मान लीजिए f: N rightarrow N एक फलन है जो प्रत | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y) = f(x) + f(y) + xy$ है। मान लीजिए $f(x) = ax^2 + bx + c$ है। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $a(x+y)^2 + b(x+y) +

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$275$

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(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y) = f(x) + f(y) + xy$ है। मान लीजिए $f(x) = ax^2 + bx + c$ है। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $a(x+y)^2 + b(x+y) + c = (ax^2 + bx + c) + (ay^2 + by + c) + xy$. $a(x^2 + 2xy + y^2) + bx + by + c = ax^2 + ay^2 + bx + by + 2c + xy$. $xy$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$2a = 1$,अतः $a = 1/2$. अचर पदों की तुलना करने पर,$c = 2c$,अतः $c = 0$. चूंकि $f(1) = 2$ दिया गया है,हमारे पास $a(1)^2 + b(1) = 2$ है,इसलिए $1/2 + b = 2$,जिससे $b = 3/2$ प्राप्त होता है। अतः,$f(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x = \frac{x(x+3)}{2}$. हमें $\sum_{k=1}^{10} f(k) = \sum_{k=1}^{10} (\frac{1}{2}k^2 + \frac{3}{2}k) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{10} k^2 + \frac{3}{2} \sum_{k=1}^{10} k$ की गणना करनी है। योग सूत्रों का उपयोग करने पर: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$. $n=10$ के लिए: $\sum k^2 = \frac{10(11)(21)}{6} = 385$ और $\sum k = \frac{10(11)}{2} = 55$. योग $= \frac{1}{2}(385) + \frac{3}{2}(55) = 192.5 + 82.5 = 275$.

मान लीजिए $f: N \rightarrow N$ एक फलन है जो प्रत्येक $x, y \in N$ के लिए $f(x+y)=f(x)+f(y)+xy$ को संतुष्ट करता है। यदि $f(1)=2$ है,तो $\sum_{k=1}^{10} f(k)=$

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