यदि alpha , beta neq 0 और f(n) = alpha^n + be | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(n) = \alpha^n + \beta^n$। सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} 1+1+1 & 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 \ 1+\alpha+\beta & 1+\alpha

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$1$

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(A) दिया गया है $f(n) = \alpha^n + \beta^n$। सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} 1+1+1 & 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 \ 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 \ 1+\alpha^2+\beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 & 1+\alpha^4+\beta^4 \end{vmatrix}$ है।इसे दो सारणिकों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है: $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & \alpha & \beta \ 1 & \alpha^2 & \beta^2 \end{vmatrix} 	imes \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & \alpha & \beta \ 1 & \alpha^2 & \beta^2 \end{vmatrix}$।प्रत्येक सारणिक एक वेंडरमोंड सारणिक है,जिसका मान $(1-\alpha)(1-\beta)(\alpha-\beta)$ होता है।अतः,$\Delta = [(1-\alpha)(1-\beta)(\alpha-\beta)]^2 = (1-\alpha)^2 (1-\beta)^2 (\alpha-\beta)^2$।इसकी तुलना $K(1-\alpha)^2 (1-\beta)^2 (\alpha-\beta)^2$ से करने पर,हमें $K = 1$ प्राप्त होता है।

यदि $\alpha , \beta \neq 0$ और $f(n) = \alpha^n + \beta^n$ तथा $\begin{vmatrix} 3 & 1 + f(1) & 1 + f(2) \\ 1 + f(1) & 1 + f(2) & 1 + f(3) \\ 1 + f(2) & 1 + f(3) & 1 + f(4) \end{vmatrix} = K(1 - \alpha)^2 (1 - \beta)^2 (\alpha - \beta)^2$ है,तो $K = \dots$

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