निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,lim _{n r | vedclass

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Question

(B) दी गई सीमा $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^2}{r^3+n^3}$ है।हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{

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$\log \sqrt[3]{2}$

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(B) दी गई सीमा $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^2}{r^3+n^3}$ है।हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^2}{n^3( (r/n)^3 + 1 )}$ के रूप में लिख सकते हैं।$n$ से गुणा और भाग करने पर,हमें $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{(r/n)^2}{(r/n)^3 + 1}$ प्राप्त होता है।निश्चित समाकलन की परिभाषा $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$ का उपयोग करते हुए,$S = \int_{0}^{1} \frac{x^2}{x^3+1} dx$ प्राप्त होता है।माना $u = x^3+1$,तो $du = 3x^2 dx$,जिसका अर्थ है $x^2 dx = \frac{du}{3}$।जब $x=0$,तो $u=1$। जब $x=1$,तो $u=2$।अतः,$S = \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} [\ln |u|]_{1}^{2} = \frac{1}{3} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{3} \ln 2 = \ln 2^{1/3} = \log \sqrt[3]{2}$।

निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^2}{1^3+n^3}+\frac{2^2}{2^3+n^3}+\ldots+\frac{n^2}{n^3+n^3}\right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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निश्चित समाकलन की परिभाषा द्वारा,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1^2+n^2}+\frac{2}{2^2+n^2}+\frac{3}{3^2+n^2}+\ldots+\frac{n}{n^2+n^2}\right)=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\left[1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]=$

यदि $f(n) = \frac{1}{n} [(n+1)(n+2)(n+3) \ldots (2n)]^{\frac{1}{n}}$ है,तो $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n) =$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{r=1}^n\left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)^{\frac{2 r}{n^2}}$ का मान किसके बराबर है?

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