किन्हीं दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याओं z_1 और | vedclass

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Question

(A) हमें $|z_1+z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2$ दिया गया है। $|z|^2 = z \bar{z}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए: $(z_1+z_2)(\bar{z_1}+\bar{z_2}) = z_1 \bar{z_1}

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$\operatorname{Re}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=0$

Vedclass · Answer

(A) हमें $|z_1+z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2$ दिया गया है। $|z|^2 = z \bar{z}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए: $(z_1+z_2)(\bar{z_1}+\bar{z_2}) = z_1 \bar{z_1} + z_2 \bar{z_2}$. बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $z_1 \bar{z_1} + z_1 \bar{z_2} + z_2 \bar{z_1} + z_2 \bar{z_2} = z_1 \bar{z_1} + z_2 \bar{z_2}$. दोनों पक्षों से $|z_1|^2$ और $|z_2|^2$ घटाने पर: $z_1 \bar{z_2} + z_2 \bar{z_1} = 0$. इसे $z_1 \bar{z_2} + \overline{z_1 \bar{z_2}} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है। चूंकि $z + \bar{z} = 2 \operatorname{Re}(z)$, इसलिए $2 \operatorname{Re}(z_1 \bar{z_2}) = 0$, जिसका अर्थ है कि $\operatorname{Re}(z_1 \bar{z_2}) = 0$. $|z_2|^2$ से विभाजित करने पर, हमें $\operatorname{Re}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = 0$ प्राप्त होता है।

किन्हीं दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए, यदि $|z_1+z_2|^2=|z_1|^2+|z_2|^2$ है, तो

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