कथन I: समीकरण (sin^{-1} x)^3 + (cos^{-1} x)^3 | vedclass

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Question

(D) कथन $II$ के लिए: हम जानते हैं कि $\sin^{-1} x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।सभी पक्षों से $\frac{\pi}{4}$ घटाने पर,हमें $-\frac{3\pi}{4}

Vedclass · Accepted Answer

कथन $I$ असत्य है और कथन $II$ सत्य है।

Vedclass · Answer

(D) कथन $II$ के लिए: हम जानते हैं कि $\sin^{-1} x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।सभी पक्षों से $\frac{\pi}{4}$ घटाने पर,हमें $-\frac{3\pi}{4} \le \sin^{-1} x - \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।असमिका का वर्ग करने पर,हमें $0 \le (\sin^{-1} x - \frac{\pi}{4})^2 \le \frac{9\pi^2}{16}$ प्राप्त होता है। अतः,कथन $II$ सत्य है।कथन $I$ के लिए: मान लीजिए $u = \sin^{-1} x$ है। तब $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$ होगा। समीकरण $u^3 + (\frac{\pi}{2} - u)^3 = a\pi^3$ बन जाता है।इसका विस्तार करने पर,$u^3 + \frac{\pi^3}{8} - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{3\pi}{2}u^2 - u^3 = a\pi^3$ प्राप्त होता है।$\frac{3\pi}{2}u^2 - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{\pi^3}{8} - a\pi^3 = 0$ है।$\frac{3\pi}{2}$ से भाग देने पर,$u^2 - \frac{\pi}{2}u + \frac{\pi^2}{12} - \frac{2a\pi^2}{3} = 0$ प्राप्त होता है।पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(u - \frac{\pi}{4})^2 - \frac{\pi^2}{16} + \frac{\pi^2}{12} - \frac{2a\pi^2}{3} = 0$ है।$(u - \frac{\pi}{4})^2 = \frac{2a\pi^2}{3} - \frac{\pi^2}{48} = \frac{\pi^2}{48}(32a - 1)$ है।चूंकि $0 \le (u - \frac{\pi}{4})^2 \le \frac{9\pi^2}{16}$ है,इसलिए $0 \le \frac{\pi^2}{48}(32a - 1) \le \frac{9\pi^2}{16}$ होगा।$0 \le 32a - 1 \le 27$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{32} \le a \le \frac{7}{8}$ है।चूंकि समीकरण का हल केवल $a \in [\frac{1}{32}, \frac{7}{8}]$ के लिए ही संभव है,इसलिए यह कथन कि इसका सभी $a \ge \frac{1}{32}$ के लिए हल है,असत्य है।

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