यदि y=t^2+t^3 और x=t-t^4 है,तो t=1 पर frac{d^ | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $y=t^2+t^3$ और $x=t-t^4$। सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dt} = 2t + 3t^2$ $\frac{dx}{dt} = 1 - 4t^3$ अतः,$\frac{dy

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$-\frac{4}{3}$

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(B) दिया गया है $y=t^2+t^3$ और $x=t-t^4$। सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dt} = 2t + 3t^2$ $\frac{dx}{dt} = 1 - 4t^3$ अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t + 3t^2}{1 - 4t^3}$। अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $\frac{dy}{dx}$ का अवकलन करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{d}{dt}\left(\frac{2t + 3t^2}{1 - 4t^3}\right) \cdot \frac{1}{1 - 4t^3}$। भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करने पर: $\frac{d}{dt}\left(\frac{2t + 3t^2}{1 - 4t^3}\right) = \frac{(1 - 4t^3)(2 + 6t) - (2t + 3t^2)(-12t^2)}{(1 - 4t^3)^2}$। इस प्रकार,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(1 - 4t^3)(2 + 6t) + 12t^2(2t + 3t^2)}{(1 - 4t^3)^3}$। $t=1$ रखने पर: $\left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{t=1} = \frac{(1 - 4)(2 + 6) + 12(1)^2(2(1) + 3(1)^2)}{(1 - 4)^3} = \frac{(-3)(8) + 12(5)}{(-3)^3} = \frac{-24 + 60}{-27} = \frac{36}{-27} = -\frac{4}{3}$।

List-$I$	List-$II$
$(i)$ $x = a(\theta - \sin \theta), y = a(1 - \cos \theta)$	$(A)$ $4\sqrt{3}$
(ii) $x = 3\cos \theta - 2\cos^3 \theta, y = 3\sin \theta - 2\sin^3 \theta$	$(B)$ $-\frac{1}{3\sqrt{3}}$
(iii) $x = 3\cos \theta - \cos^3 \theta, y = 3\sin \theta - \sin^3 \theta$	$(C)$ $\sqrt{3}$
(iv) $x = a \log \sin \theta, y = a \tan \theta$	$(D)$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$
	$(E)$ $\frac{1}{3\sqrt{3}}$

यदि $y=t^2+t^3$ और $x=t-t^4$ है,तो $t=1$ पर $\frac{d^2 y}{d x^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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