समीकरण $(x-4y^3) \frac{dy}{dx}-y=0, (y>0)$ का हल ज्ञात कीजिए।

एक फलन $y = f(x)$,$(x + 1)f'(x) - 2(x^2 + x)f(x) = \frac{e^{x^2}}{(x + 1)}$ को संतुष्ट करता है। यदि $f(0) = 5$ है,तो $f(x)$ क्या है?

माना $g$ एक अवकलनीय फलन है ताकि $\int_0^x g(t) dt = x - \int_0^x tg(t) dt, x \geq 0$ के लिए। माना $y = y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - y \tan x = 2(x+1) \sec x g(x), x \in [0, \frac{\pi}{2})$ को संतुष्ट करता है। यदि $y(0) = 0$ है,तो $y(\frac{\pi}{3})$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\left(x+2 y^3\right) \frac{d y}{d x}=y^2$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) है

यदि अवकल समीकरण $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = e^{2x}, x \in (0, \pi)$ का हल $y(x)$,$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ को संतुष्ट करता है,तो $y\left(\frac{\pi}{6}\right) = $

यदि $\frac{dy}{dx} + \frac{3}{\cos^2 x} y = \frac{1}{\cos^2 x}$,$x \in \left( -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} \right)$ और $y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{4}{3}$ है,तो $y\left( -\frac{\pi}{4} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।