अवकल समीकरण (x-y)^2 frac{dy}{dx} = a^2 का व्य | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x-y)^2 \frac{dy}{dx} = a^2$ है। माना $v = x - y$ है। तब $\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} =

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$x - y = a 	an \left( \frac{y+c}{a} ight)$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x-y)^2 \frac{dy}{dx} = a^2$ है। माना $v = x - y$ है। तब $\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dv}{dx}$। इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v^2 (1 - \frac{dv}{dx}) = a^2$। $1 - \frac{dv}{dx} = \frac{a^2}{v^2} \implies \frac{dv}{dx} = 1 - \frac{a^2}{v^2} = \frac{v^2 - a^2}{v^2}$। चरों को अलग करने पर: $\frac{v^2}{v^2 - a^2} dv = dx$। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{v^2 - a^2 + a^2}{v^2 - a^2} dv = \int dx$। $\int (1 + \frac{a^2}{v^2 - a^2}) dv = x + c$। $v + a^2 \cdot \frac{1}{2a} \log \left| \frac{v-a}{v+a} \right| = x + c$। $v + \frac{a}{2} \log \left| \frac{v-a}{v+a} \right| = x + c$। $v = x - y$ रखने पर: $(x-y) + \frac{a}{2} \log \left| \frac{x-y-a}{x-y+a} \right| = x + c$। $-y + \frac{a}{2} \log \left| \frac{x-y-a}{x-y+a} \right| = c$। $y = \frac{a}{2} \log \left| \frac{x-y-a}{x-y+a} \right| + c'$।

अवकल समीकरण $(x-y)^2 \frac{dy}{dx} = a^2$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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