यदि एक सतत फलन f(x) के लिए,int_{-pi}^{t} (f(x | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $\int_{-\pi}^{t} (f(x) + x) dx = \pi^2 - t^2$समाकलन को अलग करने पर: $\int_{-\pi}^{t} f(x) dx + \int_{-\pi}^{t} x dx = \pi^2 - t^2

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$\pi$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समीकरण: $\int_{-\pi}^{t} (f(x) + x) dx = \pi^2 - t^2$समाकलन को अलग करने पर: $\int_{-\pi}^{t} f(x) dx + \int_{-\pi}^{t} x dx = \pi^2 - t^2$दूसरे समाकलन का मान: $\int_{-\pi}^{t} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-\pi}^{t} = \frac{t^2}{2} - \frac{(-\pi)^2}{2} = \frac{t^2}{2} - \frac{\pi^2}{2}$इस मान को रखने पर: $\int_{-\pi}^{t} f(x) dx + \frac{t^2}{2} - \frac{\pi^2}{2} = \pi^2 - t^2$पदों को व्यवस्थित करने पर: $\int_{-\pi}^{t} f(x) dx = \pi^2 - t^2 - \frac{t^2}{2} + \frac{\pi^2}{2} = \frac{3}{2}\pi^2 - \frac{3}{2}t^2 = \frac{3}{2}(\pi^2 - t^2)$$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz नियम का उपयोग करके): $\frac{d}{dt} \left[ \int_{-\pi}^{t} f(x) dx \right] = \frac{d}{dt} \left[ \frac{3}{2}(\pi^2 - t^2) \right]$कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार: $f(t) = \frac{3}{2}(0 - 2t) = -3t$अतः,$f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -3 \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \pi$

यदि एक सतत फलन $f(x)$ के लिए,$\int_{-\pi}^{t} (f(x) + x) dx = \pi^2 - t^2$ सभी $t \ge -\pi$ के लिए सत्य है,तो $f\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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