$3, 5, 6, 7,$ और $8$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $6000$ से बड़ी कितनी पूर्णांक संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

यदि $a_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{\binom{n}{r}}$,तो $\sum_{r=0}^n \frac{r}{\binom{n}{r}} = .....$

$A, B, C, D, E$ अक्षरों का उपयोग करके सभी पांच अक्षरों वाले शब्द बनाए जाते हैं और उन्हें अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार क्रमबद्ध किया जाता है। मान लीजिए कि $n$ वें क्रम पर स्थित शब्द $W_{n}$ है। यदि शब्द $W_{n}$ को चुनने की प्रायिकता $P(W_{n}) = 2P(W_{n-1}), n > 1$ का पालन करती है। यदि $P(CDBEA) = \frac{2^{\alpha}}{2^{\beta}-1}, \alpha, \beta \in N$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$1000$ और $10000$ के बीच स्थित उन पूर्णांकों की संख्या क्या है जिनके अंकों का योग $30$ है?

$'SAHARANPUR'$ शब्द के अक्षरों से बनाए जा सकने वाले $3$ अक्षरों वाले शब्दों की कुल संख्या क्या है?

यदि $0, 1, 2, 3, 4$ और $5$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $3$ से विभाज्य पाँच अंकों की संख्या बनानी है,तो ऐसा करने के कुल तरीकों की संख्या क्या है?