एक अतिपरवलय में,यदि अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई स | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि एक अतिपरवलय में,अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई संयुग्मी अक्ष की लंबाई की दोगुनी है। मानक अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{

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$\frac{8b}{\sqrt{5}}$

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(A) दिया गया है कि एक अतिपरवलय में,अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई संयुग्मी अक्ष की लंबाई की दोगुनी है। मानक अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।चूंकि अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $= 2 	imes$ संयुग्मी अक्ष की लंबाई,इसलिए $2a = 2(2b)$,जिसका अर्थ है $a = 2b$।हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(e^2 - 1)$।$b^2 = \frac{a^2}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{a^2}{4} = a^2(e^2 - 1)$ प्राप्त होता है।$a^2$ से भाग देने पर,$\frac{1}{4} = e^2 - 1$,इसलिए $e^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$।अतः,$e = \frac{\sqrt{5}}{2}$।नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e}$ द्वारा दी जाती है।$a = 2b$ और $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ रखने पर,दूरी $\frac{2(2b)}{\sqrt{5}/2} = \frac{8b}{\sqrt{5}}$ इकाई है।

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माना कि $P(x_0, y_0)$ अतिपरवलय $3x^2 - 4y^2 = 36$ पर स्थित वह बिंदु है जो रेखा $3x + 2y = 1$ के सबसे निकट है। तब $\sqrt{2}(y_0 - x_0)$ का मान ज्ञात कीजिए:

$k$ के विभिन्न मानों के लिए रेखाओं $\sqrt{3}x - y - 4\sqrt{3}k = 0$ और $\sqrt{3}kx + ky - 4\sqrt{3} = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ क्या है?

दिए गए प्रतिबंधों को संतुष्ट करने वाले अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए: नाभियाँ $(\pm 5, 0)$,अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $8$ है।

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