JEE Main 2014 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया व्यंजक $\sim (p \vee \sim q) \vee \sim (p \vee q)$ है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (A \vee B) \equiv \sim A \wedge \sim B$.
अतः,$\sim (p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge q$ और $\sim (p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$.
व्यंजक $(\sim p \wedge q) \vee (\sim p \wedge \sim q)$ हो जाता है।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,हम $\sim p$ को उभयनिष्ठ लेते हैं:
$\sim p \wedge (q \vee \sim q)$.
चूंकि $(q \vee \sim q)$ एक पुनरुक्ति $(T)$ है,
$\sim p \wedge T \equiv \sim p$.

(B) दिया गया समुच्चय $A = \{x : |x| < 3, x \in Z\}$ है।
चूँकि $|x| < 3$ और $x$ एक पूर्णांक है,$A$ के अवयव $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ हैं।
संबंध $R$ को $R = \{(x, y) : y = |x|, x \neq -1\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$A$ के प्रत्येक $x$ के लिए जहाँ $x \neq -1$,हम संगत $y = |x|$ ज्ञात करते हैं:
यदि $x = -2$,तो $y = |-2| = 2$. अतः,$(-2, 2) \in R$.
यदि $x = 0$,तो $y = |0| = 0$. अतः,$(0, 0) \in R$.
यदि $x = 1$,तो $y = |1| = 1$. अतः,$(1, 1) \in R$.
यदि $x = 2$,तो $y = |2| = 2$. अतः,$(2, 2) \in R$.
इस प्रकार,$R = \{(-2, 2), (0, 0), (1, 1), (2, 2)\}$.
$R$ में अवयवों की संख्या $n(R) = 4$ है।
$R$ के घात समुच्चय में अवयवों की संख्या $2^{n(R)} = 2^4 = 16$ है।

(C) मान लीजिए $z = x + iy$ है।
दिया गया है कि $\frac{z - i}{z + i}$ शुद्ध काल्पनिक है,इसलिए इसका वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए।
$\frac{z - i}{z + i} = \frac{x^2 + y^2 - 1 - 2xi}{x^2 + (y + 1)^2}$ प्राप्त होता है।
वास्तविक भाग को शून्य रखने पर:
$x^2 + y^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1$।
अतः $|z|^2 = 1$,जिसका अर्थ है $z \bar{z} = 1$,यानी $\bar{z} = \frac{1}{z}$।
इसलिए $z + \frac{1}{z} = z + \bar{z} = 2x$।
अतः $z + \frac{1}{z}$ कोई भी शून्येतर वास्तविक संख्या है।

(C) दिया गया समीकरण: $x^2 + |2x - 3| - 4 = 0$.
स्थिति $1$: यदि $x \ge \frac{3}{2}$,तो $|2x - 3| = 2x - 3$.
$x^2 + 2x - 3 - 4 = 0 \implies x^2 + 2x - 7 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{2}$.
चूंकि $x \ge \frac{3}{2}$,इसलिए $x_1 = 2\sqrt{2} - 1$ मान्य है।
स्थिति $2$: यदि $x < \frac{3}{2}$,तो $|2x - 3| = -2x + 3$.
$x^2 - 2x - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
चूंकि $x < \frac{3}{2}$,इसलिए $x_2 = 1 - \sqrt{2}$ मान्य है।
मूलों का योग: $x_1 + x_2 = (2\sqrt{2} - 1) + (1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2}$.

(B) कुल $8$ अंक हैं। विषम स्थान $1, 3, 5, 7$ ($4$ स्थान) हैं और सम स्थान $2, 4, 6, 8$ ($4$ स्थान) हैं।
दिए गए अंक $1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4$ हैं। विषम अंक $1, 1, 3$ (कुल $3$ अंक) हैं और सम अंक $2, 2, 2, 4, 4$ (कुल $5$ अंक) हैं।
शर्त के अनुसार विषम अंक विषम स्थानों पर नहीं होने चाहिए,यानी $3$ विषम अंकों को $4$ सम स्थानों पर व्यवस्थित करना है।
$3$ विषम अंकों को $4$ सम स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{2!} = 12$ हैं।
शेष $5$ अंकों को शेष $5$ स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{5!}{3!2!} = 10$ हैं।
अतः,कुल संख्याएँ $12 \times 10 = 120$ हैं।

(A) माना कि $(r+1)$ वें और $(r+2)$ वें पद के गुणांक समान हैं।
${\left(2+\frac{x}{3}\right)^{55} = 2^{55}\left(1+\frac{x}{6}\right)^{55}}$
$(r+1)$ वां पद $2^{55} \cdot {}^{55}C_r \left(\frac{x}{6}\right)^r$ है। $x^r$ का गुणांक $2^{55} \cdot {}^{55}C_r \cdot \frac{1}{6^r}$ है।
$(r+2)$ वां पद $2^{55} \cdot {}^{55}C_{r+1} \left(\frac{x}{6}\right)^{r+1}$ है। $x^{r+1}$ का गुणांक $2^{55} \cdot {}^{55}C_{r+1} \cdot \frac{1}{6^{r+1}}$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर:
${}^{55}C_r \cdot \frac{1}{6^r} = {}^{55}C_{r+1} \cdot \frac{1}{6^{r+1}}$
${}^{55}C_r = {}^{55}C_{r+1} \cdot \frac{1}{6}$
$6 \cdot {}^{55}C_r = {}^{55}C_{r+1}$
$6 \cdot \frac{55!}{r!(55-r)!} = \frac{55!}{(r+1)!(54-r)!}$
$\frac{6}{55-r} = \frac{1}{r+1}$
$6(r+1) = 55-r$
$7r = 49$
$r = 7$
अतः,पद $(r+1) = 8$ वां और $(r+2) = 9$ वां हैं।

(A) $G = \sqrt{ab}$
$M = \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} = \frac{a + b}{2ab}$
दिया गया है कि $\frac{1}{M} : G = 4 : 5$,अतः $\frac{2ab}{(a + b)\sqrt{ab}} = \frac{4}{5}$
$\Rightarrow \frac{a + b}{2\sqrt{ab}} = \frac{5}{4}$
योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{a + b + 2\sqrt{ab}}{a + b - 2\sqrt{ab}} = \frac{5 + 4}{5 - 4}$
$\Rightarrow \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2} = 9$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = 3$
$\Rightarrow \sqrt{a} + \sqrt{b} = 3\sqrt{a} - 3\sqrt{b}$
$\Rightarrow 4\sqrt{b} = 2\sqrt{a}$ $\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b}} = 2$ $\Rightarrow \frac{a}{b} = 4$
अतः $a:b$ का मान $1:4$ या $4:1$ हो सकता है,जिसमें से विकल्प $1:4$ सही है।

(C) दिया गया व्यंजक $1 - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{2}{3^k} < \frac{1}{100}$ है।
इसे $1 - 2 \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} \right) < \frac{1}{100}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
कोष्ठक के अंदर का योग एक गुणोत्तर श्रेणी है जहाँ $a = \frac{1}{3}$,$r = \frac{1}{3}$ और $n-1$ पद हैं।
योग $S_{n-1} = \frac{a(1-r^{n-1})}{1-r} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3^{n-1}}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}}$.
मान रखने पर: $1 - 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}} \right) < \frac{1}{100}$.
$1 - 1 + \frac{1}{3^{n-1}} < \frac{1}{100}$.
$\frac{1}{3^{n-1}} < \frac{1}{100} \Rightarrow 3^{n-1} > 100$.
$n=5$ के लिए,$3^4 = 81$ (जो $100$ से बड़ा नहीं है)।
$n=6$ के लिए,$3^5 = 243$ (जो $100$ से बड़ा है)।
अतः,न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $n$ का मान $6$ है।

(A) दिया गया है $1 + x^4 + x^5 = \sum\limits_{i = 0}^5 a_i (1 + x)^i.$
माना $y = 1 + x$,तो $x = y - 1$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 + (y - 1)^4 + (y - 1)^5 = \sum\limits_{i = 0}^5 a_i y^i.$
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$(y - 1)^4 = y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1$
$(y - 1)^5 = y^5 - 5y^4 + 10y^3 - 10y^2 + 5y - 1$
इन पदों को $1$ के साथ जोड़ने पर:
$1 + (y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1) + (y^5 - 5y^4 + 10y^3 - 10y^2 + 5y - 1) = y^5 - 4y^4 + 6y^3 - 4y^2 + y + 1.$
इसकी तुलना $\sum\limits_{i = 0}^5 a_i y^i = a_5 y^5 + a_4 y^4 + a_3 y^3 + a_2 y^2 + a_1 y + a_0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_5 = 1, a_4 = -4, a_3 = 6, a_2 = -4, a_1 = 1, a_0 = 1.$
अतः,$a_2 = -4$.

(B) माना रेखा $x$-अक्ष को $B(a, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $C(0, b)$ पर काटती है।
चूंकि बिंदु $A(4, 3)$ $x$-अक्ष के निकट है और रेखाखंड $BC$ को समत्रिभाजित करता है,इसलिए यह $BC$ को $C$ से $B$ की ओर $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$A$ के निर्देशांक हैं:
$A = \left( \frac{1 \times 0 + 2 \times a}{1 + 2}, \frac{1 \times b + 2 \times 0}{1 + 2} \right) = \left( \frac{2a}{3}, \frac{b}{3} \right)$
$A(4, 3)$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{2a}{3} = 4$ $\Rightarrow 2a = 12$ $\Rightarrow a = 6$
$\frac{b}{3} = 3 \Rightarrow b = 9$
अतः,अंतःखंड $a = 6$ और $b = 9$ हैं।
अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x}{6} + \frac{y}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
$18$ से गुणा करने पर,हमें $3x + 2y = 18$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखाएँ हैं:
$L_1: x + 2ay + a = 0$ $(1)$
$L_2: x + 3by + b = 0$ $(2)$
$L_3: x + 4ay + a = 0$ $(3)$
चूँकि रेखाएँ संगामी हैं,वे एक उभयनिष्ठ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
समीकरण $(3)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$(x + 4ay + a) - (x + 2ay + a) = 0$
$2ay = 0$
चूँकि रेखाएँ भिन्न हैं,$a \neq 0$,इसलिए $y = 0$ है।
समीकरण $(1)$ में $y = 0$ रखने पर:
$x + 2a(0) + a = 0 \Rightarrow x = -a$.
संगामी बिंदु $(-a, 0)$ है।
चूँकि यह बिंदु रेखा $(2)$ पर स्थित होना चाहिए:
$-a + 3b(0) + b = 0$
$-a + b = 0 \Rightarrow b = a$.
बिंदु $(a, b)$ समीकरण $y = x$ को संतुष्ट करता है,जो एक सरल रेखा को दर्शाता है।

(D) वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ के लिए,केंद्र $C_1 = (0, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = 4$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 - 2y = 0$ के लिए,इसे $x^2 + (y - 1)^2 = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए केंद्र $C_2 = (0, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(0 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = 1$ है।
त्रिज्याओं का योग $r_1 + r_2 = 4 + 1 = 5$ है।
त्रिज्याओं का अंतर $|r_1 - r_2| = |4 - 1| = 3$ है।
चूँकि $d < |r_1 - r_2|$ (क्योंकि $1 < 3$),छोटा वृत्त बड़े वृत्त के पूरी तरह अंदर स्थित है।
इसलिए,इन दो वृत्तों के लिए कोई उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा नहीं है।

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ की स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ,जो एक-दूसरे के साथ $\alpha$ कोण बनाती हैं,निम्न है:
$\tan^2 \alpha (x + a)^2 = y^2 - 4ax$
परवलय का दिया गया समीकरण $y^2 = 4x$ है,इसलिए $a = 1$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y) = (-2, -1)$ है।
इन मानों को बिंदुपथ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan^2 \alpha (-2 + 1)^2 = (-1)^2 - 4(1)(-2)$
$\tan^2 \alpha (-1)^2 = 1 + 8$
$\tan^2 \alpha (1) = 9$
$\tan^2 \alpha = 9$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$|\tan \alpha| = 3$

(D) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{81} = 1$ पर स्पर्श बिंदु $(h, k)$ है।
$(h, k)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xh}{16} + \frac{yk}{81} = 1$ है।
$y=0$ रखने पर,$x$-अंतःखंड $x = \frac{16}{h}$ प्राप्त होता है। अतः,बिंदु $B = (\frac{16}{h}, 0)$ है।
$x=0$ रखने पर,$y$-अंतःखंड $y = \frac{81}{k}$ प्राप्त होता है। अतः,बिंदु $A = (0, \frac{81}{k})$ है।
त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times |\frac{16}{h}| \times |\frac{81}{k}| = \frac{648}{|hk|}$ है।
चूंकि $(h, k)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,$\frac{h^2}{16} + \frac{k^2}{81} = 1$। $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{\frac{h^2}{16} + \frac{k^2}{81}}{2} \ge \sqrt{\frac{h^2 k^2}{16 \times 81}}$।
$\frac{1}{2} \ge \frac{|hk|}{4 \times 9} \Rightarrow |hk| \le 18$।
अतः,न्यूनतम क्षेत्रफल $A = \frac{648}{|hk|} \ge \frac{648}{18} = 36$।
इस प्रकार,त्रिभुज का न्यूनतम क्षेत्रफल $36$ वर्ग इकाई है।

(A) हमें असमिका $\frac{(x-10)(x-50)}{(x-30)} \ge 0$ दी गई है।
व्यंजक $f(x) = \frac{(x-10)(x-50)}{(x-30)}$ के लिए वेवी कर्व विधि (चिह्न योजना) का उपयोग करने पर,क्रांतिक बिंदु $x = 10, 30, 50$ हैं।
विभिन्न अंतरालों में $f(x)$ का चिह्न इस प्रकार है:
- $x < 10$ के लिए: $f(x) < 0$
- $10 \le x < 30$ के लिए: $f(x) \ge 0$
- $30 < x < 50$ के लिए: $f(x) < 0$
- $x \ge 50$ के लिए: $f(x) \ge 0$
चूंकि $x \in \{1, 2, \dots, 100\}$,हम अंतरालों $[10, 30)$ और $[50, 100]$ में पूर्णांक $x$ देखते हैं।
अंतराल $[10, 30)$ में,पूर्णांक $\{10, 11, \dots, 29\}$ हैं। ऐसे पूर्णांकों की संख्या $29 - 10 + 1 = 20$ है।
अंतराल $[50, 100]$ में,पूर्णांक $\{50, 51, \dots, 100\}$ हैं। ऐसे पूर्णांकों की संख्या $100 - 50 + 1 = 51$ है।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $20 + 51 = 71$ है।
संभावित परिणामों की कुल संख्या $100$ है।
अतः,$P(A) = \frac{71}{100} = 0.71$.

(B) दिया गया कथन $p \Rightarrow (q \vee r)$ है।
तार्किक समतुल्यता $A$ $\Rightarrow (B \vee C) \equiv (A$ $\Rightarrow B) \vee (A$ $\Rightarrow C)$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को फिर से लिख सकते हैं।
अतः,$p \Rightarrow (q \vee r)$ का समतुल्य $(p$ $\Rightarrow q) \vee (p$ $\Rightarrow r)$ है।

(B) दिया गया है $z = 1 + i\alpha$,जहाँ $\alpha \in R$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$z^2 = (1 + i\alpha)^2 = 1^2 + (i\alpha)^2 + 2(1)(i\alpha)$.
$z^2 = 1 - \alpha^2 + 2i\alpha$.
चूँकि $z^2 = x + iy$ है,वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x = 1 - \alpha^2$ और $y = 2\alpha$.
$y = 2\alpha$ से,$\alpha = \frac{y}{2}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $x$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = 1 - (\frac{y}{2})^2$
$x = 1 - \frac{y^2}{4}$
$4$ से गुणा करने पर:
$4x = 4 - y^2$
$y^2 + 4x - 4 = 0$.

(A) दिया गया समीकरण $\sqrt{3x^2 + x + 5} = x - 3$ है।
वर्गमूल को परिभाषित होने के लिए,$x - 3 \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \geq 3$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$3x^2 + x + 5 = (x - 3)^2$
$3x^2 + x + 5 = x^2 - 6x + 9$
$2x^2 + 7x - 4 = 0$
द्विघात समीकरण $2x^2 + 7x - 4 = 0$ को हल करने पर:
$(2x - 1)(x + 4) = 0$
अतः,$x = \frac{1}{2}$ या $x = -4$।
शर्त $x \geq 3$ के साथ जाँच करने पर:
$x = \frac{1}{2}$ के लिए,$\frac{1}{2} < 3$ (अमान्य)।
$x = -4$ के लिए,$-4 < 3$ (अमान्य)।
अतः,समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है।

(C) माना पुरुषों की संख्या $n$ है।
कुल प्रतिभागी $= n + 2$ हैं।
प्रत्येक प्रतिभागी अन्य प्रत्येक प्रतिभागी के साथ $2$ खेल खेलता है।
$n$ पुरुषों के बीच खेले गए खेलों की संख्या $2 \times \binom{n}{2} = 2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)$ है।
$n$ पुरुषों और $2$ महिलाओं के बीच खेले गए खेलों की संख्या $n \times 2 \times 2 = 4n$ है (क्योंकि प्रत्येक पुरुष $2$ महिलाओं में से प्रत्येक के साथ $2$ खेल खेलता है)।
दिया गया है कि पुरुषों के बीच खेले गए खेलों की संख्या,पुरुषों और महिलाओं के बीच खेले गए खेलों की संख्या से $66$ अधिक है:
$n(n-1) - 4n = 66$
$n^2 - n - 4n = 66$
$n^2 - 5n - 66 = 0$
$(n - 11)(n + 6) = 0$
चूंकि $n > 0$,इसलिए $n = 11$ है।
मान $n = 11$ अंतराल $(11, 13]$ में स्थित है।

(B) दी गई व्यंजक $(1 + x^n + x^{253})^{10}$ है।
मल्टीनोमियल प्रमेय का उपयोग करते हुए,सामान्य पद $\frac{10!}{a!b!c!} (1)^a (x^n)^b (x^{253})^c$ है,जहाँ $a + b + c = 10$ है।
हमें $x^{1012}$ का गुणांक चाहिए,इसलिए $x$ का घातांक $1012$ रखते हैं:
$nb + 253c = 1012$।
चूँकि $c \leq 10$ और $253 \times 4 = 1012$ है,हम $c$ के लिए मानों की जाँच करते हैं:
यदि $c = 4$ है,तो $nb = 1012 - 253(4) = 0$। चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,$b = 0$ होना चाहिए।
तब $a = 10 - b - c = 10 - 0 - 4 = 6$।
गुणांक $\frac{10!}{6!0!4!} = ^{10}C_4$ है।
यदि $c < 4$ है,तो $nb = 253(4-c)$। $c=3$ के लिए,$nb = 253$,जो $n \leq 22$ और $b \leq 10$ के लिए संभव नहीं है।
अतः,एकमात्र समाधान $a=6, b=0, c=4$ है।
गुणांक $^{10}C_4$ है।

(B) माना कुल पदों की संख्या $2n$ है,प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
विषम स्थानों पर स्थित पदों का योग $S_o = n[a + (n-1)d] = 24$ --- $(i)$
सम स्थानों पर स्थित पदों का योग $S_e = n[a + d + (n-1)d] = 30$ --- $(ii)$
$(ii) - (i)$ करने पर,$nd = 6$ --- $(iii)$
अंतिम पद और प्रथम पद का अंतर: $(a+(2n-1)d) - a = \frac{21}{2}$
$(2n-1)d = \frac{21}{2} \Rightarrow 2nd - d = \frac{21}{2}$
$nd = 6$ रखने पर: $12 - d = 10.5 \Rightarrow d = 1.5 = \frac{3}{2}$
$n(\frac{3}{2}) = 6 \Rightarrow n = 4$
कुल पदों की संख्या $= 2n = 2 \times 4 = 8$.

(D) दिया गया है $f(n) = \left[ \frac{1}{3} + \frac{3n}{100} \right]n$.
$1 \le n \le 22$ के लिए,$\frac{1}{3} + \frac{3n}{100} < \frac{1}{3} + \frac{66}{100} = 0.333 + 0.66 = 0.993 < 1$. अतः,$\left[ \frac{1}{3} + \frac{3n}{100} \right] = 0$,इसलिए $f(n) = 0$.
$23 \le n \le 55$ के लिए,$1 \le \frac{1}{3} + \frac{3n}{100} < \frac{1}{3} + \frac{165}{100} = 0.333 + 1.65 = 1.983 < 2$. अतः,$\left[ \frac{1}{3} + \frac{3n}{100} \right] = 1$,इसलिए $f(n) = n$.
$n = 56$ के लिए,$\frac{1}{3} + \frac{3(56)}{100} = 0.333 + 1.68 = 2.013$. अतः,$\left[ \frac{1}{3} + \frac{3(56)}{100} \right] = 2$,इसलिए $f(56) = 2 \times 56 = 112$.
योग $\sum_{n=1}^{56} f(n) = \sum_{n=1}^{22} 0 + \sum_{n=23}^{55} n + f(56)$ है।
$= 0 + \frac{(55-23+1)}{2}(23+55) + 112 = \frac{33}{2}(78) + 112 = 33 \times 39 + 112 = 1287 + 112 = 1399$.

(D) हमारे पास $f(x) = x^2 + 2bx + 2c^2$ और $g(x) = -x^2 - 2cx + b^2$ है,जहाँ $x \in R$ है।
$f(x)$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$f(x) = (x + b)^2 + 2c^2 - b^2$.
अतः,$f(x)$ का न्यूनतम मान $f_{\min} = 2c^2 - b^2$ है।
$g(x)$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$g(x) = -(x^2 + 2cx) + b^2 = -(x + c)^2 + c^2 + b^2$.
अतः,$g(x)$ का अधिकतम मान $g_{\max} = c^2 + b^2$ है।
दी गई शर्त $\min f(x) > \max g(x)$ के अनुसार:
$2c^2 - b^2 > c^2 + b^2$.
दोनों पक्षों से $c^2$ घटाने और $b^2$ जोड़ने पर:
$c^2 > 2b^2$.
चूँकि $b$ और $c$ शून्येतर हैं,$b^2$ से भाग देने पर:
$\frac{c^2}{b^2} > 2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\left| \frac{c}{b} \right| > \sqrt{2}$.
अतः,$\left| \frac{c}{b} \right| \in (\sqrt{2}, \infty)$।

(D) माना परिकेंद्र $O = (0, 0)$ है।
केंद्रक $G$,$(a^2 + 1, a^2 + 1)$ और $(2a, -2a)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु है।
$G = \left( \frac{a^2 + 1 + 2a}{2}, \frac{a^2 + 1 - 2a}{2} \right) = \left( \frac{(a + 1)^2}{2}, \frac{(a - 1)^2}{2} \right)$.
हम जानते हैं कि लंबकेंद्र $H$,केंद्रक $G$ और परिकेंद्र $O$ संरेख होते हैं,और $G$,$OH$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$G = \frac{1 \cdot H + 2 \cdot O}{1 + 2} = \frac{H}{3}$।
अतः,$H = 3G = \left( \frac{3(a + 1)^2}{2}, \frac{3(a - 1)^2}{2} \right)$।
विकल्प $(d)$ में दिए गए समीकरण में $H$ के निर्देशांक रखने पर:
$(a - 1)^2 \left( \frac{3(a + 1)^2}{2} \right) - (a + 1)^2 \left( \frac{3(a - 1)^2}{2} \right) = 0$।
अतः,लंबकेंद्र इस रेखा पर स्थित है।

(B) रेखा $5x - y = 1$ के लंबवत रेखा का समीकरण $x + 5y = c$ के रूप में होता है।
इस रेखा के निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $y=0$ और $x=0$ रखकर प्राप्त किए जा सकते हैं:
$y=0$ के लिए,$x=c$. अतः,$x$-अंतःखंड $(c, 0)$ है।
$x=0$ के लिए,$5y=c$,अतः $y=c/5$. $y$-अंतःखंड $(0, c/5)$ है।
इस रेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |\text{आधार}| \times |\text{ऊंचाई}| = 5$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{1}{2} \times |c| \times |\frac{c}{5}| = 5$
$\frac{c^2}{10} = 5$ $\Rightarrow c^2 = 50$ $\Rightarrow c = \pm 5\sqrt{2}$.
अतः,रेखा $L$ का समीकरण $x + 5y = \pm 5\sqrt{2}$ है।
समांतर रेखाओं $x + 5y = c$ और $x + 5y = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c - 0|}{\sqrt{1^2 + 5^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{26}}$ द्वारा दी जाती है।
$c = \pm 5\sqrt{2}$ रखने पर:
$d = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{26}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{13}} = \frac{5}{\sqrt{13}}$.

(A) दिया गया वृत्त $S: x^2 + y^2 - 16 = 0$ है।
जीवा का समीकरण $L: 3x + y + 5 = 0$ है।
$S$ और $L$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S + \lambda L = 0$ है।
अतः,$x^2 + y^2 - 16 + \lambda(3x + y + 5) = 0$.
$x^2 + y^2 + 3\lambda x + \lambda y + (5\lambda - 16) = 0$.
इस वृत्त का केंद्र $C = (-\frac{3\lambda}{2}, -\frac{\lambda}{2})$ है।
चूंकि जीवा $3x + y + 5 = 0$ इस वृत्त का व्यास है,इसलिए केंद्र $C$ को रेखा $3x + y + 5 = 0$ पर स्थित होना चाहिए।
केंद्र को रेखा के समीकरण में रखने पर: $3(-\frac{3\lambda}{2}) + (-\frac{\lambda}{2}) + 5 = 0$.
$-\frac{9\lambda}{2} - \frac{\lambda}{2} + 5 = 0$.
$-5\lambda + 5 = 0 \implies \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2 + y^2 + 3(1)x + (1)y + 5(1) - 16 = 0$.
$x^2 + y^2 + 3x + y - 11 = 0$.

