$INCONVENIENCE$ शब्द के अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले कम से कम एक पुनरावृत्त अक्षर वाले सभी पाँच अक्षरों के शब्दों (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) की संख्या क्या है?

$1, 3, 5, 8$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली $3$ से विभाज्य तीन अंकों की कुल कितनी संख्याएँ हैं,यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है?

मान लीजिए $x, y, z$ तीन गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं जैसे कि $x+y+z=10$ है। $xyz+xy+yz+zx$ का अधिकतम संभव मान क्या है?

मान लीजिए $x$ एक थैले से कम से कम एक गेंद चुनने के तरीकों की संख्या को दर्शाता है जिसमें $3$ समान लाल गेंदें,$4$ समान नीली गेंदें और $5$ समान हरी गेंदें हैं। मान लीजिए $y$ उन तरीकों की संख्या को दर्शाता है जिनसे एक छात्र परीक्षा में अनुत्तीर्ण (fail) हो सकता है,जब उसे $5$ अलग-अलग विषयों में परीक्षा देनी हो। तो $x+y=$

मान लीजिए ${}^nC_{r-1}=28$,${}^nC_r=56$,और ${}^nC_{r+1}=70$ है। मान लीजिए $A(4 \cos t, 4 \sin t)$,$B(2 \sin t, -2 \cos t)$,और $C(3r - n, r^2 - n - 1)$ त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष हैं,जहाँ $t$ एक प्राचल है। यदि $(3x - 1)^2 + (3y)^2 = \alpha$ त्रिभुज $ABC$ के केंद्रक का बिंदुपथ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

$6$ अलग-अलग उपन्यासों और $3$ अलग-अलग शब्दकोशों में से,$4$ उपन्यासों और $1$ शब्दकोश का चयन करके एक शेल्फ पर एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित किया जाना है कि शब्दकोश हमेशा बीच में रहे। ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या है: