यदि $Z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $|Z| \leq 3$ और $-\frac{\pi}{2} \leq \operatorname{amp}(Z) \leq \frac{\pi}{2}$ है,तो $Z$ के बिंदु पथ द्वारा निर्मित क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

यदि $|z| = 1$ $(z \neq -1)$ और $z = x + iy$ है,तो $\left( \frac{z - 1}{z + 1} \right)$ है

यदि सम्मिश्र संख्याएँ $z_1, z_2, z_3$ एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों को इस प्रकार निरूपित करती हैं कि $|z_1| = |z_2| = |z_3|$ है,तो $z_1 + z_2 + z_3 = $

मान लीजिए $A, B, C$ सम्मिश्र संख्याओं के तीन समुच्चय हैं जो $A = \{z : \text{Im}(z) \ge 1\}$,$B = \{z : |z - 2 - i| = 3\}$,और $C = \{z : \text{Re}((1 - i)z) = \sqrt{2}\}$ द्वारा परिभाषित हैं। यदि $z$,$A \cap B \cap C$ में कोई बिंदु है,तो $|z + 1 - i|^2 + |z - 5 - i|^2$ का मान किसके बीच स्थित है?

मान लीजिए $z_1$ और $z_2$ दो भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं और $0 < t < 1$ वाली किसी वास्तविक संख्या $t$ के लिए $z = (1-t)z_1 + tz_2$ है। यदि $\operatorname{Arg}(w)$ एक शून्येतर सम्मिश्र संख्या $w$ के मुख्य कोणांक को दर्शाता है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $|z-z_1| + |z-z_2| = |z_1-z_2|$
$(B)$ $\operatorname{Arg}(z-z_1) = \operatorname{Arg}(z-z_2)$
$(C)$ $\left|\begin{array}{cc} z-z_1 & \bar{z}-\bar{z}_1 \\ z_2-z_1 & \bar{z}_2-\bar{z}_1 \end{array}\right| = 0$
$(D)$ $\operatorname{Arg}(z-z_1) = \operatorname{Arg}(z_2-z_1)$

समुच्चय $\{z=a+ib: a, b \in \mathbb{Z}, z \in \mathbb{C}, |z-1| \leq 1, |z-5| \leq |z-5i|\}$ के तत्वों के मापांक के वर्ग का योग ........ है।