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 6x$ है,जो $y^2 = 4ax$ के रूप में है,जहाँ $4a = 6$,इसलिए $a = \frac{3}{2}$ है।
नाभि $S = (\frac{3}{2}, 0)$ है और शीर्ष $V = (0, 0)$ है।
माना नाभि से गुजरने वाली जीवा का समीकरण $y - 0 = m(x - \frac{3}{2})$ है,जिसे $mx - y - \frac{3m}{2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
शीर्ष $(0, 0)$ से इस रेखा की दूरी $d = \frac{|m(0) - 0 - \frac{3m}{2}|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|-\frac{3m}{2}|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ है।
दिया गया है कि $d = \frac{\sqrt{5}}{2}$,इसलिए $\frac{|\frac{3m}{2}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{9m^2}{4(m^2 + 1)} = \frac{5}{4}$ प्राप्त होता है।
$9m^2 = 5(m^2 + 1)$ $\Rightarrow 9m^2 = 5m^2 + 5$ $\Rightarrow 4m^2 = 5$ है।
$m^2 = \frac{5}{4} \Rightarrow m = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।
अतः,ढाल $\frac{\sqrt{5}}{2}$ हो सकता है।

(A) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ है।
यहाँ,$a^2 = 4$ और $b^2 = 5$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{5}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ है।
प्रथम चतुर्थांश में नाभिलंब का सिरा $L = (ae, \frac{b^2}{a}) = (2 \times \frac{3}{2}, \frac{5}{2}) = (3, \frac{5}{2})$ है।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ है।
$(x_1, y_1) = (3, \frac{5}{2})$ रखने पर,हमें $\frac{3x}{4} - \frac{y(5/2)}{5} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{3x}{4} - \frac{y}{2} = 1$ हो जाता है।
इसे $\frac{x}{4/3} + \frac{y}{-2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$-अंतःखंड $OA = \frac{4}{3}$ और $y$-अंतःखंड $OB = -2$ है।
अतः,$(OA)^2 - (OB)^2 = (\frac{4}{3})^2 - (-2)^2 = \frac{16}{9} - 4 = \frac{16 - 36}{9} = -\frac{20}{9}$।

(B) दिया गया है $d_i = -x_i - a$.
कथन $I$: प्रेक्षणों के एक समूह का प्रसरण मूल बिंदु के परिवर्तन और स्केल फैक्टर $-1$ के तहत अपरिवर्तित रहता है। विशेष रूप से,यदि $y_i = c x_i + k$ है,तो $\text{Var}(y) = c^2 \text{Var}(x)$ होता है। यहाँ,$c = -1$ और $k = -a$ है। अतः,$\text{Var}(d) = (-1)^2 \sigma^2 = \sigma^2$ है। इसलिए,कथन $I$ सही है।
कथन $II$: $d_i$ का माध्य $\bar{d} = \frac{1}{n} \sum (-x_i - a) = -\bar{x} - a$ है। यह सही है।
बहुलक के लिए,यदि $M$,$x_i$ का बहुलक है,तो $d_i = -x_i - a$ का बहुलक $-M - a$ होगा। यह भी सही है।
अतः,दोनों कथन सही हैं।

(B) माना $f(x) = |\sin 4x| + |\cos 2x|$.
हम जानते हैं कि $|\sin ax|$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{|a|}$ होता है और $|\cos ax|$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{|a|}$ होता है।
$|\sin 4x|$ के लिए,आवर्तकाल $T_1 = \frac{\pi}{4}$ है।
$|\cos 2x|$ के लिए,आवर्तकाल $T_2 = \frac{\pi}{2}$ है।
दो आवर्ती फलनों के योग का आवर्तकाल उनके व्यक्तिगत आवर्तकालों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ होता है।
$T = \text{LCM}\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\text{LCM}(\pi, \pi)}{\text{HCF}(4, 2)} = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$f(x)$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{2}$ है।

(C) दिया गया कथन $p \Rightarrow q$ के रूप में है,जहाँ $p$ है "मैं अच्छा महसूस नहीं कर रहा हूँ" और $q$ है "मैं डॉक्टर के पास जाऊँगा"।
$p \Rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक $\neg q \Rightarrow \neg p$ के रूप में परिभाषित होता है।
यहाँ,$\neg q$ है "मैं डॉक्टर के पास नहीं जाऊँगा" और $\neg p$ है "मैं अच्छा महसूस कर रहा हूँ"।
अतः,प्रतिधनात्मक कथन है "यदि मैं डॉक्टर के पास नहीं जाऊँगा,तो मैं अच्छा महसूस कर रहा हूँ"।

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $p x^2 + q x + r = 0$ के मूल हैं। चूंकि $p, q, r$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं,इसलिए $2q = p + r$ है।
$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 4$ से,हमें $\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = 4$ प्राप्त होता है।
विएटा के सूत्रों का उपयोग करते हुए,$\alpha + \beta = -\frac{q}{p}$ और $\alpha \beta = \frac{r}{p}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{-q/p}{r/p} = -\frac{q}{r} = 4$,जिससे $q = -4r$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + r = 2q$ है,इसलिए $p + r = 2(-4r) = -8r$,जिसका अर्थ है $p = -9r$।
अब,$|\alpha - \beta| = \frac{\sqrt{D}}{|p|} = \frac{\sqrt{q^2 - 4pr}}{|p|}$।
$q = -4r$ और $p = -9r$ रखने पर:
$|\alpha - \beta| = \frac{\sqrt{(-4r)^2 - 4(-9r)(r)}}{|-9r|} = \frac{\sqrt{16r^2 + 36r^2}}{9|r|} = \frac{\sqrt{52r^2}}{9|r|} = \frac{2|r|\sqrt{13}}{9|r|} = \frac{2\sqrt{13}}{9}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया सीमा: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\pi \cos ^2 x)}{x^2}$
चूँकि $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$,हमारे पास $\pi \cos ^2 x = \pi - \pi \sin ^2 x$ है।
सर्वसमिका $\sin (\pi - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करने पर,$\sin (\pi - \pi \sin ^2 x) = \sin (\pi \sin ^2 x)$ प्राप्त होता है।
अब,सीमा इस प्रकार है: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\pi \sin ^2 x)}{x^2}$.
$\pi \sin ^2 x$ से गुणा और भाग करने पर:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{\sin (\pi \sin ^2 x)}{\pi \sin ^2 x} \right) \times \left( \frac{\pi \sin ^2 x}{x^2} \right)$.
जैसे $x \rightarrow 0$,$\sin ^2 x \rightarrow 0$,इसलिए $\frac{\sin (\pi \sin ^2 x)}{\pi \sin ^2 x} \rightarrow 1$.
साथ ही,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x}{x^2} = 1$.
अतः,सीमा का मान $1 \times \pi \times 1 = \pi$ है।

(B) प्रथम $50$ सम प्राकृत संख्याएँ $2, 4, 6, \ldots, 100$ हैं।
माध्य,$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{50} x_i}{50} = \frac{2(1+2+3+\ldots+50)}{50} = \frac{2 \times \frac{50 \times 51}{2}}{50} = 51$.
प्रसरण,$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
$\sum x_i^2 = 2^2 + 4^2 + \ldots + 100^2 = 4(1^2 + 2^2 + \ldots + 50^2)$.
वर्गों के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$\sum x_i^2 = 4 \times \frac{50(51)(101)}{6} = \frac{2 \times 50 \times 51 \times 101}{3} = 171700$.
$\sigma^2 = \frac{171700}{50} - (51)^2 = 3434 - 2601 = 833$.

