स्तंभ $I$ के फलनों को स्तंभ $II$ के उनके गुणों से सुमेलित कीजिए। निम्नलिखित में $[x]$,$x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$A$. $x|x|$	$I$. $(-1,1)$ में निरंतर वर्धमान और सतत
$B$. $\sqrt{|x|}$	$II$. $(-1,1)$ में सतत लेकिन अवकलनीय नहीं
$C$. $x+[x]$	$III$. $(-1,1)$ में अवकलनीय
$D$. $|x-1|+|x+1|+|x|$	$IV$. $(-1,0) \cup (0,1)$ में अवकलनीय
	$V$. $(-1,1)$ में निरंतर वर्धमान और अवकलनीय नहीं

सही मिलान है

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \int_{0}^{x} |1-t| dt, & x > 1 \\ x - \frac{1}{2}, & x \leq 1 \end{cases}$. तो:

दो वक्र $C_1 : y = x^2 - 3$ और $C_2 : y = kx^2, k \in R$,एक दूसरे को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटते हैं। $C_2$ पर प्रतिच्छेदन बिंदु $A \equiv (a, y_1), (a > 0)$ पर खींची गई स्पर्श रेखा $C_1$ को फिर से $B(1, y_2), (y_1 \neq y_2)$ पर मिलती है। '$a$' का मान है

मान लीजिए $f(x)$ एक अवकलनीय फलन है,$f^{\prime}(x) > f(x)$ और $f(0) = 0$ है। तो

किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$f_n:(0, \infty) \rightarrow R$ को $f_n(x)=\sum_{j=1}^n \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+(x+j)(x+j-1)}\right)$ के रूप में परिभाषित करें,जहाँ $x \in(0, \infty)$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $\sum_{j=1}^5 \tan ^2(f_j(0))=55$
$(B)$ $\sum_{j=1}^{10}(1+f_j'(0)) \sec ^2(f_j(0))=10$
$(C)$ किसी भी निश्चित धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$\lim _{x \rightarrow \infty} \tan (f_n(x))=\frac{1}{n}$
$(D)$ किसी भी निश्चित धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$\lim _{x \rightarrow \infty} \sec ^2(f_n(x))=1$

यदि $y = \frac{1}{1 + x^{n-m} + x^{p-m}} + \frac{1}{1 + x^{m-n} + x^{p-n}} + \frac{1}{1 + x^{m-p} + x^{n-p}}$ है,तो $x = e^{m^{n^p}}$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान क्या होगा?