सदिश $\vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ के लंबवत और सदिशों $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ तथा $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ के साथ समतलीय इकाई सदिश क्या है?

प्रथम अष्टांश में स्थित उस घन पर विचार करें जिसकी भुजाएँ $OP, OQ$ और $OR$ की लंबाई $1$ है,जो क्रमशः $x$-अक्ष,$y$-अक्ष और $z$-अक्ष के अनुदिश हैं,जहाँ $O(0,0,0)$ मूलबिंदु है। मान लीजिए $S\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ घन का केंद्र है और $T$ मूलबिंदु $O$ के विपरीत घन का शीर्ष है,इस प्रकार कि $S$ विकर्ण $OT$ पर स्थित है। यदि $\overrightarrow{p} = \overrightarrow{SP}, \overrightarrow{q} = \overrightarrow{SQ}, \overrightarrow{r} = \overrightarrow{SR}$ और $\overrightarrow{t} = \overrightarrow{ST}$ है,तो $|(\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}) \times (\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{t})|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $|\vec{a}| = 4$,$|\vec{b}| = 2$ और $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{6}$ है,तो $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = \dots$

मान लीजिए कि सदिश $\overline{PQ}, \overline{QR}, \overline{RS}, \overline{ST}, \overline{TU}$ और $\overline{UP}$ एक षट्भुज की भुजाओं को दर्शाते हैं।
कथन-$1$: $\overline{PQ} \times (\overline{RS} + \overline{ST}) \neq \vec{0}$
कथन-$2$: $\overline{PQ} \times \overline{RS} = \vec{0}$ और $\overline{PQ} \times \overline{ST} = \vec{0}$

$2, 3, 1$ और $1, 2, 1$ दिक-अनुपात वाली रेखाओं के लंबवत रेखा के दिक-अनुपात ज्ञात कीजिए।

उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए जिसके विकर्ण सदिश $8\hat{i} - 6\hat{j}$ और $3\hat{i} + 4\hat{j} - 12\hat{k}$ हैं।