + 2 = 4$ है।

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