(C) दिया गया है $f(\theta ) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \cos \theta & 1 \\ - \sin \theta & 1 & - \cos \theta \\ - 1 & \sin \theta & 1 \end{array} \right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$f(\theta ) = 1(1 - (-\sin \theta \cos \theta )) - \cos \theta (-\sin \theta - \cos \theta ) + 1(-\sin^2 \theta + 1)$
$f(\theta ) = 1 + \sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta - \sin^2 \theta + 1$
$f(\theta ) = 2 + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos 2\theta$
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$f(\theta ) = 2 + \sin 2\theta + \cos 2\theta$.
व्यंजक $a \sin x + b \cos x$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ और न्यूनतम मान $-\sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
यहाँ,$a = 1$ और $b = 1$ है,इसलिए $\sin 2\theta + \cos 2\theta$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ है।
अतः,अधिकतम मान $A = 2 + \sqrt{2}$ और न्यूनतम मान $B = 2 - \sqrt{2}$ है।
इस प्रकार,$(A, B) = (2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2})$.

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{|x| - 1}{|x| + 1}$.
एकैकी फलन के लिए,यदि $f(x_1) = f(x_2)$ है,तो $x_1 = x_2$ होना चाहिए।
मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$:
$\frac{|x_1| - 1}{|x_1| + 1} = \frac{|x_2| - 1}{|x_2| + 1}$
$(|x_1| - 1)(|x_2| + 1) = (|x_2| - 1)(|x_1| + 1)$
$|x_1||x_2| + |x_1| - |x_2| - 1 = |x_1||x_2| - |x_1| + |x_2| - 1$
$2|x_1| = 2|x_2| \implies |x_1| = |x_2|$
इसका अर्थ है $x_1 = x_2$ या $x_1 = -x_2$। चूंकि $f(1) = f(-1) = 0$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है (यह बहु-एक है)।
आच्छादक के लिए: मान लीजिए $y = \frac{|x| - 1}{|x| + 1}$.
$y(|x| + 1) = |x| - 1 \implies y|x| + y = |x| - 1 \implies |x|(y - 1) = -1 - y \implies |x| = \frac{1 + y}{1 - y}$.
चूंकि $|x| \ge 0$,इसलिए $\frac{1 + y}{1 - y} \ge 0$ होना चाहिए। इस असमिका को हल करने पर,हमें $y \in [-1, 1)$ प्राप्त होता है।
$f$ का परिसर $[-1, 1)$ है,जो सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है। इसलिए,फलन आच्छादक नहीं है।

(B) दिया गया है कि $A$ एक सममित आव्यूह है,इसलिए $A^T = A$।
दिया गया है कि $B$ एक विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए $B^T = -B$।
हमें आव्यूह $M = AB - BA$ की प्रकृति की जाँच करनी है।
$M$ का परिवर्त (transpose) लेने पर:
$M^T = (AB - BA)^T = (AB)^T - (BA)^T$
गुणधर्म $(XY)^T = Y^T X^T$ का उपयोग करने पर:
$M^T = B^T A^T - A^T B^T$
$A^T = A$ और $B^T = -B$ प्रतिस्थापित करने पर:
$M^T = (-B)(A) - (A)(-B)$
$M^T = -BA + AB = AB - BA = M$
चूँकि $M^T = M$ है,इसलिए आव्यूह $AB - BA$ एक सममित आव्यूह है।

(D) हमें सारणिक ${\Delta _r} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} r&{2r - 1}&{3r - 2} \\ {\frac{n}{2}}&{n - 1}&a \\ {\frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right)}&{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}&{\frac{1}{2}\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)} \end{array}} \right|$ दिया गया है।
हमें $\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {{\Delta _r}} $ की गणना करनी है। चूंकि योग ऑपरेटर सारणिक की पंक्तियों के संबंध में रैखिक है,हम लिख सकते हैं:
$\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {{\Delta _r}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} r }&{\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {\left( {2r - 1} \right)} }&{\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {\left( {3r - 2} \right)} } \\ {\frac{n}{2}}&{n - 1}&a \\ {\frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right)}&{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}&{\frac{1}{2}\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)} \end{array}} \right|$.
योग की गणना करने पर:
$1. \sum\limits_{r = 1}^{n - 1} r = \frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}$
$2. \sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {\left( {2r - 1} \right)} = 2\frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2} - \left( {n - 1} \right) = n(n-1) - (n-1) = {(n-1)^2}$
$3. \sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {\left( {3r - 2} \right)} = 3\frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2} - 2(n-1) = \frac{{3n(n-1) - 4(n-1)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}$
इन मानों को सारणिक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {{\Delta _r}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}}&{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}&{\frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}} \\ {\frac{n}{2}}&{n - 1}&a \\ {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}}&{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}&{\frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}} \end{array}} \right|$.
चूंकि पहली पंक्ति $(R_1)$ और तीसरी पंक्ति $(R_3)$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
अतः,यह मान $a$ और $n$ दोनों से स्वतंत्र है।

(D) फलन $f(x)$ के $x = \pi$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to \pi} f(x) = f(\pi) = k$ होना चाहिए।
माना $x = \pi + h$,जहाँ $x \to \pi$ होने पर $h \to 0$ होता है। अतः $(\pi - x)^2 = (-h)^2 = h^2$.
$\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2 + \cos(\pi + h)} - 1}{h^2} = k$.
चूँकि $\cos(\pi + h) = -\cos h$,इसलिए:
$k = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2 - \cos h} - 1}{h^2}$.
अंश का परिमेयकरण करने पर:
$k = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{2 - \cos h} - 1)(\sqrt{2 - \cos h} + 1)}{h^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{2 - \cos h - 1}{h^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)}$.
$k = \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)}$.
सर्वसमिका $1 - \cos h = 2 \sin^2(h/2)$ का उपयोग करने पर:
$k = \lim_{h \to 0} \frac{2 \sin^2(h/2)}{h^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{2 \sin^2(h/2)}{4(h/2)^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)}$.
चूँकि $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$:
$k = \frac{2}{4} \times \frac{1}{\sqrt{2 - 1} + 1} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(B) दिया गया है कि सभी $x \in R$ के लिए $|f(x)| \leq x^2$ है।
$x = 0$ पर,$|f(0)| \leq 0^2 = 0$,जिसका अर्थ है $f(0) = 0$ है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम अवकलज की सीमा का मूल्यांकन करते हैं:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h - 0} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}$।
दी गई असमिका से,$|f(h)| \leq h^2$,इसलिए $|\frac{f(h)}{h}| \leq |h|$ है।
सैंडविच प्रमेय द्वारा,जैसे $h \to 0$,$|h| \to 0$,इसलिए $\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = 0$ है।
अतः,$f'(0) = 0$,जिसका अर्थ है कि $f$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है।
चूँकि अवकलनीयता निरंतरता (सांतत्य) को दर्शाती है,इसलिए $f$ बिंदु $x = 0$ पर सतत भी है।
अतः,$f$ बिंदु $x = 0$ पर सतत और अवकलनीय दोनों है।

(C) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = 4\pi \, cc/sec$,इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$4\pi = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt} \Rightarrow \frac{dr}{dt} = \frac{1}{r^2}$.
हमें दिया गया है कि आयतन $V = 288\pi \, cc$ है।
आयतन के सूत्र का उपयोग करने पर:
$288\pi = \frac{4}{3}\pi r^3
\Rightarrow r^3 = \frac{288 \times 3}{4} = 216
\Rightarrow r = 6 \, cm$.
$\frac{dr}{dt}$ के व्यंजक में $r = 6$ रखने पर:
$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36} \, cm/sec$.

(B) दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{x^{5 m-1}+2 x^{4 m-1}}{\left(x^{2 m}+x^{m}+1\right)^{3}} d x$
अंश और हर को $x^{6m}$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{x^{5 m-1}+2 x^{4 m-1}}{x^{6m}\left(x^{-2m}+x^{-m}+1\right)^{3}} d x$
$I = \int \frac{x^{-m-1}+2 x^{-2 m-1}}{\left(1+x^{-m}+x^{-2 m}\right)^{3}} d x$
माना $t = 1+x^{-m}+x^{-2 m}$.
तब $dt = (-m x^{-m-1} - 2m x^{-2m-1}) dx = -m(x^{-m-1} + 2x^{-2m-1}) dx$.
अतः,$(x^{-m-1} + 2x^{-2m-1}) dx = -\frac{dt}{m}$.
समाकलन में मान रखने पर:
$I = \int \frac{-dt/m}{t^3} = -\frac{1}{m} \int t^{-3} dt = -\frac{1}{m} \left( \frac{t^{-2}}{-2} \right) + C = \frac{1}{2mt^2} + C$.
$t$ का मान वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2m(1+x^{-m}+x^{-2m})^2} + C = \frac{1}{2m(\frac{x^{2m}+x^m+1}{x^{2m}})^2} + C = \frac{x^{4m}}{2m(x^{2m}+x^m+1)^2} + C$.
अतः,$f(x) = \frac{x^{4m}}{2m(x^{2m}+x^m+1)^2}$.

(D) दिया गया है $F(x) = \int_{1}^{x} \frac{e^{t}}{t} dt, x > 0$ के लिए।
मान लीजिए $I = \int_{1}^{x} \frac{e^{t}}{t+a} dt$ है।
$t+a = z$ प्रतिस्थापित करने पर,$t = z-a$ और $dt = dz$ प्राप्त होता है।
जब $t = 1$,तो $z = 1+a$। जब $t = x$,तो $z = x+a$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_{1+a}^{x+a} \frac{e^{z-a}}{z} dz = e^{-a} \int_{1+a}^{x+a} \frac{e^{z}}{z} dz$।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_{b}^{c} f(z) dz = \int_{1}^{c} f(z) dz - \int_{1}^{b} f(z) dz$ का उपयोग करने पर:
$I = e^{-a} \left[ \int_{1}^{x+a} \frac{e^{z}}{z} dz - \int_{1}^{1+a} \frac{e^{z}}{z} dz \right]$।
$F(x)$ की परिभाषा के अनुसार,यह हो जाता है:
$I = e^{-a} [F(x+a) - F(1+a)]$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया वक्र $y = \tan x$ है ... $(1)$
जब $x = \frac{\pi}{4}$,तब $y = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$. अतः,स्पर्श बिंदु $P(\frac{\pi}{4}, 1)$ है।
अवकलन $\frac{dy}{dx} = \sec^2 x$ है। $x = \frac{\pi}{4}$ पर,ढाल $m = \sec^2(\frac{\pi}{4}) = 2$ है।
$P$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - 1 = 2(x - \frac{\pi}{4})$ है,जो सरल होकर $y = 2x + 1 - \frac{\pi}{2}$ हो जाता है ... $(2)$.
स्पर्शरेखा का $x-$अंतःखंड $y = 0$ रखकर प्राप्त किया जा सकता है: $0 = 2x + 1 - \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi - 2}{4}$. इस बिंदु को $L(\frac{\pi - 2}{4}, 0)$ कहें।
क्षेत्र का क्षेत्रफल $x = 0$ से $x = \frac{\pi}{4}$ तक वक्र $y = \tan x$ के नीचे का क्षेत्रफल और स्पर्शरेखा,$x-$अक्ष और ऊर्ध्वाधर रेखा $x = \frac{\pi}{4}$ द्वारा बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का अंतर है।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx - \Delta PLM$ का क्षेत्रफल
$= [\log |\sec x|]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
$= \log(\sec \frac{\pi}{4}) - \log(\sec 0) - \frac{1}{2} \times (\frac{\pi}{4} - \frac{\pi - 2}{4}) \times 1$
$= \log(\sqrt{2}) - 0 - \frac{1}{2} \times (\frac{2}{4}) = \frac{1}{2} \log 2 - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}(\log 2 - \frac{1}{2})$ वर्ग इकाई।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sin 2x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \tan x$ और $Q = \sin 2x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln(\sec x)} = \sec x$ है।
व्यापक हल $y(IF) = \int Q(IF) dx + c$ है।
$y \sec x = \int \sin 2x \sec x dx + c$.
$y \sec x = \int (2 \sin x \cos x) \sec x dx + c$.
$y \sec x = 2 \int \sin x dx + c$.
$y \sec x = -2 \cos x + c$ .....$(1)$.
चूंकि $y(0) = 1$ दिया गया है,$x = 0$ और $y = 1$ को $(1)$ में रखने पर:
$1 \cdot \sec(0) = -2 \cos(0) + c \Rightarrow 1(1) = -2(1) + c \Rightarrow c = 3$.
$c = 3$ को $(1)$ में रखने पर,$y \sec x = -2 \cos x + 3$ प्राप्त होता है।
$y(\pi)$ ज्ञात करने के लिए,$x = \pi$ रखने पर:
$y \sec(\pi) = -2 \cos(\pi) + 3$.
$y(-1) = -2(-1) + 3$.
$-y = 2 + 3 = 5$.
$y = -5$.

