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Question

(A) फलन को $f(x) = \min \{x, x^2\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।$x$ और $x^2$ की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि जब $0 \leq x \leq 1$ होता है तो $x^2

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$f(x)$ सभी $x$ के लिए सतत है

Vedclass · Answer

(A) फलन को $f(x) = \min \{x, x^2\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।$x$ और $x^2$ की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि जब $0 \leq x \leq 1$ होता है तो $x^2 \leq x$ होता है,और अन्यथा $x अतः,$f(x) = \begin{cases} x, & x  1 \end{cases}$ है।$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच: $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = 0$ और $\lim_{x 	o 0^+} f(x) = 0^2 = 0$ है। चूँकि $f(0) = 0$ है,इसलिए यह $x = 0$ पर सतत है।$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच: $\lim_{x 	o 1^-} f(x) = 1^2 = 1$ और $\lim_{x 	o 1^+} f(x) = 1$ है। चूँकि $f(1) = 1$ है,इसलिए यह $x = 1$ पर सतत है।अब,अवकलनीयता की जाँच: $f'(x) = \begin{cases} 1, & x  1 \end{cases}$ है।$x = 0$ पर: बायाँ अवकलज $1$ है,दायाँ अवकलज $2(0) = 0$ है। चूँकि $1 
eq 0$ है,इसलिए यह $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।$x = 1$ पर: बायाँ अवकलज $2(1) = 2$ है,दायाँ अवकलज $1$ है। चूँकि $2 
eq 1$ है,इसलिए यह $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।अतः,$f(x)$ सभी $x$ के लिए सतत है।

मान लीजिए कि प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए $f(x) = \min \{x, x^2\}$ है। तो:

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यदि $f(x) = \begin{cases} x \sin x, & 0 < x \le \frac{\pi}{2} \\ \frac{\pi}{2} \sin(\pi + x), & \frac{\pi}{2} < x < \pi \end{cases}$,तो

फलन $f(x) = [\frac{x^2}{2}] - [\sqrt{x}]$ के लिए $x \in [0, 4]$ अंतराल में असंतत बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} a|\pi - x| + 1, & x \le 5 \\ b|\pi - x| + 3, & x > 5 \end{cases}$ बिंदु $x = 5$ पर सतत है,तो $a - b$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} [x] + [-x], & x \neq 2 \\ \lambda, & x = 2 \end{cases}$ बिंदु $x = 2$ पर सतत है,तो $\lambda = $ (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)।

फलन $f(x) = \frac{1 - \cos(1 - \cos x)}{x^4}$ के हर जगह सतत होने के लिए $f(0)$ का मान क्या होगा?

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