यदि $B$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,जिसके लिए $B^2 = 0$ है,तो $\det[(I + B)^{50} - 50B]$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ है। यदि $f(x) = x^3 - 2x^2 - 5$ है,तो $f(A)$ क्या होगा?

माना $A$ एक $3 \times 3$ वास्तविक आव्यूह है,इस प्रकार कि $A^2(A-2I) - 4(A-I) = O$,जहाँ $I$ और $O$ क्रमशः तत्समक और शून्य आव्यूह हैं। यदि $A^5 = \alpha A^2 + \beta A + \gamma I$ है,जहाँ $\alpha, \beta$ और $\gamma$ वास्तविक स्थिरांक हैं,तो $\alpha + \beta + \gamma$ का मान ज्ञात कीजिए:

$3 \times 3$ के कितने व्युत्क्रमणीय (non-singular) आव्यूह हैं,जिनमें चार प्रविष्टियाँ $1$ हैं और बाकी सभी प्रविष्टियाँ $0$ हैं?

आव्यूह $f(x) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ पर विचार करें। नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन $I$: $f(-x)$,आव्यूह $f(x)$ का व्युत्क्रम (inverse) है।
कथन $II$: $f(x) f(y) = f(x+y)$.
उपरोक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

यदि $A$ और $B$ दो वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि $B = -A^{-1}BA$,तो $(A + B)^2 = $