(B) माना दो रेखाएँ $L_1: \frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{1} = r_1$ और $L_2: \frac{x - 1}{0} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z}{1} = r_2$ हैं।
$L_1$ पर कोई बिंदु $P(r_1, -r_1, r_1)$ है और $L_2$ पर कोई बिंदु $Q(1, -2r_2 - 1, r_2)$ है।
रेखा $PQ$ के दिक अनुपात $(1 - r_1, -2r_2 - 1 + r_1, r_2 - r_1)$ हैं।
चूंकि $PQ$ न्यूनतम दूरी की रेखा है,यह $L_1$ (दिशा $\vec{v_1} = \langle 1, -1, 1 \rangle$) और $L_2$ (दिशा $\vec{v_2} = \langle 0, -2, 1 \rangle$) दोनों के लंबवत है।
$1$) $(1 - r_1)(1) + (-2r_2 - 1 + r_1)(-1) + (r_2 - r_1)(1) = 0 \Rightarrow -3r_1 + 3r_2 + 2 = 0$.
$2$) $(1 - r_1)(0) + (-2r_2 - 1 + r_1)(-2) + (r_2 - r_1)(1) = 0 \Rightarrow -3r_1 + 5r_2 + 2 = 0$.
समीकरणों को घटाने पर: $2r_2 = 0 \Rightarrow r_2 = 0$.
अतः $-3r_1 + 2 = 0 \Rightarrow r_1 = 2/3$.
बिंदु $P(2/3, -2/3, 2/3)$ और $Q(1, -1, 0)$ हैं।
$PQ$ के दिक अनुपात $(1/3, -1/3, -2/3)$ हैं,जो $(1, -1, -2)$ के समानुपाती हैं।
रेखा $Q(1, -1, 0)$ से गुजरती है,इसलिए समीकरण $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{-2}$ है।

(C) दी गई रेखा का समीकरण $2(x + 1) = y = z + 4$ है। इसे सममित रूप में लिखने पर: $\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 4}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः रेखा की दिशा $\vec{b} = (1, 2, 2)$ है।
समतल का समीकरण $2x + 0y - \sqrt{\lambda} z + 4 = 0$ है,जिसका अभिलंब $\vec{n} = (2, 0, -\sqrt{\lambda})$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{6}$ है,इसलिए $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ का उपयोग करने पर:
$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} = \frac{|(1)(2) + (2)(0) + (2)(-\sqrt{\lambda})|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + 0^2 + (-\sqrt{\lambda})^2}}$.
$\frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{\lambda}}{3\sqrt{4+\lambda}}$ (समीकरण को हल करने पर).
$\frac{3\sqrt{4+\lambda}}{4} = \sqrt{\lambda} \Rightarrow \frac{9(4+\lambda)}{16} = \lambda$.
$36 + 9\lambda = 16\lambda \Rightarrow 7\lambda = 36$ (नोट: दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $\lambda = \frac{45}{7}$ है)।

(C) दिए गए सदिश $\vec x = 3\hat i - 6\hat j - \hat k$,$\vec y = \hat i + 4\hat j - 3\hat k$,और $\vec z = 3\hat i - 4\hat j - 12\hat k$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $\vec x \times \vec y$ की गणना करते हैं:
$\vec x \times \vec y = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 3 & -6 & -1 \\ 1 & 4 & -3 \end{vmatrix}$
$= \hat i(18 + 4) - \hat j(-9 + 1) + \hat k(12 + 6)$
$= 22\hat i + 8\hat j + 18\hat k$.
अब,सदिश $\vec a$ का सदिश $\vec b$ पर प्रक्षेप $\frac{|\vec a \cdot \vec b|}{|\vec b|}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\vec a = \vec x \times \vec y = 22\hat i + 8\hat j + 18\hat k$ और $\vec b = \vec z = 3\hat i - 4\hat j - 12\hat k$ है।
अदिश गुणनफल $(\vec x \times \vec y) \cdot \vec z = (22)(3) + (8)(-4) + (18)(-12) = 66 - 32 - 216 = -182$.
$\vec z$ का परिमाण $= |\vec z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-12)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
प्रक्षेप का परिमाण $= \left| \frac{(\vec x \times \vec y) \cdot \vec z}{|\vec z|} \right| = \left| \frac{-182}{13} \right| = |-14| = 14$.

(A) मान लीजिए कि $A$ और $E$ धनात्मक प्रायिकता वाली कोई दो घटनाएँ हैं।
कथन $- 1$ पर विचार करें:
$P(E/A) = \frac{P(E \cap A)}{P(A)}$. चूँकि $P(A) \leq 1$,इसलिए $\frac{1}{P(A)} \geq 1$. अतः,$P(E/A) = \frac{P(E \cap A)}{P(A)} \geq P(E \cap A)$.
हम जानते हैं कि $P(A/E)P(E) = P(A \cap E)$.
चूँकि $P(E \cap A) = P(A \cap E)$,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $P(E/A) \geq P(A \cap E) = P(A/E)P(E)$.
अतः,कथन $- 1$ सत्य है।
कथन $- 2$ पर विचार करें:
$P(A/E) = \frac{P(A \cap E)}{P(E)}$. चूँकि $P(E) \leq 1$,इसलिए $\frac{1}{P(E)} \geq 1$. अतः,$P(A/E) = \frac{P(A \cap E)}{P(E)} \geq P(A \cap E)$.
अतः,कथन $- 2$ भी सत्य है।

(C) हमें $\tan^{-1} \left( \cot \frac{43\pi}{4} \right)$ का मुख्य मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,कोटिस्पर्शज्या (cotangent) फलन के तर्क को सरल बनाएं:
$\frac{43\pi}{4} = \frac{40\pi + 3\pi}{4} = 10\pi + \frac{3\pi}{4}$.
चूंकि किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $\cot(n\pi + \theta) = \cot \theta$ होता है,इसलिए हमारे पास है:
$\cot \left( \frac{43\pi}{4} \right) = \cot \left( 10\pi + \frac{3\pi}{4} \right) = \cot \frac{3\pi}{4}$.
अब,सर्वसमिका $\cot \theta = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ का उपयोग करके $\cot \theta$ को $\tan$ के रूप में व्यक्त करें:
$\cot \frac{3\pi}{4} = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{4} \right) = \tan \left( \frac{2\pi - 3\pi}{4} \right) = \tan \left( -\frac{\pi}{4} \right)$.
अतः,$\tan^{-1} \left( \cot \frac{43\pi}{4} \right) = \tan^{-1} \left( \tan \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right)$.
चूंकि $-\frac{\pi}{4}$,$\tan^{-1}x$ की मुख्य मान शाखा $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ में स्थित है,इसलिए मान $-\frac{\pi}{4}$ है।