बिंदु A(1, 2, 3) से गुजरने वाली प्रकाश की एक | vedclass

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Question

(C) माना बिंदु $A(1, 2, 3)$ का समतल $x+y+z-12=0$ के सापेक्ष प्रतिबिंब $S(p, q, r)$ है।बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ का समतल $ax+by+cz+d=0$ में प्रतिबिंब के

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$\sqrt{410}$

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(C) माना बिंदु $A(1, 2, 3)$ का समतल $x+y+z-12=0$ के सापेक्ष प्रतिबिंब $S(p, q, r)$ है।बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ का समतल $ax+by+cz+d=0$ में प्रतिबिंब के सूत्र का उपयोग करने पर:$\frac{p-1}{1} = \frac{q-2}{1} = \frac{r-3}{1} = \frac{-2(1+2+3-12)}{1^2+1^2+1^2} = \frac{-2(-6)}{3} = 4$.अतः,$p-1=4 \Rightarrow p=5$,$q-2=4 \Rightarrow q=6$,$r-3=4 \Rightarrow r=7$.इसलिए,प्रतिबिंब बिंदु $S(5, 6, 7)$ है।परावर्तित किरण $C(3, 5, 9)$ से गुजरती है और ऐसा प्रतीत होता है कि यह $S(5, 6, 7)$ से आ रही है। रेखा $SC$ का समीकरण:$\frac{x-5}{3-5} = \frac{y-6}{5-6} = \frac{z-7}{9-7} \Rightarrow \frac{x-5}{-2} = \frac{y-6}{-1} = \frac{z-7}{2} = \lambda$.अतः,$x = 5-2\lambda$,$y = 6-\lambda$,$z = 7+2\lambda$.चूँकि बिंदु $B$ समतल $x+y+z=12$ पर स्थित है:$(5-2\lambda) + (6-\lambda) + (7+2\lambda) = 12 \Rightarrow 18 - \lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 6$.$\lambda=6$ का मान $B$ के निर्देशांकों में रखने पर:$x = 5-12 = -7$,$y = 6-6 = 0$,$z = 7+12 = 19$.इस प्रकार,$B = (-7, 0, 19)$.मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से $B$ की दूरी:$OB = \sqrt{(-7)^2 + 0^2 + 19^2} = \sqrt{49 + 361} = \sqrt{410}$.

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रेखा $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot (-2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 0$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

मूल बिंदु से गुजरने वाले और रेखा $\frac{x - 1}{5} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 3}{5}$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

$x-2y+4z+4=0$ और $x+y+z-8=0$ समीकरणों द्वारा दी गई रेखा,समतल $x-y+2z+1=0$ को किस बिंदु पर काटती है?

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