मान लीजिए a 1 और 0

Question

(D) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} a^x, & -\infty  1$ और $0 < b < 1$ है।$x < 0$ के लि

Vedclass · Accepted Answer

$(D)$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक

Vedclass · Answer

(D) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} a^x, & -\infty  1$ और $0 $x  1$ है,जैसे $x 	o -\infty$,$f(x) 	o 0$,और जैसे $x 	o 0^-$,$f(x) 	o 1$ है। अतः,इस भाग का परिसर $(0, 1)$ है।$x \geq 0$ के लिए,$f(x) = b^x$ है। चूँकि $0 इन दोनों को मिलाने पर,$f(x)$ का परिसर $(0, 1]$ प्राप्त होता है।$1$. एकैकी जाँच: किसी भी $y \in (0, 1)$ के लिए,$x$ के दो मान मौजूद हैं,एक ऋणात्मक और एक धनात्मक,ताकि $f(x) = y$ हो। उदाहरण के लिए,यदि $y = 0.5$ है,तो $x_1  0$ मौजूद है ताकि $b^{x_2} = 0.5$ हो। अतः,$f(x)$ एकैकी नहीं है।$2$. आच्छादक जाँच: सह-प्रांत $[0, 1]$ दिया गया है। चूँकि परिसर $(0, 1]$ है,मान $0$ परिसर में नहीं है (क्योंकि सभी $x$ के लिए $a^x > 0$ और $b^x > 0$ है)। इसलिए,$f(x)$ आच्छादक नहीं है।अतः,$f(x)$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

$A$. $f: R \rightarrow R$,$f(x) = \cos(112x - 37)$ द्वारा परिभाषित	$I$. एकैकी (Injection) लेकिन आच्छादक (Surjection) नहीं
$B$. $f: A \rightarrow B$,$f(x) = x\|x\|$ द्वारा परिभाषित,जहाँ $A = [-2, 2]$ और $B = [-4, 4]$	$II$. आच्छादक लेकिन एकैकी नहीं
$C$. $f: R \rightarrow R$,$f(x) = (x-2)(x-3)(x-5)$ द्वारा परिभाषित	$III$. एकैकी और आच्छादक (Bijection)
$D$. $f: N \rightarrow N$,$f(n) = n+1$ द्वारा परिभाषित	$IV$. न तो एकैकी और न ही आच्छादक
	$V$. संयुक्त फलन

मान लीजिए $a > 1$ और $0 < b < 1$ है। यदि $f: R \rightarrow [0, 1]$ को $f(x) = \begin{cases} a^x, & -\infty < x < 0 \\ b^x, & 0 \leq x < \infty \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $f(x)$ है

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