मान लीजिए कि P सभी वास्तविक संख्याओं के समुच् | vedclass

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Question

(D) संबंध को $P = \{(a,b) : \sec^2 a - 	an^2 b = 1\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।$1$. स्वतुल्य: यदि $P$ स्वतुल्य है,तो सभी $a \in \mathbb{R}$ के

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एक तुल्यता संबंध

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(D) संबंध को $P = \{(a,b) : \sec^2 a - 	an^2 b = 1\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।$1$. स्वतुल्य: यदि $P$ स्वतुल्य है,तो सभी $a \in \mathbb{R}$ के लिए $(a,a) \in P$ होना चाहिए।$b=a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sec^2 a - 	an^2 a = 1$ प्राप्त होता है,जो कि मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + 	an^2 a - 	an^2 a = 1$ है। अतः,$1=1$ सभी $a$ के लिए सत्य है। इसलिए,$P$ स्वतुल्य है।$2$. सममित: यदि $P$ सममित है,तो यदि $(a,b) \in P$,तो $(b,a) \in P$ होना चाहिए।यदि $(a,b) \in P$,तो $\sec^2 a - 	an^2 b = 1$ है।हम जाँचते हैं कि क्या $\sec^2 b - 	an^2 a = 1$ है।$\sec^2 x = 1 + 	an^2 x$ का उपयोग करते हुए,$\sec^2 b - 	an^2 a = (1 + 	an^2 b) - (\sec^2 a - 1) = 2 + 	an^2 b - \sec^2 a = 2 - (\sec^2 a - 	an^2 b) = 2 - 1 = 1$ है।अतः,$(b,a) \in P$ है। इसलिए,$P$ सममित है।$3$. संक्रामक: यदि $P$ संक्रामक है,तो यदि $(a,b) \in P$ और $(b,c) \in P$,तो $(a,c) \in P$ होना चाहिए।दिया गया है कि $\sec^2 a - 	an^2 b = 1$ और $\sec^2 b - 	an^2 c = 1$ है।हमें जाँच करनी है कि क्या $\sec^2 a - 	an^2 c = 1$ है।पहले समीकरण से,$\sec^2 a = 1 + 	an^2 b$ है। दूसरे से,$	an^2 c = \sec^2 b - 1$ है।तब $\sec^2 a - 	an^2 c = (1 + 	an^2 b) - (\sec^2 b - 1) = 2 + 	an^2 b - \sec^2 b = 2 - 1 = 1$ है।अतः,$(a,c) \in P$ है। इसलिए,$P$ संक्रामक है।चूँकि $P$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

मान लीजिए कि $P$ सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित एक संबंध है,जहाँ $P = \{(a,b) : \sec^2 a - \tan^2 b = 1\}$ है। तो $P$ है

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मान लीजिए $R_{1}$ और $R_{2}$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{R}$ पर परिभाषित दो संबंध हैं,जहाँ $a R_{1} b \iff ab \geq 0$ और $a R_{2} b \iff a \geq b$. तो:

एक ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए जो स्वतुल्य (reflexive) और संक्रामक (transitive) है लेकिन सममित (symmetric) नहीं है।

माना $R = \{(1, 3), (2, 2), (3, 2)\}$ तथा $S = \{(2, 1), (3, 2), (2, 3)\}$ समुच्चय $A = \{1, 2, 3\}$ पर दो संबंध हैं। $R \circ S^{-1}$ ज्ञात कीजिए।

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