मान लीजिए f, R पर परिभाषित कोई फलन है और यह श | vedclass

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Question

(D) दी गई शर्त $|f(x) - f(y)| \leq |(x - y)^2|$ है।दोनों पक्षों को $|x - y|$ से विभाजित करने पर ($x 
eq y$ के लिए),हमें $\left| \frac{f(x) - f(y)}{x

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$f(x) > 0, \forall x \in R$

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(D) दी गई शर्त $|f(x) - f(y)| \leq |(x - y)^2|$ है।दोनों पक्षों को $|x - y|$ से विभाजित करने पर ($x 
eq y$ के लिए),हमें $\left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} ight| \leq |x - y|$ प्राप्त होता है।$x 	o y$ सीमा लेने पर,हमें $\lim_{x 	o y} \left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} ight| \leq \lim_{x 	o y} |x - y|$ प्राप्त होता है।यह दर्शाता है कि $|f'(y)| \leq 0$ है।चूंकि निरपेक्ष मान ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $|f'(y)| = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि सभी $y \in R$ के लिए $f'(y) = 0$ है।वह फलन जिसका अवकलज हर जगह शून्य होता है,एक अचर फलन होता है,इसलिए $f(x) = C$ है।$f(0) = 1$ दिया गया है,इसलिए $C = 1$ प्राप्त होता है।अतः,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = 1$ है।चूंकि $1 > 0$,इसलिए सही कथन $f(x) > 0, \forall x \in R$ है।

मान लीजिए $f, R$ पर परिभाषित कोई फलन है और यह शर्त $|f(x) - f(y)| \leq |(x - y)^2|$,सभी $(x, y) \in R$ के लिए संतुष्ट करता है। यदि $f(0) = 1$ है,तो:

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$\frac{d}{dx}\left( \frac{\cot^2 x - 1}{\cot^2 x + 1} \right) = $

फलन $\frac{x}{1+\tan x}$ का अवकलज ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f(x)$ और $g(x)$ $R$ पर अवकलनीय फलन हैं। यदि $h(x) = f(g(f(x)))$ है,जहाँ $f(2) = 1$,$g(1) = 2$ और $f'(2) = g'(1) = 4$ है,तो $h'(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x)$ एक बहुपद फलन है जैसे कि $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=x^{5}+64$. तो,$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\frac{d}{dx} \log_{\sqrt{x}} \left(\frac{1}{x}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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