यदि (10)^9 + 2(11)^1(10)^8 + 3(11)^2(10)^7 + | vedclass

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Question

(A) माना $S = 10^9 + 2(11)^1(10)^8 + 3(11)^2(10)^7 + \dots + 10(11)^9 = k(10)^9$.दोनों पक्षों को $10^9$ से विभाजित करने पर:$k = 1 + 2\left(\frac{11}{1

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$100$

Vedclass · Answer

(A) माना $S = 10^9 + 2(11)^1(10)^8 + 3(11)^2(10)^7 + \dots + 10(11)^9 = k(10)^9$.दोनों पक्षों को $10^9$ से विभाजित करने पर:$k = 1 + 2\left(\frac{11}{10}\right) + 3\left(\frac{11}{10}\right)^2 + \dots + 10\left(\frac{11}{10}\right)^9$  ......$(i)$माना $x = \frac{11}{10}$. तब $k = 1 + 2x + 3x^2 + \dots + 10x^9$.$x$ से गुणा करने पर:$xk = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + 9x^9 + 10x^{10}$  ......$(ii)$$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:$k(1-x) = 1 + x + x^2 + \dots + x^9 - 10x^{10}$$k(1-x) = \frac{1(x^{10}-1)}{x-1} - 10x^{10}$चूँकि $x = \frac{11}{10}$,इसलिए $1-x = -\frac{1}{10}$ और $x-1 = \frac{1}{10}$.$k(-\frac{1}{10}) = \frac{(\frac{11}{10})^{10}-1}{\frac{1}{10}} - 10(\frac{11}{10})^{10}$$k(-\frac{1}{10}) = 10((\frac{11}{10})^{10}-1) - 10(\frac{11}{10})^{10}$$k(-\frac{1}{10}) = 10(\frac{11}{10})^{10} - 10 - 10(\frac{11}{10})^{10} = -10$अतः $k = 100$.

यदि $(10)^9 + 2(11)^1(10)^8 + 3(11)^2(10)^7 + \dots + 10(11)^9 = k(10)^9$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $S = 2 + \frac{6}{7} + \frac{12}{7^{2}} + \frac{20}{7^{3}} + \frac{30}{7^{4}} + \ldots$. तो $4S$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित श्रेणी $1 + \frac{4}{5} + \frac{7}{5^2} + \frac{10}{5^3} + \dots$ के अनंत पदों का योग क्या होगा?

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मान लीजिए $f(x) = \sin x + 2\sin^2 x + 3\sin^3 x + 4\sin^4 x + \dots \infty$ है। तो $x \in [-\pi, \pi] - \{\pm \frac{\pi}{2}\}$ में समीकरण $f(x) = 2$ के हलों की संख्या क्या है?

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