એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ એવી છે કે જેથી $n!$ ના અંતમાં બરાબર $1000$ શૂન્ય આવે,તો તે સંખ્યા કઈ છે?

ત્રણ ખેલાડીઓ કુલ $9$ રમતો રમે છે. દરેક રમતમાં,એક વ્યક્તિ જીતે છે અને બાકીના બે હારે છે; વિજેતાને $2$ પોઈન્ટ મળે છે અને હારનારને દરેકને $-1$ મળે છે. તેઓ કુલ $9$ રમતો રમી શકે અને દરેકનો સ્કોર શૂન્ય થાય તેવી રીતે રમવાની કુલ રીતો કેટલી છે?

$(x-2y+3z)^5$ ના વિસ્તરણમાં,જો પદોની કુલ સંખ્યા $p$ હોય અને $x^2yz^2$ નો સહગુણક $q$ હોય,તો $\frac{q}{p}=$

જો $(1-x^3)^{10} = \sum_{r=0}^{10} a_r x^r (1-x)^{30-2r}$ હોય,તો $\frac{9a_9}{a_{10}}$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

સૌથી મોટી પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ એવી છે કે જેથી $3^{n}$ એ $66!$ ને ભાગે છે,તે $............$ છે.

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$I$: $N = 2^{\alpha_1} 3^{\alpha_2} 4^{\alpha_3} 5^{\alpha_4} 6^{\alpha_5}$ સંખ્યાના બિન-તુચ્છ બેકી ભાજકોની સંખ્યા $(\alpha_1+2\alpha_3+\alpha_5)(\alpha_2+\alpha_5+1)(\alpha_4+1)-1$ છે.
$II$: $N = 2^{\alpha_1} 3^{\alpha_2} 4^{\alpha_3} 5^{\alpha_4} 6^{\alpha_5}$ સંખ્યાના બિન-તુચ્છ એકી ભાજકોની સંખ્યા $\alpha_2+\alpha_4+\alpha_5+\alpha_2\alpha_4+\alpha_4\alpha_5$ છે. તો: