यदि z एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि frac{z-1}{ | vedclass

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Question

(D) माना $z = x + iy$ है। तब $\frac{z-1}{z-i} = \frac{(x-1) + iy}{x + i(y-1)}$ है।हर के संयुग्मी से गुणा करने पर: $\frac{((x-1) + iy)(x - i(y-1))}{x^2

Vedclass · Accepted Answer

$4 r^2$

Vedclass · Answer

(D) माना $z = x + iy$ है। तब $\frac{z-1}{z-i} = \frac{(x-1) + iy}{x + i(y-1)}$ है।हर के संयुग्मी से गुणा करने पर: $\frac{((x-1) + iy)(x - i(y-1))}{x^2 + (y-1)^2}$ प्राप्त होता है।व्यंजक के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए: $x(x-1) + y(y-1) = 0$।यह $x^2 - x + y^2 - y = 0$ या $(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$ में सरल हो जाता है।इसे वृत्त के समीकरण $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = \frac{1}{2}$,$\beta = \frac{1}{2}$,और $r^2 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।अतः,$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{1/2}{1/2} + \frac{1/2}{1/2} = 1 + 1 = 2$ है।चूंकि $r^2 = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $2 = 4r^2$ है। अतः,सही विकल्प $4r^2$ है।

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माना $S = \{z \in \mathbb{C} : \left|\frac{z-6i}{z-2i}\right| = 1 \text{ और } \left|\frac{z-8+2i}{z+2i}\right| = \frac{3}{5}\}$ है। तो $\sum_{z \in S} |z|^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $|z_1 - 8 - 2i| \leq 1$ और $|z_2 - 2 + 6i| \leq 2$,जहाँ $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ है। तो $|z_1 - z_2|$ का न्यूनतम मान क्या है?

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